Два тождества для интегралов гипергеометрического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.588

ДВА ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА

А. О. Джуган1, Е. А. Уланский2

Два классических тождества для гипергеометрической функции Гаусса распространяются на интегралы гипергеометрического типа. Для этих интегралов выводятся дополнительные тождества.

Ключевые слова: гипергеометрическая функция Гаусса, обобщенная гипергеометрическая функция, интегралы гипергеометрического типа.

Two classic identities for the Gaussian hypergeometric function are extended to the case of hypergeometric type integrals. Some other identities for these integrals are derived.

Key words: Gaussian hypergeometric function, generalized hypergeometric function, hyper-geometric type integrals.

Пусть z,a\,... ,an,b\,... ,bn,ci,... ,cn € C, причем |arg(1 — z)| < п и Re(bj) > Re(aj) > 0 при i = 1,..., n. Также введем при i = 1,..., n — 1 обозначение di = bi — ai+i — Ci и dn = bn — cn.

Для произвольного набора чисел ei,..., en будем выписывать числа ei,..., en, подразумевая

¿г — • • • вут,. ^ _

Обозначим а = (а\,...,ап),b = (b\,...,bn),с = (с\,...,сп),d = (d\,... ,dn) и

I n(c;a;b\z) =

r(bi)

i=1

r(ai )r(bi — ai)

[0, i]n

П

i=i

(1 — zxi... xi)c

-dx,

(1)

где dx = dxl ■ ... ■ dxn. Для удобства восприятия будем иногда записывать группы параметров с, а и Ь тремя строками друг над другом наподобие того, как это делается с параметрами обобщенной гипергеометрической функции.

Пусть 0 = го < т\ < ... < т— < VI = п и сг = 0 ^ г £ { т\,..., VI }, г = 1,... ,п, так что с = (0,..., 0, сГ1,..., 0,..., 0, сп). Тогда при \г\ < 1 имеет место представление

1га(с;а;ф) =

k1^0,...,ki^0 \j=1

j-j- ifirj)kj{0'rj-1 + l)kj+...+ki

(arj)kj +...+ki \ zkl+...+kl

Vj_i + 1)kj+...+ki ■ ... ■ (brj )kj+...+ki

где было использовано обозначение символа Похгаммера

(a)0 = 1, (a)k = a ■ (a + 1) ■ ... ■ (a + k — 1), k ^ 1.

Отсюда видно, что обобщенная гипергеометрическая функция

iF.

a0, ai,..., a,n n+irM b. b

bi,

y^ (ao)fc(ai)fc • • • • • (an)k zk

k>0

(bi)k

bn)k

k!

ki!

ki!

(2)

является частным случаем функции Iга(с; а; Ь\х) при с = (0,..., 0, ао), в том числе для гипергеометрической функции Гаусса имеем

F(a0,ai,bi|z) = Ii(a0; ai; bi|z). Согласно [1], в области |arg (1 — z)| < п справедливы равенства

F(a0,ai,bi|z) = (1 — z) ai F bi — a0,ai,bi

z

1z

(3)

(4)

1 Джуган Александр Олегович — студ. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Уланский Евгений Александрович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ulanskiy@mail. ru.

Р(ао,а1,Ь1|г) = (1 - г)-а° М 00,61 - 01,61

—г

1 - г

Е(ао, 01,61 |г) = (1 - г)Ь1-а°-а1 - 00,61 - аьВД,

которые могут быть получены соответственно заменами

х —>

х

1 - г(1 - х)'

х 1 х,

х

1-х 1 — гх

(5)

(6)

(7)

в интегральном представлении (1), справедливом для гипергеометрической функции Гаусса ввиду

(3). В работе [2] второй автор, используя обобщенный вид первой из этих замен, обобщил тождество

(4) следующим образом:

\п(с-а-Ъ\х) = (1-х)-^ \г,

с1; а; 6

—г

1 - г

(8)

В настоящей работе получены аналогичные обобщения тождеств (5) и (6).

