ЭФФЕКТИВНЫЙ МОДОВЫЙ ОБЪЕМ И ОЦЕНКА МОЩНОСТИ ВЫХОДНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ГЕЛИЙ-НЕОНОВОГО ЛАЗЕРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

DOI: 10.18721/JPM.13410 УДК 621.373.8

ЭФФЕКТИВНЫЙ МОДОВЫЙ ОБЪЕМ И ОЦЕНКА МОЩНОСТИ ВЫХОДНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ГЕЛИЙ-НЕОНОВОГО ЛАЗЕРА

В.А. Кожевников, В.Е. Привалов, А.Э. Фотиади

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В статье на примере Не-№ лазера рассмотрена связь генерируемой мощности с модовым объемом основной моды резонатора типа плоскость — сфера. Предложен метод оценки мощности излучения газоразрядного лазера с произвольной формой поперечного сечения активного элемента, в основе которого лежит величина объема генерирующей моды. Показано, что результаты расчетов генерируемой мощности, проводимых на основе эффективного модового объема, учитывающего поперечное распределение инверсии населенностей активной среды, находятся в лучшем согласии с экспериментальными данными и результатами оценок, использующих другие методики.

Ключевые слова: эффективный модовый объем, инверсия населенностей, мощность гелий-неонового лазера, лазерное излучение

Ссылка при цитировании: Кожевников В.А., Привалов В.Е., Фотиади А.Э. Эффективный модовый объем и оценка мощности выходного излучения гелий-неонового лазера // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2020. Т. 13. № 4. С. 119-132. DOI: 10.Ш21/ТРМ.13410

Статья открытого доступа, распространяемая по лицензии СС BY-NC 4.0 (https://creative-commons.Org/licenses/by-nc/4.0/)

THE EFFECTIVE MODE VOLUME AND ESTIMATION OF HELIUM-NEON LASER OUTPUT POWER

V.A. Kozhevnikov, V.E. Privalov, A.E. Fotiadi

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russian Federation

The relationship between the generated power and the mode volume of the fundamental mode of a plane-sphere resonator is considered in the article exemplified a He-Ne laser. A novel technique based on the volume of the generating mode has been proposed to estimate the output radiation power of a gas-discharge laser with an arbitrary cross-sectional shape of an active element. It was shown that the results of calculations of the generated power, carried out on the basis of the effective mode volume, which took into account the transverse distribution of the population inversion of the active medium, were in better agreement with the experimental data and the results of estimates using other methods.

Keywords: mode volume, effective mode volume, population inversion, He-Ne laser power

Citation: Kozhevnikov V.A., Privalov V.E., Fotiadi A.E., The effective mode volume and estimation of helium-neon laser output power, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 13 (4) (2020) 119-132. DOI: 10.18721/JPM.13410

This is an open access article under the CC BY-NC 4.0 license (https://creativecommons.org/ licenses/by-nc/4.0/)

Введение

Широкое применение гелий-неонового лазера в настоящее время в метрологии (эталоны времени, частоты и длины), спектроскопии, промышленных и исследовательских задачах (лазерные интерферометры), обусловленное высочайшей когерентностью его излучения, делает крайне актуальной задачу поиска резервов повышения мощности излучения таких объектов. Исследования [1, 2] показывают, что изменение геометрии поперечного сечения разрядной трубки может привести к росту как коэффициента усиления, так и выходной мощности лазера.

В данном исследовании нами предложен и реализован метод оценки мощности газоразрядных лазеров, основанный на понятии эффективного модового объема генерирующей моды; предложенный метод учитывает поперечное распределение инверсии в активном элементе с произвольным поперечным сечением.

В данной работе мы ограничиваемся рассмотрением модового объема основной моды резонатора типа плоскость — сфера и цилиндрической геометрией лазерного активного элемента с различным поперечным распределением инверсии населенности. С этой целью используется понятие конфокального резонатора. Однако предварительный анализ применимости нашего метода для оценки уровня генерируемой мощности показал хорошие результаты и для других сечений.

Основные теоретические предпосылки

Напомним основные результаты, полученные в классических работах [3 — 7]. Для оптического резонатора с радиусами кривизны зеркал Я1 и Я2 и расстоянием между зеркалами d радиус кривизны соответствующего эквивалентного конфокального резонатора Я находится по формуле

Я = 2{й (Я -

1/2

где Я — радиус кривизны сферического зеркала.

В конфокальном резонаторе модуль электрического поля |Е| основной гауссовой моды ТЕМ00 в цилиндрических координатах (г, г, ф) имеет вид:

Е00 = Е0

х ехр

Я (1+Г)

(1)

где = 2г/Яе, к = 2гсД, а координата г отсчи-тывается от перемычки гауссового пучка (для резонатора плоскость — сфера она будет у плоского зеркала); Е0 — значение |Е00| при = = 1 и г = 0.

