CC BY
86
УДК 539.3:519.63
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3
ДИНАМИКА СТЕРЖНЯ
ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ*
H. Ф. Морозов1, П. Е. Товстик2
I. С.-Петербургский государственный университет,
академик РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
Введение. При статическом продольном осевом сжатии стержень может потерять устойчивость прямолинейной формы, переходя в смежные формы равновесия (это классическая задача Эйлера, которой он начал заниматься в еще 1744 году [1-3]). При динамическом продольном нагружении задача значительно сложнее. При строгой постановке по стержню распространяются продольные упругие волны, которые, в свою очередь, могут порождать интенсивные поперечные колебания. Однако в связи с тем, что время распространения продольной волны по длине стержня существенно меньше наименьшего периода поперечных колебаний, как правило, используется приближенная модель, согласно которой считается, что продольная волна распространяется по стержню мгновенно, а осевая сжимающая сила постоянна по его длине. При такой постановке решены задачи с внезапным приложением конечной нагрузки, превосходящей критическое значение в статике [4], с нагрузкой, линейно возрастающей со временем [2, 5], с нагрузкой, периодически меняющейся со временем и приводящей к параметрическому резонансу [2, 6].
В [7] задача решается в более строгой постановке, при которой учитывается конечная скорость распространения продольных волн в стержне. Рассматривается кратковременный продольный удар постоянной силой по концу упругого стержня постоянного поперечного сечения Б длины Ь. Предполагается, что время удара меньше времени пробега продольной волны по удвоенной длине стержня.
В данной статье продолжены исследования, начатые в [7]. Более подробно исследуется взаимодействие продольных и поперечных колебаний. В линейной постановке найдены условия возникновения параметрического резонанса, построена область неустойчивости на плоскости «длина стержня — нагрузка», и вычислены характеристические показатели. С использованием метода Бубнова—Галеркина построено приближенное решение нелинейной задачи, сформулированной в [7]. В отличие от [7] начальные неправильности стержня не учитываются, а возникновение поперечных колебаний связано ненулевыми начальными условиями. Установлено, что при нелинейной постановке амплитуда поперечных колебаний существенно меньше, чем при линейной. Обнаружены биения, связанные с переходом энергии поперечных колебаний в продольные и наоборот. Как в линейной, так и в нелинейной постановке исследовано влияние вязко-упругих сил сопротивления на вызванные ударом колебания.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12.01.92000.ННС-а и № 13.01.00523-а).
© Н.Ф.Морозов, П. Е. Товстик, 2013
1. Продольные волны. Распространение продольных волн в стержне в линейном приближении описывается уравнением
Граничные и начальные условия имеют вид дм
дж
-Ро, 0 <t<T, ( . , . ди 0 t>T u(L, t) = 0, м(ж, 0) = 0, —
= 0, 0 < х < Ь.
4=0
(1.2)
Здесь м(х, ¿) —продольное смещение сечения, х — продольная координата, £ — время, Т — время действия ударной силы, Е и р — модуль Юнга и плотность материала, Б — площадь поперечного сечения. Формулы (1.2) соответствуют удару постоянной сжимающей силой Ро (Ро > 0 при сжатии).
Для исследования поперечных движений стержня необходимо найти функцию
дм
Р(х,г) = ЕБ— (1.3)
дх
при £ > 0, 0 < х < Ь. Общее решение волнового уравнения (1.1) имеет вид
Р(х,£) = -Р0(/(х - с£) + #(х + с£)), с2 = Е/р, (1.4)
где с — скорость звука, а функции /(г) и $(г) определяются из условий (1.2).
