CC BY
79
pISSN 2071-4688 eISSN 2311-8709
ДОХОДНОСТЬ И РИСК ТОРГОВЛИ НА КОЛЕБАНИЯХ Михаил Сергеевич ДЮДИН
Рынок ценных бумаг
старший преподаватель кафедры математики и информатики,
Краснодарский филиал Финансового университета, Краснодар, Российская Федерация [email protected]
История статьи:
Получена 18.01.2017 Получена в доработанном виде 01.06.2017 Одобрена 22.06.2017 Доступна онлайн 27.07.2017
УДК 336.7 JEL: G10, G11
Ключевые слова:
биржевая динамика, фрактальный рынок, теория хаоса, риск
Аннотация
Предмет. Биржевая торговля на колебаниях ставит целью получение прибыли от сделок длиной от одного дня до нескольких недель. В отличие от внутридневной торговли на этих временных интервалах помимо стохастики существенное влияние оказывают детерминированные закономерности.
Цели. Развитие математических методов измерения доходности и риска биржевой торговли, учитывающих частично детерминированный характер биржевой динамики.
Методология. Используются методы фрактальной математики и нелинейной динамики.
Результаты. Сильные колебания цен увеличивают дисперсию доходностей и оцениваются в рамках вероятностного подхода как фактор риска. Вследствие этого потенциально доходные при торговле на колебаниях ценные бумаги остаются недооцененными при использовании таких количественных показателей, как среднее и стандартное отклонение. Вместо теоретико-вероятностных оценок предлагается измерять риск биржевого актива величиной случайной составляющей его динамики, доходность - размахом и средней длиной апериодических циклов. Соотношение детерминированной динамики и случайного шума растет пропорционально времени в степени H - 0,5, из чего следует снижение риска с ростом времени сделки. Но с приближением времени к величине средней длины апериодических циклов возрастает риск изменения тренда и рекомендуется закрытие сделки в момент, когда разница между текущим размахом и размахом для максимального значения показателя Херста H станет меньше величины случайной компоненты.
Выводы. Предложенные количественные оценки доходности и риска биржевой торговли на колебаниях дают более полную информацию о ценовой динамике в сравнении с существующими вероятностными показателями. Ввиду большого разброса реальной длины апериодических циклов относительно их среднего значения, полученного при помощи R/S анализа, не рекомендуется использовать оценку размаха R.
© Издательский дом ФИНАНСЫ и КРЕДИТ, 2017
Для цитирования: Дюдин М.С. Доходность и риск торговли на колебаниях // Финансы и кредит. - 2017. - Т. 23,
№ 27. - С. 1614 - 1623.
https://doi.org/10.24891/fc.23.27.1614
Доходность и риск торговли на колебаниях
Наиболее распространенные способы биржевой торговли, такие как торговля на колебаниях цены и долгосрочные инвестиции, являются несовместимыми с существующими методами измерения доходности и риска, основанными на вероятностном подходе. Случайность ценовых приращений противоречит существованию прогнозируемых краткосрочных колебаний и циклов, так же как
и существованию долговременных детерминированных закономерностей в движении биржевых цен. Оценка риска и волатильности при помощи стандартного отклонения, VаR и других вероятностных показателей [1-3] подразумевает выполнение положений гипотезы эффективного рынка, предполагающей случайность, нормальность и одинаковое распределение приращений цены. [4] В ряде работ приводится
1614
убедительная критика гипотезы, как опровергающая нормальность распределения приращений цены [5] и существование конечной дисперсии, так и ставящая под сомнение ее теоретические обоснования [6, 7].
Развитие современных математических методов исследования биржевой динамики связано с использованием методов теории хаоса и фрактальной математики [8]. В рамках гипотезы фрактального рынка существуют методы R/S анализа, позволяющие идентифицировать непериодические циклы в динамике цен и определять их среднюю длину [9, 10], но на данный момент не разработаны количественные показатели, оценивающие привлекательность биржевых активов для инвесторов.
В работах [9, 10] производится исследование зарубежных фондовых рынков и делается вывод о фрактальной природе биржевой динамики и существовании непериодических циклов в динамике по крайней мере части ценных бумаг. Выводы Э. Петерса и Б. Мандельброта подтверждаются и для отечественного рынка ценных бумаг. Понятие апериодических циклов связано с понятиями квазипериодических функций и почти периодических функций, однако не может быть сведено к ним, так как рассматриваемая динамика является частично детерминированной, то есть сочетанием случайного шума и детерминированных закономерностей. В теории почти периодических функций полагается, что она представляется суммой периодических функций, в чем можно увидеть связь с положениями гипотезы фрактального рынка, [6] согласно которым биржевая динамика является сочетанием действий инвесторов с различными горизонтами инвестиций.
