Достаточное условие устойчивости вычисления параметров апериодических процессов второго порядка на основе разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.246.2

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

В. Е. Зотеев

Самарский государственный технический университет,

443100, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: zoteev-ve@mail. ru

Рассматривается проблема устойчивости вычисления параметров затухающих апериодических процессов второго порядка на основе результатов наблюдений. Описывается численный метод определения параметров апериодического процесса второго порядка, в основе которого лежит итерационная процедура вычисления коэффициентов разностного уравнения. Получены неравенства, позволяющие с учётом априорно известных границ изменения параметров исследуемого апериодического процесса обеспечить устойчивость разностного уравнения. Сформулирована и доказана теорема о достаточном условии устойчивости системы нормальных уравнений при решении задачи среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Полученные результаты имеют важное практическое значение и могут быть использованы при выборе периода дискретизации экспериментальной кривой, описывающей наблюдаемый апериодический процесс второго порядка на выходе системы.

Ключевые слова: апериодические процессы второго порядка, разностные уравнения, итерационная процедура, среднеквадратичное приближение, устойчивость разностного уравнения второго порядка.

Проблема достоверной оценки параметров исследуемой системы на основе экспериментальных данных является одной из основных проблем, возникающих при математическом моделировании объектов или процессов различной физической природы. Одним из эффективных методов решения этой проблемы является метод определения параметров нелинейных функциональных зависимостей на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, описывающего результаты наблюдений [1, 2, 3 и др.]. Такой подход позволяет свести задачу определения параметров нелинейной модели к итерационной процедуре уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения. Рассмотрим данный подход на примере определения параметров апериодического процесса второго порядка по результатам эксперимента.

Затухающий апериодический процесс второго порядка описывается функцией

y{t) = C\e~ait + C2e~a2t,

где Q\ > 0 и oi2 > 0 — динамические характеристики системы; С\ > 0 и С*2 > 0 — параметры, связанные с начальными условиями.

Соответствующая дискретная функция у^ = y(tj.) = у(тк), описывающая мгновенные значения апериодического процесса в моменты времени tk = тк,

Владимир Евгеньевич Зотеев (д.т.н., доц.), профессор, каф. прикладной математики и информатики.

к = О, 1, 2, 3, где г— период равномерной дискретизации, имеет вид

Ук = С1е~а1Тк + С2е-^тк, к = 0,1,2,..., (1)

причём очевидно, что выполняется условие: Ук-1 > У к > 0, к = 1, 2, ....

В соответствии с методикой, описанной в [2], на основе дискретной функции (1) построено разностное уравнение второго порядка, которое может быть представлено следующим образом:

\уо = Аз; Уг = Л4; ^

{Ук = ^\Ук-1 — Мук-2> к = 2, 3, 4, ...

Коэффициенты в разностном уравнении (2) связаны с параметрами апериодического процесса соотношениями: А1 = е_"1Т+ е_"2Т, Л2 = — е_("1+"2)г, Аз = Сг + С2, А4 = С\е~а1Т + С2е-“2Г.

Для того чтобы выразить параметры а\ и а2 через коэффициенты разностного уравнения А1 и \2, следует решить характеристическое уравнение (квадратное алгебраическое уравнение) £42 — Лци. — А2 = 0, корни которого ц,\ и Ц2 (0 < Ц1 < 1, 0 < Ц2 < 1) связаны с коэффициентами разностного уравнения и динамическими характеристиками апериодического процесса а\, а2 формулами

А1 = /XI + /Х2, А2 = -£41 £42 И £41 = е“"1Г, £42 = е“"2Т.

Отсюда СК1 = —Г-1 1п £41 И а2 = —Г-1 1п £42-

Разностное уравнение второго порядка (2) и формулы, связывающие его коэффициенты с параметрами дискретной функции (1), лежат в основе численного метода определения характеристик апериодического процесса второго порядка по результатам эксперимента.

Пусть имеется выборка результатов наблюдений у к, к = 0,1,2,... , N — 1, где N ^ 4 — объём выборки. Предполагая, что данная выборка соответствует апериодическому процессу второго порядка, для описания результатов эксперимента будем использовать дискретную модель вида (1):

Ук = С\е-^1Тк+ С2е~^тк, к = 0, 1, 2, 3, ..., N-1. (3)

Величину отклонения экспериментальных данных ук от предсказанных по модели (3) значений ук: £к = Ук~Ук, к = 0, 1,2,3, ..., N — 1, будем называть случайным возмущением в результатах наблюдений. При этом оценки параметров модели (3) будем искать из условия минимизации функционала

1Ы12 = \\Ук ~Ук\\2 ->■ тт. (4)

Здесь и далее || • || —евклидова норма соответствующего линейного пространства.

