ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КУРСА ЦЕННОЙ БУМАГИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 338.517(045) © Скиба О. А., 2021

Эконометрическая модель курса ценной бумаги

Ольга Андреевна Скиба, студентка Факультета прикладной математики и информационных технологий, Финансовый университет, Москва, Россия Olga A. Skiba, student of the Faculty of Applied Mathematics and Information Technologies, Financial University, Moscow, Russia

[email protected]

аннотация

В данной статье представлено исследование, по результатам которого создана эконометрическая модель курса ценной бумаги. Цель исследования состоит в том, чтобы смоделировать зависимость курса ценной бумаги компании Московской биржи от фондового индекса. В статье проделаны следующие тесты: проведена оценка модели, проверка ее на качество, адекватность и на выполнение предпосылок теоремы Гаусса-Маркова. Актуальность выбранной темы статьи обосновывается тем, что люди стали больше интересоваться волатильностью ценных бумаг, они покупают и продают акции, тем самым пытаясь предугадать дальнейшие скачки ценных бумаг. Научная новизна данной работы заключается в проверке модели на коинтегрированность с помощью теста Дики-Фуллера, а также в устранении положительной автокорреляции с помощью алгоритма Кохрейна-Оркат-та. В результате исследования была построена модель зависимости ценной бумаги Мосбиржи от фондового индекса, проведены вышеуказанные тесты и получены соответствующие результаты. Ключевые слова: курс ценной бумаги; фондовый индекс; моделирование; оценка модели; проверка на качество; проверка на адекватность; теорема Гаусса-Маркова; коинтегрированность

Для цитирования: скиба о. а. Эконометрическая модель курса ценной бумаги. Научные записки молодых исследователей. 2021;9(2):24-30.

An Econometric Model of the security Rate

The purpose of the study is to model the dependence of the exchange rate of a Mosbirzhi company's security on the stock index. The tests presented in the article are as follows: model evaluation, quality test, adequacy test and fulfilling the premises of the Gauss-Markov theorem. The relevance of my topic is justified because people are more often interested in the volatility of securities. They buy and sell shares, thereby becoming shareholders. The scientific novelty of this work is to test the model for co-integration using the Dickey-Fuller test and eliminate positive autocorrelation using the Cochrane-Orcutt algorithm. As a result of the research, the author built a model for the dependence of the Mosbirzhi company's security on the stock index. The author performed the above tests and the obtained corresponding results.

Научный руководитель: Данеев О.В., кандидат экономических наук, доцент, Финансовый университет, Москва, Россия / Scientific Supervisor: Daneev O. V., Cand. Sci. (Econ.), Associate Professor, Financial University, Moscow, Russia.

abstract

Keywords: securities exchange rate; stock index; modelling; model evaluation; quality check; adequacy check; Gauss-Markov theorem; co-integration

For citation: skiba o. A. An econometric model of the security rate. Nauchnye zapiski molodykh issledovatelei = Scientific notes of young researchers. 2021;9(2):24-30.

Введение

Прогнозирование развития курса ценной бумаги -сложная и чрезвычайно важная задача. Величина прибыли или убытка трейдера как игрока биржи зависит от правильности прогноза. Игрок фондового рынка в основном нацелен на получение прибыли от купли или продажи в короткие сроки.

Показательным в этом смысле является российский фондовый рынок, который на современном этапе находится на стадии обучения и активного развития [5]. Российский фондовый рынок весьма чувствителен к изменениям многих факторов, таких как мировые цены на нефть и доходность государственных ценных бумаг. Одно из них - колебания фондовых индексов, которые предопределяют состояние рынка ценных бумаг [4]. Поэтому, чтобы определить степень влияния фондового индекса, необходимо провести эконометрический анализ. Разберем фондовый индекс как предмет исследования. Это индикатор состояния рынка ценных бумаг, рассчитываемый на основе корзины наиболее ликвидных обыкновенных акций или облигаций [1]. В качестве объекта исследования возьмем стоимость ценной бумаги, т.е. цену, по которой ценные бумаги продаются и покупаются. На примере модели курса ценной бумаги Московской биржи исследуем степень влияния фондового индекса.