Из существования непериодических циклов в биржевой динамике следует необходимость переопределения риска инвестиций. С распространением предложений по продажам без покрытия участники рынка обретают возможность получать доход продажами акций без предварительной покупки, исключая снижение цены из
факторов риска. Таким образом, сильная изменчивость цен является не фактором риска, а возможностью извлекать прибыль на колебаниях рынка, а успех инвестиций определяется верным прогнозом направления движения цены и точным предсказанием максимума или минимума текущего апериодического цикла.
В рамках гипотезы фрактального рынка предполагается, что биржевая динамика является сочетанием цветного шума (шум, обладающий свойством персистентности или антиперсистентности) и детерминированной нелинейной динамики [6, 9] или сочетанием белого шума и детерминированной нелинейной динамики. Шумовая составляющая динамики объясняется нерациональными действиями спекулянтов, торговых роботов, неопытных игроков, погрешностями измерений и другими факторами. Стохастика не может быть спрогнозирована и является существенным фактором риска при принятии инвестиционных решений. Более того, определяющим свойством хаотических систем, к которым относятся фондовые рынки [6], является сильная чувствительность к начальным условиям. Малое изменение траектории движения цены вследствие случайного спекулятивного шума с течением времени приводит к увеличению расхождения с исходной траекторией пропорционально экспоненте Ляпунова, и потенциальные убытки из-за случайного изменения цены не ограничиваются величиной случайной составляющей.
Случайная компонента биржевой динамики может измеряться методом Яновского и Филатова, дающим относительную оценку случайного шума согласно мультипликативной модели, либо методом, предложенным в статьях [11, 12]. Последний метод измеряет масштаб, на котором детерминированный сигнал начинает превышать случайный, (что определяется началом линейного участка на графике корреляционного интеграла в логарифмическом масштабе, рис. 1) и дает оценку абсолютного значения случайной компоненты, что лучше подходит для целей данной статьи.
1615
Так как случайный шум в биржевых доходностях является динамическим, (не является аддитивным к детерминированной компоненте, а представляет собой часть динамики системы [6]), его распределение нельзя свести к известным типичным законам распределения. Установить связь корреляционной меры шума с числовыми характеристиками случайных величин не удалось. Будем говорить о величине случайного шума как о масштабе, на котором влияние детерминированной динамики на аттрактор системы начинает превышать влияние стохастики.
Применение методов нелинейной динамики требует большого объема данных, и, следовательно, использования высокочастотных данных [13, 14]. Для точной оценки корреляционной размерности DC необходима
выборка объемом N =102+0'4 Dc. Для применения R/S анализа в целях точной оценки Н необходимо усреднение по нескольким периодам, следовательно, объем выборки должен превышать длину непериодического цикла в несколько раз. Существуют методы оценки показателя Херста [15], требующие значительно меньшего объема данных, но для выявления средней длины непериодических циклов требования к объему выборки сохраняются.
Рассмотрим историческую динамику акций ОАО «Лукойл» за 2006-2008 гг. (выбор этого периода обусловлен значительными колебаниями цены и слабым трендом). Средняя доходность за один месяц, рассчитанная за полтора года, составляет 1,3%. Стандартное отклонение - 9,7%, VaR при инвестировании на один месяц - 15,9% (рис. 2). Таким образом, при использовании вероятностного инструментария можно сделать вывод о том, что данная ценная бумага является малодоходной и в высокой степени рискованной.
Однако в реальности динамика состоит из значительных ценовых колебаний, из которых при верном прогнозировании может быть извлечена прибыль, превышающая 1,3%. R/S анализ показывает, что средняя длина периодических циклов составляет 9 900
элементов, (по максимуму H(n)) значению nH=9 900 соответствует значение размаха RH=665 (исследуется ряд ценовых приращений). Чтобы привести размах к единице времени, разделим R на n в степени H(n). R: nH = 665 ober 9 9000,58 = 3,2. Следует отметить, что оценка размаха является усредненной по всему временному ряду и не может быть использована для прогнозирования каждого отдельно взятого непериодического цикла, период и амплитуда которого могут колебаться в широких пределах.
Проведем визуальный анализ графика цен и определим циклы с периодом и размахом, соответствующим полученным параметрам (табл. 1).
