Дуализм нелинейных цепей и нелинейных резонансных сред Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.877.01; 621.391.01

ДУАЛИЗМ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ И НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ СРЕД

Л.А.Рассветалов

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Исследованы отклики нелинейной резонансной среды, представленной набором осцилляторов с различным типом нелинейности. Исследованы решения нелинейных уравнений осцилляторa в виде конечных рядов Вольтерра во временной и частотной областях и реакция нелинейной цепи на произвольное воздействие. Обращено внимание на дуальность рассматриваемых сред и классических нелинейных цепей.

Ключевые слова: осциллятор, резонансная среда, ряд Вольтерра, нелинейность, дуализм, обработка сигналов

The response of nonlinear resonant medium including set of oscillators with different types of nonlinearity is studied. The solutions of nonlinear oscillator equations in the form of Volterra finite series in time and frequency areas and the response of nonlinear circuit to arbitrary input are researched. The attention is paid to the duality of presented mediums and classical nonlinear circuits.

Keywords: oscillator, resonant medium, Volterra series, nonlinearity, duality, signal processing

Нелинейная резонансная среда (НРС) благодаря частотно-временному дуализму позволяет организовать в частотном пространстве вычисление интегральных преобразований типа свертки с такой же связностью, как и умножение во временном пространстве. Нелинейные эффекты при этом будут при-

водить не к смешению частот, в результате чего возникают колебания с комбинационными частотами, а к смешению времени, т.е. к возникновению сигналов (импульсов) в комбинационные моменты времени [1,2]. Это яркое проявление частотно-временного дуализма иллюстрирует рис.1.

В исследованиях эха различных типов применяются конкретные физические и математические модели, отличающиеся как большим разнообразием, так и значительной сложностью. Моделирование НРС набором невзаимодействующих осцилляторов позволило выразить отклик НРС на многосигнальное воздействие произвольной формы в виде конечного ряда Вольтерра [2] независимо от физической природы НРС.

В [1,2] также выявлена аналогия между откликами нелинейной цепи на полигармоническое воздействие и НРС — на многоимпульсное воздействие, являющаяся следствием частотно-временного дуализма. Распространим эту аналогию на более сложные ситуации. Рассмотрим реакцию нелинейной цепи на сумму сигналов с произвольными спектральными плотностями и сравним ее с реакцией НРС, выраженной через спектр входного воздействия S(/ю) и многомерные преобразования Фурье Кп(юь...,юп) ядер Вольтерра кп(ть...,тп) [2]. Функции Кп(юь...,юп) являются п-мерными коэффициентами передачи НРС:

Рис.1. Отклики нелинейных систем на многосигнальное воздействие: вверху — нелинейной цепи на ряд гармонических воздействий, внизу — нелинейной резонансной среды на воздействие в виде дельта-функций

Так же, как возникающие в нелинейной цепи комбинационные частоты жестко связаны с частотами воздействия, в нелинейном частотном пространстве временные положения откликов жестко связаны с временным положением воздействующих импульсов.

Определим резонансную среду как набор высокодобротных осцилляторов, резонирующих в некоторой полосе частот, что отображает ее локальную неоднородность. Термин «осциллятор» здесь охватывает такие понятия, как отдельные микрочастицы или коллективные возбуждения среды — квазичастицы при квантово-механическом рассмотрении, и как молекулы или даже макроскопические частицы, сохраняющие все свойства вещества, при классическом подходе. В такой модели нелинейные свойства среды могут быть обусловлены как взаимодействием внешнего воздействия с отдельным осциллятором, так и взаимодействием между отдельными возбужденными осцилляторами и сводиться к следующим видам:

— ангармонизм;

— нелинейное возбуждение;

— нелинейное затухание;

— нелинейное взаимодействие между осцилляторами.

