Достаточные условия полиномиальной ограниченности пучка операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ ПУЧКА ОПЕРАТОРОВ

A.A. Замышляева, A.B. Уткина

Рассматривается задача Коши для уравнения соболевского типа второго порядка. Приводятся результаты ее однозначной разрешимости в предположении относительно полиномиальной ограниченности. Получены достаточные условия полиномиальной А-ограниченности в терминах относительно присоединенных векторов в случае фредгольмова оператора при старшей производной.

Ключевые слова: полиномиальная А ограниченность, присоединенные векторы.

1. Введение

Пусть U и Т банаховы пространства, операторы А, В0, Bi е C(U;F). Рассмотрим задачу Коши

ЦО) = и$, м'(О) = щ (1)

для оиераторно дифференциального уравнения соболевского типа второго порядка

Au" = Biu' + В0и. (2)

В [1-4] были заложены основы теории полиномиальной А-ограниченноети пучков операторов и пропагаторов, послужившей методом исследования задачи (1), (2). Нашей целью является получение достаточных условий полиномиальной А-ограниченноети пучка операторов.

В первом параграфе приводятся основные результаты теории полиномиально А-ограниченных пучков операторов, необходимые условия полиномиальной А-ограниченноети, Во втором вводится понятие относительно присоединенных векторов пучка операторов и исследуются их свойства. В последнем параграфе приводятся достаточные условия полиномиальной А- ограниченности в случае фредгольмова оператора.

2. Необходимые условия полиномиальной А-ограниченности

Пусть U и Т — банаховы пространства, операторы А,В0,Ві Є C(U;F). Рассматривается задача Коши

ЦО) = v,q, и'(0) = и\ (1)

для операторно-дифференциального уравнения соболевского типа второго порядка

Аи" = Biu1 + В0и. (2)

Задача Коши (1), (2) представляет собой абстрактную форму многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений, моделирующих различные реальные процессы.

Обозначим через В пучок операторов (Bi,B0), Множества

рА(В) = {р Є С: (р1 А - ілВг - Воу1 Є C(F\U)}

и аА(В) = С \ рА(В) будем называть, соответственно, А-

резольвентным множеством и А-спектром пучка В.

Введем в рассмотрение операторнозначную функцию комплексного переменного

R^B) = {р2 A — fj,Bi — B0yl с областью определения рА{В).

Лемма 1. Яц(В) является непрерывной в смысле сходимости по операторной норме функцией комплексного переменного.

Теорема 1. R¡j,{B) аполитична в своей области определения.

Определение 1. В = (Bi,Bq) называется полиномиально ограниченным относительно оператора. А (или просто полиномиально А-ограниченным), если

За > 0 Ур Є С (|//| > а) => (R^B) є C(F-,U)).

Замечание 1. Если существует оператор А-1 е £(3-'.14). то пучок В полиномиально А-ограничен точно тогда, когда полиномиально ограничен пучок

(А-1ВЪА-1В0),(В1А-\В0А-1).

Выберем в комплексной плоскости замкнутый контур

Г = {// е С : // = г > и }■. (3)

Тогда имеют смысл следующие интегралы как интегралы от аналитических функций по замкнутому контуру:

Р = ----: I К^(В)рА(],р, С} = --: I рАК^(В)(],р. (4)

2тп '] 2,тт1']

Г г

Пусть далее операторы А, Во, В\ такие, что

Пц(В)с11л = 0 (5)

Лемма 2. Пусть выполняется условие (5), пучок В полиномиально А-ограничен, тогда операторы, Р \Ы —>• Ы и Ц : Т —>• Т, определенные формулой (4), являются, проекторам,и.

Положим

и0 = кегР, = к('1-д. и1 = 1111/'. = \xx\Q.

Из предыдущей леммы следует, что

и = ы°®и\ Т = ^°ф^1.

Через Ак(В,1) обозначим сужение оператора А{В{) на Ык к = 0. 1:/ =

0,1.

Теорема 2. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполняются условия (5). Тогда, действия, операторов А,В]_,Вй расщепляются:

1) Ак е С(ик;Тк), к = 0,1;

2) Вк є С(Ык;^к), к, I = 0,1;

3) существует оператор (А1)-1 Є И{ТХ\1ЛХ);

4) А0-спектор пучка В0 не содержит конечных точек.

Следствие 1. Пусть пучок В полиномиально А-ограничен, выполняется условие (5). Тогда существует оператор {В$)^1 Є

Обозначим

Н, = (В°0)-1А° е С(Ы°), //, = (ВоТ1^ Є £(Я),

5і = {А1)-1В\ є ЦК1), Бо = {А1)-1В1 є ЦК1).

Тогда

ОО

Л„(В) = (- £>2Яі - #1Н2)‘)(В0°)-1(/ - 0)+

&=0

ОО

2(У^(м 1«5і + ^ 2^о)&)("41)

й=0

Теорема 3. Пусть пучок операторов В полиномиально А-ограничен, выполнено условие (5), причем, оо - пол,юс порядка р Є {0} и N А-резольвенты пучка В [3]. Тогда, при любых щ Є Ы1 существует единственное решение задачи (1), (2), которое можно представить в виде

и{ї) = М1(ї)щ + М1(ї)иі,

где Л /1. М1 - сужение семейства вырожденных М, N-функций [3] на, подпространство Ы1.