Поперечный размер генерируемой моды (радиус пучка wz в точке с координатой г) определяется значением координаты г до боковой поверхности модового объема, где напряженность электрического поля меньше таковой на оси, в данном поперечном сечении, в е раз:

2 2 W2 = Wo

^2 V Я У

2 ЯД Яе где ^0=^=-т.

2п к

Соответственно, радиус пучка на плоском зеркале w1 выражается как

=

4яЩ2П = {щ/ (2п)}

12

Я = {45 Я - 5)}

1/2

где 5 = d (Я2 - d)/(Я1 + Я2 - 2d).

Для резонатора плоскость — сфера (Я1 = го, Я2 = Я) отсюда получим следующее выражение:

а на сферическом w2 он будет в {Я/(Я — йТ)}1/2 раз больше.

Энергетической характеристикой основ -ной моды принято считать модовый объем (МУ) резонатора [6]:

х

2 п й

2п

МУ = 111 йфйгтйт, (2)

0 0 0

где у — радиус пучка;

Л

2 м

а2 = —

2

2 + 1п 2 - 1п

м2 к^

Я

е У

EMУ = | й ф| йг1 гйг

Я + —72

V ^ ^ у

Из формул (1) и для следует, что значения интенсивностей поля на оси у плоского и сферического зеркал не одинаковы, а различаются в {В/(В — d)}1/2 раз, и соответственно так же отличаются интенсивности на боковых границах модового объема у зеркал.

Мощность выходного излучения лазера определяется уровнем взаимодействия активного вещества в модовом объеме с полем, т. е. зависит как от распределения поля в модовом объеме генерирующей моды, так и от распределения в нем инверсии насе-ленностей активной среды ДЖ В первом приближении теории возмущений мощность индуцированного излучения можно считать пропорциональной произведению ^ДЖ

Одной из первых работ, где было обращено внимание на связь мощности излучения с распределением поля в генерирующей моде, была статья [8]. В ней был введен эффективный модовый объем, обозначенный как ЕМУ и ограниченный линиями равной интенсивности, соответствующей значению интенсивности поля на границе МУ, находящейся на сферическом зеркале.

Из формулы (1) и условия |Е| =£о / е2 можно получить уравнение границы модово-го объема ЕМУ. Это фигура вращения с сечением в виде круга радиуса а, зависящим от г:

(3)

1 2й 2й 4й3

+— arctg-----т

3 Я 3Я 9 Я

Хотя в работе [8] и считалось возможным влияние распределения инверсии населенно-стей активной среды на величину модового объема, но в самом определении модового объема ЕМУ это распределение не учитывалось.

В связи с вышеизложенным, в данной работе мы предлагаем новую величину для оценки выходной мощности излучения лазера, вводя новый эффективный модовый объем, учитывающий оба указанных факта.

Понятие нового эффективного модового объема

Определим новый эффективный модо-вый объем ^МУ) как тело, ограниченное поверхностью, где величина Щ2ДN спадает в е2 раз, по сравнению с величиной Е02ДN (ДN0 — инверсия населенностей на оси).

Иными словами, значение Е02ДN — это значение величины |£|2ДУ на оси на расстоянии В./2 от перемычки гауссового пучка, т. е. для полуконфокального резонатора это значение величины |£|2ДУ на оси у сферического зеркала.

Таким образом, для цилиндрической разрядной трубки с осевой симметрией инверсии населенностей, эффективный модовый объем NMУ является фигурой вращения, которая имеет сечение в виде круга радиуса р, зависящее от г:

2п

Тогда выражение для ЕМУ примет вид:

NMV = | й ф| йг | гйг;

(4)

2

р

0

при этом радиус р должен быть таким, что

АМ (р, 7 )| Е (р, 7 )|2 =АМ0 ЕЦ в2.

Пример оценки выходной мощности лазера

Рассмотрим для примера алгоритм оценки выходной мощности излучения гелий-неонового лазера. При оптимальном соотношении компонентов смеси и оптимальных разрядных условиях [9], разряд такого лазера можно считать диффузионным. Концентрация электронов пе в таком разряде удовлетворяет следующему диффузионному уравнению (однородное уравнение Гельмгольца):

Ап +—— п = Ап п =

в Ва т в в Л2 в

= Ап +Х2п„ = 0,

где Ба — коэффициент амбиполярной диффузии, т — время диффузионного ухода.

Распределение инверсии населенностей ДN в гелий-неоновом лазере можно считать (в первом приближении) подобным распределению электронов в активной среде. В указанных средах цилиндрической геометрии, радиальное распределение концентрации электронов, а следовательно, и инверсной заселенности ДN гелий-неоновой смеси, получаемое как решение диффузионного уравнения, имеет следующий вид [10 — 14]:

АМ = АМ0 J01

(й'Д/а),

фузионном разряде. Следовательно, можно приближенно считать, что и в этом случае распределение инверсии населенностей активной среды ДN для лазера удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

А(АМ ) + ^2АМ = 0

(5)

с однородным граничным условием

АМ| г= 0,

(6)

где Г — граница поперечного сечения активного элемента.

