CC BY
5
УДК 514.75
С.Ю. Волкова
(Балтийский военно-морской институт)
ДВОЙСТВЕННЫЙ ОБРАЗ ГИПЕРПОЛОСЫ (V)
Продолжается изучение специальных классов скомпонованных -распределений проективного пространства Р„. Исследуются регулярные гиперполосы Нг, характеристики которых скомпонованы: Фп_гА0 ) = [Ь(А0 ), %(А0 )].
Доказана теорема существования гиперполос $НГ (Ь). Показано, что во второй дифференциальной окрестности гиперполоса 8ИГ (Ь) индуцирует проективное пространство Рп (¥г ), двойственное исходному Рп (Уг ) относительно инволютивного преобразования 3, порождаемого гиперполосой $НГ (Ь) . Введен в рассмотрение двойственный образ оснащенной гиперполосы 8ИГ (Ь) относительно преобразования У.
Схема использования индексов в данной работе такова:
J,K,L = 1,n; J,K,L = 0,n; i, j,k = r +1,m; p,q,s,t = 1,r; a, f3,y = m +1,n — 1;
u, v = r +1, n — 1; u, v = r +1, n . 1. Система уравнений
щ = 0, щ = 0, щ = 0, (1)
ассоциированная с уравнениями [1, §1], задающими S-распределение [1], вполне интегрируема тогда и только тогда, когда
A[pq] = 0, Лм = 0, Л[ pq] = 0, (2)
т.е. когда тензор неголономности rpq [1] базисного Л-распределения равен нулю. В этом случае базисное Л-распределение определяет (я-г)-параметрическое семейство r-мерных поверхностей Vr. Другими словами, плоскости Л огибаются r-мерными поверхностями Vr (я-г)-параметрического семейства. При смещении центра Ао S-распределения вдоль фиксированной поверхности Vr уравнения (1) [1, §1], в репере Rj первого порядка имеют вид:
щ = о, щ = о, щ = О, ф
щ =ЛПРщО, щ =^pqvq, (4)
соР = Нщ, щ = HPqVq, (5)
i jTi q a Ta q
ща = H <щщ , щ = , (6)
где
(7)
П4» , \п и \П 1 ПА' , »V и . \П V IV г
уЛрч + ЛтФи = А, УЛрч + ЛрЧщ + Л пюп = Л ,
УИр + И/С -сг%р = Н?^1, УИрщ + Я^О = ИрщС,
УН9 + ^Сс) = И'ад1С , УЬ% + Ь%с0 = » (8)
уир + и>°° -сЧр = ирс, ир = [и?д,ирщ}, Л^И = ° Лм =о = о и^] = °
(9)
Уравнения (3) - (5), (7), (9) задают регулярную гиперполосу Нг, а разбиение форм соV? на ср и сир (5) и уравнения (6), (8) характеризуют оснащенность гиперполосы полем L-плоскостей таким образом, что в каждой точке Ао е Vr выполняются условия:
Л(А)пь(Аи) = А), [Л(А), ь(А))]=м(А). (10)
Такие гиперполосы Иг (Ь) [5] специального класса со скомпонованными характеристиками Ф( А0 ) = [Ь( А0 ), х( А0 )] обозначим символами БНГ (Ь).
Теорема 1. Гиперполосы БНГ (Ь) существуют с произволом (п-г)+1(п-1-1)+ +т(п-т-1) функций г аргументов.
Действительно, чистое замыкание системы уравнений (3) - (6):
АЛ" л С = 0; АЛ? л С = 0; ЛИР лС = 0;
рЧ рЧ
ЛНРЩ лС = 0; ЛН[Щ лС = 0; ЛЬ? лС = 0
имеет следующие характеры: Sl=r•(n-r)+A; з2=(г-1)-(п-г)+А,...; sr=/•(n-r)+A, где
A=2(n-m-l)/+(n-r-1)•r. Тогда число Картана Q = s1 +2•s2 + 3•sз +.+ r•sr = г (г +1)1 А +
2
+ (п - г) •г(г +1)(г + 2). Число новых функций, полученных из системы (11) после
6
применения леммы Картана, N = Q. Следовательно, система уравнений (3) - (6) находится в инволюции и гиперполоса БНГ (Ь) существует с произволом (n-r)+/(n-/-1)+m(n-m-1) функций г аргументов, что и требовалось доказать.
