CC BY
16полученного в результате применения метода усреднения и линеаризации. Найдем явное выражение критической угловой скорости колесной пары и*. Имеем
и
__тд [(1 - ki) cos (3+ bl 1 tg /3]
~ k2 [l~l{Aki - В) sin(3 + mr( 1 - kx)2 cos (3] '
Критическая угловая скорость определяется геометрическими параметрами конструкции колеса и рельса, а также радиусами инерции колесной пары рг, р2 (А = тр1, В = тр2,). Упругая податливость в зоне контакта колеса с рельсом не влияет на характер устойчивости прямолинейного движения, а обусловливает величину производной от амплитуды боковых колебаний центра масс колесной пары. Значение величины упругой податливости, обратно пропорциональной величине жесткости в зоне контакта колеса и рельса, может быть получено на основе эксперимента или численного расчета контактной задачи теории упругости. Согласно второму уравнению усредненной системы, фаза колебаний точек контакта в возмущенном движении не изменяется.
Замечание. Полученные результаты справедливы для углов @ > 0, так как при в = 0 поверхности колес становятся цилиндрическими, угол в = 0, а угол ф при любом движении постоянен. В этом случае центр масс колесной пары движется по прямой с постоянной скоростью, если момент внешних сил относительно центра масс колесной пары отсутствует.
В качестве примера рассмотрим следующие числовые значения параметров [2]: г = 0,5 м, I = 0,84 м, Ь = 0,3 м, в = 0,17 рад, т = 1300 кг, А = 825 кг-м2, В = 75 кг-м2. Тогда
кг = 0,102; ^ = 1,06; и* = 4,68 с"1 ^ V* = ги* = 2,34 м/с.
Если принять, что величина вертикальной нагрузки, действующей на колесную пару, в девять раз превосходит ее вес, то критическая скорость увеличится в три раза и будет равна 7,02 м/с.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 07-01-00134, 08-08-00553, 08-01-00600).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.
2. Slivsgaard Б.С. On the Interaction between Wheels and Rails in Railway Dynamics. Lyngby, Denmark, 1995.
3. Carter F.W. On the Stability of Running of Locomotives // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1928. 121. 585-611.
4. Rocard Y. L'instabilite en mecanique. Automobiles. Avions. Ponts suspendus. Paris: Masson, 1954 (пер. с фр.: Рокар И. Неустойчивость в механике. Автомобили. Самолеты. Висячие мосты. М.: ИЛ, 1959).
5. Kalker J.J. Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1990.
Поступила в редакцию 20.11.2007
УДК 539.3
ЭФФЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ ИЗ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА
Л. В. Олехова1
В работе рассмотрена проблема отыскания эффективных характеристик в задаче о чистом кручении прямолинейного стержня. Задача сводится к определению функции напряжений при кручении, которая находится из решения краевой задачи в поперечном сечении для уравнения с частными производными с переменными коэффициентами. Для
1 Олехова Любовь Владимировна — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
отыскания эффективных характеристик формулируются две специальные краевые задачи. Показано, что эффективные коэффициенты в случае кручения неоднородного по толщине слоя взаимно обратны. В двумерном случае задача решается методом конечных элементов. Рассмотрены случаи квадратного стержня с одним и несколькими включениями. Приведены зависимости эффективных характеристик от объемной доли включения.
Ключевые слова: эффективные характеристики, кручение стержня, композиционный материал, функция напряжений.
The problem of finding the effective characteristics of a rectilinear beam under pure torsion is considered. The problem is reduced to finding the torsional stress function determined from the solution of a boundary-value problem in the cross section of the beam for a partial differential equation with variable coefficients. Two special boundary-value problems are formulated to find the effective characteristics. It is shown that the effective coefficients are reciprocal in the case of torsion of a layer with nonuniform thickness. In the two-dimensional case, the problem is solved by a finite element method. The cases of a square beam with single and multiple inclusions are discussed. The dependence of the effective characteristics on the inclusion's volume fraction is analyzed.
Key words: effective characteristics, beam torsion, composite material, stress function.
Рассматривается чистое кручение призматического стержня постоянного по длине сечения. Один торец стержня закреплен, а на другом усилия приводятся к скручивающему моменту. Предполагается, что материал стержня упругий, анизотропный и неоднородный в поперечном сечении, обладает перпендикулярной к оси стержня плоскостью упругой симметрии. В настоящей работе рассматривается задача вычисления эффективных свойств стержня при кручении.
1. Постановка задачи. Направим ось Хз декартовой системы координат 0x1x2x3 по оси стержня, проходящей через центры тяжести всех сечений. Оси xI расположим в плоскости левого закрепленного торца. Здесь и далее большие латинские индексы принимают значения 1, 2, а малые — значения 1, 2, 3.