В данной работе будет построена модель временных рядов. На основе оценной модели проведены проверка ее на качество, адекватность, на

Таблица 1

исходные данные

Номер Дата Курс Индекс

1 30.0В.2019 2713,17 4274,22

2 31.0S.2019 2702,59 4259,52

3 01.09.2019 2700,57 4256,33

4 02.09.2019 2634,25 4230,61

5 03.09.2019 2701,06 4257,10

Источник: составлено автором по данным Мосбиржи. URL: https://www.moex.com/ru/index/totalreturn/MCFTR/archive (дата обращения: 20.12.2019); https://www.finam.ru/profile/ moex-akcii/moscowexchange/export/ (дата обращения: 20.12.2019).

выполнение предпосылок теоремы Гаусса-Маркова, коинтегрированность, а также устранена положительная автокорреляция.

Актуальность выбранной темы обосновывается тем, что люди стали больше интересоваться вола-тильностью ценных бумаг, они покупают и продают акции, тем самым пытаясь предугадать дальнейшие скачки ценных бумаг. Также в настоящее время рынок ценных бумаг в России быстро развивается, повышается интерес у частных инвесторов к ценным бумагам российских компаний.

описание исходных данных. Построение модели

Для оценивания модели воспользуемся данными за период с 30.08.2019 по 14.12.2019 г. Частота наблюдений равна один день. Часть данных представлена в табл. 1.

На рисунке представлена зависимость курса ценной бумаги от ее индекса. Отметим, что при анализе графика видно, что тренд является возрастающим. Так как линия тренда почти полностью описывает график, моделью должна быть линейная функция, отображенная на рисунке.

Для решения задачи построим эконометриче-скую модель. В качестве спецификации возьмем парную регрессионную модель вида:

y, = a0 + ai * X, + u < E (ut 1 x, ) = 0 , Var (u \ x ) = a2

где yt - курс ценной бумаги Московской биржи; xt - фондовый индекс Московской биржи.

Практическая часть

Проведем оценку параметров полученной модели по обучающей выборке (в Excel с помощью функции «ЛИНЕЙН»). Полученная модель имеет вид:

yt = 264,27 + 0,57* x, + ut < ^ = 18,74 = 0,004 ;с = 8,21

a0 ' ' a1 ' ' ' .

R2 = 0,994

3050,00

3000,00

2950,00

ZWO,00

2650,00

2BÜ0,00

2750,00

2700,00

2Б50,00

2600,00

2550,00

4000,00

Jt

Jt

Ы •

J

л

4100,00 4200,00 4300г00 4400,00 4500,00 4600,00 4700,00 4800,00 4900г00

Рис. Зависимость курса от индекса

Источник: составлено автором по данным Мосбиржи. URL: https://www.moex.com/ru/index/totalreturn/MCFTR/archive (дата обращения: 20.12.2019); https://www.finam.ru/profile/moex-akcii/moscowexchange/export/ (дата обращения: 20.12.2019).

Проверка качества спецификации

Для проверки качества спецификации полученной модели введем две гипотезы:

H

H

a =Ä_

H1 = Ho.

При оценивании модели была получена величина Г-теста, которая равна: Г-тест = 18 291,16.

Зададимся уровнем значимости а е (0;0,05 ], используя функции «РОБР.ПХ» при количествах степеней свободы = k = 1, у2 = п -(k +1 ) = 105, где к - количество регрессоров в нашей модели; п - объем обучающей выборки, получили значение Г = 393:

крит

18291,16 > 3,93 => Г - тест > Гкрит.

Вывод: коэффициент детерминации велик (R2 = 0,994 ). Такой результат говорит о том, что экзогенная переменная х( почти полностью объясняет значение эндогенной переменной у, а из Г - тест > Гкрит следует отклонить гипотезу Н0 в пользу альтернативы Н. Таким образом, заключаем, что спецификация модели является качественной.

