Двухмодовые ветвления сегнетоэлектрических фаз кристалла вблизи критической фазы с однородной особенностью шестого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДВУХМОДОВЫЕ ВЕТВЛЕНИЯ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФАЗ КРИСТАЛЛА ВБЛИЗИ КРИТИЧЕСКОЙ ФАЗЫ С ОДНОРОДНОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

Дано описание раскладов сегнетоэлектрических фаз кристалла, бифурциру-ющих из критической фазы с двухмодовым вырождением и особенностью 6-го порядка. Использован модифицированный метод Ляпунова — Шмидта (редукция функционала энергии к (ключевой) функции конечного набора переменных), оснащенный элементами теории особенностей гладких функций. Акцент сделан на случай геликоидной модели кристалла.

Ключевые слова: фредгольмов функционал, функционал энергии кристалла, термодинамический потенциал, экстремаль, бифуркация, метод Ляпунова — Шмидта, тип особенности, симметрия.

Введение. Известно, что в теории Л. Д. Ландау [1] сегнетоэлектрические фазы неоднородных кристаллов определяются нелинейными дифференциальными уравнениями (уравнениями Эйлера — Лагранжа экстремалей функционалов энергии). Нелинейность уравнений задается термодинамическими потенциалами, алгебраическая структура которых определяется как на основе опытных данных, так и на основе теоретических соображений [1; 2].

Математический аспект задачи о фазовых переходах в кристаллах состоит в бифуркационном анализе экстремалей гладкого фредгольмова функционала (с параметрами) вблизи точки минимума с многомерным вырождением. Решение такой задачи можно осуществить через редукцию Ляпунова — Шмидта, т. е. сведением к анализу ключевой функции, представленной в виде многопараметрического семейства полиномов от нескольких переменных [3; 4]. Вычисление главной части ключевой функции проводится через ритцевскую аппроксимацию (вообще говоря, нелинейную) функционала по конечной совокупности мод бифуркации.

Основной результат статьи — описание допустимых раскладов экстремалей, бифурцирующих по двум модам из симметричной шт-особенности 6-го порядка.

1. Использование ключевой функции при определении фазовых состояний кристалла

В случае двухкомпонентного параметра порядка при описании геликоидных сегнетоэлектрических структур часто используется термодинамический потенциал [1]

П = \т\6 + в \т\4 + а \т\2 + д и^2 \т\2 + ки|,

входящий в лагранжиан

£ = 1

2

д2т 2 дт

дг2 — ^ дг

+ П(т)

функционала энергии

2п

1 / (д2т дт \

1 = 2ПУ Ча?'а7'“К

0

Сегнетоэлектрические фазы, соответствующие экстремалям этого функционала при условии периодичности

т(г + 2п) = т(г),

определяются уравнением

/(т) = 0, т € Е, /(т) € Е,

где

д4и> д2и>

/(т) := 5^4 + ^5^2 + §гааП(т) •

Нелинейный оператор /, действующий из банахова пространства

(1)

(2)

Е := П

2п

{т € С4(К, К2) I т(г + 2п) = т(г)}

(пространства четырежды непрерывно дифференцируемых 2п-периодических функций со значениями в К2) в банахово пространство Е := П°п (пространство непрерывных 2п-периодических функций со значениями в К2), является фред-гольмовым аналитического индекса нуль [5]. Исследование уравнения (2) можно провести, перейдя к ключевой функции.

2. Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции

Легко заметить, что группа О симметрий исходного уравнения (2) порождена преобразованиями

т1

^2

т1

^2

т1

^2

т1

^2

т1

^2

^2

т1

Л

^(г) ^(г)

^(г + <р) ^(г + <р)

•^(-г)

^2(-г)

€ К.

2

При некоторой локализации параметров получим в нуле 4-мерное вырождение со следующими модами бифуркации:

е1

Ф)

0

е2 =

Ф)

0

ез

0

ф)

е4 =

0

Ф)

где

с(г) = у/2оо8(г), з(^) = л/2в1п(^).

