CC BY
27
Достаточные условия неманипулируемости прямых
механизмов планирования
Петраков С. Н.
(Институт проблем управления РАН; Москва) *
1. Введение
т
В теории активных систем (ТАС) рассматривается задача назначения планов в активной системе (АС), состоящей из управляющего органа—центра и п активных элементов (АЭ). Планы, назначаемые АЭ, зависят от предпочтений элементов, определяемых неизвестными центру параметрами. Возникающую неопределенность центр устраняет тем, что запрашивает информацию о предпочтениях элементов, по которой в соответствии с некоторой процедурой планирования назначаются планы [1 j
В общем случае сообщения АЭ могут иметь достаточно сложный вид Мы будем считать, что элементы сообщают непосредственно параметры своих функций
*
предпочтения или их оценки. При этом элементы называют сообщения из некоторого заранее оговоренного множества возможных сообщений Совокупность множества возможных сообщений и процедуры планирования называется механизмом планирования. Механизмы, в которых элементы сообщают непосредственно параметры своих функций, предпочтения называются прямыми механизмами В прямых механизмах иногда возникают условия, когда элементам выгодно сообщать недостоверную информацию. Механизмы, в которых элементам выгодно сообщение достоверной информации, называются неманипулируемыми, и естественным желанием ценгра является создание неманипулируемых механизмов.
Возникает необходимость поиска достаточных условий неманипулируемости прямых механизмов. Такие условия для механизмов голосования были получены Moulin [2J, Border и Jordan (3) В механизмах голосования полезноегь АЭ определяется однопиковыми функциями, а АЭ выбирают единственную скалярную альтернативу, что в принятой постановке значит, что всем АЭ назначаются одинаковые планы В
работе [2] допустимые функции полезности принадлежат классу одноплатных функций 6 работе [3] были получены достаточные условия неманипулируемости механизмов голосования, коїда выбираемая альтернатива является вектором, а функции полезности АЭ однопиковые
Неманипулируемость прямых механизмов в задаче назначения планов исслс довалась в И], где условия неманипулируемости формулировались в виде требований на монотонность процедуры планирования Как оказалось, довольно широкий класс
неманипулируемых прямых механизмов определяет на /?" структуру "множеств диктаторства”, исследованию свойств которой и посвящена настоящая работа
2. Неманипулируемость прямых механизмов
Обозначим /~~ п} —множество всех АЭ, х^Их—план /-го АЭ Будем считать, ЧТО функции полезности элементов <р,{хіу Г і) являются однопиковыми [ 1 ] с точкой пика г,&Н\ Набор точек пика всех элементов образует вектор точек пиков
Пусть элементы посылают в центр сообщения .?,€$ План /-го элемента
Обозначим вектор планов через х, хя) е . Механизм будет определяться множеством 6' и процедурой g:S -> Я"
Вектор сообщений .V* называется равновесием Нэша, если У/е/, \fsieS, выполнено
и равновесием в доминантных стратегиях, если Vs^єSl V 5.., б выполнено
п
определяется процедурой планирования gl{s), где
<Р, (#, ). ) а <Р. (#, (*,. •»’.), г,),
Ъ (Я, (*,' > К )> гг ) * <Рг (8, (\ > 5. ,1 О
В прямом механизме каждый АЭ сообщает только свою точку пика г(еЛ\ поэтому Л, Я1 и механизм будег отображением $ Я" * И*. Прямой механизм
называется неманипулируемым, если для любых идеальных точек АЭ сообщение достоверной информации является равновесием Нэша
Рассмотрим прямой механизм g R” -* R*. Пусть для некоторого сообщения
ге/f” выбирается вектор планов x^g{r) Так как полезность каждого АЭ определяется однопиковой функцией полезности, то каждый АЭ может находиться в одном и только одном из трех возможных состояний: (а) либо g,(r)>rt и тогда АЭ будет полу чать план, строго больший желаемого, (б) либо gir)-rt и АЭ будет назначаться оптимальный для него план, (в) либо g,{r)<rt и план будет недостаточным Введем индекс состояния /-го АЭ р«, принимающий значения из набора {а, с, т}=р, где а соответствует состоянию (а), с—состоянию (б), а /я—{в). (Символы индекса являются первыми буквами слов manque—нехватка, contentement—удовлетворенность, abondance—избыток) Вектор индексов состояния всех АЭ обозначим через ре рп.
Введем функции М: pn~y2It С: рп->2?, А:рп->2!, значениями которых для каждого вектора состояний ре рп будет подмножество АЭ из /, таких что индексы состояния этих элементов равны, соответственно, т, с и а: М(р)=(/е/: pj=m}, С(р)={/е/: р,~с},
9
Л(р)={/е/: рга},рер'.