Теорема 1. Пусть выполнены условия для параметров интеграла (1), а также Ие^г) > Ие (сг) > Ие (аг) при г — 1,..., п - 1 и Ие (6п) > Ие (сп) > 0. Тогда

Ьх-ах, 0, 62-а2,...,0, Ъп - ап; 1п(с]а]Ь\г) = (1-г)~С112п-1\ сь аь с2, ...,ага_ь сга;

Ь1, ¿1, 62, . ..,Сп-1, Ьп

-г 1-г

(9)

Теорема 2. Пусть выполнены условия для параметров интеграла (1), а также Ие^г) > Ие (¿г) > Ие (аг) при г = 1,..., п - 1 и Ие (6п) > Ие (¿п) > 0. Тогда

'61-01, 0, 62-а2,...,0, Ъп-ап; 4(с;а;6|г) = (1 - г)6'1-"1/2га_1 | (1ь аь ¿2, ...,ап- ь ¿п]

61, ¿1, 62, ...,(Щ-1, 6п

(10)

Лемма. При |г| < 1 имеет место равенство

/га(с;а;ф) = ^

гк (сп)к(а1)к ■... ■ (ап)к

С1,

с

гг-1 >

/г,

а1 + к,..., аг, _1 + к;

/г! (Ь^к •... • (Ьп)к 'Гм 1 ,,,,7-1 ;

к^о у 17к у пук \ 61 + к, ...,6^ 1 + к

Доказательство. В интеграле (1) разложим последний знаменатель в сходящийся при |г| < 1

ряд (1 - гая • ... • = £ (Сга)

сп)к и поменяем местами суммирование и интегрирование,

к>0

пользуясь равномерной сходимостью. Будем иметь

1п(с;а;Ъ\г) =

Г(6)

г(0)г(6^ - аг) к-0 к!

Етг(^)

к х

Г-1 ха4+к-1(1 х лЬ;-а;-1 ™

И ^ Х%) ,- И хТ+к-\1-хг)ь^-10х.

11 (1 _ х. )с; 11 г V ч

[0,1]п

(1 - гх1.. .хг)С;

г=1 4 г=гг-1 + 1

По отделившимся переменным образовалась бета-функция Эйлера, и можно произвести интегрирование. Заметим, что = (а)к- Получим

П-1

П

г=1

Г(6г)

£

гк (сп)к(аП-1+1)к ■... ■ (ап)к

г1-1 аг+к-1

Г(аг)Г(6г - аг) к^0 к! (6п-1+1)к ■... ■ (6п)к

[0,1]п

П

г=1

х

(1 - хг)

Ьг- а; — 1

(1 - гх1... хг)с

" ¿х1 * ... * ¿х^ 7 1 —

Е

к>0

гк (сп)к(а1)к ■ ... ■ (ап-1 )к ■ (ап-1+1)к ■ ... ■ (а.п)к

с1,

с

П-1>

к! (61)к ■ ... ■ (6г7-1 )к ■ (6г7-1+1)к

6п)к

1Г7-1 ( а1 + к,..., ап-1 + к;

61 + к,..., 1 + к

Лемма доказана.

Следствие. При |г| < 1 имеет место равенство (2).

г

г

х

г

Доказательство. Необходимо последовательно I раз применить лемму и воспользоваться равенством (а)^+1+...+к(а + + ... + к= (а)^.. Следствие доказано.

Замечание 1. Из равенства (2) вытекает, что при г,_1 < г ^ т^- любая перестановка чисел а^ или чисел Ьг не изменит значения 1га(с; а; Ь\г). Более того, параметр сГ1 можно переставить с любым из аГг_ 1+1,...,аГг. Кроме того, если одно из чисел а^ равняется одному из чисел Ьг опять же при г,-_ 1 < г ^ г,-, то эти параметры сократятся и порядок п у функции 1га(с; а;Ъ\х) понизится на единицу (один нуль в соответствующем блоке Сг при этом тоже следует убрать).

Доказательство теоремы 1 проведем индукцией по п. При п = 1, принимая во внимание равенства (3) и (5), находим

II(с1; а\] Ь\\г) = (1 - г^Ч^сг, Ьг - ец; = (1 - г)'01!^ - ец; си

где второе равенство справедливо согласно замечанию 1.