Полученная оценка соответствует идеальному случаю, когда точки минимума и максимума точно прогнозируются инвестором, что на практике невозможно. Однако можно утверждать, что чем больше размах и количество непериодических циклов, чем больше размах R, приведенный к единице временного ряда, тем больше возможностей получить прибыль.
Вероятность точного прогноза движения цены зависит от доли случайного шума в ее динамике. Значение корреляционной меры шума для динамики LKOH составляет 1,29 р., что соответствует единице времени, в которой измеряется временной ряд (в данном случае -пяти минутам). Тогда соотношение детерминированной динамики и случайного шума для динамики LKOH можно оценить как 3,2/1,29. Доля случайного шума равна 1,29
—-J——- = 0,29. При этом доля элементов 3,2 + 1,29 F
ряда приращений, лежащих в интервале (-1,29; 1,29), составляет 33%.
Данное соотношение соответствует масштабу 1 элемента временного ряда. С течением времени n детерминированная компонента меняется пропорционально nH, случайная -
пропорционально
n
0,5
Соотношение
детерминированной и случайной компоненты меняется пропорционально пн-0'5. Рост корреляционной меры шума пропорционально
1616
п °'5 подтверждается экспериментально на примере динамики ROSN, SBER, LKOH. Проведены расчеты для приращений цены с интервалом от 1 до 10 минут, подтверждающие зависимость. Точное значение коэффициента в степени п колеблется от 0,48 до 0,54.
Шг(п) = #я"-0'5. (1)
Чем длиннее срок сделки, тем больше соотношение динамики и шума (при условии Н >0,5). Но с ростом срока сделки приближается точка максимума/минимума непериодического цикла, создавая риск опоздать с закрытием сделки и потерпеть убытки при изменении тренда. Пусть средняя длина апериодического цикла пН соответствует показателю Херста Н тах и значению размаха RH . Тогда при достижении определенного я величина случайного шума 8(я) в сумме с размахом R(я) превысит RH :
п Н , 0,5 п
Rn +8n =R
■я>
(2)
после чего достижения максимума/минимума в большой степени зависят от случайной компоненты и рекомендуется закрытие сделки. При желании инвестора сильнее снизить риск слагаемое 8 я0'5 может быть умножено на соответствующий коэффициент. я может быть найдено графически, по точке пересечения ШН+8 я0'5 с ординатой RH (рис. 3).
Для рассмотренного примера п = 7 300, то есть рекомендуется закрытие сделки не менее чем за 9 900 - 7 300 = 2 600 отсчетов до ожидаемого минимума или максимума цены. Значению я = 7 300 соответствует размах R(7 300) = 3,2-7 3000,58=557,02, что является оценкой потенциальной прибыли торговли на колебаниях при величине случайного шума 8= 1,29, среднем размахе апериодических циклов RH=665 и средней длине непериодического цикла я = 7 300.
В табл. 2 указаны рассчитанные значения максимального значения показателя Херста H тах, соответствующее ему число отсчетов nH и размах колебаний RH . (Для случаев,
если максимум графика H определяется неточно, указан диапазон их возможных значений). Размах RH приведен к единице времени временного ряда R1 для сравнения с корреляционной мерой шума 8.
Для сравнения с вероятностными методами рассчитаны значения среднего, стандартного отклонения и VaR. Расчеты приведены для рядов 5-минутных приращений цены за 2015 г. в целях соотнесения с полученными ранее значениями для размаха и случайной компоненты (табл. 3).
Стандартное отклонение превышает корреляционную меру шума в 3,5-4,5 раза. При использовании вероятностного подхода частично детерминированная нелинейная динамика рассматривается как случайная, что завышает величину случайной компоненты временного ряда и трактуется как повышенный риск. В то же время потенциальная доходность актива ограничивается оценкой по среднему, что соответствует линейному (либо экспоненциальному в случае исследования ряда доходностей) тренду, являясь существенным упрощением в сравнении с реальной нелинейной динамикой биржевых котировок.
