CC BY
59
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIII 1992 М 1
УДК 532.528
ДИНАМИКА ТОРОИДАЛЬНОЙ ГАЗОВОЙ ПОЛОСТИ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
В. В. Воронин
Решена задача о динамике газонаполненной тороидальной полости в несжимаемой идеальной жидкости, получены уравнения пульсаций, всплывания и расширения кольцевой оси тора. Исследована динамика полости при истечении высоконапорной газовой струи из кольцевой щели внутрь полости, найдены соотношения для избыточного давления в жидкости вдоль оси тора.
Исследование динамики газопаровой тороидальной полости в идеальной жидкости оказывается полезным при решении ряда практических задач. В частности, при определенных условиях первоначально сферическая газовая полость деформируется и по мере развития центральной кумулятивной струи приобретает форму тороида; поле течения, возникающее при синфазных колебаниях множества сферических пузырей, расположенных по окружности, с хорошей точностью моделируется полем пульсирующего тора.
В ряде опубликованных работ [1—3] приводятся результаты анализа различных аспектов динамики тороидальной полости. Например, в работе [1] исследуются пульсации тороидальной полости с неподвижной кольцевой осью в сжимаемой жидкости; получены оценки максимального радиуса полости. В статье [2] дано решение задачи о подъеме вихревого кольца в отсутствие пульсационного движения. Наконец, в [3] рассматривается динамика тора с учетом пульсаций поперечного сечения и всплывания в поле тяжести. Пульсации вихревого кольца с кавитационной полостью экспериментально исследуются в работе [4].
В настоящей статье предлагается обобщенное решение задачи о движении газовой тороидальной полости; получены уравнения пульсаций, всплывания и расширения кольцевой оси тора.
Уравнения динамики тороидальной газовой полости. Рассмотрим динамику тороидальной полости в безграничной несжимаемой невязкой жидкости с плотностью р. Пусть в начальный момент времени кольцевая ось тора расположена в горизонтальной плоскости; радиус кольцевой оси а значительно больше радиуса поперечного сечения R, R/a <С 1. Динамика полости включает три составляющие пульсационное движение относительно кольцевой оси R(t), обусловленное перепадом давления внутри и вне полости; всплывание тора h(t) под воздействием выталкивающей силы; колебания кольцевой оси тора a(t) относительно вертикальной оси симметрии.
Следуя [3], потенциал течения жидкости, обусловленного движением тора, будем искать в форме мультипольного разложения
<= 1 !,/= 1 .1
о
где ф0 = — Км [(2| + а)2 + 2г)—1/2 — потенциал кольцевого источника единичной интенсивности;
/С(х) — полный эллиптический интеграл первого рода; х2 = 4а2| [(гI + а2) + г2] 1 — модуль эллиптического интеграла;(2|, г2) — система цилиндрических координат, начало которой расположено в плоскости кольцевой оси тора (г| — радиальная координата, гг — осевая, рис. 1); £>0, А. А/ — моменты мультиполей.
В разложении (1) производные дфо/dz, соответствуют диполям, описывающим поступательное перемещение кругового поперечного сечения тора; мультиполи более высокого порядка описывают течение, обусловленное деформацией сечения тора, и могут быть отброшены.
Неизвестные значения коэффициентов D находятся из кинематического условия на границе тора. В полярных координатах zi = а т cos 0, z2 = г sin 0 условие непротекания имеет вид
дг
= '$ + AsinO + a cos в ;
r= R,
(2)
где Л — скорость всплывания тора; а — скорость расширения кольцевой оси.
При вычислении потенциала в окрестности границы тора ’{г а R) эллиптические интегралы заменяются их асимптотиками, справедливыми при р = г/а-С 1 [5]; после замены цилиндрических координат полярными все функции разлагаются в степенные ряды относительно параметра Р с точностью 0(р2). Из граничного условия (2) получены значения коэффициентов й0, в виде
0О = яа{ - 1 + £-(Ха - 2)] + |-ал} ;
О, = 4ла21 М-%-(2 - Х0) + а* £[ 1 + ^-(4Х0 - 15)] } ;
D2 = л а2
(3)
Потенциал течения жидкости в окрестности свободной границы тора (при 1) имеет вид ф(г, 0, 0 - - R# [х + |g~J-(2* - 3) + -^-(^-2) (Х + 2)] + p/?e -
+«4-г--§-т<"-и»-|"7-(|5-Ч} *
X cosO - /?й[ А+ -О-(4х0 - 1) + |^-£-(4Я + 3)] sin0 , (4)
где X = 1п(8а/л); Х,0 = 1п(8а//?). В выражение (4) входят члены, содержащие скорость расширения кольцевой оси тора. В работе [3].они не учтены.
