Движение тел по роликам Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

УДК 531.8:621.8

В.А.Гоголин, М.Т.Кобылянский, В.Ф.Горбунов, Д.М.Кобылянский ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ ПО РОЛИКАМ

В различных типах конструкций механизмов используются ролики, позволяющие

управлять движением механизма в соответствии с требуемой кинематической схемой. К таким типам механизмов относятся, например, кулачковые механизмы [1]. При конструировании таких механизмов с роликами может возникнуть следующая задача: разработать механизм, совмещающий вращение и колебание одной из его деталей в заданной плоскости, если поступательные перемещения его движущейся части ограничены как минимум тремя роликами. В известной нам литературе задача в такой постановке не рассматривалась. При числе роликов меньше 3 или их специальном расположении,

например в ряд, эта задача допускает множество очевидных решений.

1. Расчетная схема рассматриваемой задачи с тремя роликами показана на рис.1. Здесь плоское тело Т должно совершать вращение при условии ограничения движения тремя роликами. Центры роликов расположены в вершинах правиль-

ного треугольника АВС (рис. 1а). Ролики могут свободно вращаться относительно своих центров А,В,С или быть неподвижными, допуская перемещение тела Т по касательной в точке их контакта. Перемещение же тела по нормали в точке касания в любом случае запрещены. Данная задача имеет элементарное решение: тело Т -круг, центр которого совпадает с центром треугольника АВС и является центром вращения. Требуется найти другие формы тела Т, которые позволяли бы ему непрерывно обкатываться по трем роликам. Задачу можно переформулировать в другой форме - найти замкнутую кривую отличную от окружности, касающуюся трех заданных, регулярно расположенных окружностей одного радиуса и сохраняющую контакт с ними при любом повороте искомой кривой.

Введем систему координат ХОУ, связанную с треугольником АВС, так, чтобы начало координат совпало с центром треугольника, а координатные оси были расположены так, как показано на рис.1а. Пусть рас-

стояние от начала координат до центров роликов есть Я, а радиусы роликов - г. Тогда центры роликов будут иметь следующие координаты:

А(0;Я), В (Ял/3/2; -Я/2),

С(-Ял/з/2; -Я/2) .

В любом положении тела Т оно имеет не более одной степени свободы и может совершать вращение относительно некоторого центра только тогда, когда нормали к ее границе в точках контакта с роликами будут пересекаться в одной точке. Эта точка и будет являться мгновенным центром вращения тела. Если мгновенный центр вращения не изменяет своего положения при повороте тела, то единственно возможной формой тела будет круг радиуса (Я-г) с центром в начале координат О.

Для отыскания других форм тела рассмотрим движение треугольника АВС вместе с роликами относительно неподвижной системы координат Х1О1У1, связанной с телом, как показано на рис.1б. Тогда, если движение треугольника с роликами происходит так, чтобы ролики сохраняли непрерывный контакт с телом при их повороте на любой угол, то и обратно - тело будет совершать требуемое движение по роликам. Опишем движение одного из роликов, например, ролика с центром в точке А (каждый ролик в дальнейшем будем именовать той же буквой, которой обозначены их центры). Зададим движение жесткого целого треугольника АВС и ролика А, как поворот относительно центра О на угол ґ

В

Рис.1. Расчетная схема

б

а

f=0,1sin3t; g=0; r=0,2

f=0,2sin3t; g=0; r=0,2

a)

f=0,1sin3t; g=0,1 sin3t; r=0,2

e)

f=0,1sin6t; g=0; r=0.1

д)

6)

f=0; g=0,2sin3t, r=0.2

г)

f=0,sin9t; g=0; r=0,1

е)

Рис. 2. Формы тел и траектории их центров вращения

относительно вертикальной оси по часовой стрелке и перемещение по оси О1Х1 на f(t) и по оси О1У1 на g(t). Тем самым перемещение ролика А и треугольника АВС будет согласовано с их поворотом. Тогда параметрическое уравнение центра ролика А при сложении этих движений в системе координат Х1О1У1 будет иметь вид:

x0=R sin t +f(t) , (1)

y0=R cos t +g(t), t e[ 0,2п].