Очевидно, что в этом случае система стохастических разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений ук, в соответствии с (2) примет вид

| Уо = Аз + £о; Ух = А4 + £1; ^

| Ук = ^\Ук-1 — Мук-2 — М^к-2 ~ А\£к-1 + £к, к = 2, 3, . . . , N — 1.

Используя математический аппарат матричной алгебры и вводя обозначения векторов и матриц:

Ь = (уо, У1, У2, ■ ■ ■, Улг-1)Т, А = (Ль Л2, Аз, А4)т,

£ = (е0, £1, £2, ■■■, £М- 1)Т, V = (»71 > Л2, »73, »74, • • • , ЛмУ =

= (^о) £1 ■> — Аг^о-А^+ег, —Аг£1—А^+^з, • • •, —^2£м-з—^1£м-2+£м-1)Т,

/ 0 0 1 0\

0 0 0 1

У1 Уо 0 0

У2 У1 0 0

\iJN-2 Ум-з 0 о)

( 1 0 0 0 •• 0 0

0 1 0 0 •• 0 0 0

-Аг -Л 1 1 0 •• 0 0 0

0 —Аг —А1 1 •• 0 0 0

0 0 0 0 •• 1 >- •• ю 1 >- •• V

систему уравнений (5) можно представить в форме обобщенной регрессионной модели:

(Ь = + г];

|»? = РХ£.

Алгоритм численного метода определения параметров апериодического процесса второго порядка на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения можно разбить на несколько основных шагов [2]. На первом шаге из условия минимизации невязки

N

||6-^Л||2 = М2 = тт

к=1

вычисляются первоначальные оценки коэффициентов разностного уравнения

Ло = (^т^)“1^т6.

На втором шаге используется итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения:

Л« = (^тОг(1_1)^)-1^тОг(1_1)^, ПХ = РХРлт, ¿ = 1,2,3,...,

цель которой — обеспечение выполнения условия (4) минимизации суммы квадратов отклонения используемой модели (3) от результатов наблюдений:

На третьем, заключительном этапе на основе вычисленных среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения находятся оценки параметров апериодического процесса для динамических характеристик а\ = = —т~11п Д1, а,2 = —т~11п /¿2, где /¿1, /¿2 — корни характеристического уравнения уй2 — Л1Д — Л2 = 0, и постоянных

До Л \ л л Пл 1^

с 1 = ——Лз - ---------А4, С2 = ——Лз - ------------А4.

¡12 ~ Ц-1 /^2 Ц1 £¿2 ~ ¡11 Ц-2 ~ Ц1

Здесь же производится оценка погрешности полученных результатов вычислений [2].

Важнейшей проблемой при реализации алгоритмов численного метода является проблема разрешимости системы нормальных уравнений, лежащей в основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения. Действительно, невырожденность матриц РТР и РТП~1Р является необходимым условием практической реализации описанного выше метода. В данной работе рассматривается достаточное условие существования обратных матриц (РтР)-1 и (РТП^1Р)~1, выполнение которого обеспечивается соответствующим выбором периода дискретизации динамического процесса при формировании выборки результатов наблюдений.

Введём понятие устойчивости разностного уравнения второго порядка (2). Пусть разностное уравнение второго порядка (2) порождает систему линейных алгебраических уравнений

F А = Ь,

где

F =

Ь = (уо, yi, У2,

/ 0 0 1 °\

0 0 0 1

У1 Уо 0 0

У2 У1 0 0

\yN-2 VN-3 0 0/

■, Ум-1 )т, А = (Ai,

Будем предполагать, что матрица F размера N х 4 — матрица полного ранга (rang F = 4).

Пусть ук = ук + £k, к = 0, 1, 2, ..., N — 1, где ек — некоторое случайное возмущение, величина которого удовлетворяет условию

max kfcl ^ А. (9)

к=0,1,JV—1

Определение. Будем говорить, что разностное уравнение второго порядка устойчиво к данному возмущению А, если при любых £к, удовлетворяющих

условию (9), матрица

F =

/ 0 0 1 0\

0 0 0 1

Уі Уо 0 0

У2 У і 0 0

XUN-2 yN-3 0 0/

(10)

размера N х 4 является матрицей полного ранга (rangF = 4).

Лемма 1. Пусть матрица F размера N х 4 имеет вид (10). Тогда для того, чтобы матрица F была матрицей полного ранга (rang F = 4), достаточно, чтобы хотя бы одна из матриц

Wk =

У к-1 Ук

Ук-2 У к-1

к = 2, 3, ..., N - 2,

была невырожденной (rangИ/fc = 2).

