Диспетчеризация сети с переменной топологией при помехах и задержках в измерениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 2

ДИСПЕТЧЕРИЗАЦИЯ СЕТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ТОПОЛОГИЕЙ ПРИ ПОМЕХАХ И ЗАДЕРЖКАХ В ИЗМЕРЕНИЯХ*

Н. О. Амелина

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

1. Введение. В последнее время все чаще при вычислениях используются распределенные системы параллельных вычислений, для которых актуальна задача разделения пакета заданий между несколькими вычислительными устройствами. Подобные задачи возникают не только в вычислительных сетях, но также в производственных сетях [1], сетях обслуживания [2], транспортных и логистических сетях и др. Обычно при распределении заданий по узлам их стараются распределять так, чтобы загрузка вычислительных узлов была равномерной.

Задачи балансировки загрузки узлов в литературе встречаются достаточно часто [3-10], что подчеркивает их актуальность.

2. Постановка задачи. Рассмотрим модель сети агентов (узлов), выполняющих параллельно однотипные задания, в которой допускается перераспределение заданий между агентами на основе обратных связей.

Обозначим через N = {1,2,...,п} набор интеллектуальных агентов (узлов), каждый из которых выполняет поступающие задания по принципу очереди. Задания поступают в систему в различные дискретные моменты времени £ = 1,2,...,Т на разные узлы.

Структура связей (топология) сети Ег меняется во времени. Пусть Щ = {г) е Ег} — множество соседей узла г в момент времени £ = 1, 2,...,Т; — матрица смежности графа связей.

В момент времени £ поведение каждого агента г е N описывается двумя характеристиками:

• —загруженность, или длина очереди из атомарных элементарных заданий узла г в момент времени

• —производительность узла г в момент времени

При достаточно общих предположениях можно считать, что динамика изменений загруженности агентов описывается следующими уравнениями:

где п\ еИ, — управляющие воздействия, которые в момент времени t воздействуют на узел i, z\ — размер нового задания, поступившего на узел i в момент времени t.

Если Nt Ф 0, то будем считать, что в момент времени t узел i получает данные о производительности соседей и зашумленные наблюдения об их загруженности:

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-08-01218-а) и ФЦП «Кадры» (госконтракт №16.740.11.0042). © Н.О.Амелина, 2012

q\ = qU - sU + zh + uh; i е N, t = 1, 2,...,T,

(1)

У = q\dj + Wj, j е N1,

(2)

где щ1 — помехи, а 0 < с!? < в, — целочисленная задержка, с1, — максимально возможная задержка. Кроме того, в каждый момент времени £ узел г имеет зашумленные данные о своей загруженности:

гг г . гг /о\

Уг = Яг + иг- (3)

Важно отметить, что требуется поддерживать равномерную загрузку всех узлов сети.

Для минимизации времени выполнения всех заданий естественно использовать протокол перераспределения заданий с течением времени с целью увеличения общей пропускной способности системы и сокращения времени выполнения заказов.

3. Протокол перераспределения заданий. Предположим, что Ф 0, V г е N.

Из всех возможных вариантов распределения общего количества заданий, необработанных к моменту времени наименьшее время работы системы соответствует тому, при котором / = я? /я?, VI,] е N. Следовательно, если взять х\ = /я\ в качестве состояния узла г в момент времени то цель управления — достижение консенсуса — будет соответствовать оптимальному распределению заданий между узлами.

Для достижения консенсуса будем использовать протокол типа стохастической аппроксимации

п\ = Ь?У1 - у«), (4)

известный под названием «протокол локального голосования», в котором а > 0 — размеры шагов, Ьг? = в?/в\, V] е N. Положив Ь? = 0 для всех остальных пар 1,], определим В = [Ьг? ] —матрицу протокола управления (4).

Опираясь на общие результаты [11], исследование динамики состояний узлов можно провести с помощью соответствующей непрерывной модели.

