CC BY
39
Двухэтапный процесс компьютерного конструирования наполненной полимерной композиции
Б.А. Люкшин, П.А. Люкшин, Н.Ю. Матолыгина
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Описана методика компьютерного конструирования дисперсно наполненной полимерной композиции для изготовления определенного класса изделий, подверженные известным эксплуатационным нагрузкам. Обсуждается проблема формулировки требований к макрохарактеристикам (на уровне лабораторного образца, элемента конструкции) материала как первый этап решения задачи. На втором этапе сочетанием методов структурного анализа и планирования численного эксперимента определяются возможные сочетания параметров, дающие требуемые на макроуровне свойства материала. Показано, что в отличие от экстремальных задач заданному уровню макропараметра может отвечать некоторое множество сочетаний значений управляющих параметров, дающее в соответствующем пространстве состояний не точку, а линию уровня. Приведен пример, иллюстрирующий реализуемость и эффективность предлагаемой в работе методики.
1. Введение
В теории и практике проектирования достаточно богатую историю и обширную библиографию имеет проблема оптимального и рационального проектирования конструкций, например [1-5]. Как правило, задачи ставятся и решаются в предположении, что свойства материалов известны. Прочностная оптимизация конструкции под заданные условия нагружения сводится к поиску геометрических характеристик, дающих минимальное значение массы конструкции при ограничениях на параметры напряженно-деформированного состояния. В другой постановке определяются минимальные значения параметров напряженно-деформированного состояния при ограничениях на массу. Значительно реже в качестве минимизируемой функции выступают другие величины, например стоимость конструкции.
Появление новых классов материалов — порошковых, композиционных, полимерных и т. д. — дает возможность рассматривать задачу оптимального проектирования с точки зрения выбора наилучшего в определенном смысле материала. Следует подчеркнуть, что постановка задачи проектирования конструкционных или функциональных материалов имеет смысл только для конкретного изделия или класса изделий под определенные условия эксплуатации.
Вопросы, на которые необходимо ответить при решении этой задачи, достаточно очевидны: 1) каков комплекс характеристик материала, “наилучших в определенном смысле”; 2) как получить этот комплекс свойств. Получение ответов на эти вопросы и представляет собой два основных этапа компьютерного конструирования материала.
2. Конструирование полимерной композиции
Что касается первого вопроса, то он сводится к определению критерия, по которому можно судить о качестве материала. Для материалов конструкционного назначения такие критерии формально могут совпадать с критериями прочности в виде ограничений на параметры напряжений и/или деформаций, допускаемых в материале. В этом смысле выбор критерия качества материала на первый взгляд не представляет большой сложности. В действительности дело обстоит не так просто [6]. Для определения полей перемещений, деформаций и напряжений, возникающих в элементе конструкции, необходимо задать определенный набор физико-механических (деформационно-прочностных) характеристик материала, входящих в так называемые определяющие (физические) соотношения. Исключением — и достаточно редким — являются случаи статически оп-
© Люкшин Б.А., Люкшин П.А., Матолыггина Н.Ю., 2000
ределимых систем. После анализа полученных методами теории упругости и пластичности перемещений, деформаций и напряжений в элементе конструкции при заданной внешней нагрузке можно сформулировать требования к материалу. Затем следует “подправить” заданные на первом этапе характеристики таким образом, чтобы получить лучшее соответствие между допустимыми и полученными расчетом возникающими напряжениями (деформациями). Но это исправление, в свою очередь, меняет параметры напряженно-деформированного состояния расчетной области — и процесс отыскания окончательных “наилучших” значений характеристик материала неизбежно становится итерационным.
Когда речь идет о композициях на полимерной основе, материалы этого класса характеризуются большим количеством показателей — деформационно-прочностных, электро- и теплофизических, триботехнических, усадочных и т. д. Естественно, что для различных элементов конструкций не все из этих характеристик в одинаковой степени важны. Так, для материалов, выполняющих некоторые специфические функции в узлах трения, уплотнительных устройствах, защитных покрытиях и т. п. требования к их характеристикам формулируются в виде некоторых соотношений, содержащих, как правило, эмпирические коэффициенты [7]. Эти коэффициенты в большинстве случаев зависят от физико-механических (в том числе деформационно-прочностных) свойств материала. Для материалов конструкционного назначения, т. е. таких, которые используются для изготовления узлов и деталей, подверженных термосиловому нагружению, именно деформационно-прочностные характеристики материалов определяют их качество. Поэтому далее под требованиями к материалу будем понимать прежде всего комплекс ограничений на деформационно-прочностные характеристики.
