Двухуровневые модели поликристаллов: о независимости образа процесса нагружения представительного макрообъема Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 550.34

Двухуровневые модели поликристаллов: о независимости образа процесса нагружения представительного макрообъема

П.В. Трусов, П.С. Волегов, А.Ю. Янц

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Рассматриваются некоторые возможные варианты построения образа процесса нагружения представительного объема поликристаллического металла, введенного А.А. Ильюшиным, для случая больших градиентов перемещений; анализируется зависимость (или независимость) образа процесса нагружения для исследуемых вариантов от наложенного на весь представительный объем жесткого движения (или от выбора системы отсчета). Отмечаются сложности построения образа процесса нагружения в случае больших градиентов перемещений, исследуются возможные способы разложения движения на квазитвердое и деформационное. Для описания поведения представительного макрообъема применяется двухуровневая модель, основанная на физической теории упруговязкопластичности. Движение жестких систем координат, описывающих квазитвердое движение, определяется конкретной гипотезой о разложении движения на макроуровне. В качестве таких гипотез рассматриваются следующие: все движение представительного объема относится к деформационному; движение раскладывается на деформационное и квазитвердое, спин которого определяется осреднением спинов мезоуровня, рассчитываемых по некоторой неконкретизируемой модели ротации решеток кристаллитов; квазитвердое и деформационное движения определяются соответственно антисимметричной и симметричной частью градиента скорости перемещений макроуровня. Показывается, что в первом случае образ процесса является зависимым от наложенного жесткого движения на представительный объем в целом; образ процесса, построенный в системах координат, определяемых другими двумя способами, не зависит от выбора системы отсчета. В то же время отмечается, что третий из рассмотренных способов приводит к невозможности независимого от кинематических соотношений макроуровня определения ротаций решеток, в действительности определяемого физическими взаимодействиями на микро- и мезоуровне.

Ключевые слова: поликристалл, многоуровневые модели, физические теории пластичности, образ процесса нагружения, квазитвердое движение, независимость от выбора системы отсчета

Two-scale models of polycrystals: Independence of the loading process image

of a representative macrovolume

P.V. Trusov, P.S. Volegov, and A.Yu. Yanz

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

The paper considers variants of construction of the process image introduced by A.A. Ilyushin for loading of a representative macrovolume of polycrystalline metal with high displacement gradients. Analysis is performed to clarify whether the loading process image in the variants under study depends on the rigid motion imposed on the entire representative volume (or on the choice of a reference frame). It is found that with high displacement gradients, the loading process image is rather difficult to construct. Possible ways of decomposing the motion into quasirigid and strain-induced motions are investigated. The behavior of the representative macrovolume is described using a two-scale crystal elastoviscoplasticity model. The motion of rigid coordinate systems descriptive of quasirigid motion is defined by a specific hypothesis of decomposition of the motion on the macroscale. The hypotheses under consideration are the following: (i) the whole motion of the representative volume is strain-induced motion; (ii) the motion is decomposed into strain-induced motion and quasirigid motion whose spin is determined by averaging mesoscale spins calculated from a certain general lattice rotation model; and (iii) the quasirigid and strain-induced motions are defined respectively by the antisymmetric and symmetric parts of the macroscale displacement velocity gradient. It is shown that with the first hypothesis, the loading process image depends on the rigid motion imposed on the representative volume as a whole; with the other two hypotheses, the process image does not depend on the choice of a reference frame. At the same time, the third hypothesis makes it impossible to determine the lattice rotations independently of macroscale kinematic relations which, in fact, are determined by micro- and mesoscale physical interactions.

Keywords: polycrystal, multiscale models, crystal plasticity theories, loading process image, quasirigid motion, independence from the choice of a reference frame

© Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю., 2013

1. Введение

Для количественной оценки реакции материала на воздействия в теории пластичности широко применяются введенные А.А. Ильюшиным понятия (векторов напряжений и деформаций, траектории деформации, образа процесса нагружения) [1]. Однако процессы, реализующие интенсивные пластические деформации, относятся к процессам с большими градиентами перемещений, что порождает существенные сложности как с разложением движения на квазитвердое и деформационное, так и с построением образа процесса нагружения [2]. В данной работе построение образов процесса в подвижных системах координат, отвечающих за квазитвердое движение континуума, будет рассмотрено с позиций двухуровневых конститутивных моделей материала [3, 4].