В статье [15] нами предложен метод нахождения приближенного решения уравнений (5), (6) для произвольной формы границы Г, обладающий небольшой вычислительной сложностью.

Суть предлагаемого метода оценки выходной мощности излучения лазера заключается в том, что эта мощность для лазера с произвольной геометрией поперечного сечения активного элемента также следует оценивать с помощью фазового объема NMV по следующей формуле:

р =ЯН Е\

№ё¥,

(7)

где а — радиус трубки; г — расстояние до оси; J0 — функция Бесселя нулевого порядка; ц1(0) — первый корень функции J0, ц1(0) = 2,4048.

В первом приближении и для нецилиндрической геометрии активного элемента, распределение инверсии населенностей ДN в рассматриваемом лазере можно полагать подобным распределению электронов в диф-

где 8 — соответствующий коэффициент пропорциональности.

При этом определение мощности состоит из следующих этапов:

расчет инверсии населенностей активной среды ДN путем решения уравнений (5), (6) (например, методом, предложенным в статье [15]);

нахождение границы эффективного мо-дового объема NMV;

непосредственное интегрирование по формуле (7).

Проверим возможности предложенного метода оценки мощности излучения на примере лазера с цилиндрической формой ак-

тивного элемента.

Для цилиндрической трубки несложно получить, с учетом явного вида ДЖ, что мо-довый объем NMV основной моды конфокального резонатора есть фигура вращения, которая имеет сечение, зависящее от г, в виде круга радиуса р, такого, что

{2 + ln2 - ln (w2k/R )-- 2r7 w2 + ln (J0 (ц°0r/a))}| = 0.

' ' r = P

(8)

Уравнение (8) можно решить численно и найти соответствующую функцию р(г).

Для дальнейших расчетов возьмем следующие параметры лазерной трубки, типичной для гелий-неонового лазера:

а = 2 мм, й = 55 см, X = 0,6328 мкм, Я изменяется от 0,6 до 4,0 м.

Функцию Бесселя представим в виде J0 (х)«1 - х74 + х764.

Зависимости функций р(г), а(г) и у(г) при В = 1,1 и 2,0 м приведены на рис. 1. Зависимости NMV, ЕМУ и МУ для разных значений В приведены на рис. 2, где по оси ординат отложен относительный модовый объем п, равный отношению фазовых объемов NMV, ЕМУ и МУ к полному объему трубки V = = пa2d. Видно, что объемы NMV и ЕМУ в целом (при В > 0,8 м) несколько превышают величину МУ и составляют единицы процентов от полного объема V.

Как отмечалось в статье [8], для оценки мощности излучения лазера с помощью мо-дового объема МУ, и при этом с частичным учетом инверсии населенности, можно использовать формулу

2п й V

р^ = | ЦвЕ2 Шйфйгтйт.

0 0 0

Рис. 1. Зависимости радиусов кругового сечения

разрядной трубки а (кривая 1), границы модового объема ЕМУ р (2) и пучка излучения у (3) гелий-неонового лазера от координаты г для значений кривизны зеркала В, м: 1,1 (а) и 2,0 (Ь); значения параметров лазерной трубки: а = 2 мм, d = 55 см, X = 0,6328 мкм

Рис. 2. Зависимости относительных модовых объемов n = EMV/V (1), NMV/V (2), MV/V (3) от кривизны зеркала R. Значения параметров лазерной трубки: а = 2 мм, d = 55 см, X = 0,6328 мкм

Полагая, что

(0)4

АМ = АМ0 J0 (ц(0)г/а)

+ (*-(* + 2 *2р2 + 2р4 )х 512а ^ 1 '

х ехр

и используя разложение функции Бесселя в виде

J 0 (х)«1 - х 74 + х 4/б4,

получаем:

р = 4пЕ02 АМ0в)1 - в"2

к

2

(0)2

24

а2

(1 - Зв-2 У

а2к (- 2а) +

^(0)4 (1 - 5в-2)

+----х

960

а5/2 (8а2 - 20 яа+15Я2)

(9)

Сравнение предлагаемого метода с традиционными

Величину (10) целесообразно сравнить с оценкой выходной мощности лазера при использовании фазового объема EMV и всего объема трубки V:

2п а а

Рему = { ЦвЕ2 АЖфйгтйт = а (я - а) х

а

к V я - а

При использовании предлагаемого в данной работе расчетного метода и понятия фазового объема NMV, выражение для мощности излучения лазера запишется следующим образом:

4лЕ2 АМ в

к

% (1 - ехр (-2а V)

х[ -^--—'—

J 4

0 I

(0)2

-"^Ч (*-( * + 2а2 )х 32а2 V V )

х ехр (-2а V *)) +

(11)

(0)4

(* -(* + 2*2а2 + 2а4)х 512а ^ ^ '

