CC BY
59
УДК 62.83
В. И. Бойков, С. В. Быстров, А. Ю. Королёв
ДИНАМИКА ПЬЕЗОПРИВОДА С УПРАВЛЕНИЕМ ОТ ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОГО МОДУЛЯТОРА
С ТРЕМЯ СОСТОЯНИЯМИ*
Приведена математическая модель динамики пьезоактюатора при питании от широтно-импульсного модулятора с тремя состояниями. Показано, что модуляция приводит к появлению нелинейности статической характеристики, а наличие в модуляторе третьего состояния порождает параметрическую нестационарность. Разработанная модель позволяет учесть указанные эффекты при синтезе систем управления.
Ключевые слова: пьезоактюатор, импульсное управление.
математическая модель, широтно-
В современных системах управление исполнительными механизмами осуществляется с использованием широтно-импульсной модуляции (ШИМ). В этом случае выходные силовые транзисторы усилителей мощности работают в ключевом режиме, что позволяет существенно повысить КПД выходного каскада, снизить нагрев транзисторов и, как следствие, значительно уменьшить габаритные размеры усилителя. Последнее обстоятельство зачастую определяет необходимость применения широтно-импульсной модуляции в автоматических системах управления микроперемещением объектов с использованием пьезоактюаторов [1].
Пьезоактюатор можно представить эквивалентным конденсатором, емкость которого составляет единицы микрофарад [2]. Устройство формирования управляющего напряжения на электродах пьезоактюатора при использовании ШИМ заменяется эквивалентной схемой (рис. 1).
и >
и
/
SW1
■сз
SW2
ия
РА
Рис. 1
Выходной каскад устройства представлен двумя последовательно включенными „идеальными" ключами SW1 и SW2 (верхний и нижний силовые транзисторы, работающие в ключевом режиме). Значения остаточного сопротивления включенного ключа, внутреннего сопротивления источника питания и дополнительных токоограничивающих резисторов определяют значение внутреннего сопротивления устройства, эквивалентно представленного
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг. (соглашение № 14.B37.21.0421).
82
В. И. Бойков, С. В. Быстрое, А. Ю. Королёв
резистором Яу. Источник питания характеризуется постоянным напряжением ип, а пьезоак-тюатор в такой схеме эквивалентно представляется конденсатором PA.
При использовании классической ШИМ с двумя состояниями значение управляющего сигнала иа на электродах пьезоактюатора (см. рис. 1) варьируется за счет изменения интервалов времени противофазного включения/выключения ключей SW1 и SW2 , которые характеризуются управляющим параметром у е [0,1). Напряжение и в точке соединения ключей SW1 и SW2 — периодическое импульсное, оно определяется выражением
и = ■
и 0 <
<- г е [0, уГ), г е[уГ, Г),
где Г — постоянный период сигнала широтно-импульсного модулятора, г — время на интервале [0,7). В таком случае напряжение иа на электродах пьезоактюатора будет иметь периодический пульсирующий компонент с периодом Т, что приведет к нежелательным периодическим колебаниям объекта микроперемещения как в переходном, так и в установившемся режимах работы. Последнее обстоятельство вызывает снижение потребительских свойств пьезопривода.
Рассмотрим способ уменьшения нежелательных пульсаций за счет использования в управлении пьезоактюатором третьего состояния ШИМ В этом состоянии оба ключа SW1 и SW2 разомкнуты, а управляющий сигнал иа сохраняет постоянное значение за счет собственной емкости пьезоактюатора. Логика работы модулятора следующая. При положительном управляющем воздействии включается только SW1 на время у Т с последующим переходом в третье состояние, т.е.
и К ^ г е[0, уГ),
1 [иа ^ г е [уГ, Г).
При отрицательном управляющем воздействии включается только SW2 на время уТ с последующим переходом в третье состояние, т.е.
[0 ^ г е[0, уГ), ия ^ г е[уГ, Г).
и =
При одномассовом представлении перемещения объекта под действием приложенных сил вектор состояния Х(г) пьезоактюатора представляется тремя компонентами: х1(г) — перемещение, х2(г) — скорость перемещения, х3(г) — напряжение иа [3]. Математическая модель пьезоактюатора представляется в виде:
X (г) = АХ (г)+ви (г),! у(г) = СХ (г), |
где
(1)
А =
0 1 0
- К±
т т т
0 КР С0 1 ^уС0
В =
0 0 1
^уС0
С = [1 0 0].
Здесь Х(г) — вектор состояния; и(г) — управляющий входной сигнал; у(г) — выход (перемещение объекта); Ку и К — коэффициенты упругости и демпфирования
пьезоматериала; К0 и Кр — коэффициенты обратного и прямого пьезоэффектов; т — приведенная масса актюатора и нагрузки; С0 — собственная электрическая емкость актюатора; ^ — время.
При широтно-импульсном управлении с постоянным периодом следования импульсов Т целесообразно рассматривать поведение объекта в дискретные моменты времени, соответствующие началу действия управляющих импульсов. В этом случае из (1) нетрудно получить дискретное описание изменения вектора состояния пьезоактюатора:
т
X ((п + 1)Т) = еАтХ (пТ) +1 еАт Ви (т)Л, (2)
о
где и(т) — управляющий сигнал; Х(пТ) — вектор состояния дискретной системы в начале п-го периода сигнала ШИМ; п =0,1,... — дискретное время.
