CC BY
23УДК 372.851:378.4
ЭФФЕКТИВНОСТЬ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ СРЕДСТВАМИ ИГРОВЫХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ ЭВРИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
Королев Марк Евгеньевич,
кандидат физико-математических наук, доцент,
e-mail: kustokust@gmail. com
ГОУ ВПО АДИ «Донецкий национальный технический университет», г. Горловка
Korolev Mark,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
Donetsk National Technical University, Horlivka
i......-!
Исследуется методика обучения прикладной математике будущих инженеров на основе эвристического подхода. Приведены примеры обучения игровым моделям, позволяющим оптимизировать процесс принятия решений. Они рассмотрены как эвристические задачи, решение которых способствует развитию у будущих инженеров профессиональных компетенций. Описан педагогический эксперимент по внедрению игровых моделей в практику обучения автомобильно-дорожного института Донецкого национального технического университета в условиях конкуренции и неполноты информации.
Ключевые слова: обучение прикладной математике, теория игр, студенты технических направлений подготовки, педагогический эксперимент, принятие решений в условиях неопределенности.
Постановка проблемы. Математика занимает особое место в науке, играет ведущую роль в естественнонаучных исследованиях, широко используется в технико-инженерных специальностях, способствует формированию логического, пространственного, алгоритмического, эвристического и других типов мышления, является основой для обучения другим дисциплинам. Математика в высшей инженерной школе представляет собой систему дисциплин, входящих в базовую и вариативную части блока профессиональной подготовки будущих инженеров. К такой дисциплине относится прикладная математика.
Основными методическими приемами обучения прикладной математике яв-
ляется сочетание алгоритмического и эвристического подхода при решении задач дисциплины. Алгоритмический подход предполагает поиск решения задачи в соответствии с заданной (прописанной) последовательностью действий, эвристический - с принятой стратегией поиска решения задачи («размытым» наведением на поиск решения задания [7]). Именно второй подход соответствует развитию у будущих инженеров профессиональных компетенций, которые представлены в Федеральных государственных образовательных стандартах высшего образования инженерных направлений подготовки. К ним отнесены:
- готовность действовать в нестандартных ситуациях, нести социальную и
<53)
этическую ответственность за принятые решения;
- способность использовать методы инженерных расчетов при принятии инженерных и управленческих решений.
Данные компетенции и должны формироваться в процессе обучения решению задач курса «Прикладная математика» на основе эвристического подхода.
Цель статьи - описание методики обучения решению задач курса прикладной математики, на основе использования игровых моделей, построение которых носит эвристический характер.
Изложение основного материала. «Игровые модели» в практике прикладной математики рассматриваются как инструментарий, позволяющий оптимизировать процесс принятия решений, имеющий самые разнообразные практические приложения в технико-экономических задачах (например, Е.Г. Евсеева [1], Дж. Нейман [6] и др.). На основании «теории игр» строится модель, которая позволяет определить оптимальное управление исследуемого процесса, при этом обучающемуся необходимо самостоятельно сформулировать способ ее решения, то есть проявить свои эвристические позиции.
В нашем исследовании на основе игровых моделей будем строить методику обучения прикладной математике, используя теорию «задачного подхода» [8] в прикладных исследованиях.
В теории учебных задач ряд исследователей (Н.И. Зильберберг, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев, Е.И. Скафа, Л.М. Фридман и др.) считают, что задача может быть отнесена к типу эвристической, если в процессе взаимодействия с ней, в случае ее принятия, обучаемый устанавливает, что:
1) новые знания, закономерности, отношения, свойства, необходимые для обоснования решения задачи, известны или неизвестны;
2) алгоритм или последовательность заданных алгоритмов решения задачи неизвестны;
3) теоретическая и практическая основа (базис) решения задачи, содержащий функциональное отношение, неизвестна [5].
Таким образом, опираясь на исследования проблемы эвристических задач относительно обучения прикладной математике в высшей школе, можно утверждать, что в обобщенном виде, в исследовании операций и методах оптимизации игровые модели (принятие решений в условиях неопределенности), конфликтные ситуации могут быть отнесены к типу эвристических задач.
Алгоритм идентификации в информационном поле понятий применительно к оптимизационным моделям прикладной математики приведен на рис. 1.
Опишем эксперимент по обучению решению задач некоторых разделов дисциплины «Прикладная математика», который проводился среди студентов профиля подготовки «Информационные системы и технологии в дорожно-транспортной отрасли» ГОУВПО АДИ «ДонНТУ».