2. Введем для гиперполосы БНГ (Ь) в дифференциальной окрестности 2-го порядка аналогично работе [2] симметричные невырожденные тензоры:
def def
УП = dnkbkJ, УПр= dnJЪrp (12)
и обратные им тензоры 2-го порядка У ^, У аа :
УМ =5{ , Уп^Ууа = ^ а , (13)
Г7Т/П . т/П 0 т гп р Г71/П . г/П 0 т/п р
У У + У с = У'пРс ' Ууа+о = уарс •
у
Определители Л = K^pq, V = V" , V = V? главного фундаментального тензора
Anpq гиперполосы SHr (L) и тензоров (12) являются относительными инвариантами:
dln Л = 2ю°° - r(ю° ) + Лрюр, dln V = 2ю\ -1(ю°° + юП ) + Vp(P, d ln V = 2rnaa - (n - m - 1)(ю°° + юП ) + V(p,
где
Л =AqsAn V = VijVn V = V a?Vnn
p n sqp' p n jip"> p n pop •
В силу соотношений (13) относительный инвариант Ф = —1—A- V ■ V удовле-
n +1
творяет уравнению
d in ф+( )=фрюр, (15)
где
Ф p =Л p + Vp + Vp, УФ p +Ф ;Ю°° + ю°-Anpqœqn =Ф pqœq. (16)
2 _K
Введем в рассмотрение систему из (n+1) форм Пфаффа Dj вида:
— n n r, —v v r, —n n r, —p p —0 0
d0 = D0 = 0, D0 = D0 = 0, œv = œv = 0, DQ = щ , Dn =(n,
Dp = -ЛpqD0 Dj = -VjiD° DP = -VPoD° Dn = -Лп Dq
— 0 »n q —0 0 p —0 тт-n j —n n p Dp = Л pqDn , D0 =D0 -ФpD > Di = VjDn , Dn=Dn -Фp( ,
DP ^qVHœ'j, d; =-Л%/0PDqp, (р =-Лп^Л^ ,
Dp = + ЛПЛ1Р( - ôqpФ(, (17)
Dj = (j + j^D - Фp^P, D( = , (P =DPp+ VnPrV0;DP - $!?Ф(DP, ( = -V^D,
D0 = V0(, Da = -Vn!VPoDpj > D a = -ЛPnqVPaDí¡.
_ ТГ
Согласно (12) - (16) система форм œJ (17) удовлетворяет структурным уравнениям проективного пространства Pn
DDj = œj люК, Yd&IL = 0.
L _
I
Следуя работам [2; 3], аналогично доказываем, что преобразование 3 структурных форм по закону (17) является инволютивным, т.е. 3 = 3_. Формы са^ являются формами инфинитезимального перемещения точечного репера 1-го порядка {А3 }, а формы - формами инфинитезимального перемещения тангенциального репера {т3 }, где
Ап, Ап_1 ], Р = V1 п \ ' 1 (18)
тр = Р^Л(?р[А0, А1,^, Ад _1, Ап, Ад +1,—, Аг, Аг+1,-5 Ап_1 ]; Ч
т° =р[А°, A1.....A„_1 ], Тп =р
Т1 — р!Ул [А, Л,- • •, Д, ДА]-1, Д, АуАп, Дя+1,—, Д?-1 ]; ]
Та — Р^Ура [Д0, А1,- • •, Аш, Дп+1, —, Ар-1, Ап, Ар+1,- • •, Ап-1] • Р
Теорема 2. Регулярная гиперполоса БИГ (Ь) во второй дифференциальной окрестности ее образующего элемента индуцирует:
1) проективное пространство Рп (У), двойственное исходному Рп (Уг), относительно инволютивного преобразования J форм со1} по закону (17);
2) двойственную исходной гиперполосе БИГ (Ь) гиперполосу БИГ (Ь), которая задается относительно тангенциального репера (18) уравнениями (без соответствующих замыканий):
—п а —V А —п А —п ~Гп —а —V "XV —а
с0 — 0, с0 — 0, с — 0, сор — Лрср , ср — Лрср ,
(19)
с с — н с с — Ь
vqш , 1-^а ад ' г гд
Двойственный образ БИГ (Ь) гиперполосы БИГ (Ь) есть гиперполоса $НГ (х), оснащенная полем плоскостей ^п-/-1(А) так, что в каждой точке А) имеем Тп-М(Д)пФп-г-1(Д)— Хп-ш-ДЛ)■
Двойственная теория имеет место и на оснащенной гиперполосе БИГ (Ь). Пусть гиперполоса БИГ (Ь) с Рп (У) нормализована полями квазитензоров уР,у]р в смысле Нордена-Чакмазяна:
