CC BY
11
УДК 002.521.54
ДИНАМИКА НАДЕЖНОСТИ ОКСЛУЖИВАКМЫХ СИСТЕМ ГА. Пюкке (КамчатГТУ)
Рассмотрены стохастические модели надежности, реализуемые на основе марковских систем uuccotuhv обслуживания Описаны методы увеличения надежности :укепчуатируе--мы* систем и процессы регулирования работоспособности средств автоматики.
The sfocfuMic models of reliability implemented on the basis of markovskiye systems of mass maintenance are considered in the article. Methods of maintained systems' reliability increase and processes of automatic means' efficiency regulation are described.
Мри проектировании и эксплуатации современных сложных систем автоматики актуальной становится задача расчета надежности и управления ею с учетом стоимости разработки, создания и эксплуатации усфойств высокой работоспособности. Дня повышении надежности обычно применяют дорогостоящие элементы и углы или резервирование, требующее дополнительных финансовых вложений. Поэтому чрезвычайно актуальной является задача исследования надежности систем и умение управлять сю на всех этапах их жизненного цикла. 11ри экс плуатации устройств большое значение имеют задачи, касающиеся оптимальной стратегии обслуживания» профилактических и ремонтных работ. Традиционно при рассмотрении таких вопросов используют аппарат! ieopmi массового обслуживания, позволяющий проследить динамику работоспособности систем. При рассмотрении моделей надежности с «обслуживанием» иепользуется возможность увеличения надежности эксплуатируемой системы за счет повышении интенсивности устранения дефектов. При таком подходе модель надежности полностью совпадает с моделью массового обслуживания, так как каждая обслуживающая
единица может рассматриваться как прибор, обрабатывающий ноток неисправностей в соот-
ветствии с очередью, имеющей свою дисциплину.
Теоретической основой дли описания процесса управления надежностью систем автоматизации может служить система уравнении Колмогорова для вероятностей состояний
И И
фд 0/<л = Х*..,а(')-(][Х)а(0; /«г.
»-1 »-1
ifi i»4
описывающая случайный процесс изменения состояний системы [1]. Такой подход предполагает градацию системы по 5* возможным состояниям и определение ал и каждой пары состояний (.9,, Л'А) 1шоиюс1ей вероятности переходов X,, и Л,., Система уравнений вместе с начальными условиями определяет вероятности р><Ъ как функции времени. При вычислениях для каждого фиксированного момента времени становится известным вектор вероятностей системы
/40 (Л(/)/\Ч0....Л</)У- При лом совокупность случайных событий н любой фиксированный
момент времени /должна образовывать полную группу, т. с.
2>,(о=1-
к~1
Вероятность перехода Рь из состояния Л', в еосгояние 5, :ш время <7/ запишется гак: Рч(*//)
1 ехр{~)^.(И) = I -(1 - ХЧ(1Ц 1! + (а„ <Ьу!2\ - ...) ХЧЛ. Соответственно вероятность остаться в
и
том же состоянии определяется как Р»((к) = I V Р (Ж). При построении модели надежности
/-1
судовых ГЭСА наиболее близким аналогом можо служить модель одмоканалыюй системы массового обслуживаиия (СМО) с простейшим потоком на входе и женоненциальным временем обслуживания. Как и ранее, для упрощения рассуждений полагаем, что ноток отказов подчиняется нуассоновскому чакону распределения: Р\() = I - ех/Ч-Хт); Н>) = X; Ц!) = X сг/1(-Х); Щ/) = ех/К-Х). 11ри исследовании обслуживаемых систем в рассмотрение вводятся обратные переходы из нерабочего состояния в рабочее за счет ремонта с интенсивностью р |1|. Задается матрица вероятностей переходов:
'1-М М1 0 0
(.и// 1 - (X + |л>с// хл 0 ...
0 ргУ/ 1 - (X + р)<Л Х*Л ...
0 0 \xtit 1 - (X 4- Ц)гЛ ...
^ ••• I (• 1М III И«1
Уравнения состояний могут быть получены из матрицы J в следующем виде:
РЦ + Л) ДО ♦ У;
тогда |/У/ + Ж)Р\(1 4 <*) - - <Щ -1 Л.(0Л(<) ... РД0\ *
Л</ (Ь) ш (1 Ы)Г<(0 ' [*ЬРМ>
/',(/ - Л) = ЫРа(/) - (I -(X + ц)Ж)Р\0) * \uitP2</),
РА‘ * Л) ~ **№,(/) + (1 (X + р>с/0Р,(1) + \uhPil),
Р,{! -г Л) = ЫРМ ,</) + (1 - (X + ру//)/^/) + рЛР„ . |(/). После преобразований выделяется матрица интенсивностей переходов
Работу системы можно охарактеризовать коэффициентом юювносги. ИЛИ функцией готов ности А(1). Весь период эксплуатации можно представить как совокупность повторяющихся ни тервалов (рис. I), где - среднее время постановки диагноза; 1: среднее время регулирования и
восстановления; г*-среднее время работоспособного состояния; Тахс - период восстановления.