При принятых ограничениях на анизотропию и в случае односвязного поперечного сечения задача о чистом кручении сводится к следующей краевой задаче в области поперечного сечения [1, 2]:
(PijФ,j)i = -2 при х е F; ф\г =0, (1)
где F — область поперечного сечения, Г — граница сечения, ф — функция напряжений при кручении.
Коэффициенты bIJ = bJI являются функциями координат точек поперечного сечения и связаны с компонентами JI3J3(xi,x2) тензора податливостей материала стержня:
, . j /т\_| J1313 J1323 \
bIJ = 4 €IK €JLJKL , (JKL) = I J J I •
\J2313 J2323 J
Здесь eIK — двумерные символы Леви-Чивиты [3]. Напряжения при кручении имеют вид u3J = §eJK ф K. Константа § представляет собой относительный угол закручивания сечений стержня вокруг оси Хз и определяется по формуле § = M/D, где M — заданный крутящий момент, а D — жесткость стержня при кручении:
D = 2 J ф dF = J bIJф, Iф:J dF > 0
F F
в силу положительной определенности коэффициентов bIJ.
Если коэффициенты bIJ разрывны, то предполагается, что на поверхностях разрыва выполнены условия идеального контакта для напряжений и перемещений. В этом случае уравнение (1) понимается в обобщенном смысле [4, 5].
2. Эффективные характеристики при кручении. Для левой части уравнения (1) рассмотрим краевую задачу вида
Qii =0, Qi = bij(x)nj, nj = фj; ф\г = YiVi, Yi = const (x e F y е Г)• (2)
Назовем эту задачу первой специальной краевой задачей (СКЗ) [6]. Очевидно, что в этом случае (nJ) = YJ, где угловые скобки обозначают среднее значение функции в области F. Наряду с первой СКЗ в
16 ВМУ, математика, механика, №2
механике композитов рассматривается вторая СКЗ, в которой, в отличие от задачи (2), граничные условия имеют вид
qinI |г = XInI, XI = const.
Во второй СКЗ (qi ) = XI.
Следуя [7], величины bIJ и аи назовем эффективными коэффициентами. В случае первой СКЗ имеем {qi ) = bIJ {nJ) = bIJyj , а в случае второй СКЗ
{YI ) = {qJ ) = аи Xj . (3)
Эффективные коэффициенты симметричны и положительно определены. Их можно выразить через функцию Грина соответствующей краевой задачи [8-10]. Решение первой СКЗ может быть представлено в виде ф(х) = [хК + NK (ж)] YK ■ Отсюда и из уравнений (2) первой СКЗ вытекает краевая задача для N-функций:
{biK + bijNKДI = 0, NK |г = 0, (4)
решив которую, эффективные коэффициенты bIK можно найти по формуле
bIK = {bIK + bIJ NK ,j) = 4 ^IP ^KQ{ JPQ + JPM NQ , M) = 4 ^IP ^KQ JPQ.
Тогда JPQ = JPQ + JPM NQ M M) .
Для второй СКЗ имеет место следующее представление:
QI = №к + €IM LK, M )XK ^ €IM LK, M ni |г = 0, Vl = bILQL = (aiK + €LM aILLK , M )XK ■
Здесь aIJ — симметричная матрица коэффициентов, обратная к матрице bIJ:
аи — bu ~ 7 е1кел,Скь, (CKL) — (JKL) 1. (5)
Уравнения для L-функций следуют из условия разрешимости уравнений ф I = nI относительно функции ф. Это условие имеет вид (см. [11, с. 51]) eIJnI J =0. Отсюда получаем
eiJ (а1К + eLM aiLLK , M) ,J = 0, LK |г = 0- (6)
Однородное граничное условие для L-функций следует из того, что
I г I dLK I I
е1М^К,МП1 |г = е1М^К,Ме1Ь~^Г\г = lr = ^ = const.
В случае односвязной области константу можно положить равной нулю. N - и L-функции определяются только функциональной зависимостью тензоров b и а от координат и обращаются в нуль для однородного материала. Если в (6) подставить коэффициенты aIJ, выраженные через CIJ по формуле (5), то задачу (6) легко можно преобразовать к виду
{СиК + CijLK J), I =0, LK |г =0. (7)
Положим далее LK = eKSN*, тогда для новых функций из (7) получим краевую задачу, аналогичную задаче (4), только с другими коэффициентами:
{CIK + CIJ NK ,J ) I I =0, =°-
Решив задачу (6), найдем L-функции, а затем по формуле (3) вычислим эффективные величины aIK:
а1К ~ (а1К е]Маи^К,м') ~ ^-IP^KQ^P PQ ^ ^РМ-^д) ~~
Отсюда получим Cpq = (Cpq + CpmNQ M).