: ехр (-2а V *

2п а р

Рмму = | ЦвЕ 2АМа ^гёг ■■

0 0 0

= 4пЕ^0в 2л[0(Я-7) х

а [1 - ехр (-2р2/*) х <---- -

0 1 4

(0)2

- (*-(* + 2р2 )х

х ехр (-2р2/ *)) +

2п а а

(10)

Р = | ЦвЕ2 АМа ф07Г0Г

а (я - а) х

4тсЕ2АМ в

к

а (1 - ехр (-2а V)

х[ 07 -^---'-4

0 I

(0)2

(*-(* + 2а2 )х 32а2 V 1 '

х ехр (-2а2 / м>2)) +

(12)

(0)4

+ (V4-(V4 + 2 V2 а2 + 2а4):

512п V V /

х ехр

(-2п V V2))).

Результаты вычислений представленных величин приведены на рис. 3.

Видно, что оценки мощности лазера, полученные при помощи величин КМУ и ЕМУ, при распределении инверсии населенности, заданной функцией Бесселя, оказываются примерно одинаковыми. На рис. 3,Ь показан участок зависимостей РЕМУ/а и РкМу/а от В в

Ь)

Р. /а, т2

г '

0.14 0.13 0.12 0.11

2,3

0.9

1.0

1.1

1.2 Я т

Рис. 3. Сравнение зависимостей нормализованных величин выходной мощности

Р/а (1), Рему/а (2), PNмv/а (3) и Рму/а (4) гелий-неонового лазера от кривизны зеркала В, рассчитанных по формулам (9) — (12) (а); отдельно приведены данные расчета по формулам (10), (11) (Ь) — этот график увеличен для различения кривых 2 и 3; а = 4пЕ02 Ш0 в/к

большем масштабе, в окрестности значений В, соответствующих полуконфокальному резонатору.

Одной из причин введения эффективного модового объема в работе [8] было расхождение экспериментальных данных с расчетной оценкой мощности, при использовании величины МУ, по формуле (9); оказалось, что экспериментальные значения превышали расчетные примерно на 10 %.

Результаты, приведенные на рис. 3, показывают, что оценки мощности лазера с помощью КМУ и ЕМУ уже дают хорошее согласие с экспериментом.

Влияние различных факторов на мощность лазера

В экспериментах, описанных в статьях [16 — 19], наблюдалась связь между радиальным распределением инверсии населен-ностей ДЫ и выходной мощностью лазера: изменение ДЫ может менять мощность на величину порядка 10 %.

Радиальное распределение инверсии. Оценим влияние радиального распределения инверсии с помощью предлагаемого метода, рассчитывая значения мощностей без учета указанного распределения. Для получения таких значений следует в формулах (9) — (12) формально положить ц1(0) = 0. Результаты таких вычислений приведены на рис. 4. Видно, что как с учетом радиального распределения инверсии населенностей, так и без его учета, оценка мощности с помощью величин КМУ и ЕМУ дает несколько большие различия, чем с помощью МУ, что лучше согласуется с экспериментами. Тот результат, при котором максимальное отличие экспериментальных данных от расчетных получалось несколько большим, объясняется выбранным способом оценки, а именно: если ц1(0) = 0, то значение ДЫ остается постоянным по сечению; тогда как в эксперименте на оси может получаться и локальный минимум ДЫ [13], обусловленный определенным соотношением парциальных давлений гелия и неона. Очевидно, что наличие минимума даст большее различие в величине мощности, по сравнению с

Рис. 4. Сравнение зависимостей, аналогичных приведенным на рис. 3, но рассчитанных при условии = 0

а3 — дифракционные потери, а4 — прочие неучтенные потери. Перечисленные вклады в суммарный коэффициент а5 для лазера ЛГН-222 (г0 = = 1,5 мм, I = 2 м) можно оценить, используя значения, приведенные в работе [23]:

а1 = 310 3, а2 = 6-10Л а4 = 2-10-3.

Для оценки дифракционных потерь а3 целесообразно использовать асимптотическое представление обобщенных радиальных функций [24, 25] или эмпирическую коррекцию [26]:

оптимальным соотношением, когда величина AN описывается функцией Бесселя.

С другой стороны, мощность выходного излучения гелий-неонового лазера с цилиндрической трубкой можно оценивать по известной методике [20, 21], дающей отличное согласие с экспериментом. В соответствии с этой методикой, мощность излучения описывается следующей формулой:

а „„. =

Р = А^От

хтсш

1 -(а,/От )1/2 1- ехр (-2г02/ ^12)

где — коэффициент насыщения, = = 30 Вт/см2 [20, 21]; Gm — суммарный ненасыщенный коэффициент усиления в центре доплеровски уширенного контура усиления атомов неона, Gm = 3-10~41/(2г0) [20 — 22]; г0, I — радиус капилляра и длина активной части капилляра; аз — суммарный коэффициент потерь; w1 — радиус пучка на выходном зеркале, wl = {1Яе/(2п)}1/2.