Число параметров, характеризующих в этом отношении материал на макроуровне, зависит от используемой далее модели материала. Так, для однородного изотропного линейно упругого материала это две величины, изначально связанные с различным сопротивлением его объемному деформированию (что приводит к понятию объемного модуля упругости) и изменению формы (модуль сдвига). На практике это могут быть и другие постоянные (например, два параметра Ламе, модуль упругости и коэффициент Пуассона и т. д.), но число независимых параметров для описания такого материала всегда равно двум. Усложнение модели увеличивает количество этих постоянных. Простой перебор всех возможных сочетаний их значений (метод “сканирования”) приведет к тому, что итерационный процесс получения “оптимальных” характеристик, о котором шла речь выше, потребует практически неприемлемых вычислительных и временных затрат.
В связи с этим предлагается сначала проранжи-ровать деформационно-прочностные характеристики
материала по степени влияния их изменения на напряженно-деформированное состояние конструкции. На практике в большинстве случаев пределы варьирования параметров известны, и степень влияния каждого параметра легко установить, если зафиксировать все остальные при их средних значениях. Наиболее значимая характеристика выводится на оптимальное значение. После этого она фиксируется, и процедура повторяется для следующей по значимости характеристики и т. д. В общем случае после определения “оптимального” значения последнего параметра следует вернуться к определению первого, когда остальные фиксированы уже не при средних, а при “оптимальных” значениях, т. е. построить итерационную процедуру, внешне сходную с итерационным алгоритмом решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя. Выше всюду термин “оптимальный” взят в кавычки в связи с тем, что получаемые значения не являются результатом минимизации некоторого функционала, что является обычным процессом получения оптимальных решений. Следует заметить, что решаемую задачу можно переформулировать таким образом, чтобы она приняла “обычный” вид оптимизационной задачи. Для этого достаточно потребовать минимизации отклонения точки, характеризующей материал в соответствующем пространстве состояний, от заданного ее положения.
Преимущества предложенного подхода достаточно очевидны. Так, при наличии n параметров метод простого перебора (сканирования) с шагом 1/m потребует (m +1)" вариантов. Здесь предполагается, что любой из варьируемых параметров а" меняется в пределах от 0 до 1. Этого всегда можно добиться преобразованием масштаба переменных
/ min\// max min\
а" =(а"-а" )(а" -а" )> min max
где а" и а" определяют нижнюю и верхнюю грани-
цы изменения параметра ап. Одна итерация для определения “оптимальных” значений параметров по предлагаемой схеме потребует п(т + 1) вариантов. Поскольку в соответствии с вышесказанным n > 2, а m > 2 (имеет смысл сканирование расчетной области с шагом не крупнее, чем половина интервала изменения каждого из параметров), то, например, при n = 1, m = 2 в первом случае нужно перебрать 27 вариантов, во втором — 9. С ростом m, n сокращение числа вариантов более существенно — при n = 5, m = 3 происходит уменьшение с 1024 до 20.
Выход из итерационного процесса требует некоторого критерия — точности £п определения ап. С практической точки зрения нет необходимости задавать высокую точность определения ап или слишком малые значения величин гп. Так, при экспериментальном определении характеристик материала в лабораторных условиях всегда существует известный разброс их значений,
Рис. 1. Примеры расчетных областей
и величина этого разброса определяет достаточную точность итерационного процесса.
Опыт определения оптимальных в указанном выше смысле значений деформационно-прочностных параметров [8] показывает, что в большинстве случаев наиболее значимым на макроуровне параметром является модуль упругости материала. Поэтому далее рассматривается задача получения материала с заданным значением модуля упругости. В этом заключается основное отличие поставленной задачи от традиционных — ищется не экстремальное значение параметра, а некоторое наперед заданное из выше описанного первого этапа значение. Этот момент особенно важен, когда речь идет о материалах, на деформационно-прочностные характеристики которых существуют двусторонние ограничения. Так, при разработке композиции для элементов сальниковых уплотнений [6] материал не может быть слишком податливым, иначе он будет продавливаться через герметизируемый зазор. Если же создать материал с избыточной жесткостью, то изделие из него не будет выполнять свою основную функцию герметизирующего узла. Несколько забегая вперед, можно заметить, что поверхность в пространстве состояний, характеризующая зависимость искомого показателя от управляющих параметров, для заданного значения показателя дает не точку экстремума, как в оптимизационных задачах, а своего рода линию уровня. Это означает, что решение задачи в общем случае не является однозначным, и для выбора единственного решения нужно использовать какие-либо дополнительные условия.