Доказательство. Пусть при некотором значении к, где к = 2,3,... , N — 2, матрица \¥к невырожденная: (1еЛ\¥к ф 0. Рассмотрим минор четвёртого порядка М, составленный из элементов матрицы Р, расположенных на пересечении всех четырёх её столбцов с первой, второй, (к + 1)-й и (к + 2)-й строками матрицы Р:

М =

Очевидно, что М = det Wk ф 0. Следовательно, ранг матрицы F равен четырём, и она является матрицей полного ранга, т. е. rang_F = 4. □

Лемма 2. Пусть элементы матрицы

0 0 1 0

0 0 0 1

У к-1 Ук-2 0 0

Ук У к-1 0 0

Wk =

Ук-1 Ук-2

к = 2, 3, ..., N - 2,

(П)

. Ук Ук-1,

записываются так:

Ук = С\е~а1Тк + С2е~а2Тк, к = 0, 1, 2, ..., N - 1,

где а\ > (12 ^ 0, С\ ф 0, Сг ф 0, г > 0. Тогда при любом к матрица \¥к невырожденная.

Доказательство. Очевидно, что для доказательства невырожденности квадратной матрицы (11) достаточно показать, что ёе! ф 0 при любом к = 2, 3, ..., N — 2. Обозначим в = а\ — > 0. Имеем

det Wk =

У к-1 Ук-2 У к Ук-1

= —CiC2e-2air(fc-Vr(fc-2Vr -1)2-

(12)

По условию в ф 0, г ф 0 и С\ ф 0, С2 ф 0, откуда следует, что ёе! < 0, то есть определитель матрицы (11) не равен нулю ни при каких значениях к. □

Следствие 1. Пусть матрица F имеет вид (8), а её элементы у к удовлетворяют условиям леммы 2. Тогда квадратная матрица FTF порядка 4 — невырожденная.

Действительно, при выполнении условий леммы 2 каждая из матриц Wk, к = 2, 3, ..., N — 2, невырожденная. Тогда по лемме 1 матрица F будет матрицей полного ранга (rang F = 4). Но в этом случае квадратная матрица FTF также будет иметь ранг, равный четырём (rang(_FT_F) = 4). Следовательно, она будет невырожденной (det(FTF) ф 0).

Лемма 3. Пусть квадратная матрица Р\ порядка N имеет вид (7), а матрица F удовлетворяет условиям леммы 1. Тогда матрица Q = P^lF 'размера N х 4 также является матрицей полного ранга (rang(P^”1F) = 4).

Доказательство. Очевидно, что определитель матрицы Р\ отличен от нуля (det Ра = 1/0). Следовательно, матрица Р\ невырожденная и существует обратная матрица Р^1, определитель которой также отличен от нуля. Известно, что от умножения слева или справа на матрицу, определитель которой отличен от нуля, ранг не меняется [4]. Следовательно, ранг матрицы P^lF равен рангу матрицы F и равен четырём (rang Р^1 F = rangF = 4). Другими словами, матрица Q = P^lF — матрица полного ранга. □

Следствие 2. Если матрица F —матрица полного ранга (rangF = 4), а квадратная матрица Р\ удовлетворяет условиям леммы 3, то квадратная матрица QTQ = порядка 4, где £}\ = P\Pj, — невырожденная.

Лемма 4. Пусть матрица Wk удовлетворяет условиям леммы 1, а её элементы описываются так:

Ук = Ук + £к, kfcK А, к = 0,1,2,... ,N — 1,

причём у к удовлетворяют условиям леммы 2. Тогда для того, чтобы матрица Wk была невырожденной, достаточно выполнения неравенства

ЦА^||<-Л^, (13)

\\Щ II

где матрица Wk имеет вид (11) а

A Wk=(£k~1 £к~2).

\ £к £к-1/

Доказательство. Представим матрицу Wk в виде

Wk = Wk + A Wk.

По лемме 2 матрица Wk — невырожденная, следовательно, существует обратная матрица WjT1. Тогда матрицу Wk можно представить в виде

Wk = Wk + A Wk = Wk(E + W^AWk),

где Е — единичная матрица. Очевидно, что для существования обратной матрицы И7;“1 достаточно, чтобы каждая из матриц \¥к и Е + \У^1А\¥к была невырожденной. Матрица И7^ невырожденная по лемме 2. Известно [4], что для невырожденности матрицы Е + \¥^1А\¥к достаточно выполнения условия ||Н7дГ1АИ7д;|| < 1. Из (13) следует, что Ц^дГ1)! • НДИ^Ц < 1. Так как ||Н7дГ1АИ7д;|| ^ ЦТУдГ1!! • \\AWkW, очевидно, что при выполнении неравенства (13) выполняется неравенство ЦТУ^АИ^Ц < 1. Следовательно, матрица Е + Н7дГ1А\¥к будет невырожденной. Тогда матрица \¥к будет также невырожденной. □

