CC BY
34
УДК 519.1
ДОСТИЖИМОСТЬ НА ГРАФАХ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА ПРОХОЖДЕНИЕ ПО ДУГАМ И ЗАВИСИМОСТЬЮ ВЕСОВ ДУГ ОТ ВРЕМЕНИ
© 2009 г. В.А. Скороходов
Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, dnjme@math. sfedu.ru
Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, dnjme@math. sfedu.ru
Рассмотрено такое расширение понятия ограничения на достижимость, как зависимость от времени весов дуг ориентированного графа. В отличие от настоящего ограничения на достижимость рассмотренные зависимости не вносят неравноправности среди дуг графа при составлении путей. Показано, что для решения классических задач, таких как задача о кратчайшем пути, может быть использован тот же самый подход, что и для настоящих ограничений достижимости. Подход состоит в построении вспомогательного графа, у которого количество вершин больше, чем у исходного, но на котором нет никакого ограничения.
Ключевые слова: граф, алгоритмы на графах, достижимость, нестандартная достижимость.
Graphs with condition of nonstandard reachability, which arcs weights depend of time is researched. The problem of foundation of shortest path on such graphs is considered.
Keywords: graph, graphs algorithms, reachability, nonstandard reachability.
В повседневной жизни все чаще встречаются ситуации, для которых в силу ряда обстоятельств имеют место некие временные рамки. Наиболее ярким примером такой ситуации могут выступать «пробки» на дорогах достаточно крупных городов. Очевидно, что для одного и того же участка дороги в разные часы суток затраты на проезд по данному участку различны. Этому способствует тот факт, что пропускная способность участка дороги меняется вследствие возникновения «пробок», а затраты возрастают, если возникает «пробка». Таким образом, следует учитывать указанную неоднородность при составлении маршрутов движения.
В настоящей работе предложен подход для решения задачи о кратчайших путях на графах с нестандартной достижимостью [1 - 5], у которых вес каждой дуги меняется с течением времени.
Достижимость на графах с нестандартной достижимостью, у которых вес каждой дуги меняется с течением времени
Пусть G^ (X,U, f, T) - ориентированный граф с нестандартной достижимостью р [1 - 5], вес каждой дуги u 6 U зависит от времени t (е [/0;/0 + T]N), т.е. c(u) = c(u, t). Необходимо решить задачу нахождения кратчайшего пути, т.е. пути, для которого суммарный вес всех его дуг минимален. Поскольку вес каждой дуги графа зависит от времени, то, кроме самого пути, необходимо найти еще и ближайшее время начала движения по данному пути. Время начала движения по кратчайшему пути в данном случае является обязательной величиной, поскольку для различных моментов времени начала движения кратчайшие пути могут быть различны. Проиллюстрируем это следующим примером.
Пример 1. Рассмотрим граф G0 (X, U, f ,4) с тривиальным ограничением на достижимость (без ограничения), показанный на рис. 1.
Рис. 1
Определим зависимость весов каждой дуги от времени / е [0;4]^ :
с(щ ) = {1,2,3,1}; с(и2 ) = {3,1,2,4}; с(и3 ) = {2,4,2,5} с(и4) = {3,4,1,2}; с(и5) = {2,4,1,2}; с(и6) = {4,3,1,1}.
Для данного графа кратчайшим путем на отрезке времени [0;4]^ является путь / = {и2,и5,и6} (его длина | / |= 3). При этом ближайшее время начала движения ^ = 1, поскольку если начинать движение в момент t = 0, то кратчайшим является путь / = {и3,и6} (его длина / = 5 ). Если начинать движение в момент t = 2, то кратчайшим является единственно возможный путь /2 = {и3, и6} (его длина
|/2| = 3 ). Такая же длина и у пути р, однако ближайшим временем начала движения, очевидно, является момент ^ = 1. Наконец, если начинать движение в момент ^ = 3, то невозможно к моменту времени t = 4 достичь вершины с номером 5.
Таким образом, для решения задачи о кратчайшем пути на графе с ограничением на достижимость, причем вес каждой дуги зависит от времени, необходимо, кроме самого кратчайшего пути, отыскать еще и время начала движения по этому пути.
Задача о кратчайшем пути на графе с тривиальным ограничением на достижимость
Данную задачу будем решать аналогично задачам о достижимости для графов с ограничениями на прохождение по дугам [1 - 5]. Построим вспомогательный граф, для которого вес каждой дуги не меняется с течением времени. Кроме этого, каждому пути на вспомо-
гательном пути соответствует допустимый путь на исходном графе. Таким образом, зависимость весов дуг исходного графа можно считать аналогом ограничения на достижимость и для решения задачи о кратчайших путях использовать методы решения аналогичной задачи на графах с нестандартной достижимостью.