В последнем случае для описания модели требуется решить проблему многих частиц, тогда как для первых трех видов нелинейности достаточно решение одночастичной задачи, а реакция среды на внешнее возмущение найдется как сумма реакций отдельных осцилляторов с учетом их плотности распределения по частотам я(ю). Уместно заметить, что резонансная среда, представленная набором осцилляторов, является реальным частотным пространством, и ее описание удобно проводить в частотном представлении. Отклик подобной нелинейной резонансной среды — эхо-сигнал — является результатом синфазного сложения колебаний возбужденных осцилляторов, поэтому для его обозначения часто используют термин «фазированное эхо».

К (ю...,ю )= Г...Г к (т,,...,т )? ;(тЛ+-+т»т» ^т,..А .

п\ 1 п* \ ! 1 п~ 1 п

0 0

Выраженная через них временная форма реакции НРС в общем случае равна

п 1 ш ш р

у(/)=Ё |...| Кр (с°1,...,ю р П ^ У%0^к.

Р=! 0 0

к=1

Отклик у(/) всей системы осцилляторов на сигнал х(/) запишем в сокращенной форме, найденной в [2]:

у<<)=2 уД')=

2=1

=!•

р=1

ср-\ 2 р—1

1 -----—

2 р—1 22 р —1

2 р—2

Г к(ю)К2р—1(ю),^(ю)| ¿(ю)|2 р 2 dю,

где р — количество знаков «плюс» в аргументе Кп(юь...,юп); а2 — силовые константы; функция к(ю) имеет смысл плотности распределения осцилляторов по частотам. Первый член последнего выражения описывает линейное прохождение сигнала х(/) через фильтр с коэффициентом передачи к(ю); второй член соответствует нелинейному преобразованию третьего порядка и достаточно полно характеризует процессы, происходящие в нелинейной резонансной среде:

у(г\р = 2) = 2^е( Г к(®Жую)| S(jш) 2еУ“^ш| (1)

Спектральная плотность выходного сигнала, соответствующего этому преобразованию

Sy О \р = 2) = \?0Ч S( У®) 2 кн (2)

определяет возможные отклики среды.

Найдем в рамках второго приближения отклик НРС на воздействие в виде суммы сигналов произвольной формы [2]:

=X С/ю)єхр(_ 1'“^)’

(3)

і=1

где 5-(/ю) — спектр і-го сигнала; t1i — его временной сдвиг относительно первого, временное положение которого без потери общности принято за начало отсчета времени: = 0. Подставляя (3) в (2), получим:

3

» = 8 аз^( ^Ю)]Х И 2 3 ехР(- Мі)_

V-1

-2Х X ЗД 2ехр(-м„:>-

N—1 N

+ 2

2 =1 п=2+1

N—1 N

+Е Е 5'Я2ехр[— ;((21п— и]+

2=1 п=2+1

N—2 N—1 N ^

+ 2ЕЕ Е S2 SnSm еХР[— М*1т + *1п — *12-4 (4)

2=1 п=2+1 т=п+1 ^

где оставлены лишь члены, удовлетворяющие принципу причинности.

Нелинейную цепь (НЦ) представим в виде последовательного соединения безынерционного нелинейного преобразователя (БНП) и линейного фильтра, выделяющего некоторую (первую) спектральную полосу (рис.2).

Рис.2. Представление нелинейной цепи Характеристика БНП имеет полиномиальный

N

вид у(*) = Еькхк(*), на его вход подается воздейст-

к=1

V

вие х(/) = Х х* (і). Для каждого х() определена спек-

і=1

ОТ

тральная плотность (ю)= |х(і)ехр(-)dt.

-ОТ

этом случае

В

у(і )=Х Ьк

к=1

к

(5)

Чтобы избежать чрезмерно громоздких выкладок, ограничимся анализом полинома третьей степени, положив в (5) N= 3. Тогда

п п—1 п

У = Ь1 Е ^ + 2Е Е

_ 2 =1 2 =1 у =2+1 _

п п—1 п п—1 п

+ьз Е х2+зЕ Е хх3+зЕ Е;

_ 2=1 2=1 у =2+1 2 =1 у =2+1

п—2 п—1 п

+6Е Е Е

2 =1 у =2+1 к=у +1

Спектр колебания у(*) можно записать в следующем виде:

х2х. +

і 1

х х х

і 1 к

(6)

І =1

п-1 п

+ь.

