CC BY
3ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА В ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
ГАСАНОВА ТУКЕЗБАН ДЖАФАР
Доцент кафедры «Механика», к.т.н., Азербайджанский Архитектурно-Строительный Университет,
Азербайджан, Баку,
Аннотация. Задачи о возмущении жидкости со свободной поверхностью при движении цилиндра представляют интерес в связи с колебаниями гидротехнических ооружений установленных на трубах. Задачи о движении цилиндра в сплошной среде решены численными методами [1, 2, 3]. Здесь строится аналитическое решение задач о распространении "длинных" волн приближенным удовлетворением граничных условий. На основе теории длинных волн рассмотрено движение цилиндра в жидкости со свободной поверхностью. Получено аналитическое решение для различных затухающих граничных условий на основе асимптотического приближения скачкообразного изменения параметров.
Ключевые слова: цилиндр, волна, жидкость, затухание, граничные условия.
1. Постановка задачи.
Пусть в идеальной жидкости со свободной поверхностью вертикально расположенный цилиндр мгновенно приводится в движение.
Уравнение поверхности жидкости [4, 5] будет
52 * ^ I „2
a2 А£, (a2 = gh) (1)
a t2
где h - глубина жидкости,А - оператор Лапласа. Сила, действующая на цилиндр равна
2% £
P = r0 IIp*cos 9 dz d9 (2)
0 - h
где 9 - полярный угол, z - координата по вертикали, p* - давление жидкости, определяемое по формуле [4, 5]
p* = -р g( £- z ) (3)
Подставив (3) в (2) и проинтегрировав по z, получим
2%
P = - Го Р g |
£ (£+h) -
£2 - h2
2
cos 9 d9 (4)
Dl
о
Нормальная составляющая скорости жидкости на поверхности цилиндра равна
v r = V cos 9 (5)
где v - скорость цилиндра.
При v2 << а2 уравнение поверхности цилиндра можно считать не зависящим от времени.
2. Решение задачи Решение задачи ищется в виде
£ = ^cos9 (6)
Подставив в (1) получим
a2 £i = a2 £1 ,1 aii m
a t2 ar2 r ar £1 ()
где r - расстояние от полюса.
Impact Factor: SJIF 2020 - 5.497 2021 - 5.81
Выражение силы (4) с учетом (6) примет вид
P = -n r0 р gh S 1
Применив к (7) преобразование Лапласа-Карсона и решив получим
Si =с (p) Ki
fpr\
V a )
(8)
(9)
где К1 - функция Макдональда первого порядка.
Нахождение оригинала С(р) при постоянных значениях параметра состояния жидкости с целью дальнейшего применения принципа Дюамеля, связано с аналитическими трудностями. Однако, возможно получение аналитического решения при скачкообразном приложении параметра состояния на границе без сохранения постоянного по времени значения.
В (9) заменим ^ (х) двумя членами его ассимптотического приближения, т.е
K
Л
na
2r0 p V 4z)
л -рro
e a
(10)
Подставив (10) в граничное условие, отвечающее постоянному по времени значению ^ от начала отсчета
S i r-rn = H (t) $
0
получим
C =S
i+
2r o p n a
3a
ro p —
e a
4 pro
(11)
(12)
Решением в изображениях будет
S i=s o
Учитывая оригиналы
4 prt
4 pr 0 + 3a
pr 0
e a
If
2r o p
n a
K i
f pr)
V a )
(13)
r o p a
^ H (t)
n at
pK i
fpr^
V a )
pro e-+
H
at r o ,
——i
v r 2 )
л - r at ГоЛ
a r
V r r )
a
^ at rn
— +—
V r r )
—
будем иметь
i
o
r
o
e a
V
2ro p
K
л a
r \ p r
V a у
- 22 H
Л V r
0 0 +1-r
r
E (p) - F(P °
0 0+1+ r
где
r = r / r
0 ;
0 n = at / r,
P r
4
0n+1-r
0n+1+r
Г и Е - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.
- 3 a
Так как
4 p 2 r0 - 3 / ч 1—t F 0 —-3H (t)e 4 r 0 + H'(t) e
3a 4 r n
4pr0+3 a 4
то решение будет иметь вид
£ 1 = £ 0
3
-х 3а 00 __т
£-3e -400 j0 e£(Х0
1-1 r
t
0
Взяв в (13) в качестве знаменателя 1н--на границе будем иметь функцию £ с различной
рг
степенью затухания по времени в зависимости от а.
В таблице 1 приведены распределения £ на границе в зависимости от а. В таблице 2
приведено распределение £ в плоскости 1-т при а=0 .
Таким образом можно строить аналитические решения задач с приближенным выполнением граничных условий путем подбора различных выражений функции С(р). На самом деле, на практике движение границы не может задаваться какими-либо строгими законами в виду сложности реальных явлений.
Таблица £ = £(г )
1 \ 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
0,5 1,165 1,072 0,994 0,926 0,868 0,816
1,0 1,325 1,214 1,121 1,038 0,974 0,913 0,862 0,817 0,776 0,760 0,707
Таблица £ = £(00)
\0>o a\ 0,01 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 \ ч 1,004 1,00 1,03 1,07 1,11 1,13 1,16 1,20 1,23 1,27 1,30 1,33
0,75 0,996 1,00 0,96 0,92 0,88 0,84 0,80 0,78 0,75 0,72 0,69 0,66
1,00 0,994 1,00 0,93 0,87 0,81 0,76 0,70 0,67 0,63 0,59 0,55 0,52
ЛИТЕРАТУРА
1. Кубенко В.Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой. Киев, "Наукова думка", 1979.
2. Агаларов Д.Г., Мамедов Ш.А., Гасанов Ф.Г. К динамике круглого включения с подпружиненной массой в упругой среде. Азербайджанский Архитектурно-Строительный Университет. Сборник трудов по механике № 11, Баку, 2001.
3. Агаларов Д.Г., Сейфуллаев А.И., Мамедова Г.А. Движение включения с подпружиненной массой в акустической среде. Труды института математики и механики АН Азербайджана. VI (XIV) том, Баку, 1997.
4. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Изд. техн. теор. лит. Москва, 1955.
5. Stoker I.I. Water waves. A Uriley - Intersevence Publ. 1992.
