CC BY
43
ДВУЛИСТНЫЕ РАЗВЕТВЛЕННЫЕ НАКРЫТИЯ ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЫ, ПРОБЛЕМА ДВОЙНИКОВ *
0.М. Давыдов
Представлен обзор современных результатов по "проблеме двойников". Проблема была поставлена в 1976 году Дж. Бирман и Х.М.Монтесиносом и заключается в отыскании связывающих неэквивалентные зацепления преобразований, таких что разветвленные вдоль зацеплений 2-листные накрывающие сферы гомеоморфны.
Ключевые слова: разветвленные накрытия, гиперболические многообразия, проблема двойников.
1. Постановка задачи
Определение 1. Отображение топологических прост,ранет,в р X ^ У (У — линейно-связно) называют, накрытием, если у любой точки у € У существует окрестность II такая, что р^1 (11) распадается на от,крытые подмножества, каждое из которых гомеоморфно II.
Так как У — односвязно, число таких окрестностей одинаково для любой точки у € У ■
Иными словами, р^1(и) и II х А, где А — дискретно. При этом естественная проекция и х А —> и совпадает с р, т. е. коммутативна диаграмма
р-1(и) и и х А
\ ^ и
А еще называют слоем накрытия. Если слой состоит из к точек, то накрытие называют £>листным.
У называют базой накрытия р, а 1- накрывающим пространством
или просто накрытием.
Пример 1
1° 51 = {г € С\\\г\ = 1} ^ <‘>1, г гк, слой состоит из к точек.
2 />и —г 1. / нч- е2ш\ слой из бесконечного числа точек.
* Работа поддержана грантом РФФИ 02-01-01013.
С А можно связать групповую структуру.
Лемма 1 ("о поднятии"). Пусть р : X ^ У — накрытие топологических простра нет в. Для любого пути у £ У в базе, начинающегося в точке уо € У, и для любой точки из прообраза хо € р^1(уо) С X существует единственный путь у, начинающийся в точке жо и такой, что ру = у.
Доказательство. Доказательство можно найти, например, в И • □
Пусть уо € У и р^1(уо) = {я?!,ж^}. Рассмотрим петлю у € У с концом и началом в точке уо- Поднятие петли у, начинающееся в точке Х{ € р^1(уо), не обязано кончаться в этой же точке: его концом будет ха^ (также из прообраза р^1(уо))- Возникает перестановка а точек слоя: х
Оказывается а зависит только от гомотопического класса пути у. Очевидно, с(7-1) = с(7)-1, <7(7172) = где — гомоморфизм
7Т1(У) —> <5д (группа перестановок точек слоя А).
Определение 2. Образ а{п\{У)) называется группой монодромий накрытия р.
Определение 3. Если группа монодромий накрытия циклическая, то и накрытие называют, циклическим.
Определение 4. Пусть М и N — многообразия размерности п. Отображение ж : М ^ N называется разветвленным накрытием, если существует подмногообразие Ь С N размерности п — 2, такое что служение р\м\р-1(ь) '■ М\р-1(Ь) -> N \ Ь — обычное накрытие, а сужение р\р-1(ь) Ь — гомеоморфизм.
Соответствующая терминология (база, слой, число листов) переносится с накрытий и на разветвленные накрытия. Подмногообразие Ь называется множеством ветвления; говорят, что накрытие р разветвлено вдоль Ь.
Пример 2
1° Пусть (р — симметрия диска I)2 при повороте на 180° вокруг центра. Тогда проекция I)2 ^ -О2/^ ~ -С*2 — двулистное накрытие с ветвлением в одной точке — в центре (см. рис. 1).
2° Пусть (р — симметрия шара В3 при повороте на 180° вокруг оси. Тогда проекция В3 ^ В3/(р и В3 — двулистное накрытие с ветвлением вдоль отрезка оси — диаметра шара.
Рис. 1. Проекция В2 —>• В2/99 « В2 — двулистное накрытие с ветвлением
в одной точке (в центре)
3° Из примера 2° объединением шаров легко получить и такой пример: 53 двулистно накрывает 513 с ветвлением вдоль окружности (объединения диаметров).
4° "Нетривиальный" пример: линза £зд двулистно накрывает сферу 53 с ветвлением вдоль трилистника (соответствующую наглядную конструкцию см. в статье М. А. Овчинникова [13] ).
Обозначим Мп(Ь) накрывающее пространство п-листного разветвленного накрытия 53 с ветвлением вдоль зацепления Ь.
Проблема. Для данного п £ N существуют ли неэквивалентные зацепления Ь\, Ь<2 с гомеоморфными Мп(Ь{) ~ Мп(1^2)? Как много их существует?
Для п = 2 это до сих пор открытая проблема, поставленная в 1976 году Дж. Бирман и Х.-М. Монтесиносом ([8]).
Определение 5. Будем называть неэквивалентные зацепления Ь\ и £2 (такие что М2{Ь\) ~ М2(Ь2)) двойниками.
Следует уточнить, что значит эквивалентные зацепления. Для нас достаточно, чтобы эквивалентность была топологической: существует гомеоморфизм сферы 53 на себя, переводящий одно зацепление в другое.