Проверка выполнения предпосылок теоремы Гаусса-Маркова

Запишем оцененную модель спецификации:

yt = 264,27 + 0,57* х, + ut S~n = 18,74 ;S~, = 0,004 ; <5 = 8,21.

ao al

R2 = 0,994

а. Проверка первой предпосылки

Для проверки выполнения первой предпосылки о нулевом математическом ожидании случайного остатка введем две гипотезы:

Н0: Е (" ) = Е (и2 ) = ••• = Е (ип ) = 0 Н1 : Н1 = Н0.

Для того чтобы принять гипотезу Н0, необходимо чтобы:

Е(")= = - 0. п

Для проверки предпосылки рассчитаем и( по формуле из [2]:

U = yt - a0 - a1*x,.

Считая E(ut), получаем E(ut ) = 1,2*10

-12

0.

Вывод: математическое ожидание случайного остатка стремится к нулю, следовательно, гипотезу Н0 принимаем,первая предпосылка теоремы Гаусса-Маркова выполняется. Б. тест Голдфелда-Квандта Для проверки выполнения второй предпосылки о гомоскедастичности случайного остатка введем две гипотезы:

Н0 : Уаг("1 ) = Уаг(и2) = ^.. = Уаг(ип) = 0, Нх: Н = Н [1]

Таблица 2 Оценка 1-й и 2-й части модели

Таблица 3

Промежутки статистики DW

1-я масть 2-я масть

0,563917 295,9134 0,544134 391,9691

0,017331 74,01769 0,007653 35,15036

0,954043 3,237763 0,990011 6,923053

1058,724 51 5054,761 51

72720,53 3503,037 24226В, 3 2444,365

М1= (0;1,65)

М2= (1,65;1,69)

М3=

М4= (2Г31;2,35)

М5= (2Р35;4}

Источник: составлено автором.

Для проверки этой гипотезы проводится тест Голдфелда-Квандта:

1. Упорядочивается статистика по возрастанию суммы модулей регрессора х(.

2. Данные разделяются на две части п ' = ——.

Поделим следующим образом: 1-я и 2-я части равны п' = 53 (54-е значение в тесте не участвует).

По 1-й и 2-й частям данных оценивается модель. Из табл. 2 находим значения ESS1 = 3503,037 и ESS2 = 2444,365.

Вычисляются значения статистики GQ и обратное к ней GQ—.

= ^ = 1,43 ; -1 = Е—2 = 0,698. ESS2 ESS1

Используя функцию <^РАСПОБР», находится Г-критическое при

а = 0,05; \1 =у2 = п'-{к +1) = 53 - 2 = 51 ,^крит = 1,59.

( GQ < ^крит

Получаем: -1 < ^крит

Вывод: неравенства выполняются, следовательно, гипотезу Н0 принимаем, то есть случайный остаток в нашей модели полагать гомоскедастичным. В. Тест Дарбина-Уотсона Для проверки выполнения третьей предпосылки об отсутствии автокорреляции случайных остатков в линейной регрессионной модели введем две гипотезы [ 2]:

Н0:Cov{щ ,Ч]) = 0 при у = i -1, Н1 :Cov(щ ,Ыу)> 0 при у = i-1.

Для проверки этой гипотезы проводится тест Дарбина-Уотсона:

Вычисляется статистика Дарбина-Уотсона DW:

Источник: составлено автором.

Таблица 4 Данные контрольной выборки

Контролирующая выборка

Номер Дата Курс Индекс

7 05.09.2019 2701,02 4257,04

25 23.09.2019 2672,В4 4212,63

6В 05.11.2019 2752,91 43 аз,96

84 21.11.2019 2951,15 4699,67

104 11.12.2019 2932,40 4671,43

Источник: составлено автором.

I 107

У {щ - щ ,)

ЛЖ = = 0,0745.

