Дослідження схеми заміщення лінійного трансформатора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.01;621.315

П. Я. ПРИДУБКОВ, канд. техн. наук, доцент

Українська державна академія залізничного транспорту, м. Харків

І. В. ХОМЕНКО, канд. техн. наук, доцент

Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», м. Харків ДОСЛІДЖЕННЯ СХЕМИ ЗАМІЩЕННЯ ЛІНІЙНОГО ТРАНСФОРМАТОРА

Выявлено не соответствие известных схем замещения линейного трансформатора его электромагнитным процессам, проведен анализ преобразования энергии в трансформаторе в соответствии с общей теорией Умова. Определена система уравнений, описывающих электромагнитные процессы линейного трансформатора, установлена схема, соответствующая данным уравнениям.

Виявлена не відповідність відомих схем заміщення лінійного трансформатора його електромагнітним процесам, проведено аналіз перетворення енергії в трансформаторі відповідно дозагальноїтеорії Умова. Визначена системарівнянь, що описують електромагнітні процеси лінійного трансформатора, встановлена схема, відповідна даним рівнянням.

Вступ

Трансформатор є найважливішим елементом у схемах електропостачання й відіграє роль проміжної ланки між генераторами й приймачами електричної енергії. У найпростішому випадку трансформатор складається із двох електрично не з’єднаних, нерухомих відносно один одного, індуктивно зв’язаних між собою обмоток. Потік взаємної індукції зростає, якщо обмотки намотані на феромагнітний сердечник, але це може привести до нелінійної залежності між величиною магнітного потоку й струмом обмоток. Властивості такого трансформатора будуть нелінійними і тому при синусоїдальній прикладеній напрузі струм у трансформаторі може бути несинусоїдальним. Помітне відхилення струму від синусоїдального спостерігається тільки в режимах близьких до холостого ходу. У режимах навантаження ці відхилення настільки незначні, що ними можна знехтувати й вважати трансформатор зі сталевим сердечником лінійним елементом кола.

Втім, у вимірювальних пристроях, використовуваних, у тому числі, і в системах енергопостачання, сердечники трансформаторів перебувають у лінійному режимі, а при високих частотах застосовують і повітряні трансформатори, тобто не утримуючі феромагнітних сердечників. Такі трансформатори мають лінійні характеристики, і процеси в них можуть бути описані лінійними рівняннями. Тому основні риси робочого режиму виявляються при розрахунках, що припускають лінійність.

Велике практичне значення має схема заміщення даних трансформаторів, складена для приведених струмів і напруг відповідно з еквівалентним колом, що не містить індуктивно зв’язаних елементів. Однак електрична схема без індуктивних зв’язків, описувана у відповідних розділах теорії лінійних електричних кіл [1, 3, 4], не адекватна процесам, що відбуваються в лінійному трансформаторі. Дана схема є простою електричною схемою, тому напрямки струмів у її вітках повинні відповідати напрямку діючій на вході трансформатора напруги. Якщо виконується ця відповідність [4], то рівняння, складене по другому закону Кірхгофа для вторинної обмотки трансформатора, не рівнозначно аналогічному рівнянню, що описує електромагнітні процеси вихідного контуру еквівалентної схеми без індуктивних зв’язків. Це обумовлено тим, що в останнім рівнянні знак падіння напруги, що врівноважує е. р. с. взаємоіндукції, не відповідає знаку даної е. р. с. В іншому випадку [3], в еквівалентній схемі напрямок струму, що протікає через вітку, що містить навантаження, протилежний дії вхідної напруги.

Уточнення еквівалентної схеми лінійного трансформатора без індуктивних

зв'язків, тобто усунення вище зазначених недоліків, дозволить підвищити ефективність розробок електротехнічних пристроїв, тому що при цьому виключається невідповідність даної схеми електромагнітним явищам, що відбуваються в лінійному трансформаторі.

Основна частина

Відповідно до закону збереження енергії в просторі, де не відбувається механічна робота з переміщення заряджених провідних тіл і провідних контурів зі струмами, енергія, що доставляється у вигляді потока вектора Пойнтинга усередину деякого об'єму, перетворюється усередині цього простору в тепло і йде на збільшення енергії електромагнітного поля [5]. Енергетичні співвідношення електромагнітного поля описує теорема Умова - Пойнтинга:

-ІП—? =\yE2dV + — + ^H—\dV, (1)

X? IVі ЯіЬ І 9 9

у

де: П = \еЙ] - вектор Пойнтинга;

I уЕ2 dV - енергія, що виділяється у вигляді теплоти в одиницю часу в об'ємі V ;

г 2 Л

dV - швидкість зміни запасу електромагнітної енергії.