2. Работы Виро по проблеме двойников
Пример 3 Первый пример двойников был опубликован еще в 1972 году
О.Я. Виро [9] ( рис. 2). Этот пример изображен на рисунке.
Рис. 2. Пример двойников (Виро, 1972)
Построение этих зацеплений основано на двух явлениях. Во-первых, циклическое накрытие, разветвленное вдоль связной суммы двух зацеплений, гомеоморфно связной сумме циклических накрывающих, разветвленных вдоль слагаемых. Во-вторых, связная сумма связных ориентируемых многообразий определяется слагаемыми, а для зацеплений это не так.
Теорема 1 (Виро [9]). Пусть Ь2 — компактные 1-мерные подмногообразия, края дЬ\ и дЬ2 совпадают друг с другом и с пересечениями ЬхПдБ3, Ь2 П <91)3; состоят из 4 точек и инвариантны относительно поворота 5 : I)3 —»• I)3 шара I)3 на 180° вокруг некоторой прямой, не пересекающейся с ними. Если (Б3,Ь) и (53,!/) — зацепления; полученные в результате склеивания пар (1)3,^1) с (И3,£2) и {^3^Ь\) с (Б3,5(^2)) соответственно по тождеству краев дБ3 —»• дБ3, то двулистное разветвленное накрывающее М2(Б3,Ь) гомеоморфно М2(Б3, Ь').
Доказательство. Пусть 52 = дИ3. Двулистное накрытие 52 с ветвлением вдоль четырех точек дЬ\ — дЬ2 является тор. Сужение гомеоморфизма
з 1^2 накрывается двумя гомеоморфизмами, отличающимися друг от друга на автоморфизм (трансляцию) накрытия 7Г. Один из гомеоморфизмов изотопен тождеству. Склеим по нему прообразы при двулистном разветвленном накрытии шаров I)3 I) Ь\ и И3 I) £2. Очевидно, результат будет гомеоморфен склейке шаров I)3 I) Ь\ и И3 I) £2 по тождеству. □
Замечание 1. Узлы-двойники не различаются полиномами Александера, гомологическими группами, формами коэффициентов зацепления конечнолистных разветвленных накрывающих, единицами Минковского и сигнатурами. (Существует доказательство с использованием матрицы Зейферта, техники Троттера и пр.)
Рис. 3. Пример зацеплений-двойников
Теорема 2 (Виро [11]). Если К\, К2 — необратимые одномерные узлы и К'2 — переориентированный узел, то удвоения с одинаковыми кручениями связных сумм К1ФК2 и К1фК'2 являются неизотопными неприводимыми узлами с гомеоморфными двулистными разветвленными накрывающими.
Более сложный пример (зацепления Конвея-Киноситы-Терасаки) приведен на рис. 4.
Определение 6. Пусть р\, ...,рп £ Z. Обобщенным крендельным зацеплением К(р1, ...,рп) называется край поверхности ...,рп), состоящей
из двух горизонтальных дисков, расположенных друг над другом как основания вертикального цилиндра, и соединяющих эти диски п закрученных, но незаузленных вертикальных полосок, из которых г-я по порядку
Рис. 4. Зацепления Конвея-Киноситы-Терасаки
примыкания к дискам закручена на \рі\ полуоборотов; правых или левых в зависимости от знака р{.
Рис. 5. Пример обобщенного крендельного зацепления
Следствие 1 (Виро). Топологический тип двулистного разветвленного накрывающего обобщенного крендельного зацепления К(р\, не зави-
сит от порядка чисел
Доказательство. Действительно, перестановку двух рядом расположенных полосок поверхности ^(р1, можно осуществить при помощи тео-
ремы. Для этого нужно повернуть на 180° вокруг горизонтальной оси шар, пересекающийся с поверхностью F(pi, ...,рп) по этим полоскам и прилегающим к ним частям горизонтальных дисков. □
Виро в работе [11] утверждает, что других примеров неизотопных зацеплений с гомеоморфными двулистными накрывающими он не знает. В сноске он ссылается на пример М.Л. Старца: крендельное зацепление К(2, 2, —2, —3) и торическое зацепление Т(9, 3).
3. Современное состояние проблемы двойников
К сожалению, О.Я. Виро с 1976 года больше не уделял внимания этой проблеме.
В дальнейшем проблемой занимались Х.М. Монтесинос и В. Виттен [3], Дж. Бирман [2].
Структура разветвленных накрытий изучалась при помощи кристаллизаций (М. Ферри [4] и М.Р. Казали [5] ), специальных спайнов (М. Овчинников [13] и автор [14]). Рассматривались попытки анализа структуры таких пространств при помощи квантовых инвариантов (С. Гароуфалидис, А. Крикер [6]). Большое количество новых примеров зацеплений-двойников было получено в процессе поиска решения проблемы Мейергоффа-Ноймана (А.Д. Медных [16] и А.Ю. Веснин, [15] ). Модели теоретической физики, использующие зацепления-двойники, рассмотрены в статье М. Заганеску [7].