В линейной оболочке N = 8рап(е1; е2, е3, е4), естественным образом отождествляемой с К4 (пространством ключевых параметров), индуцируется действие группы С. Полученный сужением образ этой группы в 50(4) также обозначим С. Нетрудно убедиться в том, что действие группы С в К4 порождено матрицами

^1

из =

( — 1 0 0 0 \

0 -10 0 0 0 10

0 0 0 1 у

/ 1 0 0 0 \

0 -1 0

0 0 11

0 0 0 -1

( еов(^) — вт(^)

вт(^) еов(^)

^2

^4

и =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 -1 0

0 0 0 -1

0010 0 0 0 1 1000 0100

00

0

0

0

V

Ключевая функция

0 еов(^) — вт(^)

0 вт(^) еов(^) У

Ж (£) :=

т£ V (ад),

ад:д(ад)=5

где

2п

9 = (91 ,92,9з,94)Т, 9зМ := (ад, ^) :=

2п

(3)

наследует симметрию функционала V: функция Ж инвариантна относительно действия С на К4. Доказательство этого утверждения несложно провести, если воспользоваться общими теоремами о наследовании симметрий ключевыми функциями [4].

Применив алгоритм вычисления тейлоровских разложений ключевых функций [4] и указанную выше симметрию, получим следующее утверждение.

Теорема 1. Ключевая функция Ж(£) имеет (с точностью до масштабирующих преобразований аргумента и общего множителя, зависящего от констант термодинамического потенциала) вид

(11 + ^2)3 + £(11 + ^2)2 + $(11 + 12) + Т^З + 7214 + (Р113 + Р212) (11 + 12) + 0 (|£|8)

0

где Д, /2 /3, /4 — образующие инварианты действия окружности ъ —> ехр(г^)ъ (вектор £ Є К4 отождествлен с комплексным вектором ъ = (^і,г2)т Є С2,

£і = £1 + і£2, ^2 = £3 + і£4) :

/1 = £2 + £2, /2 = £3 + £4> /3 = £1£3 + £2£4, /4 = —£1 £4 + £2£3-

Доказательство. Данная форма ключевой функции получена на основе легко проверяемого (с учетом симметрии) асимптотического представления Ж = и + О (|£|8) , где

U — V I £iei + £262 + £зез + ^464 I ^ aj£j

V j: |j|=3

является нелинейной ритцевской аппроксимацией V по модам бифуркации 61,62,63,64, aj — вычисляемые элементы пространства E (гладко зависящие от констант, входящих в термодинамический потенциал), (aj,6k) — 0 Vj, k,

2п

(u,v) :— — (u,v) dz [4].

2n J

0

После масштабирующего преобразования аргумента и деления W на подходящий множитель получим, с учетом всех симметрий, функцию W — U + O (||£||8) , где

U — (/1 + Д)3 + e(/1 + ^2)2 + 8(/1 + /2) + 71^3 + 72^4 + (p1l2 + p2/2) (/1 + /2)

(главная часть ключевой функции). □

Заметим, что образующей системой инвариантов действия группы G является следующий набор многочленов:

J — д + /2, J2 — /2, J3 —14 •

Следовательно, после введения полярных координат z1 — r1 exp(i^1), z2 — r2 ехр(гф2) получим функцию в форме, удобной для проведения дискриминантного анализа:

W — J3 + eJ2 + 8J1 + 71J2 + 72J3 + (P1J2 + P2J3)J1 + O (J4) —

— of + e^2 + 8^1 + (71 cos2 ф + 72 sin2 -0)^2 + (p1 cos2 ф +P2 sin2 ф)^1 ^2 + O ((r2 + r2)^ ,

G1 — r2 + r^ G2 — r^, ф — 01 - 02.

Перейдя к двойному углу, получим

W — G'3 + eG2 + 8G1 + G2 + (P^++P2) G1G2 +

+ (7172)G2 + !p1 _ P2)g 1G2cos(20) + O ((r2 + r2)4) •

Из теорем о конечной определенности гладких функций в конечнократных критических точках [6—9] следует, что расклады бифурцирующих критических точек и их асимтотики (по малым приращениям параметров) определяются главной частью U ключевой функции. Точки, стационарные для U по ф, находятся из уравнения — 0. Так как

dU 0 Л71 _ Y2) . (P1 _ P2) \ . fol,

дф — -2G2 + ^^~ G1J8т(2ф)'

стационарные по ф точки определяются нулями функции sin(20). Знак второй производной определяется (при отыскании точек минимума по ф) знаком выражения (71 — 72) + (P1 — P2) G1.