В силу того, что образ процесса в совмещенном пространстве деформаций и напряжений должен описывать свойства и историю деформирования материала, для определения компонент указанных тензоров необходимо использовать базис, связанный с материальными координатами. Для удовлетворения этого требования необходимо введение некоторой подвижной системы координат, базис которой будет использоваться для построения образа процесса, при этом движение подвижной системы координат определяется принятием той или иной гипотезы о разложении движения. Для геометрически линейного случая (малых градиентов перемещений) для этой цели может использоваться базис отсчетной лагранжевой системы координат, обычно принимаемой совпадающей с декартовой ортогональной лабораторной (условно неподвижной) системой координат. В геометрически нелинейной ситуации, т.е. при больших градиентах перемещений, даже в случае малых деформаций (малых удлинений материальных отрезков и искажений углов между ними), но больших поворотов, использование лабораторной системы координат для определения компонент тензоров напряжений и деформаций неприемлемо, поскольку траектория деформации и вектор напряжений могут существенно отличаться при одинаковых деформациях, но различных ротациях представительного макрообъема как целого. Применение в данном случае базиса актуальной лагранжевой системы координат также не представляется возможным (в силу произвольного деформирования материальных волокон возникает проблема отделения изменения компонент, обусловленного процессом нагружения, от изменения компонент в силу искажения векторов базиса [2]), поэтому выбор такого базиса сопряжен с определенными сложностями. Для выхода из сложившейся ситуации необходимо принятие какой-либо гипотезы относительно описания квазижесткого движения. В подавляющем большинстве работ квазитвердое движение (точнее, его ротационную составляющую) принимают определяе-

мым тензором вихря W (как правило, о разложении движения в этих работах даже не упоминается, выбор квазижесткого движения осуществляется неявным образом, через применение производной Яуманна). Однако, как было показано в статье [5], принятие данной гипотезы в двухуровневых моделях ведет к невозможности независимого выбора модели ротации решетки кристаллитов, которая должна описывать реальные физические взаимодействия на более низких масштабных уровнях.

В работе рассмотрены вопросы независимости образа процесса нагружения представительного макрообъема от наложенного жесткого движения (или от выбора системы отсчета) [6] в терминах различных гипотез, принимаемых относительно разложения движения на квазитвердое и деформационное, в двухуровневых моделях неупругого деформирования поликристалли-ческих металлов, основанных на физической теории упруговязкопластичности [7]. Математическая структура и алгоритмы реализации указанных моделей приведены в [3, 4, 7-9]. Отметим, что для построения образа процесса в связи с отмеченными выше обстоятельствами следует использовать жесткую подвижную систему координат, связанную с материальным представительным макрообъемом. Примем, что в начальный момент времени данная система координат совпадает с декартовой ортогональной лабораторной системой координат. В дальнейшем рассмотрение ведется в рамках материалов первого порядка [6], в силу чего напряженно-деформированное состояние и характеристики квазитвердого движения представительного макрообъема полагаются однородными. В качестве гипотез о разложении движения представительного объема макроуровня рассмотрены следующие [5]:

- движение среды полностью относится к чисто деформационному;

- спин квазижесткого движения подвижной системы координат й определяется осреднением спинов мезо-уровня, рассчитываемых по некоторой неконкретизи-руемой модели ротации решеток кристаллитов. Данный принципиально новый подход к описанию квазитвер-дого движения на макроуровне, заключающийся в ином способе (относительно существующих в настоящее время) определения спина подвижной системы координат на макроуровне исходя из информации о квазитвердом движении на мезоуровне, описан в работе [10];

- квазитвердое и деформационное движения определяются соответственно антисимметричной и симметричной частью градиента скорости перемещений макроуровня.

Тот или иной способ разложения подразумевает введение некоторой коротационной производной, что приводит как к различным значениям меры напряженного состояния (тензора напряжений Коши), так и к различному физическому смыслу получаемых неголономных мер деформированного состояния, что было показано

в [5]. В цитируемой статье приведены также полные математические постановки задач в терминах различного разложения движения на макроуровне и процедура согласования определяющих соотношений различных уровней. Было показано, что при использовании первой гипотезы и удовлетворении условий согласования в случае произвольного нагружения спин мезоуровня должен быть также тривиальным. При использовании третьей гипотезы и выполнении условий согласования определяющих соотношений спин мезоуровня должен быть в точности равным спину макроуровня — тензору вихря W. Вопросы независимости образов процесса нагружения, получаемых при принятии этих гипотез, рассмотрены в разделах 4.1-4.3 настоящей статьи.

Отметим, что жесткую подвижную систему координат (на макроуровне), которая связана с деформируемым материалом представительного объема, будем называть «материальной». Следует учитывать условность данного названия, поскольку при произвольном движении представительного макрообъема деформируемого твердого тела отсутствует жесткая тройка материальных волокон (желательно взаимно ортогональных) на любом конечном интервале процесса деформирования.

2. Образ процесса нагружения в пространстве деформаций

Процессы, связанные с обработкой материалов давлением, часто реализуются довольно сложной программой нагружения как на уровне обрабатываемой детали в целом, так и на уровне представительного макрообъема. Для установления вида нагружения и описания сложного нагружения представительного макрообъема, как отмечалось выше, весьма наглядным является геометрическое представление процессов нагружения в пятимерных векторных пространствах напряжений и деформаций Ильюшина [1]. Отметим, что все величины, используемые ниже, относятся к представительному макрообъему: тензор напряжений Ё(а), деформаций Е(а), скорости напряжений Ё(а), деформации скорости D и введены в статье [5] (индекс а = 1, 2, 3 относится к указанному во введении способу разложения движения).