Опишем на примере лазера ЛГН-222 вклады в суммарный коэффициент аз [23]:

а1 — потери на поглощение в каждом окне Брюстера параллельно расположенных активных элементов;

а2 — потери при отражении от зеркал резонатора,

2п( 4с - 4,52 )2 р+т+1 р!( р + т )!

-2с

(13)

где р,т — параметры моды (для основной гауссовой моды р = т = 0), с = (N — параметр Френеля).

Параметр Френеля для эквивалентного конфокального резонатора следует выражению

N = а,2 {ц, (1 - )/А }1/2/(и),

где а. — апертура резонатора; i, k — индексы половин резонатора, k = 1, 2; g. — параметр конфигурации резонатора, g. = 1 — d/Ri.

Сравнение мощностей, рассчитанных по формулам (10) и (13), представлено на рис. 5. Для наглядности значения Рмму/а и Р нормированы, с тем чтобы они совпадали для полуконфокального резонатора ^ = 2 м, R = = 4 м) (введен соответствующий нормировочный множитель у). Видно, что оценивание мощности лазера с помощью величины КМУ дает очень хорошее согласие с расчетом по формуле (13).

Случай высокой мощности лазера. Совсем другой вид зависимости должен получиться в случае высокой мощности лазера, когда возможны нелинейные эффекты. В этом случае предлагается оценивать мощность лазера Р1 по следующей формуле [27]:

Рис. 5. Сравнение зависимостей мощности гелий-неонового лазера, рассчитанных по традиционной методике, — Р/у (1), с полученной по предлагаемой методике — PNMV/а (2), от кривизны зеркала В (см. формулы (10) и (13)); значения параметров лазерной трубки: а = 1,5 мм, d = 2 м, X = 0,6328 мкм

рп1 = р у

г Г0

| Е2 АЫйУ

у_

| Е4 АЫйУ''

(14)

где Р0 — константа.

Найдем выражения для случаев высокой мощности, используя величины МУ, NMV, ЕМУ и полный объем V. Соответственно получим:

рп1 = р МУ ^МУ _ Г0

| Е2 АЫйУ

АУ_ _

| Е4АЫйУ~К

р

_ р МУ

(15)

+

(0)2

-Ь— (1 - 5е "4) й 128п2 v }

ц10)4 (1 - 13е"4)

6144п4 к > й2 (3Я - 2й)

+

^й (Я - й)

Далее,

рп = р

^ЫМУ Г0

| Е2ШйУ

ЫМУ

р

р 1 ЫМУ

| Е4 АЫйУ 0 К

(16)

1ММУ

ЫМУ

где РММУ описывается формулой (8), а знаменатель F1NMV рассчитывается по формуле

К

ШМУ

«

4пЕ02 А^0 8Е02й (Я - й) к к 1 - ехр (-4р2/ V2)

8^

(0)2

(V2-(V2 + 4р2):

128п2 V2

х ехр (-4р2/ V2))

+

+ ■

Ш

(0)4

4096п4 V

МУ

г(V4 -(V4 + 4w2р2 + 8р4): ехр (-4р2/ V2)).

где РМУ описывается формулой (7), а знаменатель F1MУ рассчитывается по формуле

К

4пЕ02 А^0 8Е02й (Я - й)

1МУ

/

х

V

к 1 "е-4 ,

к-аг^

16

й

(Я - й)

Аналогично,

| Е2 АЫйУ

рп1 = р ЕМУ ЕМУ Г0

=р

р

ЕМУ

| Е4 АЫйУ 0 К

(17)

1ЕМУ

ЕМУ

где РЕМУ описывается формулой (9), а знаменатель F1EMУ рассчитывается по формуле

F

1БМУ

а

4пЕ02№0 8E02а (R - а) k k 1 - ехр (-4а V )

8^2

(0)2

128а2 w2

х ехр

+

( 0)4

4096а4 w2

хехр(-4а2/

(w2 -(w2 + 4а2): (-4а2/ w2)) +

(w4 -(w4 + 4w2а2 + 8а4):

w

И наконец,

рп/ _ ГУ ~

Р01Е2 ANdV

V__

\ Е4 ANdV F1

Р Р

101 V

(18)

где Ру описывается формулой (10), а знаменатель FÍV рассчитывается по формуле

=

4пЕ02 AN0 8Е02а (Я - а)

и

1 - ехр (-4а Vw2)

V ( 0 )2

8w"

( w2-( w2 + 4а2)

128а2 w2

х ехр (-4а2 / w2))

+

+ ■

( 0 )4

4096а4 w2

х

(w4 -( w4 + 4w2а2 + 8а4): ехр (-4а V w2))).