Будем считать, что все задания поступили в систему в нулевой момент времени. Динамика замкнутой системы имеет вид

хгм = х\ - 1 + а X ьг1 (У?/в! - у«/в\), (5)

а в векторно-матричном виде —

I - \

+ - + №/4 -

Хг+1 = иХг + а.%

(6)

\ 0иа I

где XXI — расширенный вектор состояний, XXI = [х:1,Х1-\,...,Х1-({], и — матрица размерности п(!+ 1) хн(!+ 1), состоящая из нулей и единиц в первых п строках главной диагонали и по п + 1-й диагонали, 0иц — вектор из пЛ нулей.

Пусть (О, Т, Р) —основное вероятностное пространство, и выполнены следующие условия.

Л1. Граф связей сильно связный.

Л2. VI е N,2 е Nг помехи и1Ц,и? —центрированные, независимые одинаково распределенные (ПЛ.) случайные величины с ограниченными дисперсиями: Е(и")2 < а^, целочисленные задержки < д, — 1лЛ. случайные величины, принимающие значения к = 0,..., (¡, с вероятностями pгk, появление ребра (i,j) в графе связей —1.1.^.

случайное событие, вероятность которого(т.е. матрицы Аг —ПЛ. случайные матрицы). Кроме того, все эти случайные величины и матрицы независимы между собой. (Здесь и в дальнейшем Е — символ математического ожидания).

Л3. {аг^} —последовательность положительных чисел, стремящаяся к некоторому а > 0 при Ъ ->■ оо, и вирг аг = а.

Л4. Данные о производительности узлов с течением времени стабилизируются: 3 Иш^го Ев\ = а1 > 0, V г е N. Кроме того, если производительности узлов являются случайными величинами, то они независимы между собой и со всеми случайными величинами и матрицами из условия Л2.

Метод непрерывных моделей [11, 12] состоит в приближенной замене исходного стохастического разностного уравнения (6), описывающего динамику сети, обыкновенным дифференциальным уравнением

аъ а

где

Е

\ х

п(<г+1)

(7)

(8)

и(1

Оказывается, что траектории решения исходной системы {Хг} из (6) в момент времени Ъ близки в среднеквадратичном смысле к точке траектории {X(тг)} из (7), взятой при тг = ¿(а.о + а1 + ... + аг-1).

Определение. п узлов достигают асимптотического среднеквадратичного е-консенсуса, если < оо, 4 = 0,1,..., г € N, и существует случайная переменная

х* такая, что Ишг

Е\\х

■ х*\\2 < е для всех г е N.

Теорема. Если выполнены условия Л1-Л4, то справедлива следующая оценка:

Е шах \\Хг - X(тг)

0<т4 <ттах

< С1е

С'2Т„.

(9)

где С > 0, С2 > 0. Если дополнительно уравнение (7) экспоненциально устойчиво, то Е\\Хг - X(тг)\\2 < Сзам для некоторых независящих от а констант С3 и ц : 0 < ¡1 < 1, т. е. п узлов достигают асимптотического среднеквадратичного е-консенсуса с е = С3 ам.

В неравенстве (9) и далее для нормы вектора или матрицы М используется норма Фробениуса: \М\ = [Тг(МТМ)]1/2.

Доказательство. Утверждение теоремы об оценке отличия траекторий из (6) и (7) соответствует более общему результату из [11], для применения которого необходимо показать, что выполняются условие Липшица для Н(X) и условие ограничения скорости роста функций

Рг{Х) = Е\\ — {и-1)Х+ аг

^ Ъ?((х]_^ - х*) + (т?/4 - т«/з1))

и<1

н (X )\\2 < СРН(1 + X\\2).

1

+

Первое является следствием линейности функции Н(X). Докажем второе.