2 J

Трансформатор є електростатичним пристроєм, що містить не менш двох електрично не з'єднаних, нерухомих відносно один одного, індуктивно зв'язаних між собою обмоток. Енергія з первинної обмотки у вторинну обмотку передається за допомогою магнітного поля, створюваного струмами цих обмоток. Аналіз процесу перетворення енергії в трансформаторі ґрунтується на загальній теорії Умова, що відповідає закону збереження енергії й уявленням про її фізичну реалізацію: якщо усередині деякого об'єму відбувається зміна енергії, то через замкнуту поверхню, що охоплює даний об'єм, повинен пройти потік енергії, рівний цій зміні. Швидкість зміни даного потоку характеризується вектором Пойнтинга П.

Напрямок вектора Пойнтинга Пх на початку двохпровідної лінії, з'єднаної з витками первинної обмотки трансформатора визначається векторами напруженостей Ех і Нх електромагнітного поля на вході трансформатора. Він збігається з напрямком руху вістря правого гвинта, якщо останній обертати по найкоротшому напрямку від Ех до Нг . Картина поля векторів E2, H2, П2 для вторинної обмотки трансформатора й двохпровідної лінії, що відходить від цієї обмотки, визначається аналогічно. Потік електромагнітної енергії, що надходить у первинну обмотку трансформатора, передається у вторинну обмотку за допомогою магнітного поля, створюваного струмами цих обмоток.

Якщо обмотки перебувають у магнітному середовищі, для якого /лй = const, (лінійний трансформатор), енергія їхнього магнітного поля визначається за допомогою наступного виразу [2]:

WM =1 MaH~dV '

де: H - напруженість результуючого магнітного поля, створюваного струмами іх первинної й і2 вторинної обмоток трансформатора.

Тому що залежність B = f (Н) для магнітного кола розглянутого трансформатора лінійна (B = /ийН), то дане коло є лінійним й при його розрахунку може бути використаний принцип суперпозиції.

Відповідно до принципу суперпозиції, результуючий вектор Н напруженості магнітного поля трансформатора може бути визначений як результат додавання вектора напруженості Н1 магнітного поля, створюваного струмом первинної обмотки, і вектора Н2 напруженості магнітного поля, створюваного струмом, що протікає через вторинну обмотку (відповідно до закону повного струму). Тобто:

IШІ =| Н—І +| Н 2 d/ .

Таким чином:

—І на =—Н — +| Н2 ё),

dlл —ПІ 1 А 2

або:

Н = Н1 + Н 2.

У такий спосіб:

Н2 =(и, + Н)! = Н ,2 + 2Н, Н 2 + Н 22,

Отже, енергія магнітного поля лінійного трансформатора буде дорівнювати:

^ 4 4 4 ^ й2—г 4 . (2)

Перший і останній члени правої частини рівності (2) це власні магнітні енергії струмів відповідно первинної й вторинної обмоток, а другий член - взаємна магнітна енергія даних струмів.

Швидкість зміни магнітної енергії (потужністі), що запасається в магнітному полі двох індуктивно зв'язаних обмоток описується виразом:

= — Гг ЕаН^ —V + [ ілаН1 Н2 —V + Г —А . (3)

—і —і {к 2 ^ а 12 * 2 )

Потужності, переданої з первинної обмотки трансформатора у вторинну, відповідає другий доданок останньої рівності.

У випадку гармонічного поля й лінійного середовища, що має місце при синусоїдальному джерелі живлення, що діє на вході лінійного трансформатора, вище зазначена потужність може бути представлена в комплексній формі:

—^М 12

dt & &

* *

де: Н1 і Н2 - комплексно сполучені вектори напруженості магнітних полів,

створюваних струмами відповідно первинної й вторинної обмоток.

