Эффекты неоднородности потенциальных барьеров и ограниченности решетки в модели Кронига - Пенни Текст научной статьи по специальности «Математика»

лось выше, связано с серьезными технологическими трудностями, в то время как создать многосекционную трубку гораздо легче.

Таким образом, предлагаемые конструкции капилляра позволят сократить размеры газоразрядного лазера при сохранении мощности излучения либо увеличить мощность при тех же самых геометрических размерах лазера.

Можно также совместить представленные

результаты с полученными ранее [1], что позволит создать принципиально новые активные элементы для лазеров на смеси гелия и неона с увеличенной мощностью и малыми размерами.

Сокращение размеров резонатора позволит повысить пассивную стабильность лазера.

Обнаруженный выигрыш в усилении позволил провести дальнейшие поиски, на некоторые из которых получены патенты [10 — 13].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Привалов, В.Е. Влияние граничных условий на усиление активной среды газового лазера [Текст] /

B.Е. Привалов, С.Ф. Юдин // ЖПС.-1975. - Т. 12. -

C. 42 - 46.

2. Привалов, В.Е. Газоразрядные лазеры в измерительных комплексах [Текст] / В.Е. Привалов. — Л.: Судостроение, 1989. — 260 с.

3. Молчанов, М.И. Измерение коэффициента усиления в смеси He-Ne [Текст] / М.И. Молчанов,

A.Ф. Савушкин // Радиотехника и электроника.-1970. - Т. 15. - С. 1544 - 1546.

4. Троицкий, Ю.В. Радиальное распределение усиления в He-Ne смеси [Текст] / Ю.В. Троицкий,

B.П. Чеботаев // Оптика и спектроскопия. - 1966. -Т. 20. - С. 362 - 365.

5. Привалов, В.Е. Кольцевой газовый лазер [Текст] / В.Е. Привалов, С.А. Фридрихов // УФН.-1969.-Т. 97.-С. 377 - 402.

6.Привалов, В.Е. He-Ne лазер с трубкой конусообразного сечения [Текст]/ В.Е. Привалов, С.А. Фридрихов // ЖПС.-1970. -Т. 12.-С. 937 - 940.

7. Федотов, А.А. Исследование возможности увеличения мощности излучения He-Ne ОКГ применением разрядных трубок профильного (конического сечения [Текст]: Автореферат дис. ... канд. техн. наук / А.А. Федотов. - Л.: ЛЭТИ, 1974. - 14 с.

8. Привалов, В.Е. Не-№ лазер с комбинированной разрядной трубкой [Текст]/ В.Е. Привалов //Электронная техника. Сер. 3.—1971.—Вып. 3.—С. 29 — 31.

9. Золотов, С.А. Уход от стандартных геометрий приводит к выигрышу в усилении/ С.А. Золотов, В.Е. Привалов // Труды конференции «Лазеры. Измерения. Информация». — 2010. — С. 109.

10. Пат. 95909 Российская Федерация МПК7 H 01 S 3/03 Газоразрядный лазер [Текст]/ Привалов В.Е., Золотов С.А.; заявитель и патентообладатель СПбГПУ. - № 2010109095/22. заявл. 11.03. 2010; опубл. 10.07. 2010, Бюл. № 19. - 33 с.: ил.

11. Пат. 101276 Российская Федерация МПК7 H 01 S 3/03 Газоразрядный лазер [Текст] / Привалов В.Е., Золотов С.А.; заявитель и патентообладатель СПбГПУ. - № 2010139554/28. заявл. 24.09. 2010; опубл. 10.01. 2011, Бюл. № 1. - 37 с.: ил.

12. Пат. 102856 Российская Федерация МПК7 H 01 S 3/03 Газоразрядный лазер [Текст] / Привалов В.Е.; заявитель и патентообладатель СПбГПУ - № 2010144441, заявл. 29.10 2010; опубл. 10.03. 2011, Бюл. № 8 -77 с.: ил.

13. Пат. 104758 Российская Федерация МПК7 H 01 S 3/03 Газоразрядный лазер [Текст] / Привалов В.Е.; заявитель и патентообладатель СПбГПУ. -№ 2010149517, заявл. 03.12 2010, опубл. 20.05. 2011, Бюл. № 14 - 29с.: ил.