Рис. 6. Сравнение зависимостей нормализованной высокой мощности гелий-неонового лазера, рассчитанных по разным методикам, от кривизны зеркала R (см. формулы (15) - (18)): Р^/Р (1), Пму/Р (2),

Р^му/Р (3), РМ/Р (4); Р = Р,/ Ее2.

Параметры лазерной трубки: а = 2 мм, d = 55 см, X = 0,6328 мкм

Рп/ /|3

/

2.4 2.0 1.6 1.2 0.8

2,3

4 R,rr^

Результаты расчетов по формулам (15) — (18) приведены на рис. 6 (в = Р0 / Е02).

Соотношения между РП/МУ/Р, Р"1кму/Р, Рп1у/в качественно примерно соответствуют таковым между Рму, Ркму и Р^ хотя зависи-

Рис. 7. Сравнение зависимостей, аналогичных приведенным на рис. 6, но рассчитанных при условии ц1(0) = 0

мости от величины R ведут себя иначе. Аналогично проведенным выше оценкам (см. рис. 4), интересно оценить влияние радиального распределения инверсии, анализируя значения мощностей без учета радиального распределения инверсии населенностей (положив ц1(0) = 0). Результаты соответствующих расчетов приведены на рис. 7. Видно, что полученные соотношения качественно примерно такие же.

Анализ полученных результатов позволяет утверждать, что применение величины мо-дового объема Кму при расчетах мощности

излучения гелий-неонового лазера приводит к лучшему согласию с экспериментальными данными, по сравнению с расчетными результатами, где применяется обычный модовый объем МУ. Значения, полученные на основе модовых объемов NMV и ЕМУ с учетом распределения инверсии населенности, на основе заданной функцией Бесселя (т. е. для цилиндрической разрядной трубки гелий-неонового лазера) примерно одинаковы, однако могут заметно различаться для других геометрий разрядной трубки. Различие обусловлено тем, что ЕМУ — это всегда фигура вращения (что следует из определения ЕМУ и формулы (1)), тогда как инверсия населенности при произвольной геометрии разрядного канала не обладает аксиальной симметрией, и, соответственно, модовый объем NMV тоже лишен указанной симметрии.

Заключение

Таким образом, нами предложен метод оценки мощности излучения Не-№ лазера с произвольной формой поперечного сечения активного элемента, который проверен

для случая цилиндрической геометрии и дает хорошее согласие с экспериментальными данными.

В настоящее время исследуются различные поперечные сечения активного элемента Не-№ лазера в поисках оптимального по выходной мощности. Предварительные расчеты мощности гелий-неонового лазера с использованием NMV для разрядных трубок с прямоугольным и эллиптическим сечениями показали, что полученные результаты хорошо согласуются как с экспериментальными данными, так и с расчетными результатами по коэффициентам усиления лазеров, обладающих такой геометрией [15]. Модовый объем NMV для этих поперечных сечений (в виде прямоугольника и эллипса) должен иметь эллиптическое сечение. При этом получение формул, аналогичных (13), для указанных поперечных сечений вызывает большие затруднения; если же использовать предложенный нами модовый объем NMV, то появляется возможность оценить значения выходной мощности гелий-неонового лазера вычислительно несложным методом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Привалов В.Е. Геометрия газового разряда и усиление излучения лазера // Известия вузов. Физика. 2010. Т. 53. № 5. С. 80-90.

2. Привалов В.Е. Некоторые перспективы развития газоразрядных лазеров // Известия вузов. Физика. 2013. Т. 56. № 2/2. С. 246-253.

3. Boyd G.D., Gordon J.P. Confocal multimode resonator for millimeter through optical wavelength masers // The Bell Systems Technical Journal. 1960. Vol. 40. No. 2. Pp. 489-508.

4. Boyd G.D., Kogelnik H. Generalized confo-cal resonator theory // The Bell Systems Technical Journal. 1962. Vol. 41. No. 4. Pp. 1347-1369.

5. Gordon J.P., Kogelnik H. Equivalence relations among spherical mirror optical resonators // The Bell Systems Technical Journal. 1964. Vol. 43. No. 6. Pp. 2873-2886.

6. Sinclair D.C. Choice of mirror curvatures for gas laser cavities // Applied Optics. 1964. Vol. 3.

No. 9. Pp. 1067-1072.

7. Kogelnik H., Li T. Laser beams and resonators // Applied Optics. 1966. Vol. 5. No. 10. Pp. 1550-1567.

8. Привалов В.Е. Модовый объем и мощность излучения лазера // Оптика и спектроскопия. 1970. Т. 28. № 3. С. 524-527.

9. Field R.L., Jr. Operating parameters of dc-excited He-Ne gas lasers // Review of Scientific Instruments. 1967. Vol. 3. No. 12. Pp. 1720-1722.

10. Tako T. Self-absorption of spectral line // Journal of the Physical Society of Japan. 1961. Vol. 15. No. 10. Pp. 2016-2032.

11. Bennett W.R., Jr. Excitation and inversion mechanisms in gas lasers // Annals New York Academy of Science. 1965. Vol. 122. No. 2. Pp. 579-595.