Полученные при помощи R/S анализа оценки средней длины и размаха апериодических циклов являются усредненными за период наблюдений, не могут эффективно использоваться для прогнозирования цены и должны рассматриваться как общая оценка инвестиционной привлекательности ценных бумаг при торговле на колебаниях. При этом для сравнения ценных бумаг необходимо рассматривать один и тот же временной интервал и использовать одну и ту же частоту данных [16]. Размах R оценивает максимально возможный выигрыш при открытии и закрытии сделки в точках максимума или минимума. Корреляционная мера шума 8 оценивает величину случайной компоненты динамики, которая создает риск отклонения размаха колебаний цены от ожидаемого и вносит неопределенность в динамику, затрудняя прогнозирование. Инвесторы могут применять к R и 8 коэффициенты,
1617
отражающие их индивидуальные предпочтения либо погрешность используемых численных методов. Для предсказания направления движения цены и точек изменения тренда рекомендуется использование нейросетевых методов, применение которых для моделирования
аттрактора динамической системы по временному ряду одной из ее переменных теоретически обосновывается теоремой Таккенса [17]. Также могут применяться методы нечеткой логики, модели ARMA и ARCH, методы технического и фундаментального анализа.
Таблица 1
Непериодические циклы в динамике, определенные визуальным анализом графика
Table 1
Non-periodic cycles in dynamics defined through visual analysis of the diagram
Открытие позиции Закрытие позиции Изменение цены
2 100 2 600 500
2 600 1 700 900
1 700 2 450 750
2 450 1 900 550
1 900 2 400 500
2 400 1 950 450
1 800 2 320 520
2 320 1 700 620
1 700 2 600 900
Источник: составлено автором Source: Authoring
Таблица 2
Числовые характеристики биржевой динамики на примере российского фондового рынка
Table 2
Numeric characteristics of the exchange dynamics: the Russian stock market case study
Показатель ROSN SBER LHOH MAGN MICEX
пн 2 400 2 800 1 400 3 200 2 100
пне( п1 ; п2) (1 500; 3 000) (1 700; 3 900) 1 400 (2 300; 4 000) (1 500; 2 100)
Rh 29 11,15 215 1 760 116
Rh e(R , ;R 2) (22; 32) (8,9; 13,5) 215 (2,9; 2,7) (96; 116)
н max 0,56 0,59 0,56 0,54 0,55
8 0,14 0,04 1,09 8,43 0,51
R1 0,37 0,11 3,72 22,52 1,73
Rj/8 2,73 2,75 3,42 2,67 3,38
Примечание. nH - время, соответствующее этому значению, которое оценивает среднюю длину непериодического цикла; RH - размах, который соответствует Hmax , оценивает амплитуду непериодического цикла; Hmax -максимальное значение показателя Херста; е - корреляционная мера шума; R1 - размах, приведенный к единице времени.
Источник: составлено автором
Note. nH is the time corresponding to this value, which estimates the average length of the non-periodic cycle; RH is the amplitude, which corresponds to Hmax , evaluates the amplitude of non-periodic cycles; Hmax is the upper bound of Hurst exponent; е is the correlation noise measure; R1 is the amplitude normalized to time unit. Source: Authoring
1618
Таблица 3
Вероятностные характеристики биржевой динамики (5-минутные приращения за 2015 г.) Table 3
The probabilistic characteristic of the stock dynamics (5-minute increment during 2015)
Показатель ROSN SBER LHOH MAGN MICEX
Среднее (р.) 0,00224 0,001786 0,003587 0,053764 0,013727
Ст. отклонение (р.) 0,48056 0,154193 5,038662 24,82985 2,059827
VaR (95%) (р.) 0,78828 0,25186 8,28501 40,7913 3,37469
Ср. значение цены (р.) 76,99 247,41 2 553,75 11 440,07 1 685,43
Источник: составлено автором Source: Authoring
Рисунок 1
Корреляционная мера шума определяется началом линейного участка на логарифмическом графике корреляционного интеграла. Наклон линейного участка определяет корреляционную размерность
Figure 1
The correlation noise measure is determined by the beginning of the linear range on a logarithmic plot of the correlation integral. The slope of the linear section defines the correlation dimension
Источник: составлено автором Source: Authoring
1619
Рисунок 2
Динамика акций LKOH за 2006-2008 гг. Figure 2
The change in stock LKOH during 2006-2008
Источник: составлено автором Source: Authoring
Рисунок 3
Зависимость размаха R, корреляционной меры шума £ и их суммы от п. График RnH+е я0'5 пересекает прямую y=RH при п = 7 300
Figure 3
The dependence of R amplitude, correlation noise measure £ and their sum of n. Graph RnH+е я0'5 crosses the right line y=RH when n = 7 300
Источник: составлено автором Source: Authoring
1620
Список литературы
1. Jorion P. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. 3rd ed. New York, McGraw-Hill, 2006, 594 p.
2. Holton G.A. Value-at-Risk: Theory and Practice. 2nd ed. URL: https://www.value-at-risk.net
3. RiskMetrics™ - Technical Document. 4th Edition. New York, J.P. Morgan and Reuters, 1996, 284 p. URL: https://www.msci.com/documents/10199/5915b101-4206-4ba0-aee2-3449d5c7e95a
4. Markowitz H.M., Todd G.P., Sharpe W.F. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. New York, Wiley Publ., 2000, 399 p.