Таким образом, после вторичной редукции (исключения переменной ф) поиск экстремалей сводится к изучению следующей пары симметричных функций:

U1 — G3 + eG2 + 8G1 + Y1G2 + P1G1G 2,

U2 — G3 + eG2 + 8G1 + Y2G2 + P2G1G 2 •

3. Описание раскладов бифурцирующих критических точек редуцированной главной части ключевой функции

Как было установлено выше, главная часть U ключевой функции после вторичной редукции принимает следующий вид:

3 2 с 2 2 2 2

G1 + eG1 + 8G1 + PG1G2 + YG2, G1 — r1 + r2 , G2 — r1 r2 •

После замены r2 — y1, r| — y2 получим омбилическую min-особенность в вершине угла y1 > 0, y2 > o [10]. Из результатов M. А. Хуссаина, А. В. Белоглазова по угловым особенностям омбилического типа [11; 12] следует, что максимальные bif-расклады особенности в нуле функции W исчерпываются раскладами (9,12, 4), (5,12, 8). В полярных координатах r1 — r cos <^, r2 — r sin ^ получим g 1 — r2, g2 — у(1 — cos(4^)) и, следовательно,

r4

U — r6 + er4 + 8r2 + Г— (pr2(1 — cos(4^)) + 7 (1 — cos(4<^))). (4)

8

Множество критических точек этой функции является пересечением кривых M1 и M2, определяемых уравнениями — о (кривая радиально стацинар-ных точек) и д" — 0 (кривая тангенциально стацинарных точек). Из (4) следует, что M1 задается уравнением

r3

6r5 + 4er3 + 28r + —(3pr2(1 — cos(4^)) + 2y(1 — cos(4^)))r3 — 0

или, после приведения подобных слагаемых и сокращения на множитель r, уравнением

^6 + 3p(1 — cos(4^))^ r4 + (4e + 2y(1 — cos(4^)))r2 + 28 — 0.

Рис. 1

Компьютерные изображения этой кривой приведены на рис. 1.

Кривая М2 задается уравнением (р г2 + 7) 8т(4</?) = 0. Из этого уравнения видно, что кривая М2 состоит из осей координат, диагональных прямых линий и окружности г2 = — ^ (рис. 2). Каждому типу пересечения М\ П М2 соответствует определенный тип строения линий уровня ключевой функции и схема взаимных примыканий критических точек. По изображениям линий уровней легко проследить взаимные примыкания раскладов (рис. 3).

Если через С = (1о,1\,12) обозначить Ы£-расклад (количества минимумов, седел индекса (Морса) 1 и седел индекса 2), то получим следующий список Ы£-

раскладов критических точек функции Ш:

(9,12,4), (5,12,8), (5,8,4), (8,8,1), (4,4,1), (1,4,4), (5,4,0), (1,0,0).

Им соответствуют (с точностью до поворота на угол п/4) графы (клеточные комплексы Морса [13]), изображенные на рис. 4.

Рис. 4

4. Некоторые запреты для Ы£-раскладов

Пусть

и = г3 + £г 2 + £г 1 + р г 1 г + 7Г.

(5)

Через С = (10,1 1,12) обозначим ЪИ-расклад. Из формулы Эйлера для гладких функций [6; 13] следует, что для максимального расклада выполнены соотношения

^1 = 12, 1о + ^2 = 13.

Кроме этих соотношений, имеется еще ряд ограничений.

Теорема 2. Старшая часть функции (5) принимает в нуле строго минимальное значение тогда и только тогда, когда р > -4.

Доказательство. Для старшей части функции (5) имеем

Ш = г3 + РГ1Г 2 = Г1 (г2 + РГ2).

Так как г1 > 0, то проверка утверждения сводится к проверке положительной определенности квартичной формы г2 + р г2 = г4 + г| + аг2, а = 2 + р, которая положительна, как известно [4], тогда и только тогда, когда а > -2. Отсюда следует утверждение теоремы. □

Далее предполагается, что р = 0 (условие конечнократности точки мини-

мума)

Теорема 3. Если С — максимальный Ьі£-расклад для тт-особенности шестого порядка, то для соответствующей этому раскладу возмущенной функции Ш начало координат является точкой локального минимума.