Кинетическая энергия жидкости в случае сложного движения тороидальной полости определяется из интеграла [7] ;
Г= -яа/?р$(ф-^-)^0 = я2а/?2р{ Х0 + ^{4^ + 2Х0- 19)] -
О
~~ "уО + 2^) + 1 + 13)] + 1 + ~j"g"(4X0 + I)] } • (®)
Потенциальная энергия системы «жидкость — полость» в поле тяготения находится из соотношения
П = И Ро — Р«А — Рх(*)\ dv = 2лiaR\p0 — Pgh — Рж) , (6)
v
где dV — элемент объема тора; h(t) — перемещение тора относительно начального/положения.
Радиус кольцевой оси тора a{t), радиус поперечного сечения R(t) и перемещение тора вдоль оси симметрии h(t) являются независимыми обобщенными координатами системы «жидкость —
полость», между которыми существуют голономные связи. Дифференциальные уравнения движения системы относительно указанных обобщенных координат находятся из уравнения Лагранжа
d д L <5L
-7Т--Г-Г----3— =0, 4i — a, R, h. (7)
dt dq, dqi
Лагранжиан системы L =s= T — П, причем слагаемые Г и Я определены в (5) и (6). Из уравнения (7) получается система дифференциальных уравнений для R(I), h{t) и
1) 2А'/?[ к0+ il(4^ + 2Х0- 19)] + 2Х0- 1 + .£{8»* - 39)] + 2&Й -
_г«А(1+2д-ал[ i+-^(2x0-5)] -а‘2(1+хх°) +2(‘-р,-6Л) = о;
2) Я/?[ 1+-^-(4Х0+1)] + p<iA‘ + /jA(2+p2)-6/? = 0; (8)
3) 2SR+ 4ОЙ + Ре2 - РА2 —|-gR( 1 + 2Х0) - у £й\ 1 + 2*о) + 2р( 1 -р,- 6А) = 0
Все величины в уравнениях (8) приведены к безразмерному виду относительно плотности жидкости р, начального радиуса тора /?о и полного давления в жидкости ро; при этом появляется безразмерный параметр б = pgRo/po, характеризующий влияние весомости жидкости.
Давление газа внутри полости рх(0 зависит от теплообмена на свободной поверхности тора; в предельном случае предполагается, что расширение и сжат-ие газа происходят адиабатически, и давление р,(1) находится из уравнения
+ ypx(aR + 2.а А) = 0, (9)
где у= 1,4 — показатель адиабаты воздуха при нормальных условиях.
Задача Коши для системы уравнений (8), (9) полностью определена, если заданы начальные значения функций /?(0), й(0), а(0) и их первых производных по времени.
На рис. 2 представлен график, иллюстрирующий изменение основных величин, характеризующих динамику полости,— радиусов R и а, давления газа р, от времени /; все величины представлены в безразмерном виде. В начальный момент времени давление газа рх = 0.5; радиус кольцевой оси ао = 10, скорость перемещения тора А и параметр 6 равны нулю. Наблюдаются периодические негармонические пульсации радиуса полости к{1) и давления газа р,(1)\ эти величины изменяются синфазно. Зависимость радиуса кольцевой оси а от времени / имеет более сложный характер: малые колебания накладываются на общее незначительное уменьшение радиуса кольца. Относительное изменение радиуса кольцевой оси не превышает 5% за расчетный промежуток времени.
Избыточное давление вдоль оси тора. Значительный интерес представляют пространственно-временные характеристики Избыточного давления, возникающего в жидкости при расширении или схлопывании газопаровой полости [6]. В рассматриваемом случае целесообразно найти рас-лределение избыточного давления вдоль осевой линии (£| = 0, г-2 > 0) тороидальной полости в различные моменты времени.
Уравнение Коши — Лагранжа в подвижной системе координат, связанной с центром тороидальной полости, имеет вид
11-(|,‘у<р)+у(Уф)2 + р= 1-6(2,+А), (10)
где р{г|, 22, О —давление в произвольной точке жидкости; скорость перемещения тора п параллельна его осевой линии. Избыточное давление вдоль оси тора определяется из соотношения
Др= 1_р_бА = -^-А,-^-+-1-(-^ + 6г2; г, т 0; г2>0, (11)
в котором учтено, что радиальная скорость жидкости дф/дг, = 0 при г, = 0. Анализ выражения для потенциала скоростей (I) при г, = 0 приводит к соотношению
Ф (0,22,/) = 4-(/)о4-|)1^—/>2-^-), (12)
где X = (в2 + г|) . Из (12) легко найти производные потенциала, входящие в интеграл (11), т. е.