Пусть теперь п > 1 и для п — 1 утверждение теоремы верно. Произведем в интеграле (1) замену — 1 — по аналогии со второй из замен (7). Получим

1 0П_«П_1(1 _ Х \«П"

Т,_т_п = |'| Г (Ьг) [ ] Г - Хг)Ь^~1 - ХпУ"-1

Ы а,о,с\г) ППагПЬг _ аг) ] И (1 хх\... Хг)с^ (1 - ^ ... ^М! ~ т^^У"

[0,1]п

Пусть \г\ < 1 и < 1, тогда

^ ZXI . . . Хп ^ _ \ (сга)д; ^ ZXI ... хп

1 — . . . 1/ , .„ к! V1 — . . . хга— 1

Подставим правую часть последнего выражения в интеграл, затем, пользуясь равномерной сходимостью, поменяем местами знаки суммирования и интегрирования и проинтегрируем по отделившейся переменной жга. В результате будем иметь

\ - [сп)к Г[Ъп -ап + к)Т(ап) -Л Г(^) к

к\ т.,11 Т(пЛТ(Ъ: - г) Х

Г(Ьп + к) Г(аг)Г(Ьг — а)

[ "тт2 х?+к-\1 - х^-1 С-!1^"^! - ^п-!)6-1-"-1-1 , ,

Х/11. . . \||/ С1СС1 • • • С1СС>у~1_\ —

) (1 — ... жг)С4 (1 — ... жга-1)Сп- 1

[0,1]"- 1 г=1

= у^ (Сп)к Т(ьп - ап + к) Г(б!)...Г(6га) Т(а1+к)...Т(ап-1 + к) к к\ Т(Ъп-ап) Г(а1)...Г(ага_1) Т(Ь\ + к)... Т(Ьп + к) { г) *

С1, ..., с„_2, Сп_1 + с„ + к; х1„_1 | а1 + к,..., а„_2 + к, а„_1 + к; 61 + к, ..., 6„_2 + к, Ьп_1 + к Далее, применив предположение индукции, получим

Е(Ьп — ап)к{а\)к ' ■ ■ ■ ' (аП-1)к{Сп)к z)k , _ \-ci-fc {Ъ1)к--..-{Ъп)к к\ Л ~г) 5

— а1, 0, Ь2 — а2, ..., 0, 6„_1 — а„_1; ¿1 + к, а1 + к, С2 + к,..., а„_2 + к, с„_1 + к; Ь1 + к, С1 + к, Ь2 + к, ..., с„_2 + к, 6„_1 + к

что, если домножить и поделить выражение под знаком суммы на (¿1)^ ■ ... ■ (сга_1)^, будет в соответствии с леммой равно

—г 1 -г

61 — а1, 0, 62 — а2,..., 0, — а„; (1 — г)"С1 ¡2п_1 1 ¿1, а1, ¿2, ..., а„_1, с„;

61, ¿1, 62, . ..,Сп_1, Ь

-га_ 1) "га

—г 1 -г

г

Мы доказали теорему 1 в области { \г\ < 1} и { < 1}, но она остается верной во всей области |а^ (1 - г)| < п, поскольку обе части равенства в ней определены. Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2 также проведем индукцией по п. При п — 1, принимая во внимание равенства (3) и (6), находим

¡1(с1; а1; 61 |г) — (1 - г)Ь1-С1-а1 ¡1(61 - С1; 61 - а1; 61 |г) — (1 - г)^1-а1 ¡1(61 - а1; (1; ^|г),

где второе равенство справедливо согласно замечанию 1.

Пусть теперь п > 1 и для п- 1 утверждение теоремы верно. Произведем в интеграле (1) замену Хп * 1-1x1пх п0 анал0ГИИ с третьей из замен (7). Получим

ПЪг)

1га(а;6;ф) =

г=1 Г(аг)Г(6г - аг)

, п_ } _ хЛЬг-аг-1 г^Ъп-ап-Х/л _х Ла„-1л™ / ТТ -ьг V1 -ьг)__-^п_V1 -ьп)___/^ч

I А! {I — гх\.. .ХгУ4 (1 — гх\.. .хп-\)Сп+ап~Ьп(1 — гх\.. .хп)Ьп~Сп'

.....ь, У- --1.....Ьп+ап-Ьп (1 — гх1... хп) п п

[0,1]п г=1

Пусть |г| < 1. Тогда

(1 - гхг. = £ (Ьи _ Сп)к.

к>0 !