В эксперименте перед студентами ставится задача: как поступить прикладному математику, если в исходных данных для технологических систем присутствует неопределённость и конфликт интересов? Студенты (испытуемые), после теоретического изучения дисциплины «Прикладная математика», в подавляющем большинстве случаев правильно отвечают на вопрос - требуется использовать «игровые модели». Продолжая педагогический эксперимент, углубляемся в материал «теории игр», задавая вопросы, требующие не только знания самой математики, но и представлений об алгоритмических и эвристических подходах в решении задач.
Приведем основные понятия игровых моделей, на которых базируются тестовые задания в АРМ_ИО (автоматизированное рабочее место студент - преподаватель дисциплины «Исследование операций»), используемых в качестве вопросов педагогического эксперимента:
®
Рисунок 1 - Обобщенная блок-схема применения оптимизационных моделей
прикладной математики
1. Антагонистическая игра - выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого.
2. Личный ход - сознательный выбор игроком действий.
3. Стратегия игрока - совокупность правил, определяющих выбор действия при каждом личном ходе.
4. Конечная игра - у каждого игрока имеется конечное число стратегий.
5. Решить игру - для каждого игрока выбрать стратегию, удовлетворяющую условию оптимальности.
6. Условие оптимальности - один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии, (второй игрок получает минимальный проигрыш когда первый придерживается своей стратегии).
7. Условие устойчивости - любому из игроков невыгодно отказаться от своей стратегии.
8. Цель теории игр - определение оптимальной стратегии для каждого игрока.
9. Ограничение теории игр - единственность выигрыша как показателя эффективности.
10. Максимин: Я = max min aJ
i=\,m J=1,n
(гарантированный выигрыш для игрока
А).
11. Минимакс:
ß = min max a
J=1,n i=1 ,m
1
(гарантированный проигрыш для игрока В).
12. Принцип минимакса - выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий.
13. Чистая цена игры: X = в = V
14. Условие устойчивости - когда один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не выгодно отказываться от своей оптимальной стратегии.
15. Седловая точка - когда элемент а^ является одновременно наибольшим
в своем столбце и наименьшим в своей строке.
16. Если игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.
17. Игра не имеет седловой точки -применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры.
18. Смешанной стратегией Зд игрока А - называется применение чистых стратегий А1, А2, ..., Ат с соответствующими вероятностями.
19. Цена игры удовлетворяет неравенству: X < и < в где X и в - нижняя и верхняя цены игры.
20. Теорема «Неймана» - каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, быть может, среди смешанных стратегий.
21. Активная стратегия - чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью.
22. Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры и , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.
23. Если отсутствует седловая точка - оптимальное решение существует и
определяется парой смешанных страте* * * * * *
гий ^ = (Р1, Р2 ) и ^Б = (Л1> Я2 ) .
24. Определение цены игры и и sД:
П* П*
а11Р1 + а21Р2 = ^
Р* Р* — •
а12Р1 + а22Р 2 = ^ •
р* + Р2* = 1
25. Определение цены игры U и SB:
* *
«11^1 + «12^2 = V,
**
«21^1 + а22^* = V **
q* + q* =1
26. Графическое решение игры 2 на 2:
27. Решение матричных игр в смешанных стратегиях размера 2 на п:
У1 В1
У2 В2
У4 В4
Х1:
1-Х1:
max mm
xi J'
A1
А2 {(
ац а12 • • а1п
Ьц Ь12 • • Ь1п
а.
+ а
2]
I
а 2 j j Xj
28. Графическое решение игры 2 на n:
29. Решение игровых моделей произвольной размерности-оптимальные стратегии х1, х2, ..., хт игрока А:
min <j max
y i
тах\ тт\ I апх I апх,..., I атхг,
Чг=1 г=1 г=1
х1 + х2 + ... + хт = 1
хг > 0, г = 1,2, ..., m.
30. Решение игровых моделей произвольной размерности - оптимальные стратегии _у 1, У2, У„ игрока В:
| ( п п п
I а1 у у у, I а2 у у у,..., I ат] У у
У у=1 у=1
У1 + У 2 + ... + Уп = 1
У у > 0, у = 1,2, ..., п.
31. Решение матричных игр методами линейного программирования для игрока A: Максимизировать 2 = v при ограничениях
т
I ачхг > V у = 1,2,...,п
г=1
х1 + х2 + ... + хт = 1
хг > 0, г = 1,2, ..., m,
V не ограничено в знаке.