12. Привалов В.Е., Фридрихов С.А. Зависимость мощности излучения He-Ne лазера от геометрии сечения разрядного промежутка //

Журнал технической физики. 1968. Т. 38. № 12. С. 2080-2084.

13. Привалов В.Е., Фридрихов С.А. Кольцевой газовый лазер // Успехи физических наук. 1969. Т. 97. № 3. С. 377-402.

14. Herziger G., Holzapfel W., Seelig W. Verstärkung einer He-Ne-Gasentladung für die Laserwellenlänge X = 6328 AE // Zeitschrift für Physik. 1966. Bd. 189. Num. 4. S. 385-400.

15. Кожевников В.А., Привалов В.Е. Влияние геометрии сечения активного элемента лазера на усиление его излучения // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2018. Т. 11. № 2. С. 84-95.

16. Голубев Ю.М., Привалов В.Е. Некоторые характеристики He-Ne лазера, генерирующего одновременно 3,39 и 0,6328 мкм // Оптика и спектроскопия. 1967. Т. 22. № 3. С. 499-501.

17. Привалов В.Е., Ходовой В.А. Исследование свойств He-Ne-лазера с малым разрядным промежутком // Оптика и спектроскопия. 1968. Т. 25. № 2. С. 318-319.

18. Голубев Ю.М., Привалов В.Е., Фридрихов С.А., Ходовой В.А. О связи оптимального соотношения компонентов смеси в He-Ne лазере с распределением поля в резонаторе // Журнал технической физики. 1968. Т. 38. № 6. С. 1097-1100.

19. Голубев Ю.М., Привалов В.Е., Фридрихов С.А., Ходовой В.А. Об оптимальном соотношении компонент смеси в кольцевом

He-Ne лазере // Журнал технической физики. 1968. Т. 38. № 11. С. 1990-1993.

20. Smith P.W. The output power of a 6328-A He-Ne gas laser // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1966. Vol. 2. No. 3. Pp. 62-68.

21. Petru F., Vesela Z. The output power of a 633 nm He-Ne lasers // Optical and Quantum Electronics. 1972. Vol. 4. No. 1. Pp. 1-20.

22. Li Y., Chen M., Li Z., Liu J., Guo J., Yang Y. Study of performance of a He-Ne laser having an annular gain zone // Applied Optics. 2007. Vol. 46. No. 4. Pp. 591-601.

23. Липский В.В., Привалов В.Е. Расчет параметров генерации мощного He-Ne лазера на I = 0,63 ^m // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. № 14. С. 57-61.

24. Slepian D., Pollak H.O. Prolate spheroidal wave functions. Fourier analysis and uncertainty. I. // The Bell Systems Technical Journal. 1961. Vol. 40. No. 1. Pp. 65-84.

25. Slepian D. Prolate spheroidal wave functions. Fourier analysis and uncertainty. IV: Extensions to many dimensions; generalized prolate spheroidal functions // The Bell Systems Technical Journal. 1964. Vol. 43. No. 6. Pp. 3009-3057.

26. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы: некоторые вопросы теории и расчета. М.: Советское Радио, 1980, 208 с.

27. Зейгер С.Г., Фрадкин Э.Е. Взаимодействие поперечных мод в лазерах // Физика газовых лазеров. Сб. статей. Ленинград: Изд-во Ленинградского гос. ун-та, 1969. С. 55-59.

Статья поступила в редакцию 05.10.2020, принята к публикации 20.10.2020.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

КОЖЕВНИКОВ Вадим Андреевич — старший преподаватель кафедры физики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация. 195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 [email protected]

ПРИВАЛОВ Вадим Евгеньевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация.

195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 [email protected]

ФОТИАДИ Александр Эпаминондович — доктор физико-математических наук, профессор Высшей инженерно-физической школы Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация.

195251, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 [email protected]

REFERENCES

1. Privalov V.E., Gas-discharge geometry and studies in laser emission, Russian Physics Journal. 53 (5) (2010) 80-90.

2. Privalov V.E., Some prospects for the development of gas-discharge lasers, Russian Physics Journal. 56 (2-2) (2013) 246-253.

3. Boyd G.D., Gordon J.P., Confocal multimode resonator for millimeter through optical wavelength masers, The Bell Systems Technical Journal. 40 (2) (1960) 489-508.

4. Boyd G.D., Kogelnik H., Generalized con-focal resonator theory, The Bell Systems Technical Journal. 41 (4) (1962) 1347-1369.

5. Gordon J.P., Kogelnik H., Equivalence relations among spherical mirror optical resonators, The Bell Systems Technical Journal. 43 (6) (1964) 2873-2886.