Пусть То = Ь/с — время пробега волны по всей длине стержня. Ниже рассматривается случай Т < 2То, при котором действие импульса заканчивается до прихода волны к левому концу стержня. В этом случае в силу условий (1.2)
( 1, -Ьт < г < 0, / (г )= < 0, -2Ь<г< -Ьт, -4Ь<г< -2Ь - Ьт, #(г ) = / (2Ь - 2), (1.5) [ -1, -2Ь - Ьт < г < -2Ь,
где Ьт = сТо < 2Ь. Функции /(г) и $(г) периодичны с периодом 4Ь, следовательно, при £ > Т будет Р(х,£ + 4Т0) = Р(х,£).
Введем безразмерные переменные хх, ¿1, при которых длина стержня и время пробега продольной волны по длине стержня равны единице:
х = Ьх 1, 4 = —¿1, Т = — г, и = Ьи\ (1-6)
сс
Тогда краевая задача, описывающая продольные колебания, запишется в виде
д2м2 д2м2 дм2
дж2 dt2 ' дх1
-£о, 0 < ti < г, , . Ро
ai=0 i 0, ii > г, «(Mi)=0, £о = ^>0.
(1.7)
Здесь т < 2 — безразмерное время действия импульса. В дальнейшем индекс 1 опускаем. Период функций f (z), g(z) равен 4.
Решение задачи (1.7), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, представим в виде ряда по собственным функциям cos Vk ж, удовлетворяющим однородным граничным условиям (1.7):
^ 1
и(х, t) = —2 — (fikjt) cos VkX, Vk = (к — 0.5)7г, (1-8)
fc=i Vfc
где
(t) =
1 — cos vk t,
0 < t < T,
cos Vk (t — T) — cos Vkt, t > T. Продольное напряжение принимает вид
ди
= —tn e{x,t), e{x,t) = 'i
к=1
e (x,t) = £отг" = —£o е(ж, i), e(x,t) = —sini/k.T, dx z—' ">■
(1.9)
(1.10)
где е(х,£) —безразмерная деформация, положительная при сжатии. При £ > т будет е(х,£ + т) = е(х,£). На рис. 1 для случая т = 0.5 полуполоса 0 < £ < то, 0 < х < 1 разбита на области, в которых функция е(х,£) положительна (+), равна нулю (0) или отрицательна (—), и приведены графики разрывных по £ функций е(х, £) при трех значениях х = 0.1; 0.5; 0.9.
Рис. 1. Функция описывающая продольные волны.
2. Уравнение поперечных колебаний. Малые поперечные колебания стержня согласно модели плоских сечений Бернулли—Эйлера описываются уравнением
[2, 3]
в котором использованы безразмерные переменные (1.7) и
причем £) —поперечное отклонение оси стержня, отнесенное к его длине, . — момент инерции поперечного сечения, г — радиус его инерции (г = а/2 для стержня кругового сечения радиуса а и г = а/\/12 для прямоугольного сечения со сторонами а и Ь при а < 6).
Влияние начальных условий и начальных неправильностей формы стержня на его поперечные колебания рассмотрены в [7]. Там же отмечена возможность возникновения параметрического резонанса. Ниже параметрический резонанс исследуется подробнее.
В случае шарнирного закрепления концов решение ищем в виде ряда Фурье:
N
(x,t) = ^ Xn(x)Tn(t), Xn(x) = sin nnx. (2.4)
= 1
Функции Tn(t) удовлетворяют системе уравнений d2T
N
-j^- + wjTn(t) - £0 У^ amn{t)Tm{t) = 0, n=l,...,N, шп = цп2 7r2, (2.5)
m= 1
где периодические при t > т (с периодом Т = 4) коэффициенты amn имеют вид
®mn(t) = 2 / e(x, i)^^^(х)ХП(x)dx. (2.6)
Jo
После подстановки ряда (1.10) для e(x,t) и интегрирования получаем
/ 1 1 \
amn(i) = 8mn.g (v(2fc_1)2_4(m + n)2 + (2fc_1)2_4(m_n)2 J (2-7)
Ряды (2.7) сходятся как 1/k2.