Подставим правую часть последнего выражения в интеграл, затем, пользуясь равномерной сходимостью, поменяем местами знаки суммирования и интегрирования и проинтегрируем по отделившейся переменной хп. Будем иметь

^ (ьп ~ Сп)к Г{Ъп - ап + к)Т(ап) ^ Г(^) к

■ X X

[0,1]п-1 г=1

^ к\ Г(Ьп + к) П Г(ец)Г(&г — Сц)'

п-2 ха;+к-1(1 х )Ь;-аг-1 ха"-1 +к-1(1_ х )Ь„-1-ап-1-1

ТТ Жг ^ _(¿Ж1 • . . . • £&Ега_1 =

А А (1 — гх\ . . . Хг)с* (1 — гх\ . . . жга_1)сп-1+Сп+ап-Ь„ ••• п

= у^ Щк г(Ьп — ап + к) Г(&1)... Г(6га) Г(а1 + к)... Г(ага_1 + А:) к ^ Л! Г(6га — ага) Г>1)...Г(ага_1) Г (61 + /с)... Г(6га + к) ^ *

/ С1, ..., Сп-2, Сп-1 + Сп + ап - 6п;

х1п-1 ( а1 + к,..., ап-2 + к, ап-1 + к;

\ 61 + к, ..., 6п-2 + к, 6п-1 + к

Применив предположение индукции, получим

Е(ЪП — ап)к{а\)к ■ ■ ■ ■ ■ {ап-\)к{Лп)к гк к>0 (Ьг)к-... -{Ъп)к к\ Х

^ /61 - а1, 0, 62 - а2, ..., 0, 6п-1 - ап-1;

х(1 - г)<|1 -а1 ¡2п-з ( (¿1 + к, а1 + к, ¿2 + к, ... ,ап-2 + к, (¿п-1 + к;

\ 61 + к, (¿1 + к, 62 + к,..., (¿п-2 + к, 6п-1 + к

что, если домножить и поделить выражение под знаком суммы на ((¿1)к ■ ... ■ ((¿п-1)к, будет в соответствии с леммой равно

61 - а1, 0, 62 - а2,..., 0, 6п - ап; (1 - г)^1-а1 ¡2п-1 ( (¿1, а1, (¿2, ...,ап-1, (¿п;

61, (¿1, 62, ...,(п-1, 6п

X

Мы доказали теорему 2 при |г| < 1, но, поскольку обе части равенства в ней определены, она остается верной в области |а^ (1 — г)| < п. Теорема 2 доказана.

Заметим, что тождество (10) может быть получено, если (9) применить к правой части равенства (8). И наоборот, если (10) применить к правой части (8), то получится тождество (9). Если же (8) применить к правой части (9), то будем иметь

0, сь

Iга(с;а;ф) = 12п-1 | сьаь

61,С1,

0, Сп_1, ап; ¿п— 1, аn_1, ¿п; bn_1, ¿п_Ъ 6п

г =

С1,

1п 1 а1, 61,

> Сп_1, ап; ,ап_1, Сп; , 6п—1, 6п

Второе равенство получено сокращением одинаковых параметров во второй и третьей строке. Это законно согласно замечанию 1. Полученное тождество нам уже хорошо известно благодаря тому же замечанию. Аналогично применение (8) к правой части (10) даст

Iга(с;а;ф) = (1 - г)

0, ¿1, ..., 0, а„;

_а1 12га_1| ^ 1,аЪ ¿п_1, ап_ 1, ¿п

61, ¿1, ..., 6п_1, ¿п_1, 6„

1

= (1 — г)

_«1

¿1,

а1 , 61

| ¿п_1, ап; , ап_1 , ¿п ; , 6п— 1, 6п

1

Правая часть данного равенства тривиально равна правой части (8) вновь согласно замечанию 1.

Также отметим, что в частном случае, когда в левой части (9) стоит обобщенная гипергеометрическая функция, в правой части этого равенства в соответствии с замечанием 1 произойдет сокращение параметров и порядок интеграла вместо 2п — 1 станет равен п. Само равенство будет иметь вид

1га(0,..., 0, а0;а;ф) = (1 - г)'

61 — а1, 62 — а2,..., 6п — а„;

а0, 61,

а1, 62,

ап_1; 6п

—г 1 - г

Оно же может быть получено, если к 1п(0,..., 0, ап; а0, а1,..., ап_1; 61,..., 6п|г) применить (8).