На втором этапе методами планирования эксперимента строится регрессионная зависимость модуля упругости от двух характеристик — изменения дисперсности и степени наполнения полимерного композитного материала. Тем самым задаются параметры структуры материала, с помощью которых ведется управление его макро св ойств ами.
с одинаковыми степенями наполнения
Определение макрохарактеристик проводится с помощью подхода, обозначенного выше как структурный [9, 10]. Роль физических экспериментов играют расчеты различных вариантов. Для представительного объема рассматривается так называемая карта образца—своего рода “фотография”, на которой различаются элементы структуры материала на заданном мезоуровне. Вопрос представительности объема обсуждался в ранее опубликованных нами работах [11]. В нашем случае в представительном объеме и соответственно в расчетной области налицо несколько включений. Принимается, что взаимодействие включений с матрицей характеризуется идеальной адгезией. Возможное наличие меж-фазных слоев не учитывается. Была построена сетка, включающая в себя 1 275 треугольных элементов. Число элементов сетки, в которых деформационно-прочностные характеристики отвечают характеристикам включений, определяет степень наполнения композиции. Если это число фиксировано и меняется только размер включений, то это определяет так называемую дисперсность наполнения. В качестве примера на рис. 1 приведены два случая, когда в расчетной области число элементов сетки с характеристиками включений фиксировано (степень наполнения полимерной композиции одинакова), а отличия заключаются в размерах самих включений (дисперсность).
Нагружение осуществляется при жестко закрепленной нижней границе расчетной области прямоугольной формы перемещением верхней границы, так что нагрузка является сжимающей. Сходимость решения проверена при решении задачи на сетках с различным числом элементов.
На втором этапе исследуется поверхность отклика и с помощью линейного приближения осуществляется поиск почти стационарной области, который осуществляется различными методами: Г аусса-Зейделя, методом конфигураций, симплексным методом и т. д. Перечис-
ахх, МПа
Рис. 2. Поверхности напряжений в случае сжатия вдоль оси у
-5-10-3
-3-1 о-з >
Рис. 3. Поверхности распределения деформаций в случае сжатия представительного объема вдоль оси у
Рис. 4. Поверхности распределения перемещений и изолинии к ним в случае сжатия вдоль оси у
ленные методы обеспечивают быстрое движение к почти стационарной области, но не позволяют детально изучить ее. Эта область изучается более подробно и описывается полиномами второй и более высоких степеней [12].
Такова стратегия поиска, когда речь идет об экстремальных задачах. Поведение объекта исследования в областях, не соответствующих области оптимума, обычно не интересует исследователя. При изучении поведения объекта исследования во всей выбранной области (например, при обычном физическом эксперименте), экспериментальные точки располагаются по всей области равномерно. Как отмечается в [13], “конечная цель эксперимента часто состоит в определении набора оптимальных значений факторов и изучении факторного пространства в окрестностях этого набора”.
3. Пример конструирования
Если бы мы хотели найти экстремальное значение модуля упругости, то действовали бы по описанному выше сценарию. Такой подход вполне оправдан, когда нет никаких априорных соображений о величине модуля упругости. В нашем случае мы должны выйти на его заданное значение, т. е. необходимо равномерно распо-
ложить в области поиска экспериментальные точки. Область поиска выбрана так, чтобы разбег факторов был небольшой. Это позволяет при анализе применить линейное приближение.
Определение модуля упругости на макроуровне осуществлялось следующим образом. При заданном на контуре области смещении проводится расчет средних по любому поперечному сечению напряжений а у, и тогда средний модуль упругости определяется как Е = ау1 гу . Здесь и выше 8у берется как средняя для всей расчетной области величина, определяемая отношением А///, где А/ представляет заданное смещение границы, определяющее уровень нагрузки, а /—размер расчетной области в направлении растяжения (или сжатия). В скобках можно отметить, что сравнение суммарных значений осевых напряжений в разных сечениях (они при рассматриваемом нагружении должны быть одинаковыми) является одним из способов контроля правильности получаемых результатов.