Теорема (достаточное условие устойчивости). Пусть функция у(£) :

О (у) = {£ € М : £ ^ 0} описывается выражением

у(г) = С\е~а1г + С2е~а2Ь,

где а\> (12^ 0, С\ > 0, С*2 > 0, причём а\—а2 = в > 0, С\ = 7С2, 0 < 7 < оо. Тогда для устойчивости разностного уравнения второго порядка

\уо = Аз; У1 = А4;

{Ук = ^\Ук-1 — А2Ук-2, к = 2, 3, ..., N — 1, к возмущению \ек\ ^ А достаточно выполнения условия

т > в 11п

1 + 2(1 + 7)л/£е"1Тлг7-1 . (14

Здесь ук = у{тк), т > 0, к = 0, 1, 2, ..., N — 1; 5 = А/уо —предельная величина возмущения в относительных единицах; Т/у = (-/V — 1 )т — период формирования результатов наблюдений.

Доказательство. В соответствии с определением устойчивости разностного уравнения второго порядка докажем, что матрица вида (6) с элементами у к = у к + £к является матрицей полного ранга '■ \£к\ ^ А-

Очевидно, что с учётом лемм 1 и 4 доказательство теоремы сводится к доказательству выполнения условия (13). Покажем, что для выполнения условия (13) достаточно выполнения неравенства (14).

Заметим, что у'({) = — а\С\е~а11 — а^С^е-"2* < 0 при всех £ € [0, оо), так как по условию теоремы а\ > (Х2 ^ 0, С\ > 0 и С2 > 0. Следовательно, имеют место неравенства

Ук-2 > Ук-1 > Ук, к = 3, 4, ..., N - 1. (15)

Очевидно, что

||ЛИЪ|| = ф1_2 + Ч-1+4 < '/4Д2 = 2А.

Так как

уу — 1 1 (Ук—1 Ук—2^\

к &<д1Шк \Ук Ук-1 ) ’

с учётом неравенств (15) имеем

Н^1!! ^у1-2 + 2у1-1+у1 ^у1-2 2^-2

Таким образом,

тки, ЩЕ*Ц >> (ад

2ук-2 ||И^ ||

Из (16) следует, что для выполнения условия (13) достаточно выполнения неравенства

ёе! \¥к

{Цк-2)~1. (17)

Покажем, что для выполнения соотношения (17) достаточно выполнения условия (14). Действительно, пусть выполняется (14), тогда с учётом (12) правую часть неравенства (17) можно преобразовать к виду

\det\Vk\ С\евт<ук~2\евт — I)2

4ук-2 ~ Аеа1тк(^ + евт{-к~2))'

Из системы С\ + С*2 = уо, С\ = 7С2 получаем С\ = 7Уо(1 + 7)-1- Тогда

\detWk] _ щевт(-к-2\евт - I)2 _ 7у0(евт - I)2

Аг/к-2 ~ 4еа1Тк(1 + 7)(7 + ев<к~2)) ~ 4еа1Тк(1 + 7)(7 + е-в<к~2)) ’

где к = 2, 3, 4, ..., N — 1.

Так как при условиях теоремы е-вт(-к~2) ^ 1 и е"1тк ^ еА1т(л^— 1) _ е\1Тм ^ причём одновременно оба равенства выполняться не могут, получаем неравенство

Ие1^| 7Уо(ебг ~ I)2 4г/к-2 4(1 + 7)2е"1тлг ’

правая часть которого при евт ^ 1 (или т ^ 0) является монотонно возрастающей функцией от переменной т. Поэтому при значениях

г > 0-Чп

1 + 2(1 + 7) \/ ¿е"1Тлг7-1

имеем

2

1 + 2(1 + 7) л/5е"1Тлг7-1 - 1

Аук-2 4(1 + 7)2е"1Тлг 4(1 + 7)2е"1Тлг

_ 7Уо4(! + 7)2Аеа1Тдг(уо7)~1 _ д ”” 4(1 + 7)2е"1Тлг ””

Отсюда с учётом неравенств (16) делаем вывод, что неравенство (13) выполняется. □

Анализ неравенства (14) позволяет сделать вывод о характере влияния основных параметров апериодического процесса на устойчивость разностного уравнения к случайному возмущению в результатах наблюдений. Из неравенства (14) следует, что нижняя граница промежутка допустимых значений периода дискретизации т зависит, во-первых, от степени близости (величины А1 — Аг = 9 > 0) динамических характеристик и, во-вторых, от соотношения между постоянными С1 и С2 (7 = С\/С2). Очевидно, что в обоих случаях в пределе, когда Л2 —> Хг (6 —> 0) или когда С\ —> 0 или С2 —> 0 (7 —> 0 или 7 —> оо), апериодический процесс второго порядка вырождается в апериодический процесс первого порядка, и, следовательно, разностное уравнение вида (2) в этих случаях использовать нельзя.