г. X X 0 0
м (X • м) X 0 ...
)* (1 ц (X I И) X ...
0 0 и (Х + ц) ...
к, 1М
—ь^-
*- ^имсі = И * ^
Ь
Рис /, '>тти коытраяьшьлоссяцпюттсхыалх работ и жсгыуиншции объекта
Следует отмстить, міх! для успешного решения комплексной диагностнко-регулировочной задачи необходимо «увязать» в единую модель и выполнять по единой методике все манипуляции периода восстановления. Для формирования модели надежности объема диагностирования (ОД) используем модель одноканальной системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием (рис. 2), состоящей ич накопителя / и одного исполнителя 2 с потоком возникающих отказов (интенсивностью X) и потоком устраненных неисправностей (интенсивностью и).
Рис. 2. МмЪшь (мЬмжаншымгй сис темы массового обаузкшачия
Исходные данные включают совокупность потенциально возможных состоянии сисгемы ЛГ(Л' - 2"' с Сщ + С*1 і С»1 і ... + С„*\ і де т количество СЬ в ОД), граф состояний системы, построенный на основе правила отбора разрешенных переходов, операторы переходов А и р. Полный граф всех возможных состоял и й включает совокупность нодсоеюяний системы, каждое из которых объединяет отказы определенной кратности, соединенные операцией ИЛИ (рік. 3)
о
и *1
2,3, , т
1Д
ЗД,....и»
1А /«п-0 к
ш 2Д. дл 1Д,., ли
1 Д,..,»! \Х ХтЛ) I О
/*«|* ,? 1'раф состояний системы с разрешенными переходами
Г)то лает возможность построигть совокупность выборок, и каждая из них будет сочетат ь определенную последовательность состояний, в которые будет переходить система с течением времени. Иными словами, здесь имеет место конечное множество сценариев развития процесса
изменения состояния системы. Для описания каждого из сценариев можно использовать типовой граф состояний в виде схемы «гибель - размножение» (рис. 4),
VlT Лд ЯцД.п
ЦШ ИЯ ИЗВ Иц»1
Рас 4, Схема trutx-xu рагмнаж^чие м
Существование вектори предельных СОСТОЯНИЙ /’(0 - (Л(*УЧ0 Л.(0У при переходе сис-
темы из одною состояния в другое, огт|тсдслснного на множестве I [«. ос ), означает, что с течением времени в системе наступав! некоторый стационарный режим (режим насыщения), civ стоящий в том, что система случайным образом меняет свои состояния, но вероятность каждого из них уже не зависит от времени, г. е. марковский процесс с постоянными интенсивностями X и [і будет эргодическим. При наступлении режима насыщения каждое из состояний реализуется с некоторой постоянной вероятностью, соответствующей среднему относительному времени пребывания системы в данном состоянии. Существование режимов стационарности позволяет подсчитать среднее время нахождения объектов н работоспособном состоянии.
Можно развивать решение задачи и в других направлениях, используя, например, интервальную арифметику и товарные модели (2J. Нели оценивать параметры компонент по вероятности принадлежности установленному интервалу работоспособности, го эта верояшосгь со временем будет убывал., В качестве основного показателя надежности можно выбрать вероятность безотказной работы /*(/), определяющей зависимость изменения вероятности сохранения параметра в заданных пределах от времени:
/”(/)=
где /**(/) - статистическая вероятность безотказной работы компонент; т количество компонент, параметры которых вышли за допустимые пределы за время /; количество компонент, работоспособных в начальный момент времени. Законы изменения Р{1) могут быть различными в зависимости ог характера откат и ттгпов составляющих компонент /’{/) = е ° - при наличии внезапных отказов; Г\і) = f\(To - />‘<тУ(/|/а) - при наличии постепенных отказов; f\t) &тр[(-Г).'2о*'| ятя описания процессов старения и др.. где К - интенсивность отказов, или статистическая интенсивность отказов = Aw'|(.V,, w)A/|. где Дш разность между количеством компонент, отказавших к момеїгту времени / * Д/, и количеством компонент, отказавших к моменту времени /; о - ередиеквадратическое отклонение; Тц - средняя наработка до отказа. Постепенным отказам предшествуюі закономерные изменения, подчиненные тем или иным статистическим законам распределения. Г)то дает возможность прогнозировать время возникновения отказа (внезапным отказам свойственны латентные накопления внутренних противоречий, груднонаблюдаемых но внешним признакам). Из основных компонент электронных схем постепенные отказы характерны дія полупроводниковых приборов (70-80%), дія конденсаторов и резисторов характерны внезапные откаты (70 ... 80% - для резисторов, 90 У3% - для конденсаторов), для трансфор-
маторов, дросселей и реле постепенные отказы составляют 50-60%' |3|,
Оптимизация систем с использованием многомерного интеграла
Л(0 = Л0'л,* ^У,(0^У,.ях)= x„,t)dx dxi ••
<5
сопряжена с трудностями, связанными с проблемой аналитического представления совместной плотности вероятности через двумерные плотности вероятности по составляющим. В работе |4] показано, что дія гауссовских и марковских процессов m-мерные плотности вероятности могут быть выражены через двумерные плотности вероятности, что может быть использовано при решении частных задач. Как правило, методика параметрической оптимизации базируется на данных о характере изменения первичных параметров объекта регулирования при сто эксплуатации. Дрейф параметров составляющих компонент во времени происходит под действием совокупио-
№ 4, л<*кабр|у 21IIВ г.