Из таблицы, где находятся границы интервала критических значений ЛЖкрит, находим граничные значения dL и dv статистик Дарбина-Уотсона для

п = 107, к = 1,а = 0,05: dL = 1,65; йи = 1,69.

1. Запишем пять подмножеств М1, М2, М3, М4, М5 интервала (0;4) величины DW. В табл. 3 представлены эти значения.

2. Проверим, в каком из пяти интервалов лежит полученная нами величина статистики: ЛЖ еМ1.

Вывод: ЛЖ е М1, что говорит нам о том, что гипотеза Н0 не выполняется в пользу гипотезы Н1, следовательно, автокорреляция случайных остатков в линейной регрессионной модели имеется, причем положительная.

Проверка адекватности

1. Разделим наши результаты наблюдений на два класса: обучающую выборку (90% от п) и контролирующую. Пусть в контролирующую выборку войдут наблюдения под номерами 7, 25, 68, 83, 104. Данные контролирующей выборки представлены в табл. 4.

деньги, кредит, банки / money, credit, banks

2. По обучающей выборке оценим модель:

Г у = 264,38 + 0,57* х + щ = 19,33 ^ = 0,004 ; с = 8,22.

| а0 ' ' а1 ' ' '

3. Оптимальный прогноз величины у рассчитывается по правилу:

У = а0 + а1*Х,

с точностью прогнозирования:

' ^ =с *

< 1 2 102 2 ?0 = - + (Х0 -х)2/ Х(хг -х)2

г=1

4. С помощью функции «СТЬЮДРАСПОБР», где а = 0,05, v2 = 100 рассчитаем интервальный прогноз:

, крит = 1,98.

5. Построим доверительные интервалы по формуле:

у0 = У0 1ут.Т7Т * ^^

у0 = у0 + - * S~.

крит "у0

* V—

крит к3у0 •

6. Расчет оптимального прогноза, оценки прогнозирования, интегрального прогноза и доверительных интервалов для каждого наблюдения из контролирующей выборки, а также проверка на принадлежность у доверительному интервалу представлены в табл. 5.

Вывод: по полученным результатам видно, что с вероятностью 80% наша модель адекватна.

тест дики-Фуллера

Проверим данную модель на коинтегрирован-ность. Курс ценной бумаги и ее индекс являются нестационарными временными рядами, т.е. поведение цен является непредсказуемым в будущем и настоящем и не совпадает с прошлым. Тогда цены курса Московской биржи и ее индекса будут называться коинтегрированными, если их можно будет объединить в один ряд, обладающим свойством стационарности. Другими словами, коинтег-рированность можно определить так: наличие во временном ряду тренда обуславливается тем, что другой ряд, входящий в модель, также содержит тренд, а не связан с прочими случайными причинами и рядом случаев, служит причиной коинтег-

рации этих величин. Направленность в одну или разные стороны тенденций рядов может иметь устойчивый характер и наблюдаться на протяжении длительного промежутка времени. Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов х, и у является тест Дики-Фул-лера1 [3]. Для проверки выполнения критерия Ди-ки-Фуллера введем две гипотезы: Н0: отсутствие коинтеграции между рядами у, и х)

Н1 : Н1 = Н0

Отвергаем Н0 на М%-ном N = 1%, 5%, 10%) уровне значимости, если ,стат > ?КР%т.

Выполним тест. В разделе «Данные» выберем «Анализ данных» в качестве инструмента анализа «Регрессия». Уровень надежности введем 95% и выберем «Остатки». На новом листе появится таблица «Вывод итогов». Отметим, что коэффициент при переменной х = 0,57 будет использоваться в качестве коэффициента хеджирования, т.е. коэффициента для уменьшения риска курса ценной бумаги.

Рассчитаем разницы остатков регрессии в столбце «Дельта». Также вычислим остаток регрессии в столбце 1. Он будет равен остатку за предыдущий период. Полученные результаты представлены в фрагменте табл. 6.