Тому що електромагнітні процеси розглядаються в лінійному трансформаторі, тобто в однорідному магнітному середовищі, то при заданій конфігурації провідників комплексні

вектори напруженостей магнітного поля Н1 й Н2 пропорційні комплексам струмів І1 і І2 , що протікають у первинній і вторинній обмотках відповідно. Тому комплексна потужність, формована індуктивно зв'язаними обмотками, може бути представлена як:

ВШ 12 ~ І®ШІ1 12 + І ®ММІ 2 І1 ~ В2М + В1Ш , (4)

де: Ш - взаємна індуктивність обмоток трансформатора;

І1, І2 - комплекси струмів первинної й вторинної обмоток;

£Ш і £2Ш - комплексні потужності, обумовлені взаємною індукцією й передані з первинної обмотки у вторинну й навпаки. Причому:

~М = ІШМІ, 11 = ішШІ2_ ІІ2= Рш + ]Ош,

~М = ІМ 12 = ІМ12ЄЛП^П ' = Р22М + Ю2Ш .

Активні складові комплексних потужностей БШ і В2Ш :

РШ = Re•^І®Ш/2 І1 | = 211 sin (^2 -Фі) ,

Р2Ш = І®ШІ1 12 Г = -®ШІ112 ^П(^1 ~?2 ) .

Тому що ж > <р1 > 0, і <р1 > ср2, то Рш > 0, а Р2Ш < 0, що відповідає передачі енергії з первинної обмотки трансформатора у вторинну.

У відповідності із другим законом Кірхгофа рівняння, що описує електричні процеси у вторинній обмотці трансформатора (рис. 1), може бути представлено наступним виразом:

Я,

- іюШ^ = R2І2 + І^212 + й2, де: R2 і L2 - активний опір і індуктивність вторинної обмотки трансформатора; и2 = І2 2н - напруга на виході трансформатора, на навантаженні;

2н = Rн — ІХя - комплексний опір навантаження.

Отже,

(5)

і = І R2 + ^ + .1 (^2 ± ХН ) = І R22 ± ІХ22 = І 222Є^ = / К(,І

- ітШ

2 2 е ~і 90° 2

], (6)

Де: ^22 = ^22 і X22 - комплексний опір вторинної обмотки з урахуванням опору навантаження;

2

К = —22 - коефіцієнт пропорційності модулів опорів 222 і 2М;

2М

± ^22

<р22 = аг^——-------аргумент комплексного опору 222 •

Причому, £ тому струм /, випереджає етрум Л вторинної обмотки „а

7Г

кут (р • Цей кут лежить у межах 0 >ф >л, тому що ф = (р22 + —. Таким чином, Р1м > 0, а Рм < 0.

Припливу енергії відповідає позитивне значення активної складової комплексної потужності, обумовленою взаємною індукцією (потужність Р1м ), а передачі енергії -негативне значення (потужність Р2М), отже, енергія передається в магнітне поле через первинну обмотку й повертається назад через вторинну.

Струм і1 , що протікає в первинній обмотці трансформатора, створює магнітний потік Ф1, що частково замикається, минаючи вторинну обмотку (ф11) , і частково проходить через неї (Ф12). У вторинній обмотці відповідно до закону електромагнітної індукції наводиться е. р. с., що створює струм і2. Даний струм викликає магнітний потік Ф2 =Ф22 +Ф21, що пронизує як вторинну, так і первинну обмотки, причому, його напрямок протилежно Ф1. Таким чином, в обох обмотках індукуються протилежні по напрямку е. р. с. взаємоіндукції: у

первинній - е1М (ї) = -М, і у вторинній - е2М (ї) = -М . Е. р. с. е2М (ї) обумовлена дією

dt dt

вхідної напруги на вторинну обмотку трансформатора, у той час як е1М (ї) є реакцією

вторинної обмотки на дію вхідної напруги. Тому результуюча е. р. с. взаємоіндукції

визначається різницею даних е. р. с.:

ем ) = Є2М )- еім ) =~Мdi7 + М (d-t,

dt dt

де: М - взаємна індуктивність обмоток трансформатора.

В останній формулі е. р. с. взаємоіндукції е2М (ї) взята із плюсом, а е1М (ї) - з мінусом, тому що енергія з первинної обмотки передається у вторинну.