3. Область параметрической неустойчивости. Рассмотрим устойчивость нулевого решения системы (2.5). Эта система содержит три безразмерных параметра: длительность импульса т, 0 < т < 2, малую меру амплитуды продольной деформации £о и малый параметр относительной толщины стержня.
При £о = 0 частоты собственных колебаний системы (2.7) равны ш„, a частота параметрического возбуждения в равна в = 2п/Т = п/2. Методы исследования параметрических колебаний хорошо известны [8, 9]. При малых £о области неустойчивости возможны лишь в окрестностях значений
|wn ± wm| = кв, m, n, k = 1, 2, .. . (3.1)
Для вычисления характеристических показателей перепишем систему (2.5) в виде системы 2N уравнений первого порядка
^=B{et)y, B{e{t + T)) = B{9t), t>r, T = 4, (3.3)
и для периода т < t < т + Т построим матрицу монодромии Y(т + Т) в результате численного решения матричной задачи Коши
dY
— = Y(r) = Е, (3.4)
где Е — единичная матрица порядка 2Ж. Характеристические показатели р^ находим из алгебраического порядка 2Ж уравнения
\У(т + Т) - рЕ| =0. (3.5)
Положим р = шах^- | р^ |. Тогда при р > 1 нулевое решение неустойчиво и величина р, определяющая скорость роста решения пропорционально р4/4, может случить мерой неустойчивости.
Зафиксируем длительность импульса т и рассмотрим область параметрической неустойчивости на плоскости параметров (I, р), где I = —безразмерная длина стержня, р = £от — безразмерный ударный импульс. Длины I, для которых область неустойчивости примыкает к оси р = 0, назовем критическими. В силу (3.1), (3.2) множество критических длин
т,п,к = 1,2,. .., (3.6)
к
является всюду плотным, а сами резонансы возбуждаются с различными скоростями роста амплитуд колебаний. При ш = п, k = 1 получаем главные резонансы, при ш = п — комбинационные резонансы и при к > 1 —резонансы на обертоне.
Рассмотрим сначала приближенно главные резонансы при 1п = 4пп2, игнорируя взаимодействие форм колебаний:
¿2Т
+ и2птп(г) - £0апп(г)тп(г) = о (3.7)
при шп = 0/2 = п/4, т.е. при критических размерах. Тогда от п будет существенно зависеть лишь функция апп(£).
Приведем некоторые численные результаты. Введем безразмерный ударный импульс
р = еот. (3.8)
Расчеты показали, что при малых р величина р линейно зависит от р и слабо зависит от длительности импульса т при 0 < т < 2, незначительно убывая с ростом т. Например, при р = 0.001, п = 3 зависимость р(т) имеет вид
т = 0.1 0.25 0.5 1.0 1.5 2.0 р = 1.560 1.556 1.543 1.494 1.419 1.330
В дальнейшем считаем р = 0.001, т = 0.5. Для анализа окрестностей главных резонансов в уравнении (3.7) следует считать шп = п2п2/1, беря длину I, близкой к 1п. В таблице 1 приведены значения для пяти первых главных резонансов.
Таблица 1. Параметры главных резонансов
п Р е„ 1 • ^гшп ^тах
1 1.047 12.6 12.3 12.8
2 1.212 50.3 47.4 58.3
3 1.543 113.1 100.4 134.1
4 2.134 201.1 166.2 292.2
5 3.132 314.2 241.8 801.0
Величина р в таблице 1 найдена для критической длины I = 1п при шп = п/4. Неравенства 1тгп < I < 1таж определяют границы п-й области неустойчивости при р = 0.001. Отмечается быстрый рост параметра р вместе с номером резонанса п. Область неустойчивости быстро расширяется с ростом п, причем области неустойчивости при п = 4 и п = 5 перекрываются (см. рис. 2).
При I = 1п для вычисления р из уравнения (3.7) в ряду (2.7) берем только первое слагаемое, ибо вклад остальных слагаемых равен нулю. В остальных случаях последующие слагаемые также существенны.