Снова применим линейную регрессию к полученным столбца «Дельта» и « , -1». На выбранном уровне надежности 7-статистика равна ,стат =-1,47. Данные представлены в следующую табл. 7.

Сравним статистику ,стат с ,крит: при объеме выборки п = 100 и 5%-ном критическом значении

^крит = —3^ 45 , ^стат > ^крит .

Вывод: таким образом, нулевая гипотеза отклонена, и мы можно утверждать, что данные коинтег-рированы.

Мзбавление от автокорреляции

Для избавления от автокорреляции был использован алгоритм Кохрейна-Оркатта. Алгоритм довольно простой:

1. Оценивается МНК исходная модель и вычисляется вектор случайных остатков:

у = 264,27 + 0,57* х, + щ Sa0 =18,74 =0,004 ; с = 8,21 Я2 = 0,994.

1 URL: https://metr-ekon.ru/index.php?request=fu[[&id=202#

(дата обращения: 20.12.2019).

Таблица 5

Оценка модели на адекватность по контролирующей выборке

1:кр= 1,983972 1:кр= 1,983972

Номер Вывод Номер Вывод

7 уО (оц)= 2697,784 У0 68 уО (оц)= 2770,334 уО не

40= 0,013156 принадл Ч0= 0,010334 принадл

БуО= 0,297984 ежит Бу0= 8,266252 ежит

У" = 2681,321 интерва у-= 2753,934 интерва

у+ = 2714,247 лу у+ = 2736,734 лу

25 уО (оц) = 2672,39В уО 34 уО(оц)= 2960,13 У0

40= 0,023015 гринадл чо= 0,032916 принадл

гуо= В, 317761 ежит Бу0= 8,357915 ежит

у- = 2655,В96 интерва у- = 2943,598 интерва

у+ = 2688,901 лу у+ = 2976,762 лу

1:кр= 1,983972

Номер Вывод

104 уО (оц)= 2934,657 У0

40= 0,02627В гринадл

гуо= 8,331013 ежит

у- = 2918,129 интерва

у+ = 2951,186 лу

Источник: составлено автором.

Таблица 6

Фрагмент таблицы остатков

Наблюдение Предсказанное У Остатки Дельта Т-1

1 2707,46303 5,70196972

2 2599,065338 3,524661391 -2,177307829 5,70196972

3 2697,241397 3,328103253 -0,196558638 3,524661391

4 2632,540044 1,709956493 -1,61314676 3,323103253

5 2697,682038 3,377962235 1,668005741 1,709956493

Источник: составлено автором.

Таблица 7

Фрагмент таблицы ^-статистики

Коэффициенты Стандартная ошибка Г-статистика

У-пересечение -0,024371399 0,217114402 -0,114554351

Переменная X1 -0,039100708 0,026581596 -1,470969176

Источник: составлено автором.

У п=11щ- * щ+1

2. С помощью формулы Р = — п-1 2— оценивается р. у ,=1М'

3. Коэффициент р подставляется в трансформированную модель.

|У, -РУ(-1 = а0 (1 -р) + а {х, -рх,-1) + ^

{ ) = 0, е{^2 ) = 4

Шаги повторяются пока не получится одинаковый р. В случае с моделью ценной бумаги Московской биржи алгоритм проводился 10 раз. Результаты показаны в табл. 8.

4. В конечном итоге была получена следующая оцененная модель:

у = 0,304 + 0,627* х, + щ

=0,5535 ^ =0,004 ; а = 1,28

Я2 = 0,996.

Вывод: положительная автокорреляция была устранена и предпосылки теоремы Гаусса-Маркова были выполнены.

Выводы

В данной статье была построена модель зависимости курса ценной бумаги Мосбиржи от ее индекса.