Когда материал принимается однородным, возможно получение аналитических оценок для перемещений, деформаций и напряжений в расчетной области. Для принятого случая равномерного одноосного растяжения распределение параметров напряженно-деформиро-
Таблица 1
Уровень Х1 , м х2, м
верхний 2 со 10-6 0.15
основной 19 • 10-6 0.10
нижний 10.5 • 10-6 0.05
Здесь хі — фактор, отвечающий за средний радиус включений; Х2 — фактор, отвечающий за степень наполнения материала
Таблица 2
Опыт Х1 х2 х1 х 2 Е, Па • 108
1 +1 +1 +1 7.85
2 -1 + 1 -1 7.58
3 +1 -1 -1 6.79
4 -1 -1 +1 6.67
Значению +1 соответствует верхний уровень изменения параметра; -1 — нижний уровень
ванного состояния в области описывается линейными законами, в частности, эти параметры могут быть постоянными. Учет внутренней структуры материала как однородной полимерной матрицы с рядом относительно жестких включений приводит к необходимости проведения анализа численными методами. В частности, ниже представлены результаты, полученные методом конечных элементов с применением процедуры пошагового нагружения [11]. При этом внутри расчетной области получаются достаточно сложные распределения напряжений (рис. 2), деформаций (рис. 3), перемещений (рис. 4). Видно, что включения являются концентраторами напряжений (рис. 2). В них непосредственно и в окрестностях включений уровни напряжений много выше аналогичных показателей в матрице. В то же время, деформации в основном прослеживаются в матрице (локализация деформаций) (рис. 3). Поля перемещений в виде поверхностей (рис. 4,а, в) и в виде изолиний (рис. 4,б,г) наглядно иллюстрируют наличие включений и их влияние на перераспределение перемещений.
Для описания зависимости модуля упругости от размеров включений и степени наполнения выбран план, где факторы варьируются на двух уровнях. Значения факторов приведены в таблице 1.
План ортогонального эксперимента и результаты опытов приведены в таблице 2.
После осуществления эксперимента выполнены расчеты коэффициентов регрессии, получена следующая модель:
Е = (6.87 - 0.08*! - 0.24хг + 0.3х]Х2) • 108.
Вследствие неадекватного описания данной моделью зависимости модуля упругости от управляющих параметров план был достроен до ортогонального плана второго порядка (таблица 3).
Этот план предполагает построение модели вида
Е = Ъ'0 + Ь1 х1 + Ь2 х2 +
+ Ъ11 (х12 - 2/3) + Ъ22 (х2 - 2/3) + Ъ12 х1 х2.
В результате реализации плана получена модель со следующими значениями коэффициентов:
Ъ0 = 7.18, Ъ = 0.052, Ъ2 = 0.605,
Ъ11 = 0.033, Ъ22 = 0.063, Ъ12 = 0.037.
Заданное значение модуля упругости равно 7.3 х х 108Па. Этому значению соответствует целый набор точек в факторном пространстве. На рис. 5 показаны зависимости модуля упругости образца — на уровне представительного объема, за который в данном случае принимается расчетная область — от степени наполнения композиции для двух значений среднего размера включений. Линии а отвечают квадратичной модели, линии б—линейной. Штриховая горизонтальная линия отвечает заданной величине модуля упругости 7.3 х х102 МПа. Именно такое значений требуется исходя из анализа работы узла, в котором работает материал [6]. Как видно, такое значение модуля упругости может быть получено рядом сочетаний управляющих параметров — степени наполнения и среднего радиуса включений (дисперсности наполнителя). Так, фиксируя степень наполнения, можем получить требуемый модуль упругости за счет варьирования радиуса включений. В другом случае можно зафиксировать параметр дисперсности, тогда попадание в заданное значение по модулю упругости достигается изменением степени наполнения. Это по существу иллюстрирует сделанное выше утверждение, что в рассматриваемом случае ищется не экстремальное значение величины, а заданное, и в связи с этим в соответствующем пространстве переменных получается не точка, а линия уровня.