32. Решение матричных игр методами линейного программирования для игрока В: Минимизировать 2 = V при ограничениях
п
I ау У у ^ Vг = 1,2,...,т.
у=1
У1 + У 2 +... + Уп = 1
у у > 0, у = 1,2, ..., п.
V не ограничено в знаке.
33. Критерий Лапласа - принцип недостаточного обоснования:
max i
a,-
1 n - X v(a, Qj) ni=i
«луч-
(постановка модели «прибыли», min-
1
оптимизации «расходов»), где — - веро-
n
ятность состояния 0 j, (j = 1,2,...,n)•
34. Минимаксный критерий шее из худшего»:
:{v(a,, 0 j)}
Jj
(потери или затраты).
35. Максиминный критерий шее из худшего»:
i{v(a, 0 j)}
mm max \
ai 0,
«луч-
maxmin
a,-
0 j
(прибыль).
36. Критерий Сэвиджа - «сожаления»: исправляет пессимистическую ситуацию минимаксного (максиминного) критерия путем введения новой матрицы сожаления.
37. Матрица сожаления:
тах [Лак, 0у )}~Лаг, 0у ),
r (ai,0 i) = <
где
ak
v(ai,0 j) - min {v(ak,0 j)};
ak
max {v(ak> 0j )}-v(ai > 0j)
ak
- соответствует прибыли;
v(ai,0 j ) - min {v(ak >0 j )}
ak
соответствует затратам.
38. Матрица сожаления - всегда определяет расходы.
39. Критерий Гурвица - баланс между оптимизмом и пессимизмом: устанавливает баланс между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом путем взвешивания обоих способов поведения с соответствующими весами а и 1 — a, ( 0 < a < 1).
40. Критерий Гурвица для модели «прибыли»:
max i a max v (at, 0 j) + (1 — а) min v (a;-, 0 j)
41. Критерий Гурвица для модели «затрат»:
min ! а min v(at, 9 j) + (1 - а) max v(at, 9 j) ^ a { 9j 9J
42. Взвешивания способов поведения баланса между оптимизмом и пессимизмом с соответствующими весами а и 1 — а: при а = 1 критерий слишком оптимистичен, при а = 0 - слишком песси-
а =1 - при отсутствии ярко
мистичен,
выраженной склонности к оптимизму или пессимизму.
Проводя анализ педагогического эксперимента на тестовом опросе (используя автоматизированного рабочее место (АРМ)[3] дисциплины «Исследование операций» [2]), получили следующие результаты: 63,4% респондентов правильно усвоили терминологию «игровых моделей», имеют представления об алгоритмическом и задачных подходах к реализации проблемных ситуаций; 94,2% студентов правильно отвечают на блок вопросов связанных с игровыми моделями, имеющими седловую точку; 67,2% студентов правильно ориентируются в решении игр в «смешанных стратегиях». Гораздо хуже студенты справились с вопросами общего применения математического аппарата игровых моделей в профессиональной деятельности, анализа отождествления модели с «решением игр в смешанных стратегиях», «решением игровых моделей в условиях неопределенностей».
Таким образом, по результатам исследования из приведенного банка определений и терминов, представленных выше (АРМ_ИО [2]), выделим группу вопросов (понятий) для введения студента в ситуацию проявления его эвристических позиций: 1-17 - «чистая цена игры» (рис. 2, блок 1); 18-32- «решение игр в смешанных стратегиях» (рис. 2, блок 2); 33-42 - «принятие решений в условиях неопределенностей» (рис. 2, блок 3).
Визуализацию вышесказанного можно выполнить в виде обобщенной схемы, приведенной на рисунке 2.
Основное отличие моделей III блока, от моделей I-II блоков, заключается в том, что лицу, принимающему решение (в данном случае студенту), противостоит так называемая «природа», противоборствующая сторона не преследует собственных целей, противоположных целям лица, принимающего решение [4].
Глубокое осознание данного аспекта прикладной математики является основой эвристической деятельности студентов при обучении оптимизационным задачам в условиях неполноты информации. В основе их построения находятся блоки общих и специальных эвристик с отдельными спецификациями соотношения между эвристическими и алгоритмическими компонентами на каждом блоке обучения. Эти эвристические приемы способствуют развитию математических идей на основании интуитивных рассуждений, в основе которых лежат осознанные логические процессы.
Так, респондентам предлагалась модель III блока эвристической направленности: критерий минимакса является настолько «пессимистическим», что иногда приводит к нелогичным выводам.