Введем векторное пятимерное евклидово совмещенное пространство напряжений-деформаций Ц(5) с орто-нормированным репером рг, используя компоненты тензоров в той или иной системе координат; следуя [1,

11, 12], определим компоненты векторов напряжений и деформаций соотношениями

Э(а) = Е('(а), Э(2а) = (Е1,(1а) + 2Е2(2а))/>/з,

Э3а) =Т^3Е(2а), Э4а) =Т^3Е2(3а), (1)

э5а)=Т^зЕ(3а),

5((а) = 3/2 Е(((а), ^2а) = л/3(£1(“ 72 + £'2(“)),

53(а) = Т^22((2а), S4а) = 7^222(3а), (2)

S5(а) ^7^22(за), а = 1,3.

При этом выполняется равенство длин векторов соответствующим интенсивностям. Здесь Э-а) — компоненты вектора деформаций в пространстве ^(5); Е^а) — компоненты девиатора тензора деформации (в общем случае неголономного), которые принимают различные значения в зависимости от выбора подвижной системы координат: Е'^а} =к(а)-Е/(а)-к(а), Е/(а) = dev(E(а)), Е(а) — тензор меры деформации макроуровня, который определяется интегрированием (в общем случае, при использовании подвижной системы координат, коро-тационным):

ЕГ(() = Е(() = Б, Ег(2) = 15(2) + Е(2)-О - О-Е(2) = D,

ЕГ(3) = Е(3) + Е(3)- W - W • Е(3) = Б;

S}a) — компоненты вектора напряжений в пространстве Х(5); — компоненты девиатора тензора напря-

жений, также определяемого в общем случае корота-ционным интегрированием:

Ёг(() = Ё(() = П :(D -Din),

Ёг(2) = Ё (2)+Ё •О - О •£ = П :(Б - Б™), (4)

Ёг(3) = Ё(3) + Ё • W - W • Ё = П :(Б - Б™), которые принимают различные значения в зависимости от выбора системы координат: 2^ = к(а)-Ё'(а)- к(а), а = (, 3, Ё'(а) = dev(Ё(а)), к(а) — базисные векторы систем координат, в которых производится построение образа процесса нагружения; П — (неизотропный в общем случае) 4-валентный тензор упругих характеристик.

Напомним, что хотя в качестве меры напряженного состояния во всех трех вариантах используется тензор напряжений Коши, в силу различия вида определяющих соотношений при одном и том же нагружении значения меры напряженного состояния в произвольный момент деформирования в общем случае будут отличаться. В каждый момент процесса нагружения векторы напряжений и деформаций определяются как $(а) = £}“^р!, Э(а) = Э(а)рг, а = (, 3. Заметим, что в случае малых градиентов перемещений ротация подвижной системы координат будет также малой, в силу чего образ процесса нагружения будет незначительно отличаться от классического геометрически линейного варианта.

Далее везде под траекторией деформации будем понимать кривую Э(а ^ = Э(а ^ ^), под траекторией нагружения — кривую $<-а) = $<-а)(^ во введенном совмещенном пространстве напряжений и деформаций Х(5), где ? — время.

Совокупность траектории деформации и построенных во всех ее точках векторов 8(а), а также отнесен-

ных к этим точкам различных скалярных параметров процесса (например температуры, среднего давления) называется образом процесса нагружения в пространстве деформаций Х(5) [1]. Аналогично строится образ процесса в пространстве напряжений, т.е. он представляет собой совокупность траектории нагружения и построенных во всех ее точках векторов Э(а). Обозначим способ построения образа процесса, т.е. построение по компонентам тензоров, отнесенных к конкретной системе координат, следующим образом: в неподвижной лабораторной системе координат — образ процесса 1 (способ 1), во введенной подвижной системе координат со спином й — образ процесса 2 (способ 2), в подвижной системе координат со спином W — образ процесса 3 (способ 3).

3. Некоторые необходимые понятия и определения

Рассматриваемым объектом в настоящей работе является представительный макрообъем, в отсчетной конфигурации состоящий из множества случайно ориентированных кристаллитов (с априори известным законом распределения ориентаций, например равномерным), имеющих идеальную кристаллическую структуру. Отметим, что для поликристаллического агрегата полагается выполненным требование представительности выборки; решетки кристаллитов полагаются принадлежащими одному из известных классов.

Для того чтобы показать зависимость или независимость образа процесса от наложенного жесткого вращения при том или ином разложении движения на макроуровне, рассмотрим два движения деформируемого представительного объема, отличающиеся на наложенное жесткое движение. Отметим, что ввиду линейной зависимости значений компонент векторов напряжений и деформаций [1] от компонент тензоров мер напряженного и деформированного состояний соответственно для доказательства независимости образа процесса нагружения от наложенного жесткого движения достаточно показать равенство компонент последних в произвольный момент времени в двух движениях представительного объема.