5. Sheikh A.Z., Qiao H. Non-Normality of Market Returns: A Framework for Asset Allocation Decision Making. Journal of Alternative Investments, 2009, January, vol. 12, iss. 3, pp. 8-35. doi: 10.3905/JAI.2010.12.3.008
6. Peters E.E. Chaos and Order in the Capital Markets. New York, Wiley Publ., 1996, 288 p.
7. MandelbrotB.B. Fractals and Scaling in Finance. New York, Springer-Verlag New York, 1997, 551 p.
8. Егорова Н.Е., Торжевский К.А. Основные направления и концепции анализа фондовых рынков // Аудит и финансовый анализ. 2008. № 6. С. 168-171.
9. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. М.: Интернет-трейдинг, 2004. 304 с.
10.Mandelbrot B.B. Statistical Methodology for Non-Periodic Cycles: From the Covariance to R/S Analysis. Annals of Economic and Social Measurement, 1972, vol. 1, no. 3, pp. 259-290. URL: https://scholar.google.ru/citationsview_op=view_citation&hl=en&user=vZA2pjwAAAAJ& citati on_for_vi ew=vZA2pj wAAAAJ: YsrPvlHIBpEC
11. Калайдин Е.Н., Дюдин М.С. Измерение стохастической составляющей в динамике активов российского рынка капитала // Экономика устойчивого развития. 2012. № 11. С. 126-132.
12. Demekhin E.A., Dyudin M.S., Kalaidin E.N. Estimating Noise in Financial Time Series. European Researcher. Series A, 2011, vol. 5, iss. 1, pp. 491-492. URL: http://www.erj ournal .ru/j ournal s_n/1309441340.pdf
13. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the Strangeness of Strange Attractors. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1983, vol. 9, no. 1-2, pp. 189-208. doi: 10.12691/bse-2-1-3
14. Sprott J.C., Rowlands G. Improved Correlation Dimension Calculation. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2001, vol. 11, no. 7, pp. 1865-1880. URL: http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper255.pdf
15. Dubovikov M.M., Starchenko N.S., Dubovikov M.S. Dimension of the Minimal Cover and Fractal Analysis of Time Series. Physica A, 2004, vol. 339, no. 3-4, pp. 591-608. doi: 10.1016/j.physa.2004.03.025
16. Калуш Ю.А., Логвинов ММПоказатель Херста и его скрытые свойства // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. V. № 4. С. 29-37.
17.Дюдин М.С., Калайдин Е.Н. Нейросетевое моделирование биржевой динамики // Современная экономика: проблемы и решения. 2012. № 9. С. 168-177. URL: https://doi.org/10.17308/meps.2012.9/335
Информация о конфликте интересов
Я, автор данной статьи, со всей ответственностью заявляю о частичном и полном отсутствии фактического или потенциального конфликта интересов с какой бы то ни было третьей стороной, который может возникнуть вследствие публикации данной статьи. Настоящее заявление относится к проведению научной работы, сбору и обработке данных, написанию и подготовке статьи, принятию решения о публикации рукописи.
1621
pISSN 2071-4688 eISSN 2311-8709
RETURN AND RISK OF SWING TRADING Mikhail S. DYUDIN
Securities Market
Krasnodar Branch of Financial University under Government of Russian Federation, Krasnodar, Russian Federation [email protected]
Article history:
Received 18 January 2017 Received in revised form 1 June 2017 Accepted 22 June 2017 Available online 27 July 2017
JEL classification: G10, G11
Keywords: stock returns, fractal market, chaos theory, risk
Abstract
Importance Swing trading aims to money making from deals lasting from one day to several weeks. Unlike day-trading, during this time in addition to stochastics, deterministic regularity has a great impact.
Objectives The paper aims to develop mathematical methods for measuring the profitability and risk of stock trade, taking into account the partly deterministic nature of the stock dynamics.
Methods I used the methods of fractal mathematics and non-linear dynamics. Results The paper proposes to measure the risk of stock asset by a random component of its dynamics instead of the theoretical-probabilistic estimates and measure the yield by the range and average length of the aperiodic cycles.
