CC BY
39
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
ЭФФЕКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
А. С. ВАСИН, кандидат экономических наук Орловский государственный технический университет
Предприятиям приходится вести экспортно-импортные операции как по реализации собственной продукции, так и по закупке комплектующих агрегатов и изделий. Эти операции сопряжены с риском, связанным с колебаниями курсов валют и сезонностью спроса. Ограниченность валютных резервов предприятий приводит к необходимости рационального планирования валютных средств. В современных условиях при совершении торговых сделок с зарубежными партнерами предприятие может использовать несколько иностранных валют, курсы которых непрерывно изменяются во времени, что определяет эффективность сделок. В связи с этим возникает необходимость разработки математической модели планирования валютной стратегии предприятия, которая обеспечила бы оптимальное соотношение между вкладами в различные валюты с учетом сезонного спроса на продукцию экспорта/импорта в целях обеспечения положительного валютного баланса предприятия при ограничениях на расходование валютных средств.
Будем рассматривать математическую модель внешнеэкономической деятельности предприятия, исходя из следующих допущений:
— предприятие может осуществлять вклады и планировать доходы одновременно во все анализируемые валюты;
— средства, выделяемые на импортные операции по сезонам, ограничены валютными запасами предприятия (как собственными, так и централизованного распределения);
— остатки денежных средств не могут быть перенесены на следующие периоды;
—расчеты между контрагентами могут производиться в долларах США, евро и японской иене, что соответствует утверждению о формировании трехвалютного стандарта.
Рассматриваемая задача содержит элементы неопределенности, поэтому для ее решения будут использованы методы теории игр. В теории игр исходные данные представляются в виде платежной матрицы. Применительно к рассматриваемой задаче платежная матрица содержит в себе доходы предприятия по видам валют и сезонам при анализе задач экспорта и его расходы при анализе задач импорта. Примем, что столбцы платежной матрицы соответствуют валютам, а строки - периодам контракта. Тогда каждый ее элемент, стоящий на пересечении /-й строки и ^-го столбца, должен вычисляться на основании следующих исходных данных: плана продаж/покупок по периодам контракта, отражающих сезонный спрос/предложение на рынке на определенный вид продукции; договорных цен на продукцию по валютам и периодам
контракта; прогнозируемых курсов иностранных валют по периодам контракта. Тогда
а„ = , (тыс. руб). (1)
Здесь ТУ- — план экспорта/импорта единиц продкции (шт., тит. п.); Ц„— цена на единицу продукции в единицах иностранной валюты; к— курс иностранной валюты.
Если первые две величины определяются на основании маркетинговых исследований, то курс иностранной валюты определяется на основании изучения трендов курсов за период, предшествующий заключению контракта. В дальнейшем будем считать, что прогноз цен продукции по периодам контракта известен.
Неопределенность является характеристикой внешней среды, в которой принимается решение об управлении предприятием. Под внешней средой здесь следует понимать конечное множество состояний, описываемое платежной матрицей, или планов предприятия. Реализация плана ^.означает, что предприятие в периоду принимает решение о экспорте/импорте ЛГ. продукции по цене //^.единиц у'-й валюты и рассчитывает получить доход (или израсходовать средства), количество которых определяется формулой (1). Часто вместо платежной матрицы рассматривают матрицу рисков, элементы которой можно рассматривать как меру несоответствия между возможными результатами принятия определенных стратегий. Для операций экспорта, когда платежная матрица представляет собой матрицу выигрышей (доходов, полезностей), элементы матрицы рисков определяются по формуле:
(2)
ге=тяхау-аи ,
Р = {ри р2, ..., р„}, Ха=1'
1
а контрагентом — у'-й стратегии:
т
(4)
(5)
к=1
При экспорте предприятие выбирает стратегию, максимизирующую наименьший ожидаемый выигрыш по столбцам, а контрагент — стратегию, минимизирующую наибольший ожидаемый проигрыш по столбцам. Для оптимальных стратегий Ри (2эти величины равны, что определяется теоремой фон-Неймана о минимаксе:
п ГЦ
(6)
/=1 )=\
Последнее выражение дает цену игры, определя -ющую проигрыш одного игрока и выигрыш другого. Отступление игрока от оптимальной стратегии приводит к уменьшению его выигрыша (при экспорте) или увеличению проигрыша (при импорте). Решение игры в смешанных стратегиях находят путем сведения к задаче линейного программирования.