Комплексна форма запису результуючої е. р. с. взаємоіндукції:

У такий спосіб:

ЕМ ~ ]®МІі + ,/®М'^2 _ ^^12М Е21М . (7)

ЕМ =-;ІаМ[іі - і2 ^ (8)

де: і1 - ї2 = Iм - струм, що створює (результуючий) магнітний потік, що здійснює

передачу енергії з первинної обмотки у вторинну.

Рівняння, що відповідає другому закону Кірхгофа для первинної обмотки, має вигляд:

иі = А (А + і®^і)+і&мі2 , (9)

де: иі - напруга на вході первинної обмотки трансформатора;

R1, Ь1 - відповідно активний опір і індуктивність первинної обмотки.

З урахуванням, що І2 = Іі - І м, Іі = І2 + І м, другому закону Кірхгофа для первинної

й вторинної обмоток, будуть відповідати наступні вирази.

Для первинної:

иі = А (Яі + >4 ) + >М (А - О

або

иі = Іі Д + + М)Іі - іюМІм, (10)

для вторинної:

- _ІЮМ(/2 + 7^) = І2 + І2 + £/2

або

0 = Я2 Л + ІЮ^2 + М ')І 2 ~ -І®МІм + и 2 . (іі)

Таким чином, електромагнітні процеси, що відбуваються в лінійному трансформаторі, описуються наступною системою рівнянь:

' І,= І і - І 2

< и і = Яі /і + іа{Ьі + М У і - ІШ (/і - І 2)

0 _ Я212 .І®(L2 М)І2 _ І®М{і і ~ І2 )+ и2

Даній системі рівнянь відповідає електрична схема, що не містить індуктивно зв'язаних елементів ( рис. 2).

Рис. 2. Електрична схема без індуктивно зв'язаних елементів Відповідно до наведеної схеми (рис. 2) струм І2 може бути виражений через струм Іі

на підставі правила розкиду струмів:

І 2 = І і

- іюМ

або

Я2 + І®І-2 + 2 Н - І0МІі = 1 2 (Я2 + І ) + и 2 .

(і2)

Останній вираз відповідає рівнянню (5), складеному по другому закону Кірхгофа для вторинної обмотки лінійного трансформатора.

Висновки

Таким чином, схема заміщення лінійного трансформатора (еквівалентна схема без індуктивних зв'язків) рис. 2 є простою електричною схемою, причому напрямки струмів у її

вітках відповідають напрямку діючої на вході схеми напруги, крім того, рівняння, складене по другому закону Кірхгофа для вихідногоконтурусхеми заміщення трансформатора, рівнозначно аналогічномурівнянню,що описує електромагнітні процесиу вторинній обмотці. Отримана математична модель, дозвол ить підвищ ити ефеїстивність еле ктротехнічн ихпристроїв,

томущо прицьо^виключається невідповідністьданої схемиелектромагнітним явищам,що відбуваються влінійномутрансформаторі.

Список літератури

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы элеетротехники. Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 19.4. -559 с.

2. ТаммИ.Е.Ос новытеории электричества. - М.: Наука, 1976. - 616 с.

3. Нейман Л. Р. ДемирчанК. С. Теоретическиз основы электротехники. Том 1.Теория линейныхэлектрических цепей. - Л.:Энергоиздат, ^'981 - 536» с.

4. Поливанов К. М. Теоретичес кие основы элтктротехники. Т. 1. Линейные электрические цепи (3 сосредоточенным и постоянными. - М.: Энергия,1972 - 240 с.

5. Поливанов К. М. Теоретические основы электротехники. Т. 3. Теория электромагнитного поля,-М.: Энергия, 1969 -352с.

RESEARCH OF CHAOC OF HUBRTBFUTIOH OF LINHAR TRANSHORMER

PY.PRroiHJKOV,Cand.TeBh. Sci.

I. C KHHMENCO, Crnd. TBch. Sci.

II isexpoecdshurtof tne krownchartcrfsubceitution of lineac traneformoete him rlrctromag-nrticpcoorreec,theanalusicofiranrformatюn ofenergyinateancfoemer in aecordaaeewithgeneral ta Ihc Unco theory іг ronhurled,ine яу^ет ufcnuflizatiore ueeseribrngthr elrctcnmagmiicpro-cereee rflinrar tepmformlriscecrain,aohartpehprrio the ріугп equan^at^c^i^s is ret

Поступила в редакцию 2 7.08T010 г.