Таблица 8

результаты алгоритма Кохрейна-оркатта

Оценки Знамения оценок

1 2 3 4 5 6 7 0 9 10

Р 0,959529 0,297301 -0,04291 0,001296 -0,0019 -0,00233 -0,00126 -0,00463 -0,00331 -0,0033

аО оц 264,2738 0,637019 0,276226 0,305775 0,231933 0,299521 0,270305 0,290493 0,302011 0,303931

al оц 0,571612 0,626171 0,627525 0,627329 0,627471 0,6272&5 0,62742 0,627211 0,627135 0,627079

Источник: составлено автором.

Была произведена проверка на качество с помощью Г-теста, проверка на выполнение предпосылок теоремы Гаусса-Маркова, проверка на адекватность с помощью интервального прогнозирования, устранена положительная автокорреляция с помощью алгоритма Кохрейна-Оркатта, а также проведена проверка на коинтеграцию. В результате проверок было установлено, что модель качественная, адекватная с вероятностью 80%, коинтегрирована. Случайные остатки в оцениваемой модели гомо-скедастичны, их математическое ожидание равно нулю, но автокорреляция случайных остатков положительна. Для устранения автокорреляции был применен алгоритм Кохрейна-Оркатта.

Таким образом, построение и проверка модели позволяет сделать вывод о возможности ее практического применения для прогнозирования стоимости ценных бумаг на фондовых биржах. Следовательно, можно сделать вывод, что колебания фондовых индексов оказывают сильное влияние на курс ценной бумаги Московской биржи, тем самым предопределяя состояние цены акций на рынке ценных бумаг. Однако следует иметь в виду, что модели временных рядов все-таки не являются идеальными, так как существуют и неподвластные учету факторы, могущие влиять на динамику стоимости ценных бумаг.

Описок источников

1. Картаев Ф. С., Клачкова О.А., Ромашова В. М., Сучкова О. В. Сборник задач по эконометрике временных рядов и панельных данных. М.: Экономический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова; 2016. 64 с.

2. Бывшев В.А. Эконометрика. Учебное пособие. М.: Финансы и статистика; 2008. 480 с.

3. Валеев Н. Н., Аксянова А. В., Гадельшина ГА. Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебное пособие. Казань: Казанский гос. технологический ун-т; 2010. 160 с.

4. Мацкевич А.А. Факторы, определяющие эффективность фондового рынка России. Вестник ЧелГУ. 2013;32(323). URL: https://cyberLeninka.rU/articLe/n/faktory-opredeLyayuschie-effektivnost-fondovogo-rynka-rossii (дата обращения: 31.01.2021).

5. Матвийчук А. В. Нечеткая идентификация и прогнозирование финансовых временных рядов. ЭНСР. 2006;(3). URL: https://cyberLeninka.rU/articLe/n/nechetkaya-identifikatsiya-i-prognozirovanie-finansovyh-vremennyh-ryadov (дата обращения: 31.01.2021).

References

1. Kartaev F. S., KLochkova O.A., Romashova V. M., Suchkova O.V. CoLLection of exercises on the econometrics of time series and paneL data. Moscow: Lomonosov Moscow State University, FacuLty of Economics; 2016. (In Russ.).

2. Byvshev VA. Econometrica. ManuaL. Moscow: Finance and Statistics; 2008. 480 p. (In Russ.).

3. VaLeev N. N., Aksyanova A.V., GadeLshina G.A. Time series anaLysis and forecasting. Textbook. Kazan: Kazan State TechnoLogicaL University; 2010. (In Russ.).

4. Mackiewicz A. The factors that determine the performance of the stock market in Russia. Vestnik ChelGU = Bulletin of the Chelyabinsk State University. 2013;32(323). URL: https://cyberLeninka.ru/articLe/n/faktory-opredeLyayuschie-effektivnost-fondovogo-rynka-rossii (accessed on 31.01.2021). (In Russ.).

5. Matviychuk A. V. Fuzzy identification and forecasting of financiaL time series. ENSR. 2006;(3). URL: https://cyberLeninka.ru/articLe/n/nechetkaya-identifikatsiya-i-prognozirovanie-finansovyh-vremennyh-ryadov (accessed on 31.01.2021). (In Russ.).