Пусть задана платежная матрица размером тхп, определяющая выигрыши одного игрока. Цена игры может быть определена в виде:
М = шш
т щ т
IXРн IX-1Хл
Ы /=1 1=1
(7)
при решении задачи импорта, когда платежная матрица есть матрица затрат —
Ги ~ а0 ~ т,'П аи • (3)
Непосредственный анализ матрицы рисков или платежной матрицы позволяет принять решение только в случае, если имеется так называемая доминирующая стратегия, которая гарантирует максимальный выигрыш (или минимальный проигрыш) при любых состояниях внешней среды с помощью различных критериев (Валь-да, Гурвица, Сэвиджа и др. [3, 4]). Применение этих критериев предполагает, что минимальная и максимальная цены игры равны (игра имеет седловую точку [3, 5]).
Для игры без седловой точки следует искать так называемую смешанную стратегию, которая представляет собой вектор, составленный из вероятностей выбора предприятием /'-й стратегии:
Так как при оптимальной стратегии средний выигрыш не меньше цены игры, то справедлива система неравенств:
аир,+а21р2+...+ат1рт>М;
апр{+апр2+...+ат2рт>М;
(о)
Задача линейного программирования для этого игрока может быть сформулирована так: максимизировать цену игры М при выполнении ограничений (4), (5) и (8), при этом цена игры заранее неизвестна. Введем новые переменные
Р>
Х: =■
м
(9)
и разделим ограничения на цену игры. Из (4) получим:
„ 1
а из (8) -
М
= 1Х ,
к=1
1Хл ^1 •
(Ю) (И)
*=1
В связи с тем, что /и/^соответствует тахМ, задача линейного программирования формулируется так: найти минимум линейной целевой функции Z (10) при ограничениях — неравенствах (11). Для решения таких задач применяется симплекс-метод [1, 2, 5]. Приведем его матричную формулировку как наиболее удобную в реализации.
Пусть сформулирована одна из задач линейного программирования, т. е. известна платежная матрица, вектор ограничений и коэффициенты целевой функции:
А0*0 < b, сТх0 max или
А0х0 > b, сгх0 —> max
(12)
при естественных ограничениях 0. Знаки ограничений могут быть смешанными в пределах одной задачи, т. е. среди них могут быть ограничения типа > и < одновременно. Приведем ограничения-неравенства к равенствам, добавляя в каждое из них неотрицательную переменную хт+р /— 1, 2, ...,л для ограничений типа < или вычитая такую же переменную для ограничений типа>. Такие переменные образуют вектор выравнивающих переменных хе. Таким образом, система ограничений в (12) сводится к системе линейных алгебраических уравнений неполного ранга. Вводя расширенный вектор неизвестных х, запишем эту систему в каноническом виде:
[А0;1]|*°| = А* = А.
(13)
Здесь I — единичная матрица, содержащая на главной диагонали коэффициенты ±1. Если ранг расширенной матрицы системы (13) равен рангу матрицы А и одновременно количеству ограничений, то система имеет хотя бы одно решение; в случае, когда ранг матрицы меньше количества ограничений, то система избыточна, часть ограничений линейно зависимы и их можно исключить через другие; если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы, то система ограничений несовместна.
Среди т+п переменных (компонент вектора х) выделим т базисных и п свободных переменных и выразим базисные переменные через свободные следующим образом: вектор х произвольно разобьем на две части — хь и х^ из столбцов матрицы А, соответствующих хь, образуем матрицу Аь, а из остальных — матрицу А^ тогда базисные переменные примут вид:
хь=А;1ф-А,х,}. (14)
При этом матрица Ль должна быть невырожденной. Полученный результат при х^=0 должен
удовлетворять естественным ограничениям, т.е. хь>0. Предположим, что это условие выполняется. Так как в число базисных переменных могут входить и основные переменные, и выравнивающие, то следует преобразовать выражение для целевой функции, исключая из него основные неизвестные, которые попали в число базисных. При этом однородное выражение целевой функции может получить свободный член. Так как все входящие в это выражение переменные — свободные, то их значения следует принять нулевыми, а целевая функция примет значение, равное своему свободному члену.