Расчеты показали, что даже с применением относительно простых моделей попадание на заданный уро-
Таблица 3
Опыт х1 х2 х2 - 2/3 х2 - 2/3 х1х2 Е, Па • 108
1 -1 -1 1-2/3 1-2/3 +1 6.67
2 -1 +1 1-2/3 1-2/3 -1 7.58
3 +1 -1 1-2/3 1-2/3 -1 6.79
4 +1 +1 1-2/3 1-2/3 +1 7.85
5 +1 0 1-2/3 -2/3 0 7.26
6 -1 0 1-2/3 -2/3 0 7.34
7 0 +1 -2/3 1-2/3 0 8.15
8 0 -1 -2/3 1-2/3 0 6.49
9 0 0 -2/3 -2/3 0 7.04
степень наполнения
Рис. 5. Зависимость модуля упругости от степени наполнения для различных радиусов включений, построенных на основе квадратичной (а) и линейной полиномиальной (б) моделей
вень значения характеристики материала обеспечивается с точностью не менее 15 %. Так, при получении заданного выше значения модуля упругости принималось, что степень наполнения равна 0.1, тогда исходя из построенной выше зависимости модуля упругости от варьируемых параметров требуемое значение радиуса включений равно соответственно 0.19 мкм. При расчетах на макроуровне для этих параметров значение модуля упругости получилось 7.34 • 102 МПа, таким образом точность “попадания” составила 0.6 %. В данном примере столь малое отклонение объясняется тем, что такое сочетание управляющих параметров находится вблизи одной из точек плана. Ясно, что при удалении от опорной точки точность будет снижаться, но сделанное выше утверждение о максимальной погрешности определения параметров структуры, дающих заданное значение макрохарактеристик материала, справедливо.
4. Выводы
1. Конструирование материала разделено на два этапа. На первом этапе определяются требования к макрохарактеристикам материала исходя из условий эксплуатации конкретного изделия. На втором этапе обеспечиваются требуемые макрохарактеристики материала за счет параметров структуры материала. В общем случае
процесс конструирования материала при данном подходе является итерационным.
2. Традиционно достаточно независимые подходы к конструированию материалов — на основе структурных методов и на основе кибернетического подхода — в предлагаемой методике конструирования материалов предлагается использовать совместно, при этом структурный подход применяется для замены натурного эксперимента численным.
3. Даже относительно простые подходы к планированию численного эксперимента — во всяком случае для небольших диапазонов изменения управляющих параметров — позволяют получить с практически приемлемой точностью значения параметров структуры, дающие заранее определенные макрохарактеристики материала. Это значит, что при отработке реальных композиций могут быть резко снижены затраты времени и средств.
Литература
1. Арман Ж.-Л.П. Приложение теории оптимального управления системами с распределенными параметрами к задачам оптимизации конструкций. - М.: Мир, 1977. - 142 с.
2. Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 1988. - 224 с.
3. Барашков В.Н., Люкшин Б.А. Алгоритм прочностного проектирова-
ния осесимметричных упругопластических конструкций с использованием вариационно-разностного метода // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Вып. 39. - Горький: Изд-во унта, 1988. - С. 91-97.
4. БочкаревВ.В., Крысъко В.А. Оптимальное проектирование пластин
и оболочек с учетом физической нелинейности // Прикладная механика. - 1982. - Т. 18. - № 7. - С. 52-57.
5. Хог Э., Арора Я. Прикладное оптимальное проектирование: меха-
нические системы и конструкции. - М.: Мир, 1983. - 478 с.
6. Люкшин Б.А., Алексеев Л.А., Гузеев В.В., Липовка М.В., Люкшин П.А., Матолыгина Н.Ю. Опыт прочностного конструирования наполненной полимерной композиции // Физ. мезомех. -2000.- Т. 3. - № 1. - С. 59-66.
7. Богатин О.Б., Моров В.А., Черский И.Н. Основы расчета полимер-
ных узлов трения. - Новосибирск: Наука, 1983. - 214 с.
8. Бочкарева С.А., Люкшин Б.А., Филатов И.С. Критерии качества материала для бампера автомобиля. Проблемы и перспективы развития ТНХК // Тез. докл. VIII отраслевого совещания. - Томск: ТНХК, 1994. - C. 24.
9. МакаровП.В. Подход физической мезомеханики к моделированию
процессов деформации и разрушения // Физ. мезомех. - 1998. -Т. 1. - № 1. - С. 61-82.
10. Черепанов О.И., Прибытков Г.А. Численное исследование остаточных напряжений и упругопластических деформаций, развивающихся при охлаждении структурно-неоднородных материалов в процессе высокотемпературной обработки // Физ. мезомех. -2000. - Т. 3. - № 1. - С. 23-38.
11. Люкшин Б.А., Люкшин П.А. Прочностной анализ дисперсно-наполненных полимерных систем на мезоуровне // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 1-2. - С. 57-67.
12. Зедгенидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем. - М.: Наука, 1976. - 390 с.
13. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. - М.: Изд-во МГУ, 1971. - 154 с. / Препринт № 20.