Полученное неравенство (14) имеет также важное практическое значение и может быть использовано при выборе периода дискретизации экспериментальной кривой, описывающей наблюдаемый апериодический процесс второго порядка на выходе системы.

Пусть имеется некоторая априорная информация о предельных значениях параметров процесса, например, а\ ^ «м, 0 ^ 0т, 0 < 7т ^ 7 ^ 7м < оо, А ^ Дм < Уо- Так как у0 = уо+£о ^ Уо+Дм, имеем 5 = А/у0 ^ 5м/( 1 - ¿м), где 5м = Дм/уо < 1- Тогда период дискретизации при формировании выборки результатов наблюдений следует выбирать с учётом неравенства:

T>ft~ln

Um

1 + 2(1 + 7м)\

' 5ме-амТм

(1 - 5м)1т_ > 0-Чп

>

1 + 2(1+7)лДё^Т^г[ ^0. (18

Таким образом, сформулирована и доказана теорема о достаточном условии разрешимости системы нормальных уравнений, а также получены соотношения (14) и (18), позволяющие с учётом априорно известных границ изменения параметров исследуемого апериодического процесса обеспечить устойчивость разностного уравнения, лежащего в основе вычисления среднеквадратичных оценок как динамических характеристик системы, так и параметров, связанных с начальными условиями.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зотеев В. E., Заусаева М. А. Метод последовательных приближений при среднеквадратичном оценивании параметров переходного процесса / В сб.: Труды Третьей Всероссийской научной конференции (29-31 мая 2006 г.). Часть 2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами / Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2006. С. 72-78. [Zoteev V. E., Zausaeva М. A. The method of successive approximations for the mean square estimation of transition process parameters / In: Proceedings of the Third All-Russian Scientific Conference (29-31 May 2006). Part 2/ Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2006. Pp. 72-78].

2. Зотеев В. E. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / ред. В. П. Радченко. М.: Машиностроение-1, 2009. 344 с. [Zoteev V. Е. Parametric identification of dissipative mechanical systems based on difference equations / ed. V. P. Radchenko. Moscow: Mashinostroenie-1, 2009. 344 pp.]

3. Егорова А. А., Зотеев В. E. О сходимости итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели колебаний

систем с турбулентным трением// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. №1(20). С. 171-177. [Egorova A. A., Zoteev V. Е. On Convergence of Iteration Procedure for Root-Mean-Square Estimation of Coefficients of Linear Parametric Discrete Models Describing Oscilattions of Systems with Turbulent Friction // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. Vol. 1(20). Pp. 171-177].

4. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с. [Voevodin V. V, Kuznetsov Yu. A. Matrices and Calculations. Moscow: Nauka, 1984. 320 pp.]

Поступила в редакцию 10/11/2012; в окончательном варианте — 10/V/2012.

MSC: 65C20; 65P40, 34C15, 37M05

A SUFFICIENT CONDITION FOR STABILITY OF THE CALCULATION OF PARAMETERS OF APERIODIC PROCESSES BASED ON SECOND ORDER DIFFERENCE EQUATIONS

V. E. Zoteev

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443100, Russia.

E-mail: zoteev-ve@mail. ru

The stability problem for the calculation of parameters of the second order damping aperiodic processes is considered. The numerical method of the second order aperiodic process parameters determination, based on iterative procedure of difference equation coefficients calculation, is described. The inequalities allowing to provide the stability of the difference equation according to the considering aperiodic process parameters limits of variation, known a priori, are obtained. The theorem on the sufficient condition of stability of the normal equations system under the solving of problem of difference equation coefficients mean-square estimation is formulated and proved,. The obtained, results have the great practical importance and, can be used for the selection of discretization period of experimental curve, describing the second order observed aperiodic process in the system output.

Key words: aperiodic second order processes, difference equations, iterative procedure, mean-square approximation, stability of the second order difference equation.

Original article submitted 10/11/2012; revision submitted 10/V/2012.

Vladimir E. Zoteev (Dr. Sei. (Techn.)), Professor, Dept, of Applied Mathematics & Computer Science.