Теперь определим, может ли быть это решение улучшено. Для этого проанализируем значения коэффициентов целевой функции. Если при решении задачи минимизации все коэффициенты при свободных переменных положительны, то решение не может быть улучшено, и полученные значения основных и базисных переменных дают оптимальное решение. В противном случае та переменная, которая имеет наибольший по модулю отрицательный коэффициент, переводится в базисные. Аналогично поступают и при решении задачи максимизации, только в базисные переводится переменная с наибольшим положительным коэффициентом.
Далее следует проанализировать коэффициенты при выбранной переменной в выражении (14). В свободные переменные переводится та из базисных, для которой отношение свободного члена к коэффициенту при выбранной свободной переменной будет наименьшим. После этого производится перекомпоновка матриц А^, Ар векторов хь и ХрИ вычисления повторяются, до тех пор пока не будет найдено оптимальное решение. Стратегия контрагента определяется решением двойственной задачи [5].
Отметим, что на каждом шаге возможно появление недопустимого решения. Это говорит о том, что начальное разделение на основные и базисные переменные неудачно и следует начать поиск оптимального решения с нового разбиения. Для автоматизации этого процесса алгоритм симплекс-метода следует дополнить алгоритмом перебора допустимых сочетаний свободных и базисных переменных. С этой целью заметим, что для т+п переменных номера их в списках свободных и базисных переменных не повторяются; поэтому нетрудно записать все допустимые бесповторные перестановки по т номеров из т+п номеров, что легко достигается с помощью элементарных комбинаторных алгоритмов.
Каждый такой набор определяет начальный выбор свободных и базисных переменных. Тогда решение задачи линейного программирования можно определить следующим алгоритмом.
1. Задача приводится к канонической форме, т.е. составляется матрица А.
2. Проверяется существование решения по рангу А и расширенной матрицы [А,А]. Если система несовместна или избыточна, решение прекращается.
3. Составляются списки допустимых сочетаний свободных и базисных переменных.
4. В цикле из этих списков выбирается один элемент, т.е. определяется начальное сочетание базисных и свободных переменных.
5. Производится решение задачи линейного программирования симплекс-методом.
6. Если найдено оптимальное решение, то вычисления заканчиваются. В противном случае из списков базисных и свободных переменных выбирается следующий элемент и повторяется п.5.
Таким образом, сформулированный вариант можно интерпретировать как сочетание наиболее
надежного метода полного перебора и симплекс-метода, отличающегося удобством для автоматизированных расчетов. Он полностью исключает вмешательство человека и тем самым может служить основой для разработки программных комплексов планирования внешнеэкономической деятельности предприятия.
Литература
1. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. — М.: Финансы и статистика, 1986,- 133 с.
2. Мейндональд Дж. Вычислительные алгоритмы в прикладной статистике. — М.: Финансы и статистика, 1988. — 350 с.
3. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. - М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999.-527 с.
4. Экономическая статистика.Учебникпод ред. Ю.Н. Иванова. - М.: ИНФРА-М, 1999. -480 с.
5. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. — М.: Мир, 1964.-838 с.
Внимание!
Открыта подписка на II полугодие 2005 года Подписка в любом отделении связи
Индексы по каталогу агентства "Роспечать"
Индексы по объединенному каталогу "Пресса России"
Финансы и кредит 71222 45029
Дайджест-Финансы 71221 40787
Бухгалтер и закон 47697 83846
Всё для бухгалтера 72007 45305
Бухгалтерский учет в издательстве 47698 27824
и полиграфии
Бухгалтерский учет в бюджетных и 47699 29614
некоммерческих организациях
Международный бухгалтерский учет 48997 83847
Экономический анализ: теория и практика 81287 83874
Региональная экономика: теория и практика 82327 15089
Национальные интересы: приоритеты 46573 12926
и безопасность
Тел./факс: 237-8657, 237-8659.959-6979
http://www.financepress.ru е-плаП: [email protected]
