CC BY
19
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕКУРРЕНТНЫХ ДВИЖЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
© П. А. Исанбаев
Определение 1. Говорят, что последовательность функций Xk (t) локально сходится к функции Xo (t), если имеет место равномерная сходимость на любом конечном промежутке числовой оси R.
Определение 2. Если некоторая последовательность сдвигов функции x(t + hi) локально сходится к функции X(t), то функция X(t) называется присоединенной к функции x(t).
Определение 3. Функция x(t) называется рекуррентной, если для каждой функции X(t), присоединенной к x(t), функция x(t) будет присоединенной к X(t).
Рассматриваются достаточные условия оптимальности рекуррентного решения дифференциального включения задачи L :
X £ Q(t, x),
x(t) £ X(t),
1 ГT
I(x() = lim ™ Ф(t,x(t),X(t))dt — min .
T^<X 1 Jo
Будем считать, что множество X(t) замкнуто при каждом фиксированном t и его пересечение с каждым компактом в R непрерывно в смысле Хаусдорфа; отображение (t,x) — Q(t,x) удовлетворяет перечисленным ниже условиям (a), (b), (c), а функция (t,x,y) — Ф(t,x,y) — условиям (а), (в), (j) :
(a) отображение t — Q(t, x) непрерывно и рекуррентно при каждом фиксированном x;
(b) отображение x — Q(t, x) полунепрерывно снизу при каждом фиксированном t;
(c) для каждого Y ^ 0 существует число такое, что max \Q(t,x)\ ^ при всех t;
\х\^у
(а) функция t — ^(t,x,y) непрерывна и рекуррентна при фиксированных (x,y);
(в) функция t — ^(t,x,y) интегрируема по Лебегу на любом решении x(-) включения X £ Q(t,x), удовлетворяющем ограничению x(t) £ X(t);
(y) функция x — &(t,x,y) полунепрерывна снизу на X(t) при каждых фиксированных (t,y)-
Назовем функцией Л. С. Понтрягина функцию H(t,x,y,ф) = (ф,у) — ^(t,x,y) и обозначим H(t, x, ф) = sup H(t,x,y,ф). Пусть функция H(t, x, ф) удовлетворяет условию
yeQ(t,x)
Липшица по x.
Определим многозначное отображение (t, x, ф) — T(t, x, ф) как субдифференциал Кларка r(t, x, ф) = dx(—H(t, x, ф)) (см. [1]) и рассмотрим сопряженное дифференциальное включение
ф £ r(t, x(t),ф).
Следующая теорема является усилением теоремы 2 из работы А. Е. Ирисова и Е. Л. Тон-кова [2].
Теорема 1. Пусть отображение Q(t,x) удовлетворяет условиям (a), (b), (c), функция ^(t,x,y) удовлетворяет условиям (а), (в), (j) и существует допустимое рекуррентное решение x(-) задачи L, которому соответствует рекуррентное решение ф(-) дифференциального включения ф £ T(t,x(t),ф) такое, что на паре (x(-)^(-)) выполнено условие максимума
H(t, x(t), ф(^) = H(t, x(t), X(t), ф(£))
при почти всех t. Тогда рекуррентное оптимальное решение задачи L существует. Любое допустимое рекуррентное решение x(-) задачи L, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, является оптимальным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.
2. Ирисов А.Е., Тонкое Е.Л. Достаточные условия оптимальности рекуррентных по Биркгофу движений дифференциального включения // Вестник Удмуртского университета. Серия: Математика. Ижевск, 2005. №1. С. 59-74.
Исанбаев Павел Анатольевич Удмуртский государственный ун-т Россия, Ижевск e-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СВЕТЕ ИДЕЙ Н.В. АЗБЕЛЕВА
© Р. И. Кадиев
Исследуются вопросы устойчивости для линейного функционально-дифференциального уравнения по семимартингалу. Частными случаями такого уравнения являются, например, функционально-дифференциальные уравнения Ито и их гибриды, функционально-дифференциальные уравнения в мерах, а также другие стохастические дифференциальные уравнения с последействием. К такому уравнению сводятся обыкновенные дифференциальные уравнения по семимартингалу, дифференциальные уравнения по семимар-тингалу с запаздывающим аргументом, интегро-дифференциальные уравнения по семимартингалу. Исследование проводится с помощью метода вспомогательных или «модельных» уравнений («Ш-метод» Н.В.Азбелева).
Пусть (О, Т, (Тг)г^0,Р) — полное вероятностное пространство с фильтрацией;
2 := ео1(г1,..., гт) — т-мерный семимартингал на нем; Ьп(2) состоит из п х т-матричных