Под движениями деформируемого тела, отличающимися на жесткое наложенное движение, понимаются два движения одного и того же тела (представительного макрообъема), конфигурации которых в каждый момент времени могут быть совмещены посредством последовательного смещения и поворота как жесткого целого. Полным аналогом данного понятия является рассмотрение одного движения деформируемого тела, наблюдаемого с позиций двух движущихся относительно друг друга «наблюдателей» (систем отсчета); в этом случае говорят о независимости (или зависимости) (параметров процесса, соотношений) от выбора системы отсче-

та. Для упрощения рассмотрения будем считать, что в начальный момент нагружения конфигурация представительного объема едина для обоих движений. Введем две жесткие декартовы ортогональные лабораторные системы координат I и II с ортогональными базисами {е1} и {егп}, причем первую будем в дальнейшем считать условно неподвижной, а вторую — совершающей вращение относительно нее; таким образом, введенные системы координат будут отличаться в каждый момент

Г\ „ПТ

нагружения на жесткий поворот Огій = ег- ег-; тензор спина вращательного движения лабораторной системы координат II относительно лабораторной системы координат I примет вид П= ег11е1/1 = ОГІ8 • Введенный

ортогональный тензор ОГІ8 является оператором преобразования базиса условно неподвижной лабораторной системы координат I в базис подвижной лабораторной системы координат II. Во введенных системах координат зададим кинематическое или силовое нагружение, т.е. D или 2. При этом компоненты D или 2 должны быть одинаковыми в соответствующих системах координат в каждый момент нагружения представительного объема, поскольку речь идет об идентичных деформационных движениях, отличающихся только на жесткую трансляцию и жесткий поворот. При этом тензоры меры скорости деформированного и меры напряженного состояний связаны одним из следующих соотношений:

®П = °ГІВ • • °ГІВ, 2П = °гі8 • • °ГІ8, (5)

где первое соотношение — математическое выражение требования на связь кинематических воздействий, второе — связь меры напряженного состояния при силовом нагружении в двух движениях, отличающихся на наложенное жесткое. Заметим, что одно из соотношений выражает ограничение, накладываемое определением движений, отличающихся на наложенное жесткое, второе следует из индифферентности используемых мер.

Отметим, что везде далее при рассмотрении вопросов зависимости образов процессов для определенности будем рассматривать нагружение кинематического типа, т.е. заданным является тензор деформации скорости как функция времени (или неубывающего параметра — аналога времени). При этом в зависимости от способа разложения движения на макроуровне будем получать различный отклик, описываемый во всех случаях тензором напряжений Коши [5], но имеющим разные значения ввиду различного вращения подвижных систем координат.

На рис. 1 приведены необходимые обозначения величин, описывающих подвижные системы координат для произвольного (из трех рассматриваемых) варианта разложения движения в двух движениях, отличающихся на наложенное жесткое — базисы, тензоры ориентации относительно соответствующих лабораторных систем координат и спины. Отметим, что верхним индексом

Представительный объем в первом движении

я'"'

й(а)

Представительный объем во втором движении

Рис. 1. Схематичное изображение вводимых систем координат, их базисов, тензоров преобразований и тензоров спина: ЛСК — лабораторная система координат; ПСК — подвижная система координат; КСК — кристаллографическая система координат

(а) обозначается условный номер принимаемой гипотезы о разложении движения, а вместе с ним и способ построения образа процесса. Символом $ обозначены величины в движении, отличающемся от первого (относительно условно неподвижной лабораторной системы координаті) на жесткое движение ОТензор О(а) определяет ортогональное преобразование базиса лабораторной системы координат в базис подвижной системы координат кристаллита в соответствующем движении. Тензор R(а ) определяет ориентацию подвижной системы координат относительно соответствующей лабораторной системы координат в каждый момент времени. Введем также соотношения преобразования базисных векторов различных систем координат: условно неподвижная система координат I:

(е® }: е(° = е), Я(1) ^ I, А(1) = 0,

{е(2)}: е(2) = Я(2) • е1, А<2) = А,

(е(3)}: е(3) = Я(3) • е1, А(3) = W;

подвижная система координат II: (6)

{е(0 }: е(1) г е)1, Я(1) г I, А(1) г 0,

{е(2)}: е(2) = Я(2) • е11, А(2) = А,

((3)}: е(3) = Й(3) • е11, А(3) = \¥,

верхний индекс (а = 1,3) соответствует способу разложения движения; I — единичный тензор; при этом

связь базисных векторов определится следующим образом: е11 = 0^ •е! = е,1 • 0^.

Отметим, что рассматриваемый представительный объем состоит из множества кристаллитов, но для получения необходимых связей достаточно рассмотреть произвольный кристаллит, поэтому индексы номеров кристаллитов на рис. 1 и везде далее опущены.

