CC BY
35
4./2011 ВЕСТНИК _4/готт_МГСУ
ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ СЖАТЫХ НЕИДЕАЛЬНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
THE EFFECTIVE CROSS SECTION OF COMPRESSED IMPERFECT THIN-WALLED BARS OF OPEN SHAPE
A.B. M.ibHweHKO
A.V. Ilyashenko
ГОУ ВПО МГСУ
В настоящей статье приводится методика определения размеров редуцированного поперечного сечения неидеального тонкостенного стержня, ослабленного местной потерей устойчивости.
The method of determination of reduced cross section in compressed imperfect thin-walled bar of open shape is considered in the distinctive paper. The bar is in postbuckling range.
Задача об определении эффективного поперечного сечения стержня связана с исследованием несущей способности сжатых упругих тонкостенных стержней, обладающих исходной погибью и претерпевших локальную потерю устойчивости. Основные положения, принятые для исследования напряжённо-деформированного состояния в закритической стадии сжатых неидеальных тонкостенных стержней, приведены в работах [1]-[3]. В данной статье рассматривается закритическое поведение стержней, которые представляются в виде совокупности совместно работающих элементов- пластинок с начальной погибью, имитирующих работу полок уголковых, тавровых и крестообразных профилей. Это так называемые полки-пластинки с одним упруго защемлённым краем и другим свободным (рис.1).
Было установлено [3], что разрушающая нагрузка, характеризующая несущую
способность стержня, значительно превышает нагрузку P^ , при которой происходит
местная потеря устойчивости несовершенного профиля. Из графиков, представленных в [3], видно, что деформации продольных волокон по периметру поперечного сечения в закритической стадии становятся крайне неодинаковыми. В волокнах, удалённых от рёбер, деформации сжатия при увеличении нагрузки уменьшаются, а при нагрузках, близких к предельным, из-за резкого искривления этих волокон вследствие начальных погибей и всё возрастающих стрелок продольных полуволн, образовавшихся после местной потери устойчивости, появляются и интенсивно растут деформации растяжения. Участки поперечного сечения с искривлёнными продольными волокнами сбрасывают напряжения, как бы выключаются из работы стержня, ослабляя эффективное сечение и уменьшая его жёсткость. Итак, несущая способность тонкостенного профиля не ограничивается местной потерей устойчивости. Полная нагрузка, воспринимаемая более жёсткими (менее искривлёнными) участками поперечного сечения, может
d( м)
значительно превосходить величину PKV .
ВЕСТНИК 4/2011
у
//////
Су = 0)
Получим эффективное (редуцированное) сечение, исключив неработающие участки профиля. Для этого используем выражение для функции напряжений Ф к (X, у) , описывающей напряжённое состояние к - ой пластинки-полки (см. [2]).
Перейдём к закритическим напряжениям и]а (в направлении действия внешней
сжимающей силы), определяемым в наиболее неблагоприятном сечении стержня (X =0). Запишем их в общем виде:
&кх = 5 2Ф к (Акт , у, /у, /к0у ,Рс4 , А, 4,у,1, *)/5у 2, (1)
4./2011 ВЕСТНИК _4/20|Т_МГСУ
где постоянные интегрирования Akm (m =l,2,...,6) и стрелки составляющих приобретённых прогибов fj (j=l,2) определяются из решения системы разрешающих уравнений [I]. Эта система уравнений включает в себя нелинейные вариационные уравнения и граничные условия, описывающие совместную работу неидеальных пластинок профиля. Стрелки f0j (j=l,2,...,5) составляющих начального прогиба к - ой пластинки
определяются для каждого типа профиля экспериментально; l - длина образующейся при местной потере устойчивости полуволны [l]; s - ширина пластинки;
Рс d = cs2 + dl2; pcd] = cs4 + dl 2s2 + gl4; c, d ,j - целые положительные числа.