+2Х X з (<й)* 3' (ю) +

І=1 1=і+1 _

п п-1 п

X 3 (“ *3 (ю)+^3 (“ * 3- (ю) * 3- (ю)+

І=1 І=1 1=і+1

п-1 п

+ ^ 3 (ю) * 3 (ю) * 3' (ю) +

і =1 1=і+1

+ ^ X XS^(ю)*3' (ю)*3(ю) ,

і=1 1 =і+1к=1+1 _

(7)

где

Зі (х)* (х) = | Зі (^ )3. (х - ^ К.

Структура третьего слагаемого (7) с точностью до несущественных постоянных множителей совпадает со структурой выражения (4), если в последнем заменить операции умножения на операции свертки. Отличие состоит в том, что в выражении (4) один из сомножителей любого произведения имеет знак комплексного сопряжения, что свидетельствует о замене свертки временных функций на корреляцию. Но это обстоятельство совершенно несущественно для описания НЦ, так как спектры действующих в них сигналов группируются около частот +ю,- и -ю1.

Пусть далее сигналы х,(*) узкополосны в радиотехническом смысле и допускают представление в виде х() = Д(0^[ю,* + ф,(*)], где А() и ф,(*) — медленно меняющиеся огибающая и фаза. Тогда, учитывая узкополосность сигналов в (5), получим для положительных частот:

,(“) = ЬlXSг(“-“) + Ь2 |

і=1 п-1 п

і =1

1

2 Зі( ю) + 2 Зї(“ - 2“')

+X (с°- юі- “)+З- (с°- К- “І)][

і =1 1=і+1 ]

^1 п ~ п-1 п

4 X [Зй(с°-“- -“ Н3^-/“-“- )]+4 XX Иу(ю-юг)+

=1

і=1 1=2+1 п-1 п

+- “у - 2“ )+(ю-“1 - 2“ |)]+-4 X' X1 [23ц(“-“) +

=1 1 = +1

+ .(ш - “ + 2ш.)+ (ш - + ш. - “ |)+

і 11 \ і 1 г 1к\ г 1 к у

1 У'к' І і 1 к у

+3 1к(“ - “і- “ 1- “к I)+3 1к(“ - “і- “ 1+“к I)]|

Здесь 3ук(ю - ю1) - свертка спектров огибающих А і(і), А1(і), А](і), перенесенная на частоту ю1.

На рис.За представлен результат преобразования суммы трех сигналов 31 + 32 + в нелинейной цепи третьего порядка, а на рис.Зб — отклик кубической среды на сумму трех сигналов, форма которых во времени повторяет форму спектральных функций рис.3а.

+

Sl

S2

Sз

Рис.3. Отклики а) нелинейной цепи и б) НРС на сумму трех сигналов произвольной формы

В качестве третьего сигнала использованы 5-функции: S3 = 5(ю - ю3) на рис.За и S3 = 5(* - *3) на рис.Зб. Для наглядности на рисунке показаны лишь основные из откликов нелинейных систем: отклики зеркального типа S12, S23 и S13, являющиеся продуктом взаимодействия двух сигналов; их расположение на оси ю или t зеркально симметрично относительно осей симметрии, проходящих через вторые сигналы; отклики трехсигнального типа S123, S113 и S223. Последние на частотной оси соответствуют сверткам спектра третьего сигнала с автосвертками спектров первого и второго сигналов, а на временной оси — свертке третьего с автокорреляционными функциями первого и второго сигналов соответственно.

Нетрудно заметить, что в соответствии с принципом причинности в НРС не могут возникать сигналы, показанные на рис.Зб штриховой линией; это единственное и вполне естественное отличие в откликах НЦ и НРС. Следует также отметить, что в математическом плане этих отличий нет: подстановка (3) в (2) дает выражение, аналогичное (6) с учетом Ь1 = Ь2 = 0.