сти случайных факторов, как внутренних, гик н внешних. Эго дает право утверждать, чго ичмене-ння параметров описываются некоторым нестационарным, случайным процессом Л'{/). 11ри чтом в начальный момеш времени эксплуатации чакон распределения случайной величины параметра можег быть определен по данным о технологическом разбросе параметров составляющих компонент. Характеристики закона распределения (математическое ожидание и дисперсия) являются детерминированными функциями времени; А/{Л'(/)} м: Л/{[Д/) А/{Д/)}]2} - Дня харакче-ристики процесса дрейфа первичных параме(ров при отработке методики покомпонентного ре1у-лироваиия достаточно выбран, и качестве характеристик процесса следующие величины: математическое ожидание:
м
Л/,(/) = Л/|ЛЧО|= \х/и(х%№г»
где Д/) непрерывная функция;/,,(х, () - одномерная плотность вероятности; А///) математическое ожидание, определяемое при каждом значении параметра / по совокупности выборок .г;
- корреляционная (или ковариационная) функция:
* (',, /, У= Щ {Л'(/,) - М,« )} {X(tt) - Л/, (I,)} 1=
*• *
J/к Ч(',)1К - -",(/, )1/?,(х,, х,; t .i. yix, dx3,
•» -я
где /.) - корреляционная функция; fi£x\, .г2; /-,, />) - двумерная плотность вероятное! и, или нормированная корреляиионния функция: />) = ЛД*ь *:) У оЛ(Лгде аг(/|), а,(/;) - сред-
неквадратнческие отклонения в сечениях /| и л процесса. Дисперсия /),(/) и пЛ(/) находятся по известным Мл(1) и /3). Следует отмстит!., что в общем случае при регулировании по сово кучности m компонент, характеризуемой системой т случайных функций (.V,(/)» Л^/)), дос-
таточно располагать вектором математических ожиданий (А/г)(0 ... А/,,,(/)) и корреляционной матрицей:
W..OJ-
(А* i(!\* О"* ^;)
Изменение характеристик случайного процесса во времени приводит к смешению интервалов вероятности текущего сосюмния объекта регулирования ошосительно допустимых ннтерва-лои работоспособности. рассчитанных при аналюе статического режима и технических нара-мсгров объекта методами решения интервальных уравнений Случайная величина первичнот параметра (г (при фиксированном времени / const) связана функциональной зависимостью со случайной величиной регулировочного признака 7 посредством уравнений модели, приведенной в работе (5J:
7J = <(>|(G,,Gj,Ол),
T3 = v3(G,,G,...G„).
При покомпонентном регулировании система (1) преобразуется в систему (2) согласно рассмотренной выше методике построения диагностико-регулировочной модели:
Г,
Г, -**«?,). (2)
Плотность вероятности регулировочного признака /у при фиксированном времени / /| вы-
ряжается через плотность вероятности первичного параметра/,-системой соотношений:
/п ”<»;)• /<4(р,'и<ї!)Уі І </|фГ<т;)г'/<л; |. Л;:;: (П)=/.ІІ(ч>:<::(П))'І І <Ч»,и(Г,)]-аяі|.