При вычислении матричной экспоненты и интеграла в (2) следует учитывать, что в третьем состоянии усилителя из-за разрыва контура электрического тока структура матрицы А модели пьезоактюатора изменяется. Так, при подаче на актюатор сигнала и1 = ип в течение времени уТ с последующим отключением управления получаем:
( УТ }
X((п + 1)Т) = еА)(1-у)Т еА^ТХ(пТ) + | еАтёхВи^
п
J
или
X((п + 1)Т) = еАо(1-у)Т (еАуТХ(пТ) + А~1(еАуТ - 1)Вип) (3)
при подаче на пьезоактюатор сигнала и0 = 0 в течение времени уТ с последующим отключением управления:
X((п + 1)Т) = еАо(1-у)ТеАуТХ(пТ) . (4)
В выражениях (3) и (4) матрица А) =
0 1 0
- К± Ко.
т т т
Кр
0 р 0
С0
Следует также отметить, что при нахождении усилителя в третьем состоянии матрица
"0"
Во =
Объединив выражения (3) и (4) в общее уравнение движения объекта, получим дискретную нелинейную модель динамики объекта в виде:
X((п + 1)Т) = еА0(1-у(пТ))Т (еА(пТ)ТХ(пТ) + А"1 (еА(пТ)Т -1)Вип), Гип ^ Хз(пТ) < V(пТ),
и =
10 ^ х3(пТ) > V(пТ),
(5)
где V (пТ) = у(пТ)ип — сигнал управления.
Уравнение (5) позволяет рекуррентно вычислять переходную характеристику управляемого пьезоактюатора, выполнять синтез регуляторов и анализ динамики пьезоприводов.
84
В. И. Бойков, С. В. Быстров, А. Ю. Королёв
На рис. 2, а приведены графики изменения во времени выходной координаты пьезоактюатора при управлении от классического ШИМ с двумя состояниями. Графики получены методом компьютерного моделирования с использованием уравнения (1) при да=0,048 кг, Ky=1,55-10 Н/м, K^25 Нс/м, Ко=2,37 Н/В, Кр=2,37 Кл/м, Яу = 500 Ом, С0 = 2,4-10-6 Ф. Принято, что перемещение начинается от нулевого начального значения, частота ШИМ равна 2500 Гц (частота механического резонанса пьезоактюатора — 2900 Гц) и на всем интервале времени моделирования значение управляющего параметра у постоянно. Из приведенных графиков видно, что использование ШИМ с двумя состояниями приводит к повышенной амплитуде колебаний
объекта перемещения.
а)
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 г, с Рис. 2
На рис. 2, б приведены графики изменения во времени выходной координаты пьезоактюатора при управлении от ШИМ с тремя состояниями. Видно, что амплитуда колебаний объекта перемещения заметно уменьшилась, а значения х1 стремятся к постоянному — 1,5-10-5 м, что объясняется эффектом накопления заряда на емкости пьезоактюатора при управлении однознаковыми импульсами.
Таким образом, управление пьезоактюатором от ШИМ с тремя состояниями по сравнению с классическим управлением выгодно отличается тем, что:
— снижается колебательность процесса перемещения полезной нагрузки;
— у пьезоактюатора за счет накопления электрического заряда появляется астатическое свойство, т. е. управление осуществляется не величиной перемещения полезной нагрузки, а скоростью;
— дополнительный анализ условий коммутации ключей (см. рис. 1) показывает, что алгоритм работы ШИМ с тремя состояниями не допускает возможности возникновения сквозных токов в силовых ключах.
С другой стороны, ШИМ с тремя состояниями присущи следующие недостатки:
— управление перемещением полезной нагрузки из-за астатизма пьезоактюатора возможно только с применением замкнутой системы регулирования;
— синтез регулятора для системы управления перемещением полезной нагрузки необходимо выполнять с учетом нелинейности уравнения динамики объекта управления (5).
Заключение. Нелинейность уравнений (5) относительно управляющего параметра у(пТ) усложняет разработку пьезопривода. Однако использование в системе управления пьезоак-тюатором ШИМ с тремя состояниями позволяет существенно повысить потребительские свойства пьезопривода за счет снижения паразитной вибрации объекта перемещения и привнесения в систему свойства астатизма.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бойков В. И., Быстров С. В., Григорьев В. В., Обертов Д. Е. Пьезопривод на основе тонкопленочных пьезоактюаторов // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 1.
2. Обертов Д. Е., Быстров С. В. Разработка алгоритма управления пьезоэлектрическим приводом с целью компенсации его колебаний // Современные научные исследования и инновации [Электронный ресурс]: <http://web.snauka.ru/issues/2011/07/1038>.
3. Никольский А. А. Точные двухканальные следящие электроприводы с пьезокомпенсаторами. М.: Энерго-атомиздат, 1988. 160 с.
Владимир Иванович Бойков
Сергей Владимирович Быстров
Андрей Юрьевич Королёв
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Сведения об авторах
канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]
канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]
студент; Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: [email protected]
Поступила в редакцию 13.12.12 г.