Ввиду того, что учитываются ротации решеток кристаллитов, необходимо также ввести базисы кристаллографических систем координат {ес(а^}, ориентационные тензоры относительно соответствующих лабораторных систем координат и тензоры спинов кристаллитов. Для произвольного кристаллита (индекс опущен) введенные выше величины и связи примут вид:

{ес(1)}, 0(1) = ес(1)е|,а(1) = е‘(1Ц(1) = 0(1) • 0(1)Т,

{ер }, 0(2) = ере1, а(2) = ерер = 0(2) • 0(2)т,

{ес(3)}, О(3) = ес(3)е1, а(3) = ес(3Ц(3) = (0(3) • 0(3)т,

{е‘(1)}, (0(1) = ес(1)е», а(1) = ес(1)ер = (0(1) • 0(1)(7)

{с(2)}, 0(2) = ес(2)е11, а(2) = ёс(2)ес(2) = (0(2) • 0(

{ес(3)}, <0(3) = ере?, а(3) = ерер = (0(3) • 0(3)т,

где а(а), а(а) (а = 1,3) — спины решетки относительно соответствующих лабораторных систем координат (в дальнейшем вместо а(а), а(а) используются обозначения конкретных спинов). Наложенное жесткое движение, естественно, не изменяет взаимной ориентации кристаллитов в представительном объеме. Базисные векторы кристаллографической системы координат произвольно выбранного кристаллита в двух движениях связаны соотношениями

ер) = 0rig • е;с(“) = ер) • 0^, а = й (8)

4. Образы процесса в случае различных гипотез о разложении движения

4.1. Образ процесса в лабораторной системе координат

Рассмотрим вопрос зависимости образа процесса нагружения от наложенного жесткого движения в условиях принятия гипотезы, подразумевающей отсутствие вращательного квазитвердого движения на макроуровне, т.е. отнесения движения в целом к чисто деформационному. Отметим, что наложенное движение в данном случае понимается так же, как и ранее, однако построение образов будет производиться в одной и той же условно неподвижной лабораторной системе координат I. Пусть относительно лабораторных систем ко-ордин ат1 и II задано кинематическое нагружение Б, т.е. компоненты данного тензора равны в соответствующих системах координат. Основываясь на [5], при произ-

вольном нагружении представительного объема спин мезоуровня должен быть тривиальным, что приводит к отсутствию коротационной составляющей в производной тензора напряжений в определяющем соотношении мезоуровня. Тогда во втором движении оно примет вид:

6(1) = п: ае(1) = п:(ёп -йт(1)), (9)

связь неупругих составляющих:

а-(1>=£ г()>й,« = £ [т(,) (о • т(?, • о;, ) ]=

)=1 )=1^ -1

= оп, • йт(1) • о;,, (10)

■ ())

где учтено, что скорости сдвигов у4 7 по системам скольжения определяются течением внутренних процессов, на которые наложенное внешнее движение не оказывает никакого влияния. Тензор Огі§, характеризующий наложенное жесткое движение, одинаков для всех кристаллитов, входящих в представительный макрообъем, а следовательно, и для всех систем скольжения каждого кристаллита; обозначения аналогичны использованным

в [5].

Учитывая соотношения (9), (10), индифферентность тензора деформации скорости (первое соотношение в (5)) и гипотезу Фойгта, а также индифферентность тензора упругих свойств, получим:

п:(<1п - йт(1)) =

= п,й (Оп, • ек(1) )(Оп, • еВД )(Огі8 • ек(1)) х х(Оп, • ек(1)):(dIтп -dml))х х(Оп, • ет(1))(ОГі8 • еП(1)) =

= Пщ (dImn - ^ )(Оп, • ек(1) )(Оп, • е™ ) ®

ще\ ® • о;;, • оГі8 • еп(1))(ек(1) • о;;, • оп, • ет(1))=

Пщ - ^”(1) )(0Гі8 • ек(1) )(Оп, • е*(1)) =

= ОП, {пда (аш - ^(1) )ек (1) е^(1) ]• о;;, =

= Оп, •[□ :(й -йт(1))}о;;,, (11)

откуда связь производных принимает вид:

6(1) = п:(с1 ІІ - ат(1)} =

= о,;, •[п: (й) - ат(1))]• о^

=о,;, • 6(1) • о,7;,, (12)

что означает равенство компонент производных тензора напряжений в соответствующих лабораторных системах координаті и II. Из равенства компонент скоростей в каждый момент времени и равенства начальных напряжений в кристаллитах в двух движениях (т.е. компонент в соответствующих базисах) следует равенство конечных величин — компонент тензоров напряжений (в соответствующих базисах лабораторных систем координат I и II) в каждый момент времени в двух движениях:

О(1) = Orig • о(1) • oTg. (13)

Теперь определим связь тензоров напряжений на макроуровне, учитывая условия согласования определяющих соотношений [5]:

£(1) = (О (1)), (14)

откуда получим:

i(1) = (O ng-о (1) < )=O ng .(О(1) X =

= Orig • Е(1) • 0Hg. (15)

Это означает, что компоненты тензоров напряжений равны в базисах соответствующих лабораторных систем координат, однако в системе координат, в которой производится построение образов процесса, компоненты этих тензоров (лабораторная система координат I) не будут равны ввиду произвольности наложенного движения Orig- То же самое можно сказать и о компонентах меры деформированного состояния.