УДК 538.915

Д.В. Ковалевский

ЭФФЕКТЫ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ И ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕТКИ В МОДЕЛИ КРОНИГА - ПЕННИ

Модель Кронига - Пенни, описывающая дического потенциала, образованного системой движение электрона в поле одномерного перио- идентичных эквидистантных 8-образных барье-

ров, является одной из простеиших в зонной теории твердого тела. Аппроксимируя потенциал одномерной кристаллической решетки идеализированным периодическим потенциалом модели Кронига — Пенни, путем простых выкладок можно выявить наличие в системе энергетических зон с непрерывным спектром, разделенных запрещенными зонами [1]. Рассмотрев полубесконечную решетку подобного типа, И.Е. Тамм показал наличие в системе локализованных поверхностных (таммовских) состояний (см. [2], а также обзор современных исследований по проблеме в недавно опубликованной работе [3]). Стохастические версии модели Кронига — Пенни со случайным шагом между соседними барьерами и/или случайными добавками к мощности барьеров служат важными моделями для исследования движения электронов в неупорядоченных средах [4 — 6].

В настоящей работе при помощи матричного формализма рассчитаны волновые функции состояний непрерывного спектра и энергии поверхностных состояний в полубесконечной модели Кронига — Пенни со специальной геометрией потенциала (см. раздел «Постановка задачи»), а также исследован случай размерного квантования в решетке конечной длины. Отметим, что выбранная геометрия потенциала отличается как от задачи, рассмотренной Там-мом, так и от ряда новейших исследований [3].

Постановка задачи

Рассмотрим движение частицы в одномерном потенциале, образованном полубесконечной последовательностью 8-образных барьеров (рис. 1). Барьеры расположены эквидистантно, в узлах одномерной решетки гп = п (п > 1), при этом мощность п-го барьера равна еп. (Отметим, что величина гп может быть и отрицательной — это будет соответствовать наличию потенциальной ямы.) Предположим далее, что частица может двигаться лишь по положительной полуоси г > 0, а в области г < 0 находится бесконечно высокий потенциальный барьер (и0(г) = Цгл = ), делающий невозможным движение частицы по отрицательной полуоси.

Отметим, что в оригинальном исследовании Тамма, в котором была показана возможность существования поверхностных состояний, ве-

Рис. 1. Рассматриваемый вид одномерного потенциала: полубесконечная решетка 8-образных потенциальных барьеров с бесконечно высокой «стенкой» в начале координат.

Мощность е* первого барьера отлична от мощностей е всех остальных, предполагаемых идентичными

личина потенциального барьера U0 при г < 0 полагалась конечной, а мощности 8-образных барьеров — равными между собой (еи = е = const.).

Мы же рассмотрим случай, когда мощность ближайшего к началу координат барьера (n = 1) отлична от всех остальных, а прочие барьеры (n > 2) — идентичны:

Б , &2 £3 • • •

(1)

Как станет ясно из дальнейшего (см. раздел «Дискретный спектр (поверхностные состояния)»), бесконечность потенциального барьера Ц0 (г) = =+ж на границе решетки (при г = 0) приводит к новому, по сравнению с таммов-ским, типу локализации носителей заряда, для которого мы предлагаем термин «подповерхностная локализация».

Стационарное уравнение Шредингера записывается в виде

d\(z) dz 2

Xsn S(z - n) + UmQ(-z)

n=1

w(z) = E v(z),

где 0(г) — функция Хевисайда, а набор {еп} задается соотношением (1).

Можно показать [4], что в подобной системе значения волновых функций в трех соседних узлах решетки связаны соотношением

Vn+1 +Vn-1 = VnVn,

(2)

где введено обозначение

где

уп = 2с08q + еп ^^ , q2 = Е . (3)

q

Объединяя значения волновой функции в двух соседних узлах решетки в двухкомпонент-ный вектор

Xn =

Уп-1.

и вводя матрицу

Qn

1

-П 0

(4)

Xl =

V 0 У

X 2 = 0X1 =

(

V 1

(6)

и

Хп = 0п-2X2 = ^0X1 (п > 3). (7)

Хорошо известно, что свойства волновых функций рассматриваемой системы определяются собственными значениями матриц (4). Рассмотрим последовательно случай непрерывного спектра (энергетические зоны) и дискретного (таммовские состояния).