3. Относительно присоединенные векторы

Определение 2. Пусть ко г . 1 ф {0}, вектор (р$ Є ко г. 1 \ {0} будем называть собственным вектором оператора А.

Определение 3. Упорядоченное множество векторов {у>і, у>2, ■■■} называется цепочкой В-присоединенных векторов собственного вектора (ро, если

А(рі = Ві(ро, А(ря+2 = г',Г I +

Ч = о. 1.... у, $ кос Л \ {()}•- / = 1. 2....

Для присоединенного вектора (ря определим высоту, равной порядковому номеру вектора в цепочке.

Определение 4. Линейную оболочку всех собственных и В- присоединенных векторов оператора А назовем, его В -корневым линеалом.

Определение 5. В-корневым пространством будем называть замкнутый В- корневой линеал оператора, А.

Цепочка /¿-присоединенных векторов может быть бесконечной. В частности, она может быть заполнена нулями, если (ро Є ко г А П кегВі ПкегД). Но она будет конечной в случае существования такого ^-присоединенного вектора <ря, что либо Вііря 0 ітД либо В0іря 0 ітА

Определение 6. Высоту д последнего В- присоединенного вектора в конечной цепочке {991, (р2,...} будем называть длиной этой цепочки.

Пусть Вк є С(Ы]Т), к = 0,1, оператор А є Т{1Л\Т) - фред-гольмов (т.е. образ іігь4 замкнут и сііткег А = еосііт іігь4 < оо). Редуцируем уравнение (1) к операторно-дифференциальному уравнению

Ьй = Ми, (6)

где оператор

м ■= (^ Во Ві ) е £(М-,Я),

а оператор

1:=(о А ) є С(М'М)-

фредгольмов. Пространства М := и х и-,М := и х Р - банаховы с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств.

Возьмем вектор <р е кег Ь и рассмотрим итеративную процедуру: ср0 = (р, 1лр{+1 = Мщ щ е сот Ь 1 = 2,... (7)

Определение 7. Векторы (pj, і = 1,2,..., получающиеся из векторов (р Є кет Ь \ {0} посредством процедуры (6), называются М-присоединенными векторами. Если Мер 0 іт Ь, то говорят, что вектор (р не имеет М-присоединенных векторов. Линеал М1 С М., содержащий все собственные и М - присоединенные векторы оператора Ь, называется М-корневым пространством оператора /, .

Лемма 3. Длины, всех цепочек В-присоединенных векторов оператора А ограничены числом р Є {0}1^ точно тогда, когда, длины всех цепочек М-присоединенных векторов оператора, Ь ограничены числом р Є {0} и N.

Доказательство. Действительно, легко проверить, что вектор <рд+п-1 является ^-присоединенным вектором высоты д оператора А точно тогда, когда вектор со1(<ря, <рд+і, ■■■, <рд+п-і) является М-присоединен-ным вектором высоты д оператора Ь. □

4. Полиномиальная ограниченность относительно фредгольмова оператора

Пусть Въ є С(14] У7), к = 0,1, оператор А є Т{Ы] Т) - фредгольмов. Редуцируем уравнение (1) к операторно-дифференциальному уравнению

¡.'и = М и. (8)

где оператор

М ■= 1Вх ) є ЦМ;ЛГ),

оператор

Ь := (" £ М е£(М;Л0-

фредгольмов. Пространства A4 := U х U;J\f := U х F - банаховы с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств.

Определение 8. Оператор М Є C(ll',J-) называется ограниченным относительно оператора L Є C(U;J-), m.e. (L, a)-ограниченным, если

3/io > 0 Y/i Є С OI > /іо) {p>L — M)~l Є £(J-]U).

Лемма 4. Оператор M Є £(A4',N) ограничен относительно оператора L є точно тогда, когда пучок операторов В полино-

миально ограничен относительно оператора А.

Пусть оператор L Є T{M]N) фредгольмов. Обозначим через eoimL := „Ví ( : ker L некоторое топологическое и алгебраическое дополнение к ядру ко г L до пространства Л4. В [4] была доказана следующая

Теорема 4. Пусть операторы, L. М Є С(Л4,М), причем, оператор L фредгольмов. Тогда, следующие утверждения эквивалентны.

1 ) Длины, всех цепочек М-присоединенных векторов оператора, L ограничены числом р Є {0} U N.

2) Оператор M (L, а)-ограничен, причем, точка оо является, пол,юсом, порядка не более р L-резольвенты, оператора, М.

В силу теоремы 4 и леммы 3 имеет место следующая теорема:

Теорема 5. Пусть операторы, А, Ві,В0 Є OU, Т), причем, оператор А фредгольмов. Тогда, следующие утверждения эквивалентны.

(i) Длины, всех цепочек В-присоединенных векторов оператора, А ограничены числом р Є {0} U N.

(ii) Пучок операторов В полиномиально A-ограничен, причем, точка оо является, пол,юсом, порядка не более р А-резольвенты, пучка операторов В.

Список литературы

1. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47-74.

2. Свиридюк Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Челябинск, 1992.

3. Замышляева А. А. Задача Коши для линейного уравнения соболевского типа второго порядка // Уравнения соболевского типа. Сб. науч. тр. Челлябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 16-29.

4. Кузнецов Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: Урал, гос. ун-т, 1999.

Челябинский государственный университет [email protected]