Резонансы на к-м обертоне (при к > 1) возбуждаются существенно меньше. Приведем значения р(к) для р = 0.001, п = 3:
к = 1 2 3 4 5 р = 1.543 1.015 1.037 1.001 1.007
Для анализа параметрических резонансов по формам с номерами п и ш рассматриваем систему двух уравнений
—^ + - е0 {апп(г)Тп(г) + атп(г)Тт(г)) = о,
сРТ,
где
(3.9)
+ - е0 (атп(1)Тп(1) + атт(1)Тт(1)) = 0,
о о
пп2 пш2
2(п2 ± ш2)' 2(п2 ± ш2)'
п > ш, 1пт = 2п(п ± ш ). (3.10)
В качестве примера рассмотрим резонансы при п = 3, ш = 1 и при п = 3, ш = 2. Результаты представлены в таблице 2.
Таблица 2. Параметры комбинационных резонансов
^п =
п т Р ^пт
3 1 3 2 1.020 1.115 62.8 81.7 62.4 63.3 79.0 84.9
Приведенные в таблице 2 значения соответствуют знаку «плюс» в формулах (3.10). Резонансы в случае знака «минус» (3.10) не возбуждаются.
Сравнение результатов таблиц 1 и 2 говорит о том, что комбинационные резонансы (особенно, резонанс п = 3, ш =1) возбуждаются слабее, чем главные.
п=3 п=3
100 200 зоо 400
Рис. 2. Области параметрической неустойчивости.
На рис. 2 схематично показаны области параметрической неустойчивости для первых пяти главных резонансов (см. таблицу 1) и двух параметрических резонансов (см. таблицу 2).
Полученные здесь результаты, заключающиеся в неограниченном росте амплитуды, физически ошибочны, ибо после прекращения действия импульса (при £ > т) рассматриваемая система консервативна. Поэтому ниже дается приближенное решение в более точной нелинейной постановке задачи [7].
4. Нелинейная система уравнений продольно-поперечных колебаний.
Будем исходить из принципа Остроградского—Гамильтона, по-прежнему принимая гипотезу плоских сечений и пренебрегая моментом сил инерции вращательного движения сечений: г
¿/ \т - П) Л = ¿А, (4.1)
где Т и П — кинетическая и потенциальная энергии, ¿А — элементарная работа внешней силы. Приближенные выражения для этих величин, записанные в безразмерных переменных, имеют вид
и>
2 Уо IV дг ) ' V дг ) I " ~ 2 Уо Г ' ""
V V ^ П ^ V (4.2)
где в выражение продольной деформации е введено нелинейное слагаемое, Н(г) = 1 при г < 0, Н(г) = 0 при г > 0.
Теперь варьированием соотношения (4.1) получаем искомую систему уравнений и граничные условия:
де д2и ди 1 /дъи\2 д4ъи д ( дъи\ д2ъи
дх сЖ2 ' дх 2 V дх ) ' ^ дх4 дх \ дх ) сН2 '
™ = 0, Ж = 0,1; е(0, t) = [ \ ~ Т' u(l,t) = 0.
dx2 I 0, t > т,
(4.3)
Начальные условия возьмем в виде
dw
м(ж, 0) = 0, w{x, 0) = <р(х),
= 0. (4.4)
г=0
Система (4.3) эквивалентна рассмотренным выше уравнениям (1.1) и (2.1), если считать е = дм/дж.