%
Определение 2.1. Разбиением В пространства Rn назовем совокупность множеств D^c/T, таких, что
£>р-{геД": g{r)<rit при /еМ(р), g{r)=r(, при /еС(р), g{r)>rh при /еЛ(р)}, ре р\ Сокращенно неравенства g{r)<ru при /еА/(р) будем записывать gM{p)(r)<rM(ph а неравенства g£r)>rh при /еЛ(р) как gA^(r)>rA(p).
Далее будем предполагать, что в каждом из множеств Dp разбиения В планы, назначаемые всем АЭ, зависят только от сообщений удовлетворенных элементов С(р), то есть выполнено предположение
А. 2.1. Vpe рп Зх^год): R^C(p)^->Rn и VreDp выполнено g(r) - х?(гС(р)).
Определение 2.2. Определим совокупность В0 множеств
£$={геЛ": Гщру>Хщр)(гС(р)), Гс{р) = Proj гЛ{р)<хрА{р)(гс(/3))}, ре рп.
Свойства множеств из ВР иллюстрируются следующей леммой.
Лемма 2.1. Пусть re , тогда: a) V/eA/(p) {(rifr4) е D°p} о {/; > xf (rc{p))}, (1)
9
б) У/еЛ(/>) {(л,Г,) е />„(<> I'; <х?(гГЛр))) (2)
Доказательство. Пусть г1 > х? (лг(>; ) Тогда по определению
4
/>" = {г е/Г: ГС(Й) е. Ркусч>() ир,
ГМур\ > ХМ[рАГС(р>)>
ГЛ(р) < хл<р)(гсш))-
(3)
(4)
(5)
Так как геО^то- ГодеРго^^р. Обозначим г-(г,, г,). Так как /еМ(р), то ГС(Р) = ^(р) • и (3). (5) выполнены Из г, = г, следует, что
Гшрмч > хм(р>чф(£о»)> а так как П > х> <Гс(?))> то Гщр^Хщр^пр)) Поэтому справедливо (4) и доопределению 1)р получаем (1).
Обратно, предположение, что при некотором /; < х/(гС( 4)) верно (/;,/ ,) е /)^,
входит в противоречие с определением О0р .
Аналогично доказывается, что имеет место второе утверждение леммы Под записью будем подразумевать, что V/? е рп, Ор - Ор.
Теорема 2.1. Если для прямого механизма ->/?”, удовлетворяющего А 2.1, выполнено /?=В°, то он неманипулируем.
Доказательство: Рассмотрим произвольный ге/Г и докажем, что V/ е/, V/; р,(&(г), г. )>р, (#,(/;, г,), /;).
Допустим, что существуют элемент /е/ И Г. € Я? такие, что
<р№Аг\ ъ)<<р№№> г.,)> г,)-
(6)
Гак как В - разбиение, то существует единственный вектор р^рп, такой, что геВр. Возможны три случая: / может принадлежать либо А/(р), либо С(р\ либо А(р). Рассмотрим последовательно три этих случая.
1) Пусть / еС<», тогда V?, еЯ1, г{) = <р,{гп г() * <р^,{г,, г,), г,), так как г,
единственный максимум (х,, г,) по х,.
2) Если 1€М(р), то из определения Ор и А. 2 1, П > g,(r) ~ х?(гС(р)). Так как = /)р, то по лемме 2 1 для любого ^ > ж/*(гС(/7)), Г = (г,, г ,) е /),, ~ и
Если г] <, х; (гС(р)), то *Ор - Ор и существует единственный вектор
р €- р” такой, что г е О- Если верно (6), то из того, что <р,{хи г,) строго возрастает по х, при Х:<г, следует, что при сообщении г) /~ый АЭ должен получать
Поэтому (гС{?}) > х?(гС(р))у х?(гГ(Э)) > г, и i &А(р)
•»
В силу того, что X? (гС{?)) > х* (гС{р)), существует г( еЯ1 такой, что
Х? <%&)) > t > х,р (ГС(Р>) ■ Обозначим г = (r{? г () = (г,, г 4) Из xf {rC(P)) > rt и леммы 2 1
ВИДНО
, что г € D2. Аналогично г е D°a и г е /)” П /Й Но гак как то
О» п о; - 0. Получили противоречие и (6) не выполнено.
*) Случай, когда / е А(р), рассматривается аналогично случаю 2)
3. Заключение
Таким образом, получено достаточное условие неманипулируемости прямых
9
механизмов в терминах геометрических свойств множеств параметров функций предпочтения, которое является удобным инструментом исследования свойств механизмов планирования: манипулируемости, эффективности и др.
Литература;
/// Бурков В. Н., Новиков Д. А. Введение в теорию активных систем. М.: ИЛУ РАН,
1996.
Condorcet
Preferences //Social Choice and Welfare. 1984. P. 127-147.
[3] Border K. S., Jordan J. S. Straightforward Elections, Unanimity and Phantom Voters // Review of Economic Studies. 1983. P. 153-170.
[4] Новиков Д. А. Оптимальность правильных механизмов управления активными системами. I //Автоматика и телемеханика. 1997. № 2. С. 154-161,