(13)
причем б, определяются из (3) прямым дифференцированием по времени. Сохраняя члены порядка 0(р2), получим соотношения
Й0я/?| вЛ-у(Х0—2)+уаЛ — 2)] — Й 1+-у-(ЗХ0—7)| | ;
й, = у-а/?[ Л2(7-Зх’) Л’Л(2-Я.0) + а'Л(б-РХ„)+2а2р + 2Л?] ;
6г = яай[Л/Г+ ЙЬ(\ + р) + 2раЛ’] .
.4
Таким образом. Избыточное давление в жидкости вдоль оси тороида может быть определено для любого момента времени, так как динамика полости известна из замкнутой системы уравнений (8), (9). 'На рис. 3 представлены зависимости избыточного давления в центре тора при различных начальных значениях давления газа в полости р<(0) и радиусе кольцевой оси во = 10; кривая / соответствует значению р,(0) = 0,5 и кривая 2 — рх(О) = 2,0. На рис. 4 показано распределение избыточного давления вдоль оси симметрии тора в моменты 1=3 и 6,5, соответствующие максимуму и минимуму давления газа в полости. Максимальное избыточное давление имеет место в центре тора (при г2 = 0); при г2 > а профиль давления вдоль оси близок к зависимости г2~'.
Истечение газовой струи • жидкость через кольцевую щель. Рассмотрим развитие тороидальной газовой полости, образующейся при истечении газа под избыточным давлением ри из ресивера через кольцевую щель в жидкость; кольцевая щель-сопло имеет радиус ао и ширину
5, причем $/ао < 1. В начальный момент времени на срезе сопла находится в состоянии равновесия тороидальный газовый пузырь с радиусом поперчного сечения #о. При / > 0 из щелевого сопла внутрь пузыря истекает газовая струя, что приводит к изменению массы и температуры газа в полости; следовательно, для определения давления газа требуется решать дополнительные термодинамические уравнения.
При истечении газа через простое сопло массовый расход газа из Напорного резервуара внутрь полости равен [7]:
где а = 2лао$ — площадь щелевого сопла; Л* = 8,314 -103 Дж/Кмоль/К — универсальная газовая постоянная; ц — молярный вес газа; Го — температура газа в резервуаре.
Предположим, что теплообмен между газом в полости и жидкостью пренебрежимо мал; тогда уравнение для нахождения температуры газа следует из первого закона термодинамики й(} = (Ш -\-pdV. После простых преобразований получаем
где Су—молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Давление внутри полости рх на
Начальные значения температуры Го и массы та газа определяются из условия равновесия тороидального пузыря на срезе сопла, т.е.
I '1 I
т
ходится из уравнения состояния газа, т. е.
2я2р,а/?г = -~ЯяТ'.
т0 = />о2л2аоЯ£ц/(Л4Го).
Рис. 5
Тороидальный пузырь перемещается под действием выталкивающей силы, обусловленной весомостью жидкости, и под действием импульса газовой струи; следовательно, в уравнение движения полости из системы (8) требуется добавить силу
В безразмерном виде дифференциальное уравнение для скорости перемещения пузыря преобразуется к виду
Уравнения пульсаций тороидальной полости и расширения кольцевой оси остаются без изменений.
Зависимость избыточного давления в жидкости в центре'тора от времени при р„ = 5 (кривая /) и ри — 10 (кривая 2) представлена на рис. 5. Интересно, что в процессе расширения тороидальной полости давление в центре тора может быть меньше давления на бесконечности, что объясняется изменением знака второй производной И в уравнении пульсаций.
1. Кедрин с кий В. К. Об одномерной пульсации тороидальной газовой полости в сжимаемой жидкости // ПМТФ.— 1977, № 3.,
2. -Онуфриев А. Т. Теория движения кольца под действием силы тяжести. Подъем облака атомного взрыва // ПМТФ.— 1967, № 2.
3. Д о р ф м а н А. А., Я г о в д и к Г. И. Движение тороидальной газовой полости в безграничной несжимаемой жидкости // ПМТФ.— 1986', № 1.
4. Шорыгин О. П. Свободные кольцевые вихри в жидкости // Ученые записки ЦАГИ.— 1973. Т. 4, № 4.
5. К о р и Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.— М.: Наука, 1974.
6. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами.—. Киев: Наукова думка, 1969.
7. С е д о в Л. И. Механика сплошной среды.— М.: Наука, 1973. Т. 2.
Л?[ 1 + -^{4Х0 + 1)] + + ЙА(2 + р2) - 6Л
2я2аЛ
ЛИТЕРАТУРА
Рукопись поступила 4/1 1990 г.