6. Sinclair D.C., Choice of mirror curvatures for gas laser cavities, Applied Optics. 3 (9) (1964) 1067-1072.

7. Kogelnik H., Li T., Laser beams and resonators, Applied Optics. 5 (10) (1966) 1550-1567.

8. Privalov V.E., Mode volume and radiation power of a laser, Optics and Spectroscopy. 28 (3) (1970) 524-527.

9. Field R.L., Jr., Operating parameters of dc-excited He-Ne gas lasers, Review of Scientific Instruments. 3 (12) (1967) 1720-1722.

10. Tako T., Self-absorption of spectral line, Journal of the Physical Society of Japan. 15 (10) (1961) 2016-2032.

11. Bennett W.R., Jr., Excitation and inversion mechanisms in gas lasers, Annals New York Academy of Science. 122 (2) (1965) 579-595.

12. Privalov V.E., Fridrikhov S.A., Zavisi-most moshchnosti izlucheniya He-Ne lazera ot ge-ometrii secheniya razryadnogo promezhutka [The radiation power of He-Ne laser as a function of a cross-section geometry of a discharge gap], Technical Physics. 38 (12) (1968) 2080-2084 (in Russian).

13. Privalov V.E., Fridrikhov S.A., The ring gas laser, Soviet Physics, Uspekhi. 12 (3) (1969) 153-167.

14. Herziger G., Holzapfel W., Seelig W., Verstärkung einer He-Ne-Gasentladung für die Laserwellenlänge X = 6328 AE, Zeitschrift für Physik. 189 (4) (1966) 385-400.

15. Kozhevnikov V.A., Privalov V.E., The geometrical effect of an active element cross-section on the laser gain, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Physics and Mathematics. 11 (2) (2018) 84-95.

16. Golubev Yu.M., Privalov V.E., Nekotoryye kharakteristiki He-Ne lazera, generiruyushchego odnovremenno 3.39 i 0.6328 mkm [Some characteristics of a He-Ne laser generating 3.39 and 0.6328 ^m simultaneously], Optics and Spectroscopy. 22 (3) (1967) 499-501 (in Russian).

17. Privalov V.E., Khodovoy V.A., Issledo-vaniye svoystv He-Ne-lazera s malym razryadnym promezhutkom [An investigation of properties of a He-Ne laser with a small discharge gap], Optics and Spectroscopy. 25 (2) (1968) 318-319 (in Russian).

18. Golubev Yu.M., Privalov V.E., Fridrikhov S.A., Khodovoy V.A., O svyazi optimalnogo sootnosheniya komponentov smesi v He-Ne lazere s raspredeleniyem polya v rezonatore [On the relation between an optimal ratio of mixture and a resonator's field distribution in the He-Ne laser], Technical Physics. 38 (6) (1968) 1997-1100 (in Russian).

19. Golubev Yu.M., Privalov V.E., Fridrikhov S.A., Khodovoy V.A., Ob optimalnom sootnosh-enii komponent smesi v koltsevom He-Ne lazere [On the optimal ratio of mixture in the ring He-Ne laser], Technical Physics. 38 (11) (1968) 1990-1993 (in Russian).

20. Smith P.W., The output power of a 6328-Ä He-Ne gas laser, IEEE Journal of Quantum Electronics. 2 (3) (1966) 62-68.

21. Petru F., Vesela Z., The output power of a 633 nm He-Ne lasers, Optical and Quantum Electronics. 4 (1) (1972) 1-20.

22. Li Y., Chen M., Li Z., et al., Study of performance of a He-Ne laser having an annular gain zone, Applied Optics. 46 (4) (2007) 591-601.

23. Lipskii V.V., Privalov V.E., Calculating parameters of high-power He-Ne lasers operating at X = 0.63 ^m, Technical Physics Letters. 31 (7) (2005) 608-610.

24. Slepian D., Pollak H.O., Prolate spheroidal wave functions. Fourier analysis and uncertainty. I., The Bell Systems Technical Journal. 40 (1) (1961) 65-84.

25. Slepian D., Prolate spheroidal wave func-

tions. Fourier analysis and uncertainty. IV: Extensions to many dimensions; generalized prolate spheroidal functions, The Bell Systems Technical Journal. 43 (6) (1964) 3009-3057.

26. Ishchenko E.F., Otkrytyye opticheskiye rezonatory: Nekotoryye voprosy teorii i rascheta [Open optical resonators: some issues of theory and calculations], Sovetskoye Radio, Moscow, 1980 (in Russian).

27. Zeiger S.G., Fradkin E.E., Vzaimodeistvi-ye poperechnykh mod [Transverse mode coupling], In "Fizuka gazovykh lazerov" ["The physics of gas lazers", the collected book], Leningrad State University Publishing, Leningrad, (1969) 55-59 (in Russian).

Received 05.10.2020, accepted 20.10.2020.

THE AUTHORS

KOZHEVNIKOV Vadim A.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation

[email protected]

PRIVALOV Vadim E.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation

[email protected]

FOTIADI Alexandr E.

Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University

29 Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russian Federation

[email protected]

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2020