Приведённую или эффективную ширину редуцированного сечения пластинки-полки обозначим через sn . Для её определения выпишем условия перехода от действительного поперечного сечения стержня к редуцированному:
1. Напряжения в продольных волокнах у начальной грани пластинки (при y =0), примыкающей к ребру (см. рисЛ), остаются такими же, как и полученные по нелинейной теории (l):
= -Akl - 4пг(Ak2 + 2Ak3)/12 + E^-fr^Fjl / 8l^^ +
+ l A,(-8),(-7)fklfk04 / 8A6,8,lA;2;l + l fk2.fk05/лАд), (2)
гДе Fkkr = fkr + 2fkorfkr
Для определения напряжения (Jk2 = С^^^ , необходимо подставить в (l) ординату наиболее загруженного продольного волокна, которая находится из условия:
d°kx = 0
ду
2. Сумма внутренних усилий в пластинке при переходе к редуцированному сечению в направлении действия сжимающей силы не меняется:
1 V
sn 2 + 2)2 =}^kxdy; (3)
2 0
3.Момент внутренних усилий относительно оси, проходящей через начальную грань (у =0) перпендикулярно плоскости пластинки, остаётся прежним:
sn К 2 + 2>[уя + sn (2°"k 2 + 2>/3(Л 2 + 2)]:^ = ^кУФ . (4)
20
Из рисунка очевидно, что
2 = &kl + Уп К2 - &kl) /(Уп + sn ) (5)
Запишем систему уравнений для определения приведённой ширины пластинки sn . Для этого подставим (l) и (5) в (3)-(4):
s l 2.n ^---Г [2crk2Уп + sn Kl + 2)] = - Akls - Т Ak6s2--Г {Ak2sh2a +
2(sn + Уп) 2 l
ВЕСТНИК МГСУ
4/2011
Ак3($Н2а + 2аек2а) + Ак4(ек2а -1) + Ак5[(ек2а -1) + 2шк2а ] } +
Елз
- К
^256,32,2 , ( ^256,32,2 , 643 ^ 41 ^256,64,3
к1 ,2 п2 + ( " " + ^ +
/2д
16,1
/Хл ^ Д
16,1
<,1
21
) К ,2 „2 fklfk04 ^ ^4,1
+ (
4Д
4,2,1
9/2
3/2
зл2д
/^8,4,1 / ^,1
2^126,1 2Д
16,9
к 05
л 2з/
— Кк2 +
2
12/
■С
2Д
(-4),3
Д4л
1)./к ^-/к 04 +
1к2/к05 ]'
(6)
Я
2(*п + ^я )
2^к 2 Уп + (У П 3П + у )(^к1 + 2^к 2 )
2 3
_ Ак1 2 Ак 6 3 '
- \Ак2(2шН2а - еН2а +1) + 4Ак3а еН2а + АкА(2аеН2а - $Н2а) +
+ 4Ак5а $Ь2а }+ Ез'
л\ 2/4 7 Д _(-+--—
/ -^256,32,1 Д256,32,1
' /-256,32,^^2 , - / + "---^-) Кк1 + —(
8 Д
256,64,3
/2 3 О
1 П "256,32,1
8 Д256. 32,2 . ^ (/ Д24
Д16,8,1 Д1,2,1
256,32,2
+ —--:-) Кк1,2 +
Л лД
256,32,1
9/2
Д256,32,1 2
8 ) „ / ^ к 2
_ ~99/2 к1/к05 + 16/2 Кк 2 +
' " ^/м/к04 + ( 2/2 16
+ ■
/ 2Д16,8,1 Д256 ,288,81
^16,8,1 Ди
2\ г г . ( ^8,4,1 (—--^ )/к 21к 04 + ^-
2/^ 1
,,3 т2^ к 2.1 к 05
лр41 л/
/ Д16,8,1
(7)
лз
ГДе ^ = Т ' Ккг^ = /кг/к0* + + !к0г!ц ; г»£ - Целые положительные числа.
2
2
/
Полученная система уравнений (6)-(7) даёт возможность определить приведённую ширину каждой из пластинок-полок, составляющих сжатый, претерпевший местную потерю устойчивости тонкостенный стержень. Таким образом, действительное поперечное сечение профиля заменили на редуцированное.
Далее по общей теории тонкостенных стержней - теории В.З. Власова, можно определить критическую нагрузку, вызывающую общую потерю устойчивости полученного стержня с изменённым эффективным сечением.
Предлагаемая методика представляется полезной как в теоретическом, так и в практическом плане при расчётах на несущую способность сжатых предварительно искривлённых тонкостенных стержней, в которых по эксплуатационным требованиям допустимо местное волнообразование.
4/2011 ВЕСТНИК _4/20|Т_МГСУ
Литература
1. Ильяшенко А.В. К расчёту тонкостенных тавровых, уголковых и крестообразных профилей с начальной погибью. Сбор.науч.тр. НИИпромстроя. Свайные фундаменты. Уфа,1983, стр.110-122.
2. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Напряжённо-деформированное состояние после местной потери устойчивости сжатых тонкостенных стержней с учётом начальной погиби. Труды института НИИпромстрой. Строительные конструкции и материалы. Защита от коррозии. Уфа,1981, стр.110-119.
3. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Экспериментальное исследование тонкостенных стержней с искривлёнными пластинчатыми элементами. Экспресс-информация, серия «Организация и производство строительных работ». Москва, 1983, стр.1-39.
Literature
1. Ilyashenko A.V. About analysis of initially curved thin-walled compressed bars of open cross section. Proceedings of the institute NIIpromstroy. Piledfoundation. Ufa, 1983, pp.110-122.
2. Ilyashenko A.V., Efimov I.B. Strain-stress distribution after the local buckling of initially curved thin-walled compressed bars. Proceeding of institute NIIpromstroy. Building construction and materials. Corrosionprotection.Ufa, 1981, pp.110-119.
3. Ilyashenko A.V., Efimov I.B. Experimental investigation of thin-walled bars composed of curved lamellate elements. Express- information, series «Management and industry of building works». Moscow,1983,pp.1-39.
Ключевые слова: тонкостенный стержень, местная потеря устойчивости, закритиче-ская стадия, внецентренное сжатие, начальные несовершенства, редуцированное сечение, критическая нагрузка, пластинка-полка, несущая способность, стержень открытого профиля, упруго защемлённый непогруженный край
КеУ words: thin-walled bar, the local buckling, postbuckling range, eccentric compression, initial imperfections, reduced cross section , critical load, plate- flange, load-carding capac^, the bar of open shape, elasticalfy restrained nonloaded edge
Адрес: 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел.: 8-903-629-40-16.
E-mail автора: [email protected]
Рецензент: Кузнецов Сергей Владимирович, д.ф-м.н, профессор, ведущий научный сотрудник Института проблем механики РАН(119526 Москва, просп. Вернадского, 101)