В своем движении ролик А будет занимать различные положения, так что если найти огибающую к границе ролика,

то она будет являться линией, по которой перемещается этот ролик. В общем случае уравнение огибающей к семейству кривых F(x,y,t)=0 определяется системой уравнений [2]

| Р( :х,у,ґ) = ° (2)

I Ft(x,У,t) = 0

В рассматриваемом случае мы имеем семейство окружностей радиуса г с центрами, координаты которых задаются выражением (1). Поэтому, система (2) после небольших упрощений второго уравнения из (1) и ввода обозначений

(3)

x1 - R sin t - f (t) = p; y1 - R cos t - g(t) = q; R cos t + f'(t) = u; R sin t - g'(t) = v. запишется в виде: [p2 + q2 - r2 = 0, p • u - q • v = 0.

Решения этой системы имеют вид:

r • v

p = ±-

q = ±-

(4)

і

u 2 + v2

Из (4) с учетом (3) окончательно получаем следующее параметрическое уравнение огибающей линии в системе координат Х1О1У1

xi = R sin t + f (t) ± R sin t - g' (t)

± r ■

\

[R sin t - g'(t )]2 + + [ R cos t + f'(t )]2 уі = R cos t + g(t) ±

R cos t + f’(t)

± r

\

[R sin t - g' (t)] + + [ R cos t + f'(t )]2

(5)

Уравнение (5) описывает две огибающие линии: со знаком плюс - внешнюю огибающую роликов, со знаком минус

- внутреннюю огибающую. При r=0 уравнение (5) существенно упрощается и описывает граничные кривые тела для случая роликов нулевого размера [3], то есть точек, и имеет вид: x1=R sin t +f(t) , y1=R cos t +g(t).

Чтобы огибающие кривые общего уравнения (5) были границами тела, необходимо выполнение следующих условий. При повороте треугольника на угол 2п/3 ролик А должен совпасть с роликом В, а при повороте треугольника на угол 4п/3 ролик А должен перейти уже на

(6)

к1т (ї) • 8Іп(3тї) + + Ь2т (ї) • соБ(3тї)

(7)

место ролика С. Остальные ролики соответственно должны занимать места следующих за ними по часовой стрелке. Данные требования накладывают ограничения на значения функций, описывающих перемещения центра треугольника:

\/(0) = / (2п/3) =

= / (4п/3) = 0 8(0) = 8(2п/3) =

= 8 (4п/3) = 0.

Требованиям (6) удовлетворяют, например, все функции вида:

Н (г) = И0 +

N

I

т=1

При этом должно выполняться условие :

N

Ч = - I^2т(0)■

т=1

Функции вида (7) описывают широкий класс кривых, в частности, таких как циклоиды и трохоиды, даже в случае постоянных множителей у синусов и косинусов. При переменных множителях достаточно потребовать их непрерывной дифференцируемости, чтобы

иметь функции /, 8 перемещений центра вращения, соответствующие механическому смыслу задачи.

На рис.2 показаны примеры тел (огибающих кривых) для различных видов перемещений центра треугольника, которые описываются гармоническими колебаниями (здесь и далее все размеры в относительных единицах радиуса Я=1). Кривая 1 показывает внутреннюю огибающую кривую, кривая 2 соответствует внешней огибающей или телу, совершающему те же движения с внешним касанием роликов. Пунктирная кривая описывает предельный случай -границу тела для роликов нулевого радиуса или, другими словами, траекторию центров роликов при их обкатывании как единого целого по внешней 2

Ф=п/2

Ф=2п/3

Ф=5п/6

Ф=п

/1 / Ж і

1 \ \' \ Л % 1 I 1 1

ш 0 1 [ / •/ /»/ / 1 / /

Рис. 3. Этапы движения тела по роликам

или внутренней огибающей 1. В центре каждого из отдельных рисунков показаны траектории центров вращения тел. Об определении этих траекторий будет сказано ниже.

Эти примеры иллюстрируют зависимость формы тела от направления колебаний по координатным осям: по оси Ох (рис.2а,б,д,е), по оси Оу (рис.2г) и по обеим осям (рис.2в). Причем, переход от горизонтальных колебаний к вертикальным приводит к потере симметрии тела. На форму тела оказывают влияние также амплитуда и частота колебаний. При увеличении амплитуды колебаний по оси ОХ с 0,1 до 0,2 тело овальной формы (рис.2а) приобретает форму с выпуклыми и вогнутыми частями (рис.2б). С увеличением частоты колебаний, заданной множителем угла поворота г, число участков выпуклости и вогнутости тела возрастает (рис.2б,д,е). При большой частоте колебаний на границе внутреннего тела могут появляться узловые точки (рис.2д). Оставшимся параметром, определяющим форму те-

ла, является радиус роликов, влияние которого видно по рис.2.