Приближенное решение задачи (4.3), (4.4) ищем в виде
K N
(x,vi — / ипу k=1 n=l
w(x,t) = ^^ ak(t)sin((k — 0.5)nx), w(x, = bn(t) sin(nnx). (4.5)
Для построения уравнений относительно функций а&(£) и Ьт(£) подставим (4.5) в (4.1) и приравняем нулю коэффициенты при вариациях ¿а^(£) и ¿6„(£). Тогда получим систему уравнений
к (4.6)
Л26„ дФ л,
+ п=1,2,...,Ж,
и начальные условия
¿ак ¿Ьт „ , ,0 , п
= = = К = К при ' = 0'
где Ьп —заданные малые начальные отклонения,
л ' 1 (д\
I2 V дж2
¿ж.
(4.7)
(4.8)
Безразмерная длина I может быть задана произвольно. Для описания главного резонанса поперечных колебаний с п полуволнами в поперечном направлении следует считать I = 4пп2.
В рассматриваемых ниже примерах берем по пять слагаемых в суммах (4.5), т. е. считаем К = N = 5. Безразмерный ударный импульс р и безразмерное время удара т берем равными р = 0.001, т = 0.5. Рассматриваем безразмерные длины I = 4пп2, соответствующие главным резонансам при п = 2, 3,4. Начальные условия, соответствующие п-й форме поперечных колебаний берем равными Ьп(0) = 0.001, а остальные начальные условия считаем равными нулю.
Рис. 3. Поперечные колебания при продольном ударе.
и=2 п=3 11=4
Рис. 4. Изменение продольной деформации, вызванное поперечными колебаниями.
На рис. 3 показаны поперечные колебания в интервале безразмерного времени 0 < £ < 1000 по второй, третьей и четвертой формам, вызванные кратковременным продольным ударом. В отличие от линейного приближения, которое приводит к неограниченному росту амплитуды, здесь при резонансе наблюдается лишь двухкратное увеличение амплитуды колебаний по сравнению с начальным отклонением. Колебания носят характер биений с последовательной перекачкой энергии продольных колебаний в поперечные и наоборот. На рис.4 показан график функции а1(£), описывающей главную часть продольного возмущения.
Это явление перекачки энергии аналогично имеющему место при продольно-пе-перечних колебаниях маятника на упругом подвесе.
5. Влияние сил сопротивления. Рассмотрим стержень из линейного вязко-упругого материала. В простейшей модели вязкоупругости [10] модуль Юнга Е приобретает множитель (1 + (5/ш)д/д£):
Е — Ео
1 5 д
1 Н--"ГТ7
ш ся
(5.1)
где 5 — безразмерный коэффициент вязкости, ш —характерная частота колебаний.
Рассмотрим сначала влияние вязкости на решение в линейном приближении в предположении 5 ^ 1. Безразмерное уравнение (3.7) для описания поперечных колебаний при главных параметрических резонансах принимает вид
¿2Т (Т
—^г + + ~ е0апп(г)Тп(г) = 0,
где
4'
51 — ш„5, а„„(£) — апп(4)в
-¿2 г
52 — 251,
(5.2)
(5.3)
причем при вычислении ряда (2.7) сохраняем только первое слагаемое. Второе слагаемое в левой части (5.2) ведет к уменьшению области неустойчивости. В частности, эта область уже отделена от прямой р — 0 (см. рис.2). Множитель в-Й2г описывает затухание амплитуды продольных волн, в связи с чем величина р — рв-Й2г в некоторый момент времени выходит из области неустойчивости и амплитуда поперечных колебаний начинает убывать.
Сказанное иллюстрируется примером. Пусть п — 3, р — 0.001, т — 0.5, Тп(0) — 0.001, ТП(0) — 0. На рис.5 для двух значений вязкости— 5 — 0.02 и 5 — 0.015 представлена зависимость амплитуды поперечных колебаний от времени в интервале 0 < К 500.
Рис. 5. Влияние вязкости на параметрические колебания при линейном подходе.
Отметим, что прежде чем начать убывать, при 5 — 0.02 амплитуда возросла в 4 раза по сравнению с начальным значением, а при 5 — 0.015 — в 15 раз. Меньшее затухание приводит к более длительному возрастанию амплитуды поперечных параметрических колебаний.