Предлагаемая методика включает предварительную оценку величин интервалов изменения параметров составляющих компонент на основе анализа статического и динамического режимов работы объекта. Допустимые границы изменения параметров отдельных компонент' обычно неизвестны. Их определяют на основе статистических характеристик по паспортным данным завт>-да-изютовителя. Однако этих данных недостаточно для выполнения процедуры параметрической оптимизации, так как такой подход характеризует каждую компоненту в отдельности и не учитывает топологию всей схемы, т. е. характера соединения элементов цепи. Это снижает точность и адскватносп. регулировочной модели и метода оптимизации, а также достоверность диагноза при оценке работоспособности и решении других задич технической диагностики. Анализ статическою режима выполняется при подаче рабочего питания на объект* реіулирования. Он редел якггся допустимые границы изменения парамст|юв компонент разветвленной электрической испи при условии допустимых напряжений, і оков и мощностей рассеивания каждой компоненты в режиме покоя. Следует отметить, что задание ірвниц реіулирования двухполюсных компонент жвивалеш ной схемы объекта регулирования, исходя из точности паримеїров злекірической цени, заданных разработчиками, не обеспечивает адекватности реальному объекту. Эго объясняется теми же нричтшами: определенные статистическими методами допустимые погрешности отдельных компонент не учитывают топологические особенности схемы и влияния особенностей соединения компонент на основные характеристики схемы, которые задают область регулирования величин отдельных компонент. Дня определения границ регулирования используется следующая методика. 11а основе предварительно построенных топологических матриц объекта регулирования и основного уравнения для потенциалов записываются соотношения:
где матрица узловых проводимостей; А матрица инциденций; С диагональная матрица проводимостей двухполюсных компонент; /* матрица-столбец суммы токов источников іока и ис точников тока, преобразованных из источников ЭДС; £/*— матрица-столбец узловых напряжений. 11 качестве первоначального приближения для системы интервальных значений параметров Я. т], » - I. м, входящих в коэффициенты уравнений системы (3), будем брать оценки г раниц производственного разброса параметров компонент, полученных вероятностными методами. Используя правила интервальной арифметики, вводим интервальные числа и записываем интервальную диат опальную матрицу проводимостей составляющих компонент;
где принадлежит интервалу [р. -і- % Соотношения (3) можно зинисахь в форме интервальных уравнений
где АЛ - интервальная матрица шщидеиций: СС,„ - интервальная матрица узловых проводимостей; ии$ интервальный вектор узловых напряжений; 11п интервальный вектор источников тока. Справедливость перехода к числам и переменным в интервальной форме доказывается в рамках интервальной арифметики. Матрица ООуы вычисляется по правилам интервальной арифметики, особенности которой описаны в работе [5] и др. Матрицы ннциденций состоят из
Сум = АСА': Є - Лау/Хі, 8г,X*); = /„,
(3)
С,С = іІіаіїЮи ХХъ
6С,*, ии0 = //.; АЛ 66 А А' = <#6ум,
(4)
нуля и единицы и не требуют интервального описания, так как отражают только характер соединения двухполюсных компонент (с целью едижхй разня описания мшрина инциденций натыкается интервальной и имеем интервальное обозначение). Необходимо отметить особенности операций интерватьной арифметики, которая предусматривает как обобщенные преобразования, гак и обычные. Обобщенные преобразования (вычитание и деление) выполняются над интервалами, содержащими нуль. В силу юго что все интервальные числа и переменные не содержат нулей (g > 0). можно использовать операции обычной интервальной арифмет ики. Общепринятыми методами и на основе правит интервальной арифметики рассчитываются напряжения, токи и мощности рассеивания каждой двухполюсной компоненты цепи и проверяются условия включения полученных интервалов и допустимые пределы:
11 с Л.)да; UU с UUaan; РР с: РРтп. (5)
При ныполнении условий (5) интервалы параметров компонент Moiyi бы1ь увеличены и пределах допустимых значений при выполнении оптимизации, r противном случае их необходимо сужать.
Подводя итоги, необходимо отметить, что применение интервальных соотношений для оценки режимов использования составляющих компонент объектов регулирования и диагностики существенно повышает адекватность применяемых моделей при их использовании в качестве основы ДЛЯ построения теории и практики решения задач диагностики и параметрическою peiy-лирования.
Литература
1. Волков It.К. Зуев С.М.. Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для втузов / Под ред. В. С. Зарубина. А. П. Кришенко. М.: МГТУ им. II. Э. Баумана, 2000. 448 с.
2. Пюкке Г.А., Портнягин П.П., Кузнецов С.Е. Диагностирование электрических цепей методом ичовар У Изв. вузов. Электромеханика. - I 998. - .NV I. - С. 35-40.
3. Кузнецов С’. А'., Филее B.C. Основы технической эксплуатации судового хтектрооборудо-вания и автоматики: Учебник. - СПб.: Судостроение. 1995. - 448 с.
4. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.
5. Калмыков С. А., fНокии Ю.И., Юпдашв З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука. 1986. - 222 с.
6. Аленфеяьд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. - М.: Мир, 1987. - 360 с.