Доказательство. Рассмотрим сужение Ш

. В случае макимального раскла-

Гк =0

да соответствущие расклады критических точек для W

также будут макси-

Гк =0

мальными. Следовательно, дЖ- (0) > 0 при любом к (для функции с симметрией

к

квадрата (0) = 0). □

Теорема 4. Для функции (5) на каждой кооординатной полуоси и каждой диагональной полуоси существует не более двух ненулевых критических точек. Если на одной из этих восьми полуосей имеется пара ненулевых критических точек, то эти точки разнотипны (с различными значениями индекса Морса).

Доказательство. Первое утверждение очевидно проверяется через рассмотрение сужений W . Невозможность существования на каждой полуоси пары мини-

Гк=0

мумов или максимумов также легко проверяется через рассмотрение сужений

Гк=0

Менее тривиален случай пары седел. Предположим противное: пусть на положительной полуоси г2 = 0,г і > 0 имеется пара ненулевых седел (или, что эквивалентно, имеется четыре седла на всей оси г2 = 0). Так как для критической точки на оси г2 = 0 выполняется соотношение

дШ

■(г 1, 0) = 2г1 (3г: + 2єг: + 5) = 0, (6)

дг 1

то получим

є2

г2 = — ± - л/є2 — 35, є < 0, 5 < — .

1 3 3 ’3

В случае левого корня (г 2 = — | —|\/е2 — 3$) выполнено (вследствие предположения противного) неравенство > 0, а в случае правого (г2 = — | +|\/е2 — 3$) —

неравенство -^гг < 0.

Так как

д 2 Ш

(г 1, 0) = 2((3 + р)г 4 + (е + 7)г2 + $),

то, в силу (6), получим рг 2 + 7 — е > 0 для левого корня и рг 2 + 7 — е < 0 — для правого. Или, соответственно,

р (—е — л/е2 — 3$) + 7 — е > 0

и

р (—є + Vє2 — 35) + 7 — є < 0.

3

После вычитания неравенств получим при р > 0 (случай р < 0 сводится к рассмотренному поворотом осей на угол п/4) противоречивое неравенство р\/е2 — 3$ < 0. Для других полуосей рассуждения аналогичны. □

Теорема 5. Если С — максимальный Ы£-расклад для тт-особенности шестого порядка, то /0 > 5 и /2 > 4.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из того, что орбита каждой ненулевой критической точки состоит из четырех или восьми точек (вследствие симметрии квадрата). □

Из этих теорем вытекают следующие утверждения.

Теорема 6. Если С — произвольный Ы£-расклад, то /2 < 8.

Теорема 7. Если С — максимальный Ы£-расклад, то вне диагональных и коор-

динатных осей находятся лишь седловые критические точки (8 точек).

5. Переход к функции в координатном угле

Функция

Ш(г 1, г2) = г 3 + ег 2 + $Г 1 + рг 1Г2 + 7Г2 22

после замены г 2 = У 1, г§ = У2 превращается в многочлен

и(У1,У2) = ^ + е^2 + $5 1 + ре 1г2 + 7 52, (7)

«1 = У1 + У2, 52 = У1У2,

представляющий собой развертку омбилической особенности [7].

Областью определения этой функции служит угловой сектор

У1 > 0, У2 > 0.

Развертка (7) является миниверсальной в вершине (начале координат) угловой области [10—12]. Каждый Ы£-расклад описывается матрицей Ь = (/р), в которой элемент /р равен количеству критических точек (углового) индекса д на р-мерных гранях угла.

Список раскладов бифурцирующих экстремалей (для симметричной особенности шестого порядка) перейдет в список раскладов экстремалей, бифурцирую-щих из угловой особенности омбилического типа. К известному списку раскладов М. А. Хуссаина [11] добавятся при этом шесть новых раскладов

/100\ /100\ /100\ /100\ /100\ /100\

I 0 0 0 I , I 0 2 2 I , I 2 0 2 I , I 0 2 2 I , I 2 0 2 I , I 2 0 2 I .