Для приближенного исследования влияния вязкости на динамику нелинейной системы (4.2) дополним систему (4.6) слагаемыми, учитывающими затухание колебаний:
(2ад ¿аь дф
+ ¿>2—+ й—= £аН(1 — г), к = 1,2,..., А,
дад.
Л
_П ¿Оп дФ
Л2 Л д6„
(5.4)
0,
п — 1, 2,
п
Шп —
где коэффициенты вязкости и 62 те же, что и в (5.3). В качестве примера возьмем те же значения параметров (р = 0.001, т = 0.5), что и в (5.3), и рассмотрим резонанс, соответствующий третьей форме поперечных колебаний (п = 3) при 63(0) = 0.001. На рис. 6 для трех значений коэффициента вязкости 6 = 0.02, 6 = 0.007 и 6 = 0.002 представлены графики функций 63 (£) и а^) при 0 < £ < 500.
Рис. 6. Влияние вязкости на параметрические колебания в нелинейной постановке.
На рис. 6 наблюдаем взаимодействие двух эффектов — параметрических возбуждения и затухания. При больших значениях вязкости (6 = 0.02) преобладает затухание. Отметим, что при линейном подходе для 6 = 0.02 наблюдается возрастание амплитуды в 4 раза, а здесь оно практически отсутствует. При малой вязкости (6 = 0.002) эффект параметрического возбуждения с перекачкой энергии продольных и поперечных колебаний ярко выражен. Как и при отсутствии вязкости, амплитуда колебаний возрастает в два раза, в то время как при линейном подходе растет неограниченно.
6. Обсуждение. При кратковременном продольном ударе по стержню в нем возникает периодическое движение продольных напряжений сжатия-растяжения с нулевым средним значением. Эти напряжения могут привести к параметрическим поперечным колебаниям стержня. Особенно интенсивными эти колебания будут, если длина стержня совпадает (или близка) с одним из критических значений, при котором реализуется главный параметрический резонанс (одна из собственных частот поперечных колебаний равна удвоенной первой частоте продольных колебаний).
В линейном приближении при отсутствии трения возможен неограниченный рост амплитуды поперечных колебаний, ибо обратное влияние поперечных колебаний на продольные не рассматривается. При геометрически нелинейном подходе при параметрическом резонансе наблюдается лишь незначительный рост амплитуды поперечных колебаний (в рассматриваемых примерах амплитуда возрастает в два раза по сравнению с начальным значением). Происходит перекачка энергии поперечных колебаний в продольные и наступает режим биений с последовательным возрастанием и убыванием амплитуды продольных и поперечных колебаний.
Для вязко-упругого стержня при линейном подходе относительно малые силы вязкости не препятствуют значительному росту амплитуды поперечных колебаний. При нелинейном подходе имеет место сложное взаимодействие нелинейности и затухания, причем для большой вязкости преобладает затухание, а для малой вязкости наблюдается режим биений, сопровождающийся затуханием.
В целом, линейный подход дает неполное представление о поперечных колебаниях стержня, вызванных продольным ударом.
Литература
1. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. М.: Гостехиздат, 1934.
2. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. М.: ГИТТЛ, 1962. 880 с.
3. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 177 с.
4. Лаврентьев М.А., Ишлинский А. Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР, 1949. Т. 5. №6.
5. Вольмир А. С. Устойчивость сжатых стержней при динамическом нагружении // Строит. механика и расчет сооруж., 1960. №1. С. 6-9.
6. Болотин В. В. Поперечные колебания и критические скорости. М.: Изд-во АН СССР. Т.1 (1951), т. 2 (1953).
7. Морозов Н. Ф., Товстик П. Е. Динамика стержня при продольном ударе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009, №2. С. 105-111.
8. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
9. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.
10. Пальмов В. А. Колебания упругопластических тел. М.: Наука, 1976.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.