Из сказанного выше следует, что компоненты мер напряженного и деформированного состояний в двух движениях не будут равны в базисе лабораторной системы координат! что говорит о зависимости получаемого образа процесса от наложенного внешнего движения.

4.2. Образ процесса нагружения при разложении движения с использованием тензора спина Q

Покажем независимость образа процесса нагружения для предложенного в [10] способа разложения движения на макроуровне с использованием для описания квазитвердого вращения на макроуровне спина Q, определяемого осреднением тензоров спинов решеток кристаллитов ю, входящих в представительный макрообъем и устанавливаемых физически обоснованной моделью ротации. Очевидно, что наложение жесткого движения на процесс деформирования будет «передаваться» на нижние масштабные уровни, на всю совокупность кристаллитов, которая при этом будет испытывать такое же жесткое движение, как весь представительный макрообъем в целом. Также очевидно, что наложение жесткого движения не влияет на взаиморасположение кристаллитов, их взаимоориентацию и скорость изменения последней. Вместе с кристаллитом то же жесткое движение будет испытывать базис кристаллографической системы координат. При этом в силу того, что связи элементов (кристаллитов) много мощнее сил инерции, возникающих при наложении жесткого движения, никакие наложенные жесткие повороты всей системы в целом не должны влиять на «внутреннюю жизнь» кристаллитов.

Пусть относительно введенных выше лабораторных систем координат I и II задано одно и то же нагружение кинематического типа D, т.е. компоненты тензора деформации скорости в соответствующих базисах, заданные и известные в любой момент нагружения в этих системах координат, равны между собой. Напомним,

что спин подвижной системы координат I относительно лабораторной системы координат I в данном случае определяется осреднением мезоспинов решеток кристаллитов: О(2) = (ю(2)). Установим связь тензора спина (подвижной системы координатП относительно лабораторной системы координат II) О(2) со спином О(2), учитывая, что внешнее движение никоим образом не может влиять на ход внутренних процессов — эволюцию мезоструктуры материала, которой полностью определяется спин кристаллической решетки и напряженно-деформированное состояние кристаллита, поэтому вращение кристаллитов относительно соответствующей лабораторной системы координат будет идентично. Отметим также, что одинаковый наложенный жесткий поворот 0Й8 будет испытывать как весь представительный объем в целом, так и каждый кристаллит в отдельности. Учитывая сказанное и соотношения (7), (8), тензор спина решетки произвольно выбранного кристаллита относительно лабораторной системы координат II в движении с наложенным жестким поворотом определится следующим образом:

ю(2) = 0П8 • ю(2) • О^. (16)

Данное соотношение говорит о том, что тензоры спинов систем координат кристаллита в соответствующих лабораторных системах координат будут иметь одинаковые компоненты, что означает наличие одинаковой мгновенной скорости вращения кристаллитов в двух движениях относительно лабораторных систем координат! и II, а следовательно, одинаковые относительные ориентации базисов системы координат кристаллита.

Определим связь коротационных производных тензора напряжений Коши мезоуровня в двух движениях. Напомним, что определяющее соотношение мезоуровня во втором движении примет вид:

в г(2), в(2) - ю(2) • в(2)+в(2) • ю(2) =

= п: йе(2) = п:(ёп - й“(2)). (17)

Связь неупругих составляющих тензоров деформации скорости в лабораторных системах координат I и II следует из соотношения между ориентационными тензорами в двух движениях и аналогична (10):

ат(2)=0П8 • ^(2) • 0^8. (18)

С учетом (11), (17), (18), связь коротационных производных напряжений мезоуровня в данном случае принимает вид:

*г(2) =

= п:(«1п - (Т(2)) =

= Оп, -[п :(й) - ат(2))]-О:

• О

гі8 5

(19)

что означает равенство компонент коротационных производных тензора напряжений в соответствующих лабораторных системах координат I и II. Отсюда с учетом (16) следует равенство компонент тензора скорости

напряжения в базисах систем координат кристаллита I и II. Из равенства компонент скоростей в каждый момент времени и равенства начальных напряжений в кристаллитах в двух движениях (т.е. компонент в соответствующих кристаллографических базисах) следует соотношение между тензорами напряжений в каждый момент времени в двух движениях:

6(2) = о,;, • о(2) • о;,. (20)

Связь тензора спина подвижной системы координат II относительно лабораторной системы координат II с соответствующим спином в первом движении примет следующий вид:

а(2)=<й(2) >=<оп, -ю(2) -о;, > =

= Оп, •<© (2) >• О;І8 = О,;, • А (2) • о;;,.

