CC BY
10Выпуск 89, 2020
Вестник ЛмГУ
7
УДК 514.13
Т.А. Юрьева, Н.А. Чалкина
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА НА СФЕРЕ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В статье приводится аналитический метод доказательства теоремы единственности решения отрицательно эллиптичного уравнения на сфере как двумерном многообразии в евклидовом пространстве.
Ключевые слова: отрицательно эллиптичное уравнение, кривизна поверхности, двумерное многообразие.
SUFFICIENT CONDITIONS FOR UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF SOME EQUATION OF TYPE MONJA - AMPHER ON A SPHERE IN THE EUCLIDEAN SPACE
The article provides an analytical method for proving the uniqueness theorem for solving a negatively elliptic equation on a sphere as a two-dimensional manifold in Euclidean space.
Key words: negative elliptic equation, the curvature of the surface, two-dimensional manifold.
DOI: 10/22250/jasu.2
В работе [1] мы привели уравнение вида Монжа - Ампера на единичной сфере S2 (центр
сферы - некоторая точка пространства Е3), являющееся является моделью геометрической задачи восстановления замкнутой выпуклой регулярной поверхности, гауссова кривизна которой в каждой точке совпадает со значением заданной функции в той же точке. Это уравнение имеет следующий вид:
2 2р1 + р2 sin2 и ^ 2pupv 2pl + р1 о • 2 _ 2 2-2
РххРи - Рп - А1 v -+ 2а2 - Р22 + 2pi sm2 и + 2р] + р2 sm2 и =
Р Р Р
2 . 2 (р2 Sin2 U + р2 + р2 Sin2 U)2
р sm и = K(u,v,p)—---.
sin и
Здесь К(и, v, р) - заданная функция, принадлежащая классу С1 (S2 х R+); (и, v) - локальные географические координаты на S2. Атлас на S2 выбран с условием, что в каждой его карте sin^ > х > 0 , р- p(u,v) - решение данного уравнения, a ptJ е {l,2}) - ковариантные производные функции р(и, v) относительно метрики единичной сферы S2.
Это уравнение отрицательно эллиптично при условии, что К{и, v, р) > 0 .
При исследовании данного уравнения теорема единственности решения р - р{и, v) была доказана геометрическим методом [2].
Мы предложим другой - аналитический, более универсальный метод, сводящий решение задачи к исследованию однородного линейного уравнения с последующим применением к нему принципа максимума на компактном многообразии S2.
8
Вестник АмГУ
Выпуск 89, 2020
Для этого перейдем от исходного уравнения к уравнению для некоторой функции со - ?
J Р
ср\р) = — > 0 , - следовательно, замена корректна. Р
Данная замена приводит к уравнению для функции со{и, v), где при старших производных отсутствует явно функция р.
Эта замена дает следующие соотношения:
Ри=®иР> Pv=COvP'^ Al =0)np + C02uppf = C0np + C02up; ри =CDnp + COuCOvpp'= CDnp + CQuCQvp\
P22 = (D22P + C02vpp' = CO22P + 0)2vp .
Тогда уравнение для функции co(u,v) имеет вид:
сопсо22 -со22 -а>п(со2 + sin2 и) + 2COuCDuO)v -со22(со2 +1) + 2со2 + 2со2 + sin2 и =
Ч 2 (со2 sin2 и + (О2 +sin2w)2 чч 1
= K(u,v,p)p —--y-, где p = p(co(u,v)) обеспечено условием ср(р) =— >0.
sin и р
Уравнение для функции со(и, v) отрицательно эллиптично при том же условии, что и исходное, а именно - функция К(и, v, р) должна быть положительной.