Отдельно следует обратить внимание на то, что только в_настоящей работе получено несколько семейств тождеств, связывающих значения функции 1п(с;а; Ь\г) со значениями такой же функции, но от других параметров. Помимо (10) таким свойством обладают и все тождества, связанные с описанными в замечании 1 перестановками параметров, а также тождество (11), имеющее вид

сь

Iга(с;а;ф) = \п [ аь 61,

cn_2, Сп_1 + Сп + ап 6п Сп;

an_2, ап_Ъ 6п ап;

6п_2,

6п-

П-1,

Еще одно тождество можно получить повторным применением (9) к правой части самого равенства (9), что после сокращения одинаковых параметров даст

61 — С1, С1 — а1, 62 — С2,..., С„_1 — а„_1, 6„ — С„;

1„(с;а;ф) = (1 - г)Л1 а112га-1 ^ — «1, Ь2 — а2,

а1,

61, 61 — а1, 62,

6п ап

ап_1;

6п_1 — ап_1, Ь„

Не исключено, что существуют и другие подобные тождества.

Заметим, что аналогично только что выписанному тождеству можно применением (9) к правой части (10) получить

1„(с;а;ф) = (1 - г) ёЧ2п-1

61 — ¿1, ¿1 — а1, 62 — ¿2, 61 — а1, 62 — а2, а1, 61, 61 — а1, 62,

¿п_ 1 ап_ 1, 6п ¿п;

ап ап—1; 6п_1 ап_Ъ 6п

—г 1 -г

г

I

п

I

п

г

г

Необходимо, наконец, указать, что использованный нами в доказательствах метод, заключавшийся в разложении последнего знаменателя под интегралом 1п(с;а;Ь\г) в ряд, последующем интегрировании по отделившейся переменной, применении предположения индукции и в обратном сворачивании ряда при помощи леммы, был почерпнут из работы С. А. Злобина [3].

Работа поддержана РФФИ, грант № 15-01-05700-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Ле-жандра. М.: Мир, 1965.

2. Уланский Е.А. Обобщение одного тождества для интегралов гипергеометрического типа // Матем. заметки. 2015. 98, № 2. 318-320.

3. Злобин С.А. О некоторых интегральных тождествах // Успехи матем. наук. 2002. 57, № 3. 153-154.

Поступила в редакцию 02.03.2016

УДК 512.572

О СОБСТВЕННЫХ Т-ИДЕАЛАХ АЛГЕБР ПУАССОНА С ЭКСТРЕМАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

С. М. Рацеев1

Пусть {7n(V)}n^i — последовательность собственных коразмерностей многообразия алгебр Пуассона V над полем нулевой характеристики. В работе приводится класс минимальных многообразий алгебр Пуассона полиномиального роста последовательности {Yn(V)}n^b т.е. последовательность {7n(V)}„^i любого такого многообразия V растет как полином некоторой степени k, но последовательность {7n(W)}„^i любого собственного подмногообразия W в V растет как полином строго меньшей степени, чем k.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Let {7n(V)}„^1 be the sequence of proper codimensions of a variety V of Poisson algebras over a field of characteristic zero. A class of minimal varieties of Poisson algebras of polynomial growth of the sequence {7n(V)}„^1 is presented, i.e. the sequence {7n(V)}„^1 of any such variety V grows as a polynomial of some degree k, but the sequence {7n(W)}„^1 of any proper subvariety W in V grows as a polynomial of degree strictly less than k.

Key words: Poisson algebra, variety of algebras, growth of a variety.

На протяжении всей работы предполагается, если это специально не оговорено, что основное поле имеет нулевую характеристику.

Векторное пространство A над полем K с двумя K-билинейными операциями умножения ■ и {, } называется алгеброй Пуассона, если относительно операции ■ пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции {, } — алгеброй Ли и данные операции связаны правилом Лейбница

{а ■ 6, с} — а ■ {6, с} + {а, с} ■ 6, а, 6, с € А

Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физике и т.д.

Договоримся опускать скобки {, } при их левонормированной расстановке: {{а, 6}, с} — {а, 6, с}. Пусть ^(X) — свободная алгебра Пуассона, где X — {х1, х2,...} — счетное множество свободных образующих. Обозначим через Рп пространство в ^(X), состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных х1,..., хп.

1 Рацеев Сергей Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информационной безопасности и теории управления ф-та математики и информационных технологий УлГУ, e-mail: [email protected].