Непрерывный спектр

Если выполнено условие -2 < V < 2, то собственные значения матрицы 0 равны

Ь±= е±гф, (8)

\п-2/

С08 ф = —, 2

а соответствующие собственные векторы задаются соотношениями

X + =

го 11)

(10)

Разлагая вектор Х2 (соотношение (6)) по собственным векторам (10), легко находим:

X2 = Л. X.+ Л_X_ ,

где

можем переписать соотношение (2) в рекуррентной форме:

Xn+1 = 0п X п. (5)

Обозначим левую часть соотношения (3)

* *

при в1 =в как V , при в2 = в3 =... = в - как V , а соответствующие матрицы (4) - как 0* и Волновая функция в начале координат, очевидно, равна нулю из-за наличия потенциальной «стенки»; поэтому, отвлекаясь от вопроса о нормировке волновой функции, можем выбрать в качестве X! вектор

Г1 ^

Л =-- 2

1 +1

V - С08 ф 8Ш ф

Л

(11)

(12)

В частном случае одинаковой мощности

всех 8-образных барьеров, включая первый

**

(в =8, V = V), соотношение (12), с учетом (9), упрощается:

Л±0 = 2 (1 + /^Ф).

Вектор Xn, в соответствии с (7) и (11), в общем случае можно вычислить по формуле

Xn = ЛД""2X^ + Л 1п~2X .

(13)

Тогда, в соответствии с соотношениями

(4), (5),

Подставляя в последнее равенство соотношения (8), (10), (12), находим после некоторых преобразований:

Xn =-

1

*

81И ф

V 8Ш(п -1)ф- 81и(п - 2)ф

*

V 81п(п - 2)ф- 81п(п - 3)ф

. (14)

В частном случае идентичных барьеров соотношение (14) принимает особенно простой вид:

Xn =-

1 ( 81п пф ^

81П ф

81п(п - 1)ф

(15)

соответствующий, как и следовало ожидать, стоячей блоховской волне, образованной суперпозицией двух волн, бегущих в противоположных направлениях (отражение блоховской волны от бесконечно высокой потенциальной «стенки»). Изменение высоты первого

V

V

п

8-образного барьера (V ф V ), как видно из выражения (14), сдвигает фазу данной стоячей волны.

Дискретный спектр (поверхностные состояния)

Обратимся теперь к противоположному случаю, когда VI > 2. Собственные значения матрицы Q запишем в виде

V* А+, л_ 4

V V2-1.

1 2 V 4

(16)

При V > 2 собственные значения являются вещественными, при этом одно из них оказывается по модулю большим единицы, а другое — по модулю меньшим единицы.

Вновь разлагая вектор Х2 по собственным векторам (10), в соответствии с (11), находим аналог формулы (12):

V —

Л+=±-

(17)

V = , ^ ^ < 1.

(19)

С учетом соотношений (3), (16) мы получаем тем самым уравнения, определяющие дискретный спектр значений q, соответствующих поверхностным (таммовским) состояниям.

Легко видеть, что, например, в случае идентич-

*

ности всех барьеров (V = V) поверхностные состояния отсутствуют: действительно, с одной стороны, рассматривается случай VI > 2, а с другой, в соответствии с уравнениями (18) или

(19), должно быть V = Ь| < 1. Однако при

V ф V решения уравнений (18) или (19), в принципе, уже могут существовать. На рис. 2 при-

о--2

-4-6--К-

- 3

/-А о* 1

2

/ 1

1 1 1

Подставим соотношения (17) в формулу (13) и предположим для определенности, что | < 1 . Желая получить решение, ограниченное при п ^ , мы должны, очевидно, потребовать, чтобы

Л+= 0,

или

* I I

V =Х_ , \к_\< 1. (18)

В противоположном случае, когда 1^.1 < 1 < , аналогичное условие примет форму

о 5 ю q

Рис. 2. Пример графического решения уравнений (18), (19) для случая потенциальной ямы при г = 1 (е* = —10, е = 4). Приведены кривые

/(?) (1), М?) (2), М?) (3).