В изотропном случае Ьи = 0и/О(х), аи = 0и О(х), С1Л = 4 0и О(х), где О — переменный по сечению модуль сдвига материала стержня. Уравнения для N и N*-функций примут вид
а эффективные характеристики будут определяться по формулам
(8)
Ътг = ( £ й1к + ^
а1К = (00ш + ОеШ ^К,М /
е1Ы еКв\О0БМ + М /
(9)
Таким образом, для вычисления эффективных характеристик при кручении стержня из композиционного материала с изотропными включениями необходимо решить первое из уравнений (8) с прямыми и обратными коэффициентами. Из этих двух решений определяются N К- и N К-функции. После этого по формулам (9) находятся два типа эффективных характеристик, и вовсе не очевидно, что они взаимно обратны.
В случае кручения бесконечного по хг и неоднородного по Х2 слоя N-функции зависят от Х2. Уравнения (8) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые легко решаются, и для производных от N-функций имеем
Ж* (Х2) =
_I__1 ) $
О(Х2) < 1/О > 1 I0К2
Подставив эти функции в выражения (9), найдем эффективные коэффициенты Ьи и аи:
(Ьи) =
'(1/О =) 0 '
, 0 1/(О)/
(аи ) =
1/(1/О) 0
0
(О)
Отсюда видно, что эффективные коэффициенты в случае кручения неоднородного по толщине слоя взаимно обратны. Угловые скобки обозначают среднее значение функции по толщине слоя.
В двумерном случае уравнения (8) решаются численно.
3. Применение метода конечных элементов для расчета эффективных свойств. Рассмотрим квадратный стержень из изотропного материала с одним, четырьмя, девятью и шестнадцатью квадратными включениями из другого изотропного материала (рис. 1).
х2 1 х2' 1 х2' 1 х2 1
□ □ □ С 1 П □ □ □ □
□ □ □ □
-I 1 х* -1 □ □ 1 х* -1 I X* -1 □ □ п □ 1 х*
□ [ ) □ О □ □ п
-[ -1 -[ -]
Рис. 1. Квадратный стержень с квадратными включениями
Объемная доля включений во всех четырех случаях оставалась одинаковой. Матрицу свойств материала обозначим через Ьм, а матрицу свойств включений — через Ьвкл. Матрица Ь1и бралась следующая: в случае а
(1 0\ /0,01 0 \ (001) Ьм = , Ьвкл = = Ь(001);
V 0 1 \ 0 0,01
в случае б
Ьм =
/ 100 0 \ (100)
Ьвкл = = Ь(100)
0 100
т.е. Ь(001) = (Ь(100))~1 = а(100), или Ь(100) = (Ь(001))~1 = а
17 ВМУ, математика, механика, №2
На рис. 2 представлены графики N1 -функции для всех областей с нулевыми граничными условиями, а также для области, имеющей одно включение, с периодическими граничными условиями. Под периодическим граничным условием понимается, что значения N-функции совпадают на верхней и нижней границе и на левой и правой границе. N1 - и ^-функции симметричны относительно осей Х1 и Х2, т.е. при замене Х1 на Х2 N1 -функция переходит в N2-функцию и наоборот. ^-функция нечетна по Х1 и четна по Х2, поэтому на рисунке представлена только N1-функция.
Рис. 2. Вид ^-функции
Можно заметить, что эффективные характеристики во всех случаях практически совпадают. Также в случае квадратного сечения матрицы и Ь^®1 взаимно обратны. Невязка (Ь(001) • Ь(100) — Е) стремится
к нулю с уменьшением элементов разбиения. Здесь Е — единичная матрица. Порядок малости невязки 0(в1/4), где в — площадь треугольного элемента, т.е. если при построении разбиения взять элементы в 16 раз мельче, то невязка уменьшится в 2 раза.
Сравнивая вид ^-функций, приходим к выводу, что Ж-функции можно искать на одной ячейке периодичности.
На рис. 3, а приведена зависимость эффективных упругостей Ьц от объемной доли V включения для композита с квадратной ячейкой периодичности, имеющего одно квадратное включение, а на рис. 3, б — зависимость логарифма Ьц от объемной доли включения; V = Увкл/У, где V — объем бруса, Увкл — объем включения.
Для матрицы материала использовались следующие значения:
_
Рис. 3. Зависимость эффективных модулей упругости от объемной доли V
для матрицы включения — следующие значения:
ьвкл _
IJ _
100 0 0 100
в случае A, bJ _
10 0 0 10
в случае B,
ьвкл _
IJ _
0,01 0 0 0,01
в случае C,
ьвкл _
IJ _
0,1 0 , 0 м
в случае D.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В. И. Горбачеву за поставленную задачу, личное участие и постоянное внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 08-01-00231а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.
2. Лехницкий С.Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971.
3. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1979.
4. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
5. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.
6. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
7. Hashin Z, Rosen B.W. The elastic moduli of fibre-reinforced materials //J. Appl. Mech. 1964. 31. 223-232.
8. Горбачев В. И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. 2. 61-76.
9. Горбачев В.И. О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 6. 68-71.
10. Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 31-37.
11. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. Т. 3. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 21.04.2008
18 ВМУ, математика, механика, №2