(21)

Данное соотношение является математической записью равенства компонент тензоров спина подвижных систем координат I и II относительно лабораторных систем координат! и II соответственно, отличающихся на жесткий поворот ОГІ8. Другими словами, это означает, что введенные подвижные системы координат испытывают одинаковое вращение относительно соответствующих лабораторных систем координат. Учитывая, что начальные относительные ориентации введенных подвижных систем координат относительно соответствующих лабораторных систем координат одинаковы (в точности совпадают), получаем, что эти относительные ориентации будут одинаковы в любой момент времени процесса деформирования.

Из условий согласования [10]

£(2) -<6 (2)>, (22)

связь тензоров напряжений макроуровня в двух движениях примет вид:

2^ =<О„8-0^8 )=ОП8)-О^8 =

= 0„8 • 2(2) • 0^8, (23)

т.е. компоненты тензоров напряжений Коши макроуровня будут равны в базисах соответствующих лабораторных систем координат. Учитывая, что относительные ориентации подвижных систем координат относительно лабораторной системы координат будут одинаковы, компоненты тензоров 2(2) и будут одинаковы и в подвижных системах координат, в которых производится построение образов процесса нагружения.

Аналогичные выводы можно получить и для меры деформированного состояния, для которых коротацион-ные производные в двух движениях примут вид:

Ег(2) = Е(2) + О(2)т •Е^ +Е(2) О(2) = 1^^^

(24)

Е

г(2) _ (2)

Е(2) + А

(2); -]Е(2) +е(2) -а(2) =

Учитывая первое соотношение в (9), получим:

'ег(2) - о ^ег(2) •О; (25)

]ЕГ(2) - О,;, -Е

г;8’

что означает равенство компонент коротационных производных мер деформированного состояний. Проводя аналогичные рассуждения, получим равенство компонент мер E(2) и E(2) в соответствующих базисах подвижных систем координат I и II, т.е. связь неголо-номных мер деформированного состояния вида:

E(2) = Orig -E(2) -o Jig. (2б)

Из вышесказанного следует независимость компонент (т.е. их равенство в базисах соответствующих подвижных систем координат) мер напряженного и деформированного состояний от произвольного наложенного движения. Очевидно, что из соотношений (23), (2б) следует, что образы процессов нагружения в двух движениях, отличающихся на жесткий поворот, в совмещенном пространстве напряжений и деформаций К(5) будут идентичны.

4.3. Образ процесса при использовании производной Яуманна

Покажем независимость образа процесса в предположении разложения движения на квазитвердое, ротационная составляющая которого ассоциирована с тензором вихря W, и собственно деформационное, определяемое, как и в предыдущем случае, тензором деформации скорости D. В каждый момент нагружения подвижная система координат I относительно лабораторной системы координат I вращается с мгновенной угловой скоростью, определяемой тензором вихря, связанным со спином мезоуровня условием согласования [5]:

W = (w(3)) = w(3) = R(3) • R(3)T = ё(3)ё(3), (27)

где w(3) — тензор спина мезоуровня, характеризующий квазитвердое вращение кристаллита. Отметим, что здесь учтен полученный в [5] результат, заключающийся в равенстве спинов мезо- и макроуровней, вытекающем из условий согласования определяющих соотношений.

Рассуждения аналогичны приведенным в п. 4.2. При этом учтем, что наблюдателю в лабораторной системе координат II ничего не известно о наложенном внешнем движении на «его» систему координат и что это движение одинаковым образом передается на все элементы мезоуровня — кристаллиты. Из этих рассуждений и соотношений (7), (8) следует, что связь тензоров спинов произвольно выбранного кристаллита в движении относительно условно неподвижной лабораторной системы координат! и в движении с наложенным жестким поворотом (относительно лабораторной системы координат II) определяется соотношением

w(3) = Orig -w(3) -O !ig. (28)

Данное соотношение аналогично соотношениям (1б) и означает, что тензоры спинов систем координат кристаллита в соответствующих лабораторных системах координат будут иметь одинаковые компоненты, что означает наличие одинаковой мгновенной скорости враще-

ния кристаллитов в двух движениях относительно лабораторных систем координат I и II, а следовательно, одинаковые ориентации базисов систем координат кристаллита относительно соответствующих лабораторных систем координат.