Построение вспомогательного графа О'. Каждой
вершине х исходного графа О'° (X,и, /,Т) поставим в соответствие (7+1) вершину {х0,х1,...,хТ} на вспомогательном графе О', а дуги строим следующим образом.
Каждой дуге и е и, /(и) = (х, у) ставим в соответствие Т дуг {и, и2 ,...,иг} таких, что /'(и,) = (хг_1, у,). Определим веса новых дуг {и,} на вспомогательном графе так, что с(и,) = с(и, t0 +,), VI = 0, Т _ 1.
Поскольку зависимость дуг от времени на исходном графе считаем аналогом ограничения на достижимость, следовательно, справедлива следующая
Теорема. Любому кратчайшему пути / на
вспомогательном графе О' соответствует кратчайший путь / на исходном графе О и вершина у достижима из х на исходном графе О тогда и только тогда, когда на вспомогательном графе О' из вершин множества Ах = {х0,х1,...,хТ} достижима, по крайней мере, одна из вершин множества Ау = {у 0, у1,..., уТ }.
Доказательство следует из построения вспомогательного графа и практически дословно повторяет доказательство аналогичной теоремы [5].
Таким образом, применяя приведенную теорему о связи путей на исходном и вспомогательном графах, для решения задачи о кратчайшем пути из вершины х в вершину у на исходном графе достаточно решить задачу о кратчайшем пути из вершин множества Ах = {х0, хг,..., хТ } в вершины множества Ау = {у0, у1,..., уТ }, при этом имеет место следующее
соотношение между длинами кратчайших путей на исходном и вспомогательном графах:
|/*(x, у^ = тш =—{/*(хг, Ау |}. (1)
Время начала движения по данному кратчайшему пути /* равно t* = t0 +,, где / - минимальный индекс вершины множества А , для которой достигается минимум в соотношении (1).
Пример 2. Рассмотрим граф О, представленный в примере 1, ¿0 = 0, Т = 4.
Вспомогательный граф О имеет вид, показанный на рис. 2.
На построенном вспомогательном графе существуют следующие пути из вершин множества А1 = {10,11,12,13,14} в вершины множества А5 = {50,51,52,53,54}. Для удобства будем записывать их как последовательность вершин. /1(10,52):10 ^41 ^52 . Длина пути = 5 .
/2(10,5з):10 ^21 ^42 ^5з. Длина пути |/2| = 6 .
/3 (1 0,53 ): 10 ^ 31 ^ 42 ^ 53 . Длина пути И = 8 .
Отметим, что (10, А5 ) - путь
/1(10,52 ):10 ^ 41 ^ 5 2 длины (10, А5 ) = К| = 5 .
Следующая группа - пути из вершины 11. /4 (11,5з): 11 ^ 42 ^ 53 . Длина пути |/4| = 5. /5(11,54):11 ^22 ^43 ^54 . Длина пути |/5| = 4.
/6 (11,54 ):11 ^ 3 2 ^ 43 ^ 5 4 . Длина пути \/'6\ = 3 .
Отметим, что /'(1, А5) - путь /1(11,54): 11 ^32 ^43 ^54 длины /(1Ь А5) = |/б| = 5 .
Следующая (и последняя для данного графа) группа - пути из вершины 12.
/7 (12,54 ):1 2 ^ 43 ^ 54 . Длина пути \/7\ = 3.
Отметим, что /*(12, А5) - единственно возможный путь из вершины 12 в вершины множества А5 -
/7 (12,54 ):10 ^ 41 ^ 5 2 длины (10, А5 )=|/7| = 3 .
10 20 30
Рис. 2
Сравнивая веса полученных путей (10, А5), /'(1,А5) и /'(12,А5), получим, что кратчайшими являются пути (11, А5) и (12, А5). Их веса равны
3, однако, поскольку нас интересовало ближайшее время начала движения, на вспомогательном графе в качестве оптимального кратчайшего пути выбираем /(11,А5):11 ^32 ^43 ^54. Перенося результат на исходный граф, получим решением задачи о кратчайшем пути из вершины 1 в вершину 5. Путь /* (1,5): 1 ^ 3 ^ 4 ^ 5 (он соответствует найденному на вспомогательном графе пути (11, А5)), а время начала движения по нему ¿0 = 1.
Отметим, что найденным кратчайшим путям
(10, А5), (11, А5) и (12, А5) вспомогательного графа соответствуют рассмотренные в примере 1 кратчайшие пути ц1 ц2и ¡гъ для исходного графа.