Conclusions The proposed quantitative estimates of the profitability and risk of stock trade in terms of fluctuations provide more complete information on price developments relative to the existing probability rates.
© Publishing house FINANCE and CREDIT, 2017
Please cite this article as: Dyudin M.S. Return and Risk of Swing Trading. Finance and Credit, 2017, vol. 23, iss. 27, pp. 1614-1623.
https://doi.org/10.24891/fc.23.27.1614
References
1. Jorion P. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. 3rd ed. New York, McGraw-Hill, 2006, 594 p.
2. Holton G.A. Value-at-Risk: Theory and Practice. 2nd ed. URL: https://www.value-at-risk.net
3. RiskMetrics™ - Technical Document. 4th Edition. New York, J.P. Morgan and Reuters, 1996, 284 p. URL: https://www.msci.com/documents/10199/5915b101-4206-4ba0-aee2-3449d5c7e95a
4. Markowitz H.M., Todd G.P., Sharpe W.F. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. New York, Wiley Publ., 2000, 399 p.
5. Sheikh A.Z., Qiao H. Non-Normality of Market Returns: A Framework for Asset Allocation Decision Making. Journal of Alternative Investments, 2009, January, vol. 12, iss. 3, pp. 8-35. doi: 10.3905/JAI.2010.12.3.008
6. Peters E E. Chaos and Order in the Capital Markets. New York, Wiley Publ., 1996, 288 p.
7. Mandelbrot B.B. Fractals and Scaling in Finance. New York, Springer-Verlag New York, 1997, 551 p.
8. Egorova N.E., Torzhevskii K.A. [Fundamental directions and conceptions of analysis markets of stocks]. Audit i finansovyi analiz = Audit and Financial Analysis, 2008, vol. 6, pp. 168-171. (In Russ.)
9. Peters E.E. Fraktal'nyi analiz finansovykh rynkov [Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics]. Moscow, Internet-treiding Publ., 2004, 304 p.
1622
10. Mandelbrot B.B. Statistical Methodology for Non-Periodic Cycles: From the Covariance to R/S Analysis. Annals of Economic and Social Measurement, 1972, vol. 1, no. 3, pp. 259-290. URL: https://scholar.google.ru/citationsview_op=view_citation&hl=en&user=vZA2pjwAAAAJ& citati on_for_vi ew=vZA2pj wAAAAJ : YsrPvlHIBpEC
11.Kalaidin E.N., Dyudin M.S. [Measuring noise component of Russian capital market dynamics]. Ekonomika ustoichivogo razvitiya = Economics of Sustainable Development, 2012, vol. 11, pp. 126-132. (In Russ)
12. Demekhin E.A., Dyudin M.S., Kalaidin E.N. Estimating Noise in Financial Time Series. European Researcher. Series A, 2011, vol. 5, iss. 1, pp. 491-492. URL : http://www.erj ournal .ru/j ournal s_n/1309441340.pdf
13. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the Strangeness of Strange Attractors. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1983, vol. 9, no. 1-2, pp. 189-208. doi: 10.12691/bse-2-1-3
14. Sprott J.C., Rowlands G. Improved Correlation Dimension Calculation. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2001, vol. 11, no. 7, pp. 1865-1880. URL: http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper255.pdf
15. Dubovikov M.M., Starchenko N.S., Dubovikov M.S. Dimension of the Minimal Cover and Fractal Analysis of Time Series. Physica A, 2004, vol. 339, no. 3-4, pp. 591-608. doi: 10.1016/j.physa.2004.03.025
16.Kalush Yu.A., Logvinov M.M. [Hurst exponent and its latent qualities]. Sibirskii zhurnal industrial'noi matematiki = Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2002, vol. 5, iss. 4, pp. 29-37. (In Russ.)
17. Dyudin M.S., Kalaidin E.N. [Neural Network Modeling of Exchange Dynamics]. Sovremennaya ekonomika: problemy i resheniya = Modern Economics: Problems and Solutions, 2012, no. 9, pp. 168-177. (In Russ.) URL: https://doi.org/10.17308/meps.2012.9/335
Conflict-of-interest notification
I, the author of this article, bindingly and explicitly declare of the partial and total lack of actual or
potential conflict of interest with any other third party whatsoever, which may arise as a result of the
publication of this article. This statement relates to the study, data collection and interpretation,
writing and preparation of the article, and the decision to submit the manuscript for publication.
1623