Определим связь коротационных производных тензора напряжений ^ши мезоуровня в двух движениях. Напомним, что определяющее соотношение мезоуровня во втором движении примет вид:

0r(3) ^ О(3) - w(3) -О(3) + О(3) -w(3) =

= п: de(3)= п: (dII - din(3)), (29)

связь неупругих составляющих определится аналогично (10):

dm(3) = ong-dm(3)-o rig. (30)

Также аналогично (19) можно установить связь корота-ционных производных напряжений мезоуровня:

0r(3) = п: (dII - dm(3)) =

= Orig-[n: (dI - din(3))]- оЦ8 =

= Ong-оr(3) •Or7ig, (31)

что означает равенство компонент коротационных производных тензора напряжений в соответствующих базисах лабораторных систем координат I и II. Отсюда с учетом (28) следует равенство компонент тензора скорости напряжения в базисах систем координат кристаллита I и II. Из равенства компонент тензора скоростей напряжений (в кристаллографических базисах I и II) в каждый момент времени и равенства начальных напряжений в кристаллитах в двух движениях (т.е. компонент в соответствующих кристаллографических базисах) следует равенство конечных величин — компонент тензоров напряжений в этих базисах в каждый момент времени в двух движениях, откуда вытекает соотношение

0(3) = Orig-о(3) Orig. (32)

Определим тензор спина подвижной системы коор-динатїї относительно лабораторной системы координат II во втором движении с наложенным внешним жестким движением:

W = <w(3))=<O rig. w(3)- о Hg ) =

= Orig .(w(3))-O^g = Orig -W-O^. (33)

Данное соотношение означает, аналогично соотношению (21), что ориентации подвижной системы координат относительно соответствующих лабораторных систем координат будут одинаковы. В силу соотношения (32) и условия согласования

Е(3) =(0(3)), (34)

связь тензоров напряжений макроуровня примет вид:

£(3) =(0(3)) = O ng-(о (3)). OHg =

= Ong-Е(3)-Orig, (35)

т.е. компоненты тензоров напряжений ^ши макро-

уровня будут равны в базисах соответствующих лабораторных систем координат. Учитывая, что ориентации подвижных систем координат относительно соответствующих лабораторных систем координат будут одинаковы, компоненты тензоров Е(3) и Е(3) будут одинаковы и в подвижных системах координат, в которых производится построение образов процесса нагружения. Как и в п. 4.2, можно получить соотношения, аналогичные (24)-(26), для случая определения квазитвердого движения на макроуровне со спином, равным тензору вихря W. Построенный данным способом образ процесса будет также независим от наложенного внешнего жесткого движения. Однако в этом случае вращение решеткам кристаллитов «навязывается» с верхнего уровня (спины всех кристаллитов равны тензору вихря макроуровня), что не соответствует реальной физике ротаций решеток кристаллитов и экспериментальным данным.

5. Выводы

Рассмотрены вопросы независимости образа процесса нагружения от наложенного на представительный макрообъем жесткого движения при различных способах разложения движения на макроуровне на квазитвер-дое и деформационное. Показано, что при принятии гипотезы о квазитвердом движении на макроуровне со спином, равным осредненному спину мезоуровня, получаемый образ процесса нагружения не зависит от наложения на движение представительного макрообъема произвольного жесткого вращения. Установлено, что данный факт напрямую следует из способа определения спина подвижной системы координат, основанного на использовании параметров, характеризующих эволюционирующую микроструктуру материала. Показано, что образ процесса в подвижной системе координат, движение которой определяется тензором вихря W, также независим от наложенного жесткого движения. Однако при данном способе разложения движения кристаллитам «навязывается» ротация со спином, равным тензору вихря макроуровня, что представляется неприемлемым с физической точки зрения. Образ процесса нагружения, получаемый при использовании гипотезы о том, что все движение относится к деформационному, является зависимым от наложенного внешнего движения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 12-08-01052-а, 12-08-33082-мол_а_вед, 12-01-31094-мол_а, 13-01-96006-урал_а), гранта Президента РФ № МК-390.2013.1, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (соглашение 14.B37.21.0382), Минобрнауки России в рамках Постановления №2 220 от 9.04.2010 г. (договор № 14.B25.31.0006).

Литература

1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд. АН СССР, 1963. - 272 с.

2. Поздеее А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

3. Трусов П.В., Шеешин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезо-мех.- 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

4. Трусов П.В., Шеешин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

5. Трусов П.В., Волегое П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: о разложении движения на макроуровне // Физ. мезо-мех. - 2013. - Т. 16. - № 5. - С. 17-23.

6. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

7. ТрусовП.В., ВолегоеП.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2011. - № 2. - С. 101-131.

8. Трусов П.В., Волегое П.С., Шеешин А.И. Конститутивная упруговязкопластическая модель ГЦК-поликристаллов: теория, алгоритмы, приложения. - Saarbucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 147 c.

9. Трусов П.В., Волегое П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

10. Трусов П.В., Шеешин А.И., Нечаева Е.С., Волегое П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. - № 1. - С. 33-56.

11. Зубчаниное В.Г. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для машиностроит. спец. вузов. - М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

12. ЗубчаниноеВ.Г Механика процессов пластических сред. - М.: Физматлит, 2010. - 352 с.

Поступила в редакцию 25.03.2013 г.

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, [email protected] Волегов Павел Сергеевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, [email protected] Янц Антон Юрьевич, асп. ПНИПУ, [email protected]