2. Перейдем из системы координат, связанной с телом Х^Уь в систему координат ХОУ, связанную с треугольником АВС (рис.1), и тем самым опишем движение тела по роликам. Для этого переместим тело по координатным осям на -/(ф) по горизонтали, на -я(ф) по вертикали и повернем тело на угол Ф против часовой стрелки относительно вертикальной оси. В результате получим уравнения граничных кривых внутреннего и внешнего тела в системе координат хОу :

'X = [*1 - /(ф)]с08ф -

- [Уь - Я 4 У =[Х1 -1(Ф)]8ШФ +

+[Уь - Я(Ф>] с08 Ф,

где х1, у і находятся из (5).

Уравнение (7) позволяет описать траекторию любой точки по ее заданным полярным координатам Я, ї. Для описания траектории мгновенного центра вращения тела в (7) нужно положить Я=0=ї, что приводит к

(7)

j#1 \' \ с >

Л V *1 1 1

f=0,2sin5t; g=0; г=0,2

-1 f=0,1sin4t; g=0; 1 r=0,1

W I 'S V a V*

і V t 7 s* V \ і 11

f=0,2sin4t; g=0; r=0,2

f=0,1 sin6t g=0; r=0,2

Рис.4. Формы тел, обеспечивающие их движение по четырем, пяти и шести роликам

параметрическому уравнению этой траектории:

[ х = - f (р) cos р + g(p) sin р,

1 У = -f(Р) sin р- g(p) cos р.

(8)

На рис.3 показано положение внутреннего и внешнего тел при движении по роликам (рис.2б). В центре каждого от-

дельного рисунка приведена часть траектории мгновенного центра вращения тел (8) при их повороте на указанный угол р. Этот рисунок иллюстрирует возможность совмещения вращения тел и их колебаний при движении по роликам. Следует отметить, что другой возможности передвижения тел по трем

роликам равного радиуса с центрами в вершинах равностороннего треугольника не существует, так как тело в любом положении должно иметь одну степень свободы для вращения вокруг мгновенного центра. При этом положение мгновенного центра вращения должно быть согласовано с поворотом тела, как это сделано выше в (5, 7, 8).

3. Рассмотренная задача обобщается на произвольное число п роликов центрами, совпадающими с вершинами правильного п-угольника. Повторяя вышесказанное для этого случая, приходим к тем же параметрическим уравнениям (5, 7, 8) с заменой (6) условиями f (2кп / п) = g (2кп / п) = 0,

к=0,...,п-1 (9)

Достаточно широкий класс функций, удовлетворяющих (9), в этом случае вместо (7) даст

Н (і) = ко +

N + 2

m=1

к1т (V) • $т(пт1) +

+ И2т (V) • С0Б(птГ).

(10)

На рис.4 показаны варианты тел с внешним и внутренним касанием роликов. Форма этих тел позволяет осуществлять их движение по роликам, совмещая вращение и колебания тел. Здесь рассмотрена одна из простейших функций вида (10), описывающая гармонические колебания мгновенного центра по горизонтали. Использование других, более сложных функций типа (10) не вызывает затруднений, и проверено в разработанной авторами программе в пакете МЛТЬЛБ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике.- М.: Наука, 1970.- т.2.- 637с.

2. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гос.изд-во техн.-теор. лит., 1956.- 420с.

3. Кобылянский Д.М. Совместимость вращения и колебаний тел с одной степенью свободы /Д.М. Ко-былянский, В.Ф. Горбунов, В. А. Гоголин // Вестн. КузГТУ, 2006, №3, С.26-28.

□ Авторы статьи:

Гоголин Вячеслав Анатольевич

- докт. техн. наук, проф. каф. прикладной математики

Кобылянский Михаил Трофимович

- докт. техн. наук, проф., зав. каф. начертательной геометрии и графики

Горбунов Валерий Федорович

- докт. техн. наук, проф. каф. стационарных и транспортных машин

Кобылянский Дмитрий Михайлович

- аспирант каф. стационарных и транспортных машин