Приведем следующий пример.
Решить игру с заданной матрицей расходов v(a, ö j):
9i 9 2
a1 100.000руб. 100.000руб.
a2 130.000руб. 20.000руб.
Большинство респондентов применяли алгоритмический подход к использованию модели, т.е. реализовывали поиск «шптох стратегии» - а1.
Продолжая педагогический эксперимент, мы предложили реализацию данной модели участникам без знания «математических основ конфликта». Студенты интуитивно выбирали для себя стратегию а2, т.к. в одном из возможных исходов имеется минимальный проигрыш 20.000 руб., а при стратегии а1, всегда потери для участника конфликта составляют 100.000 руб.
Таким образом, минимаксный критерий бывает сильно пессимистичным, при его применении требуется более сложный анализ. Необходимо построить матрицу сожаления
г (Ц,0 у) = ^г,0 у) - тш {v(ak>0 у)} с
ак
последующим применением минимаксного критерия.
Заметим, что применение минимаксного критерия к матрице сожаления так же не является очевидным результатом. Так 47,3% студентов, правильно принявших решение по введению матрицы сожаления, в последующем выбрали мак-симинный критерий.
Дело в том, что г(аг-, 0 у ) всегда
определяет расходы, значит, требуется применить минимаксный критерий.
Выводы. В результате педагогического эксперимента мы реализовали алгоритмический и эвристический подходы к принятию решений в условиях неполноты информации. Данный педагогический эксперимент внедрен в практику обучения автомобильно-дорожного института Донецкого национального технического университета по дисциплине «Исследование операций».
С
Решение игровой модели
3
Рисунок 2 - Обобщенная блок-схема применения игровых моделей принятия решений
в условиях неопределенности
(59)
1. Евсеева Е.Г. Методика обучения теории игр будущих бакалавров экономики и менеджмента / Е.Г. Евсеева // Дидактика математики : проблемы и исследования : Меж-дунар. сборн. науч.работ.- Донецк, 2017. -Вып. 46. - С. 38-48.
2. Королев М.Е. Технология и методика внедрения автоматизированного рабочего места дисциплины «Исследование операций» в учебном процессе / М.Е. Королев // Проблемы и пути совершенствования учебной, учебно-методической и воспитательной работы: материалы VI науч.-метод. конф., г. Донецк, 04 февраля 2016 г. - Донецк : ДонНТУ, 2016.
- С. 271-275.
3. Королев М.Е. Автоматизированное рабочее место студент-преподаватель общенаучных дисциплин / М.Е. Королев // Качество естественно-математического образования: проблемы, реалии, перспективы : материалы IV Республ.электронной научно-практ. конф. (25-27 апреля 2018 г., Дон-РИДПО). Том 1. - Донецк : ДонРИДПО, 2018.
- С. 152-156.
4. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - Москва : ЮНИТИ, 2002. - 407 с.
5. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач• Монография / В.И. Крупич. -Москва : Изд-во Прометей, 1995. - 212 с.
6. Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. Фон Нейман, О. Морген-штерн; Перевод с англ. под ред. и с добавлениями Н.Н. Воробьева. - Москва: Наука, 1970. - 708 с.
7. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография / Е.И. Скафа. - Донецк : изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.
8. Скафа Е.И. Методологический подход к пониманию роли эвристической задачи в математическом образовании школьников / Е.И. Скафа, М.В. Дрозд // Дидактика математики : проблемы и исследования : Между-нар. сборн. науч. работ. - Донецк, 2017. -Вып. 46. - С. 15-20.
Abstract. Korolev M. EFFICIENCY OF TEACHING APPLIED MATHEMATICS OF STUDENTS OF TECHNICAL SPECIALTIES BY MEANS OF GAME MODELS ON THE BASIS OF A HEURISTIC APPROACH. The technique of teaching applied mathematics to future engineers based on a heuristic approach is investigated. Examples of training in game models that optimize the decision-making process are given. They are considered as heuristic tasks, the solution of which contributes to the development of future competencies of professional engineers. A pedagogical experiment on the introduction of game models in the practice of teaching the automobile-road institute of the Donetsk National Technical University in the conditions of competition and incompleteness of information is described.
Keywords: Applied mathematics training, game theory, technical students, pedagogical experiment, decision making in the face of uncertainty.
Статья представлена профессором Е.И.Скафой.
Поступила в редакцию 27.03.2020 г.