Если проанализировать происхождение откликов, представленных на рис.З, то можно отметить следующее.

1. Отклик НЦ, имеющий спектр S123(ю), является результатом произведения S1(t)S2(t) и гетероди-нирования с частотой ю3. Фильтр Ф(ю) рис.2 выполняет роль интегратора, а последовательное соединение БНП и полосового фильтра можно рассматривать как коррелятор с преобразованием частоты. В отличие от нелинейных цепей, в которых возможны отклики типа S1(t)S2(t) уже при квадратичной нелинейности, в НРС эхо-сигналы образуются при наличии нелинейности не ниже третьего порядка. Поэтому откликов типа S1(ю)S2(ю) в НРС нет. НРС с нелинейностью третьего порядка обычно называют кубической. В таких средах возможны отклики вида

^(ю^ю) от взаимодействия двух сигналов ^(^0 S2(t)* S2(t) во временной области) и S1*(ю)S2 (ю^^ю) при взаимодействии трех сигналов (81( )0 S2 ()* S3(t) во временной области). Здесь символ 0 обозначает свертку, а символ * — корреляцию.

2. Последний отклик при S3(t) = 5^ - ^) можно рассматривать как взаимокорреляционную функцию (ВКФ)

^2(0=з(/)® £2(?)=^(— о * £2(?)=^)* б2(/) , подвергнутую «гетеродинированию» со временем t3, т.е. временной задержке на ^ - (t2 - ^) = t3 - ^.

На рис.2 фильтр Ф(ю) выполняет функцию частотной селекции, отделяя полезный результат корреляции сигналов S1(t) и S2(t) от других откликов.

ВКФ сигналов S1(t) и S2(t) в НРС может быть выделена из других откликов посредством временного стробирования.

Все перечисленные общие свойства откликов НЦ и НРС являются следствием частотно-временной симметрии, или дуальности [3], которая может быть проиллюстрирована следующей табл.

Таблица 1

Операция Дуальная к ней

Произведение Свертка

Полосовая режекция Временное стробирование

Преобразование частоты Временная задержка

Весовая обработка в частотной области Весовая обработка во временной области

Таким образом, показано, что НЦ и НРС являются дуальными системами. Если известны отклики одной системы на входной сигнал, отклики другой системы можно получить, производя замену ю -о t или замену операций умножения на операцию свертки с одновременным комплексным сопряжением первого сомножителя. Табл.2 иллюстрирует правило записи откликов НРС при известных откликах НЦ.

Таблица 2

НЦ НРС Замена

5123(Ю) = ЗИ* ^23 (ю) = ^(ю^ (ю^ю) операции

*52(ю)* 53(ю) 32^) = ^(О* S2(t)* S3(t) аргумента

^ ^ )х 3»* Я2(0* ¿3(0 операции

^ ySз(t) ^23 (ю) = ^(ю^ (ю^ю) аргумента

5

5

5

1

1. Корпел А., Чаттерджи М. Нелинейное эхо, фазовое сопряжение, обращение времени и электронная голография // Тр.

Ин-та электрорадиоинженеров. 1981. Т.69. №12. С.22-43.

2. Рассветалов Л.А. Генерация эхо в нелинейной резонансной среде // Радиотехника и электроника. 1987. Т.31. №1.

С.8-14.

3. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. 3.

М.: Сов. радио, 1972. Т.1. 744 с.

Bibliography (Transliterated)

Korpel A., Chatterdzhi M. Nelinejjnoe ehkho, fazovoe soprjazhenie, obrashhenie vremeni i ehlektronnaja golografija // Tr. In-ta ehlektroradioinzhenerov. 1981. T.69. №12. S.22-43.

Rassvetalov L.A. Generacija ehkho v nelinejjnojj rezonans-nojj srede // Radiotekhnika i ehlektronika. 1987. T.31. №1. S.8-14.

Van Tris G. Teorija obnaruzhenija, ocenok i moduljacii. M.: Sov. radio, 1972. T.1. 744 s.