Точки пересечения отвечают поверхностным (таммовским) состояниям

веден пример графического решения уравнений (18), (19) для случая потенциальной ямы при г = 1 (е* < 0). Горизонтальные отрезки на кривых Х+(?) и Х_(?) символически изображают области комплексных собственных значений или вещественных значений, по модулю больших единицы. Точки пересечения кривой v*(q) с кривой А+(?) (Я_(?)) при (?) | < 1 )| < 1) соответствуют дискретным значениям спектра, отвечающим поверхностным (таммовским) состояниям.

Отметим, что рассматриваемая система отличается от детально исследованной в работе [3], во-первых, наличием бесконечно высокого потенциального барьера Ц вместо барьера конечной высоты Ц0 при г < 0, во-вторых, расположением потенциального барьера (ямы) при г = 1 вместо такового при г = 0, в-третьих, неэквивалентностью первого барьера всем остальным.

Подчеркнем, что при рассматриваемой нами геометрии потенциала, которая характеризуется бесконечностью «поверхностного» потенциального барьера при г = 0, имеет место несколько иной характер локализации носителей заряда, нежели рассмотренный в пионерском исследовании И.Е. Тамма или в работе [3]. Действительно, в случае конечности

«поверхностного» потенциального барьера волновая функция носителя заряда характеризуется экспоненциальным спаданием как в область «вакуума» (г < 0), так и в глубь решетки (г > 0), т. е. характерная длина локализации отлична от нуля по обе стороны границы г = 0. В рассматриваемом же нами случае бесконечности «поверхностного» потенциального барьера имеем строгое равенство нулю волновой функции на границе г = 0, т. е. носитель заряда вообще не может проникнуть в область «вакуума». Мы предлагаем для подобного типа локализации термин «подповерхностная локализация».

Конечная решетка барьеров

Предположим теперь, что в точке г = N + 1 расположена вторая бесконечно высокая потенциальная «стенка»; движение частицы тем самым ограничено конечной областью 0 < г < N +1, в которой расположено ровно N 8-образных барьеров. Примем, что все эти барьеры идентичны *

(V = V). Тогда, в соответствии с выражением (15), имеем в системе четное либо нечетное состояние, соответствующее стоячей волне; при этом (в зависимости от четности состояния)

X

N+1

( 0 ^

V 1,

либо XN+1 =

Г о ^ -1

и условие +i = 0 накладывает ограничение на угол ф, фигурирующий в соотношении (15):

sin(N + 1)ф = 0,

откуда

Фк =п

N +1

, к = 1, 2, ..., N.

Следовательно, спектр системы становится дискретным (размерное квантование). Однако

с ростом N влияние граничных условий на структуру спектра начинает ослабевать. При больших значениях N он становится квазинепрерывным, и мы вновь возвращаемся к случаю, описанному выше (разрешены произвольные значения V из диапазона -2 < V < 2).

Расчеты, выполненные в настоящей работе, продемонстрировали эффективность применения матричного формализма к вычислению значений волновых функций в узлах решеток в моделях типа модели Кронига - Пенни. При исследовании состояний непрерывного спектра в полубесконечной решетке выявлено влияние величины мощности первого (выделенного) барьера на структуру волновой функции: не меняя качественных свойств решения, представляющего собой стоячую блоховскую волну, указанная особенность потенциала приводит, однако, к сдвигу фазы волновой функции. Расчет поверхностных (таммовских) состояний в подобных системах, в том числе и для данной геометрии задачи, может быть выполнен на основе уравнений, имеющих в обозначениях матричного формализма особенно наглядный и естественный вид. Наконец, в предположении конечности решетки идентичных барьеров, предложенная модель представляет собой один из простейших примеров учета влияния размерного квантования в кристаллических решетках малой протяженности.

Перспективным направлением дальнейших исследований может стать анализ динамического аналога модели Кронига - Пенни с зависящими от времени добавками к статическому потенциалу. В случае периодической зависимости потенциала от времени подобные системы могут быть исследованы в рамках теории Флоке [7].

к

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kronig, R. de L. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices [Text] / R. de L. Kronig, W. G. Penney // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.- 1931. - Vol. 130. -No. 814.- P. 499 - 513.