\1 10/ \ 0 0 ^ / \ 0 2 0 ) у 1 2 1/ \ 0 3 ^ / \ 1 3 0/

Появление дополнительных раскладов вызвано тем, что, во-первых, М. А. Хус-

саин рассматривал лишь гиперболические омбилики и, во-вторых, в его работах имеются ограничения на область изменения параметров, связанные с характером рассмотренных приложений. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 8. Расклады угловых экстремалей, бифурцирующих из точки минимума с симметричной омбилической особенностью (гиперболической или эллиптической) в координатном угле, исчерпываются следующим списком:

1 0 0 \ /100\ /001\ /001\ /100\ /100\

0 0 0 І , I 0 0 0 І , I 0 2 0 І , I 2 0 0 І , I 2 2 0 І , I 0 0 0 I ,

0 0 0/ \ 0 1 1/ \ 1 0 0/ \ 0 1 0/ \ 0 0 ^ / \ 1 2 1/

0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

і 2 0 0 І , і 0 2 2 І , і 0 4 0 І , і 2 2 0 І , I 2 2 0 І .

1 2 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0 І , I 0 2 2 І , I 2 0 2 І , I 0 2 2 І , I 2 0 2 І , I 2 0 2 І .

1 1 0/ \000/ \020/ \ 1 2 1 ) \ 0 3 1/ \ 1 3 0/

6. Плоские сечения каустики

Переход к функции (7) в угловой области упрощает описание и исследование каустики. Несложные вычисления приводят к следующим параметризациям компонент каустики:

р2

£°’° : 5 = 0; ЕЦ : 5 = у, р< 0;

ЯІ0 : 5 = 2Д - 3 (1< , ^< 0;

р \р/ р

V^diag * (4р + Т)2 _7

Е“ : 5 = і2(Р+4) ' 4р + 7< 0- р< 4;

7 < 3(4+р) /7<2 , 4р + т< 0, 7 <

4 \р/ р

: 5 =(4р + 7)(^) -

Рис. 5

На рис. 5 приведен пример изображения плоского сечения каустики.

Список литературы

1. Изюмов, Ю. А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю. А. Изюмов, В. И. Сыромятников.— М. : Наука, 1984. — 247 с.

2. Широков, В. Б. Феноменологическое описание фазовых переходов в тонких пленках В.Н. BaTiO3 / В. Б. Широков, Ю. И. Юзюк, B. Dkhil, В. В. Леманов // Физика твердого тела.— 2008.— Т. 50, вып. 5.— C. 889—892.

3. Красносельский, М. А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М. А. Красносельский, Н. А. Бобылев, Э. М. Мухамадиев // ДАН СССР. — 1978. — Т. 240, № 3.— С. 530—533.

4. Даринский, Б. М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов, С. Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления.— 2004.— Т. 12.— С. 3—140.

5. Борисович, Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере — Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // Успехи мат. наук.— 1977.— Т. 32, вып. 4.— С. 3—54.

6. Арнольд, В. И. Особенности дифференцируемых отображений / В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде.— М. : МЦНМО, 2004. — 672 с.

7. Постон, Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт.— М. : Мир, 1980. — 608 с.

8. Брекер, Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л. Ландер.— М. : Мир, 1977. — 208 с.

9. Poenaru, V. Singularites Cen Presence de Symetrie / V. Poenaru // Lecture

Notes in Mathematics. V. 510, chapter II.— N.-Y. : Springer-Verlag, 1976.—

P. 61—89.

10. Сапронов, Ю. И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю. И. Сапронов // Мат. сб.— 1989.— Т. 180, № 10.— С. 1299—1310.

11. Хуссаин, М. А. К дискриминантному анализу бифуркаций равновесий упругой балки с двумя полуограничителями / М. А. Хуссаин // Тр. мат. ф-та.— Воронеж : ВорГУ, 2004.— Вып. 8.— С. 102—107.

12. Белоглазов, А. В. Бифуркации экстремалей фредгольмова функционала из омбилической точки минимума в вершине угла / А. В. Белоглазов // Вестн. ВГУ.— Сер. Физика. Математика.— 2006.— Вып. 2.— С. 147—153.

13. Постников, М. М. Введение в теорию Морса / М. М. Постников.— М. : Наука, 1971.— 568 с.