Задача о кратчайшем пути на графе с заданным ограничением на достижимость
Пусть теперь О - граф с заданной нестандартной достижимостью ф , у которого веса всех дуг меняются в зависимости от времени t ^ е|0,Т _ 1). Рассмот-
рим задачу нахождения кратчайшего пути на графе такого вида.
Изменение весов дуг в зависимости от времени, как уже было показано в предыдущем пункте, может быть рассмотрено в качестве аналога ограничения на достижимость. В отличие от настоящего ограничения оно не влечет за собой неравноправия дуг при формировании пути. Таким образом, для решения задачи о кратчайшем пути в новой постановке можно воспользоваться следующим подходом [3-5]: необходимо построить вспомогательный граф для ограничения на достижимость ф , затем на нем решать
задачу о кратчайшем пути так, как это было сделано в предыдущем пункте. То есть фактически приходится строить вспомогательный граф в два этапа. Первый - это построение вспомогательного графа О' с использованием правил построения вспомогательного графа для ограничения на достижимость ф ,
второй - построение вспомогательного графа О" по вспомогательному графу О' так, как это было предложено в предыдущем пункте, поскольку на вспомогательном графе О' нет ограничения на прохождение по дугам.
Таким образом, при решении задачи о кратчайшем пути на графе О" будут найдены кратчайший путь на графе О' и ближайшее время начала движения по этому пути. Затем при переносе результата с вспомогательного графа О' на исходный граф О будет найден кратчайший из допустимых при ограничении ф путей, что и является решением исходной задачи. Отметим, что время начала движения будет найдено при решении задачи на вспомогательном графе О" .
Другим подходом решения задачи о кратчайшем пути на исходном графе является рассмотрение двух заданных условий - ограничения достижимости ф и зависимости весов дуг от времени - как одного, составного ограничения на достижимость. Для решения поставленной задачи предложим правило построения вспомогательного графа О'.
Рассмотрим 2 варианта построения вспомогательного графа: для ограничений на достижимость строгого и нестрогого типов [5].
Каждой вершине x исходного графа О ставим в
соответствие k+1 вершину {с(0),...,х(к)} на вспомогательном графе О'(х ',и', /').
Пусть дуга u такая, что /(и) = (х, у), тогда V/ V/, если и еи, п и(/), то строим дуги и/ (*) такие, что
/• (и/ (*)) = (х/, у£(/,а))), V * = 0Т-1.
Если выбрано формальное ограничение нестрогого типа, то, кроме этих дуг, строим дополнительные дуги
по правилу: V/ V/, если и еи, п(и \ и(/)), и для нее выполняется соотношение [(/>! ° /(и)]+ Г11!{)) = 0, то строим дуги и/ (*) такие, что
/'(и/ (*)) = (Х((/),у/) , V* = 0Т-1 .
Веса для новых дуг и/ (*) вспомогательного графа О определим следующим образом:
с(и/ (*)) = с(и, *0 + д) , Vд = 0,Т -1.
Для построенного вспомогательного графа О справедлива теорема о достижимости и соответствии путей вспомогательного графа допустимым путям исходного графа [5]. Следовательно, решая задачу о кратчайшем пути так, чтобы минимизировать значение нижнего индекса начальной вершины искомого кратчайшего пути, получим, кроме самого кратчайшего пути, время начала движения по нему.
Пример 3. Рассмотрим граф О с вентильной достижимостью при k = 2, показанный на рис. 1.
Определим и0 = {щ,и3} , и1 = {и2 , и4 , и5} и
и 2 = К}.
Тогда кратчайшим путем из вершины 1 в вершину 5 на этом графе является единственно возможный допустимый путь /(1,5):1 ^ 3 ^ 4 ^ 5 . Время начала движения по нему ^ = 1, длина /(1,5) = 4 .
Определим и0 = {щ,и2,и3 } , и = и ,Щ } и
и2 = {%} .
Тогда кратчайшим путем из вершины 1 в вершину 5 на этом графе является допустимый путь
(1,5): 1 ^ 4 ^ 5 . Время начала движения ^ = 2.
Длина /(1,5) = 3 .
Литература
1. Басангова Е.О., Ерусалимский Я.М. Различные виды смешанной достижимости // Алгебра и дискретная математика. Элиста, 1985. С. 70-75.
2. Ерусалимский Я.М., Логвинов С.Ю. Некоторые задачи достижимости на графах с ограничениями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 2. С. 3-5.
3. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Графы с вентильной достижимостью. Марковские процессы и потоки в сетях. // Там же. 2003. № 2. С. 3-8.
4. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Достижимость на графах с условиями затухания и усиления // Там же. 2004. Спецвыпуск. С. 110-112.
5. Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А. Общий подход к нестандартной достижимости на графах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. С. 110-112.
Поступила в редакцию
12 ноября 2008 г.