Предположим теперь, что уравнение для функции со(и, v) имеет два различных решения - То и со, разность То - со обозначим через 8: То-со-8. Введем следующие обозначения:
'Л 'Л 'Л ___'Л 'Л --- -----'Л
а = -coY - sin г/, Ъ = ~coucov, c = -¿pm-1, <2 = -&>v-sin г/, b=-coucov, с = -1, 2 (¿у2 sin2 и+ 0)1 + sin2 г/)2
sin2 г/
Тогда вариация £ будет удовлетворять линейному однородному отрицательно эллиптичному уравнению:
^8п(С022 +¡2+ &>22 + ^ +С0\2 + + ^22(^11 + ^11 + С) + Фх (г/? г)^ +
f А \
Ф 2(u,v)Sv+ Q-KQX
v
Отрицательная эллиптичность этого линейного уравнения следует из отрицательной эллиптичности уравнения для функции со(и, V) на своих решениях То и со. Знак л означает, что значение функции берется в промежуточной точке в силу того, что мы применили теорему о конечных приращениях.
Рассмотрим коэффициент при функции 8 в последнем уравнении.
Имеем:
L 2 Л 2 -2 т^/ Ч 2 fey si*1 U + COv + sin и) ' ( ч 2I
2cd2u + Icol + sin2 u-K(u,v,p)p2^-^-- = {-v,p)p2\p
Если мы наложим на функцию K(u,v,p) условие j-K(u,v,p)p2}p >0, или,
что то же самое,
[К(и,у,р)р2\р < 0 , то в линейном однородном уравнении относительно вариации 8 знак при 8 положителен. Само уравнение отрицательно эллиптично. Исходя из принципа максимума, примененного к двумерному компактному многообразию, каковым является сфера £2, мы имеем: вариация 8
Выпуск 89, 2020
Вестник АмГУ
9
есть тождественный нуль: д = 0 . Отсюда, в свою очередь, следует, чтор-р--= 0, о>' > 0.
К
следовательно: р- р = 0, р = р . Исходное уравнение не может иметь двух различных решений.
Основной вывод: пусть задана функция К{и,у,р) е хЯ+, а функция р - р(и,у) задает регулярную замкнутую выпуклую поверхность в Еъ, тогда при выполнении условий 1) К> 0; 2) К е С1^2 х7?+); 3) \кр2}р <0 существует не более одной поверхности указанного выше класса, гауссова кривизна которой в каждой точке совпадает со значением функции К{и, V, р) в той же точке. Теорема единственности решения исходного уравнения доказана.
1. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Обобщение задачи восстановления поверхности с заданной гауссовой кривизной в пространстве постоянной кривизны // Вестник Амурского гос. ун-та. Серия «Естественные и экономические науки». - 2016. - № 75. - С. 16-20.
2. Верещагин, Б.М. Восстановление замкнутой выпуклой поверхности по данной функции гауссовой кривизны // Вопросы глобальной геометрии. Сборник научн. трудов ЛГПИ им. JT. И. Герцена. - Д., 1979. - С. 7-12.
УДК 519.857
В.В. Сельвинский, В.О. Мамаев
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА
Предлагается математическая модель задачи распределения инвестиций в результате поэтапной реализации бизнес-проекта. По своей структуре математическая модель представляет собой задачу динамического программирования. Для большей наглядности рассмотрен пример расчета.
Ключевые слова: динамическое программирование, математическая модель, критерий оптимальности, конкурентоспособность, инвестиции.
OPTIMAL ALLOCATION OF INVESTMENTS IN PRODUCTION PLANNING
The article proposes a mathematical model of the task of allocation of investments as a result of the phased implementation of the business project. By its structure, the mathematical model is a dynamic programming task. An example of calculation is discussed for greater clarity.
Key words: dynamic programming, mathematical model, optimality criterion, competitiveness, investment.
DOI: 10/22250/jasu.3
Введение
Конкуренция является определяющим фактором развития рыночной экономики. Чем выше уровень конкурентной борьбы предприятий за рынок сбыта продукции, источники ресурсов, тем благоприятнее условия для повышения эффективности экономики в целом.