Ft(X) <2

1 1

а.1 а

(\\(и - I)Х||2 + 1) + 2шахЕ( £ Ь? х

< 2шах

t

х ((х?^ - х1) + и/в! - и?/в) -р*ьг1 ( ( £ ркх1+ки | - хг ))) < 1 1 2

I к=0

а:t а

(||и - I||2||Х||2 + 1) + 4 I гш1 + I шах ^ пи.х,.»' I ||Х||2 I =

1

ггеЫлеЫ1 в1 к,г? '

= Срн(1 + \\Х\\2).

2

2

4. Имитационное моделирование. В качестве примера рассмотрим систему, состоящую из шести вычислительных узлов, выполняющую поступающие задания. В процессе работы могут поступать новые заказы. Используем постоянный размер шага а = 0,1. Изменения состояний узлов х\ при применении алгоритма (5) показаны на рис. 1 (слева), на котором видно, что поступление новых заказов в систему не меняет общего качества работы системы. На рис. 1 (справа) приведены результаты сравнения динамики алгоритма (5) и траекторий непрерывной модели (7), из которых видна близость траекторий загрузок узлов (пунктирные линии) с предельными траекториями дифференциального уравнения (штриховые линии).

Рис. 1. Состояния узлов хг1 (слева). Динамика состояний при алгоритме (5) и в непрерывной модели (7) (справа).

Заключение. Мы рассмотрели задачу балансировки загрузки децентрализованной сети при неполной информации о состоянии узлов и переменной топологии. Для решения был предложен алгоритм типа стохастической аппроксимации. Поведение системы было проанализировано аналитически и проведено имитационное моделирование работы алгоритма для вычислительной сети. Результаты моделирования продемонстрировали высокую работоспособность алгоритма.

Для исследования поведения системы был использован метод непрерывных моделей. В дальнейшей работе будет проанализировано влияние на работу алгоритма помех разного типа.

Литература

1. Armbruster D., Mikhailov A. S., Kaneko K. (eds.) Networks of Interacting Machines: Production Organization in Complex Industrial Systems and Biological Cells. World Scientific. Singapore, 2005.

2. Glashenko A., Inozemtzev S., Grachev I., Skobelev P. Magenta Technology: Case studies of magenta i-scheduler for road transportation // Proc. of the Six International Conference on Autonomous Agents and Multi Agent Systems (AAMAS). Hawaii, 2007.

3. Friedrich T. A., Sauerwald T. B, Vilenchik D. C. Smoothed analysis of balancing networks // Random Structures and Algorithms. 2011. Vol.39. N1. P. 115-138.

4. Li H. Load balancing algorithm for heterogeneous P2P systems based on Mobile Agent // Proc. of ICEICE 2011. P. 1446-1449. 2011.

5. Катуева Я. В. Балансировка загрузки несимметричного вычислительного комплекса при решении задачи статистического оценивания // Информатика и системы управления. 2006. №2 (12). C. 88-93.

6. Костенецкий П. С., Лепихов А. В., Соколинский Л. Б. Технологии параллельных систем баз данных для иерархических многопроцессорных сред // АиТ. №5. С. 112-125. 2007.

7. Li Y., Lan Z. A survey of load balancing in grid computing // Proc. of Int. Symposium on Computational and Information Science(CIS04). Shanghai. China. 2004.

8. Gilly K., Juiz C., Puigjaner R. An up-to-date survey in web load balancing // World Wide Web. 2011. Vol. 14. N2. P. 105-131. March.

9. Граничин О. Н. Стохастическая оптимизация и системное программирование // Стохастическая оптимизация в информатике. 2010. Т. 6. С. 3-44.

10. Вахитов А. Т., Граничин О.Н., Паньшенсков М. А. Методы оценивания скорости передачи данных в грид // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. 2009. № 11. C. 45-52.

11. Деревицкий Д. П., Фрадков Ф.Л. Две модели для анализа динамики алгоритмов адаптации // АиТ. №1. С. 67-75. 1974.

12. Fradkov A. L. Continuous-time averaged models of discrete-time stochastic systems: survey and open problems // Proc. of 50th IEEE CSS CDC-2011. 2011.

Статья поступила в редакцию 22 декабря 2011 г.