2. Бонч-Бруевич, В.Л. Физика полупроводников [Текст] / В.Л. Бонч-Бруевич, С.Г. Калашников. - М.: Наука, 1977. - 672 с.

3. Аверков, Ю.О. Влияние 8-образной квантовой ямы на границе одномерной решетки на свойства поверхностных электронных состояний таммовско-го типа [Текст] / Ю.О. Аверков, В.М. Яковенко //

Физика твердого тела. — 2012. — Т. 54. — Вып. 3. — С. 588 - 593.

4. Kottos, T. Transport properties of one-dimensional Kronig — Penney models with correlated disorder [Text] / T. Kottos, G.P. Tsironis, EM. Izrailev // J. Phys: Condens. Matter. — 1997. — Vol. 9. — P. 1777 — 1791.

5. Ossipov, A. Statistical properties of phases and delay times of the one-dimensional Anderson model with one open channel [Text] / A. Ossipov, T. Kottos, T. Geisel // Phys. Rev. B. — 2000. — Vol. 61. — No. 17. — P. 11411 —11415.

6. Ковалевский, Д.В. Электронные свойства модели Кронига — Пенни с полубесконечной решеткой случайных потенциальных барьеров [Текст] / Д.В. Ковалевский // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2011. —

№ 4. - C. 36 - 39.

7. Martinez, D.F. Transmission properties of the oscillating 8-function potential [Text] / D.F. Martinez, L.E. Reichl // Phys. Rev. B. - 2001. - Vol. 64. - P. 2453151 - 245315-9.

УДК 539.534.9

П.А. Карасёв, К.В. Карабешкин

ОСОБЕННОСТИ ОБРАЗОВАНИЯ ДЕФЕКТОВ В КРЕМНИИ ПРИ БОМБАРДИРОВКЕ МОЛЕКУЛЯРНЫМИ ИОНАМИ

Развитие интегральной электроники неразрывно связано с миниатюризацией элементов микросхем, основным материалом для которых служит кремний. Наиболее удобным способом создания р — п-переходов на кристалле является ионная имплантация, поскольку этот технологический этап позволяет с высокой точностью контролировать концентрацию и распределение внедренной примеси по глубине [1]. Однако дальнейшее технологическое развитие требует перехода к все меньшим и меньшим энергиям ионов, чего существующий парк имплантеров обеспечить не может. Одним из путей решения указанной проблемы является переход от облучения атомарными ионами к облучению молекулярными. Действительно, в этом случае энергия иона делится между составляющими его атомами пропорционально их массе и в расчете на атом удовлетворяет требованиям технологии.

Торможение ускоренных ионов всегда сопровождается образованием нарушений в структуре мишени. Исследование накопления и отжига дефектов в различных материалах продолжается уже более пятидесяти лет. К настоящему времени довольно хорошо изучено взаимодействие атомарных ионов с кристаллами. В то же время процессы и механизмы воздействия молекулярных и малых кластерных ионов на структуру мишени изучены слабо. Установлено, что при внедрении молекулы в приповерхност-

ной области возникает повышенное количество дефектов по сравнению со случаем внедрения соответствующего количества атомарных ионов [2 — 7] (молекулярный эффект, МЭ). Очевидно, что причиной МЭ является перекрытие каскадов, создаваемых атомами-компонентами молекулы. Предложено несколько механизмов возникновения МЭ.

Во-первых, это нелинейное (по сравнению с моделью парных столкновений) повышение эффективности генерации первичных точечных дефектов в ходе торможения компонентов молекулы [2, 3]. Соответственно, из большего количества простейших образуется и большая концентрация стабильных повреждений структуры. Подобное явление называется эффектом нелинейных энергетических пиков. Дополнительно для описания процессов, происходящих в кремнии, был предложен еще один каскадный механизм. Он предполагает спонтанный переход некоторого малого объема мишени в аморфное состояние при достижении в нем критической концентрации первичных смещений [4].

Во-вторых, после термализации каскада, к более быстрому росту разупорядочения может приводить повышение скорости связывания первичных дефектов в устойчивые [7]. Действительно, если эффективность процесса образования устойчивых нарушений нелинейно зависит от локальной концентрации простейших де-