Уурп + ср — урдса, Уу°р +ср — У0рдса • (20)
В силу соотношений (17) убеждаемся, что функции
ур —-Лрду0 у0 —лп Уа (21)
уп п у д' т р рду п
удовлетворяют уравнениям
^ур + ср — У с, УУр + с — Урдса • (22)
Из уравнений (20), (22) вытекает
Теорема 3. Нормализация одной из гиперполос БИГ (Ь) с Рп (у) и
БИГ (х) с Рп(у) равносильна нормализации другой, при этом компоненты полей оснащающих объектов [ур, у]р } и {Упр, Ур0} связаны соотношениями (21).
Список литературы
1. Волкова С.Ю. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов S-распределения // ВИНИТИ РАН, 2001. №343-В2001.
2. Попов Ю.И., Столяров А.В. Специальные классы регулярных гиперполос. Калининград, 1992.
3. Максакова Т.Ю. Двойственный образ центрированной тангенциально вырожденной гиперполосы СИгш // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1999. №30. С. 50 - 54.
4. Волкова С.Ю. Двойственные аффинные и проективные связности S-рас-пределения // ВИНИТИ РАН, 2001. №1871-В2001.
5. Волкова С.Ю. Нормализации Нордена-Чакмазяна, ассоциированные с регулярной гиперполосой Hr (L) проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1996. №27. С. 24 - 33.
S.Volkova
DUAL IMAGE OF THE HYPERSTRIP SHr(L)
Regular hyperstrips with composed characteristics are investigated. For such hyperstrips existence theorem is proved. It is shown, that in the second differential neighbourhood the projective space is induced, which is dual to initial one concerning involutory transformation, generated by the hyperstrip. Dual image for the equipped hyperstrip concerning this transformation is introduced.
УДК 514.7
А.И. Долгарев
(Пензенский государственный университет)
КРИВЫЕ 3-МЕРНЫХ ВЕЙЛЕВСКИХ ОДУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ И КРИВЫЕ ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Реализована идея определения кривых 3-мерных разрешимых вейлевских одулярных пространств (ВО-пространств) на основе кривых евклидовой плоскости. По плоским евклидовым кривым постоянной кривизны найдены кривые постоянных кривизн одулярных пространств.
§ 1. Вейлевские одулярные пространства
-5
1.1. Одули на многообразии R . Структура одуля Q = (Q,+, щ (+)) определена в [1] на структуре (Q,+) посредством введения внешней операции щ (+) умножения элементов из (Q,+) на скаляры из кольца K. Для всех и
t, s е K выполняются аксиомы одуля:
s(trn) = (st)щ, (t + s)rn = ta + srn .
Рассматриваем многообразие R3 со структурой группы Ли, на котором задана групповая операция +, и определяем внешнюю операцию щ (+). Имеем одули Q = (0,+,щ(+)) на группах Ли (R3,+). Внешние операции на всех 3-мерных некоммутативных разрешимых группах Ли определены автором. Имеются следующие разрешимые одули: линейное пространство L3, растран P3, сибсон X3, диссон А3, осцилляторный одуль Q3. Многообразие Sol, рассматриваемое в [2],