Основное продвижение решение гипотезы получило в недавней работе М. Рени и Б. Циммермана [18].
M2(L) — это расслоение Зейферта, или гиперболическое многообразие. Как показано в [18] , Зейфертов случай полностью изучен.
1. М2(Ь) — расслоение Зейферта.
1.1. М2(Ь) — Зейфертово сферическое. В этом случае у L —■■■ двойников не существует,. Это следует из того, что инволюция такого многообразия М с пространством орбит S3 — единственна (для S3 — классический результат Вальдхаузена [12] , для линз доказано Р. Рубинштейном, для прочих Х.М. Монтесиносом [3]).
1.2. Мг(Ь) — Зейфертово несферическое. Тогда возможны два случая: инволюция, транслирующая накрытие, сохраняет ориентацию слоев или обращает ее. В первом случае L является зацеплением Зейферта, т. е. S3 \ L расслаивается на окружности. Во втором случае L является зацеплением Монтесиноса, т. е. S3\L расслаивается на окружности и интервалы так, что L состоит из объединения границ этих интервалов. В обоих случаях чис-
ло двойников L бесконечно, и двойники связаны между собой известными наглядными геометрическими преобразованиями, называемыми мутациями вдоль сфер Конвея.
2. М2(Ь) — гиперболическое многообразие. Здесь два важных отличия.
2.1. Не существует наглядных геометрических преобразований, аналогичных мутациям вдоль сфер Конвея (см. предыдущий пункт).
2.2. Число двойников L конечно и ограничено сверху константой, зависящей только от числа компонент L. (Reni, Zimmerman [4]).
Более того, в случае 7г-гиперболичности двойников верна теорема:
Теорема 3 (Рени, Циммерман [18]).
1° Существует не более 9 неэквивалентных ж-гиперболических узлов-двойников.
2° Для г > 3 существует не более 5 неэквивалентных ж-гиперболических зацеплений-двойников "в смысле r-листного разветвленного накрытия" (т.е. т,аких зацеплений L |. ..., что МГ(Ь\) к, МГ(Ь2) « ■■■)■
Список литературы
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: МЦНМО, 1997.
2. Birman J.S., Hilden Н.М. Heegard Splittings of Branched Coverings of S3 // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 213. P. 315-352.
3. Montesinos J.M., Whitten W. Constructions of Two-Fold Branched Coverings of S3 // Pacif. J. of Math. 1986. Vol. 125, J# 2. P. 415-446.
4. Ferri M. Crystallisation of 2-Fold Branched Coverings of S3 // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 72. P. 271-276.
5. Casali M. R. Coloured Knots and Coloured Graphs Representing Simple Coverings of S3 // Discr. Math. 1995. 137. P. 87-89.
6. Garofalidis S., Kricker A. Finite Type Invariants of Cyclic Branched Coverings // arXiv:math.GT/0107220, 2001.
7. Zaganesku M. Chern-Simons Fields on Seifert Fibered Spaces // Europhys. Lett. 1992. 18(5). P. 381-385.
8. Kirby R. (ed.) Problems of Low-Dimensional Topology. Springer, 1976; 1997.
9. Виро О.Я. Двулистные накрытия трехмерной сферы // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1973. Т. 36. С. 6-39.
10. Виро О.Я. Зацепления, двулистные накрытия и косы j j Мат. сб. 87(129). 1972. С. 216-228.
11. Виро О.Я. Непроектирующиеся узлы с гомеоморфными накрывающими j j Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1976. Т. 66. С. 133-147.
12. Waldhausen P. Uber Involution der 3-Sphare // Topology. 1969. 8:1. P. 81-92.
13. Овчинников M.A. Специальный спайн линзы типа длинная восьмерка и линза как пространство двулистного накрытия S-сферы разветвленного вдоль двумостного зацепления // Вести. Челяб. ун-та. Сер. 3. 1999. № 1(4). С. 145154.
14. Давыдов О. М. Построение специальных спайное пространств двулистных разветвленных накрытий трехмерной сферы // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. 2002. 1(6). С. 13-18.
15. Веснин А.Ю., Медных А.Д. Многообразия Фибоначчи как двулистные накрытия над трехмерной сферой и гипотеза Мейергофа Ноймана // Сиб. мат. жури. 1996. Т. 37, № 3. С. 534-542.
16. Mednykh A., Vesnin A. Hyperelliptic Involutions of Small Volume Hyperbolic 3-Manifolds // Preprint 189. University of Helsinki, 1998.
17. Reni M. On -к-Hyperbolic Knots With the Same 2-Fold Branched Coverings // Math. Ann. 2000. 316. P. 681-697.
18. Reni M. , Zimmerman B. Hyperbolic 3-Manifolds and Cyclic Branched Coverings
of Knots and Links // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 2001. II. P. 135-153.
19. Mednykh A., Reni M. Twofold Unbranched Coverings of Genus Two 3-Manifolds
are Hyperelliptic // Israel J. of Math. 2001. 125. P. 149-155.
Челябинский государственный университет davydov@csu.ac.ru
