Динамика магистрального трубопровода при действии сейсмической волны взрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 539.3:621.64

Д. М.Зарипов

ДИНАМИКА МАГИСТРАЛЬНОГО ТРУБОПРОВОДА ПРИ ДЕЙСТВИИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ВЗРЫВА

Действие сейсмической волны, возникающей в результате взрыва заряда взрывчатого вещества (ВВ) в грунтах, на магистральный трубопровод исследовано ранее [1]. Определены силы, действующие на трубопровод, напряжения и деформации трубопровода в зависимости от величины ВВ и глубины его взрыва. С использованием преобразования Лапласа по времени решены уравнения движения теории балок Тимошенко. Ниже решаем уравнение движения теории изгиба балок. Сравниваются результаты по обеим теориям. Трубопровод; грунт; сейсмическая волна взрыва; напряжения и деформации

Р. Г. Якупов

ВВЕДЕНИЕ

Наблюдения движения земной поверхности при землетрясениях и взрывах показывают, что по кинематическим и динамическим признакам сейсмические волны, возникающие и в том и в другом случаях, родственны, аналогичны и их действия на инженерные сооружения. Отличаются волны размерами источника. При взрыве ВВ параметры волны взрыва известны. Это позволяет определить предельные значения параметров волны, при которых возникают повреждения трубопровода. Работа является продолжением [1], где решены уравнения движения теории балок Тимошенко, определены напряжения и деформации в трубопроводе.

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Заряд ВВ сферической формы весом С, кг и радиусом Д0 заложен под трубой на глубине I. Трубопровод находится на глубине к. Требуется определить напряжения и деформации трубопровода, возникающие в результате взрыва заряда ВВ.

По-прежнему магистральный трубопровод моделируем тонким стержнем бесконечной длины, находящимся в грунте, и уравнение движения принимаем в форме

¿V , чЭ2Ж . .

+ Р + т2 Нт = Р(x, 0, (1)

Эх Э^

где V - прогиб, х, t - продольная координата и время, р, Е - плотность и модуль упругости материала трубопровода, ^, 3 - площадь поперечного сечения и осевой момент инерции, т2 -масса грунта над трубой, р(х, 0 - внешняя сила [1]. Геометрические параметры задачи приведены на рис. 1.

Контактная информация: (347)235-52-55

Используем безразмерные величины у х с Л V

Х = —, ^ = —, ю =—

г г t

и уравнение движения (1) приводим к виду

(2)

Э4Ю Э2Ю г р(Х,т)

--------+ У-------=-----

і4 I '"Х-2

эх 4

Эт2

ЕЗ

где

р(Х т) = р(Хо ЖХ - Хо)=Рр(Хс Жт - ЬХ)

Р(Хо) = г (Т)гаи Ф + ту (т),

Ро К0С1

Сг(т) =

а, г

Ят) =

(і - 2к2)+ 2к2 ^ ^ 2ар0 Я0е1 Г т1 У1 1 ^

V Т Т0 у

р2 а,г

т

V Т Т0 у

ь=

а, 008 у Р 2 Ъ 2

2 З 2 Е 1 т2

г =—, с2 = —, у = 1 + —^, ^ р р^

1ап| 45 + ф | -

р

р

180

45 + Ф

т2 = р2 \р(к - 0.39Ъ + к21ап(0.7ф))]

с

4

Р. Г. Якупов], Д. М. Зарипов • Динамика магистрального трубопровода...

57

5 - дельта-функция Дирака, а* - скорость продольной волны в грунте. В выражении /;(с„) сохранены обозначения [1]. Безразмерное смещение сосредоточенной силы £о = х0 /г определяется по формуле

X

г

е. а* П г а*

So =—Vх _Т1 =—TC0S¥ = ^’ ^>V

(г - Л0)?! гс В момент времени х = -----------------вер-

а,г а,г

шина сферической волны достигает оси трубопровода. Для покоящегося трубопровода, когда внешняя сила только начинает двигаться, начальные условия имеют вид

х2 = х - X! = 0, ю(Х,0) = Эю(Х,0)/Эх = 0.

Безразмерный изгибающий момент определяем по формуле

т = -

Mr Э2(0

(3)

Ы ЭХ2 ’

где М- размерный изгибающий момент.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

К уравнению (2) применяем преобразование Лапласа по времени:

СО о —

+ js со =

&^je-6(x2-XP)/x2, EJ i

(4)

где 5 - параметр преобразования, ю - изображение прогиба. После интегрирования правой части уравнения (4) получим

(0

+ 4А2ю = ке^\

(5)

здесь 4А,2 = ys2, \ = k = $r3pfc0)/EJ.

Решение уравнения (5), удовлетворяющее условиям затухания на бесконечности, имеет вид

ю = е_ч (Д sin А£, + Д eos Ai;) + Д , (6)

где А 1>2 - постоянные интегрирования, А3 = = £/s2(PV + у). Частное решение (5) определено методом неопределенных коэффициентов.

Сечение стержня х = 0 представляет подвижную заделку, где вследствие симметрии относительно оси z угол поворота касательной к осевой линии и поперечные силы равны нулю:

„ <Ш d37ü .

Постоянные интегрирования, удовлетворяющие этим условиям, равны

4 = — 1 2Х

1 + J

V 2А2у í

д = -^~ 2Х

И, Р2*2

(7)

2Х2

Д.

Подставляя постоянные интегрирования (7) в (6), получим

(0 = А

frjse~*

[(л/У + P2s)sinAX-

(yjy + p2s)cosAx]+ e~K],

m = —

^P

[(л/у-р'^тЦ

+

PV +Уз [^/47S2

+ (л/т + P'^jcos^]-ре р^}.

Оригиналы прогиба изгибающего момента находим с помощью контурного интеграла

Xl>0-

2га О, х, < 0.

Выражения оригиналов изгибающего момента и прогиба запишем в форме

Я?(Х,Х) =-*-(/!+/;

2 га

2га

(8)

где

л=-

-pt Гд*ev-^ds, V47 i

С+/00

/2 =/tp2 J^*e(Tj-R),ífe,

д* =

'-775^[('Я"Р’1,яп^+

+(Vy+p2s)cosax1 а; = ' ,

Р 5 +7

4 = s*’(pv+T)1“(l/:'“|i’l)cos>4+

+ (Vr + P20sin?^.] 4 = ^(р4‘Чту

Подынтегральные выражения в (8) обладают следующим свойством:

5 ®¥: 4(я) ® 0, А*» ® 0, A*(s) ® 0, 1 А*(я) ® 0, Пт- _ 0.

В любой момент времени т2 > 0 интегралы I и 13 не равны нулю, интегралы 12 и 14 не равны нулю при X < ^2 / Р, равны нулю при X > ^2 / Р; координата границы области равна координате подвижной силы Хз = Х0 = ^2 / Р. Все подынтегральные функции в интегралах I, (/ = 1-4) имеют простые полюсы в точках 5 = / р2).

Кроме них подынтегральные функции в 11 и 13 в точке 5 = 0 имеют ветвления, в интеграле 14 -кратные полюсы.

Контур интегрирования для 11 и 13 состоит из окружности с малым радиусом в начале координат, берегов разреза вдоль отрицательной части действительной оси, которые замыкаются окружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в комплексной плоскости.

Вычисления проводились по формуле

1 _ X гез(5) - ,

ъ

где у - пути интегрирования по берегам разреза и дуге окружности бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса окружности к нулю интегралы равны нулю.

Для расчета прогиба и изгибающего момента имеем соотношения

т2 -РХ-

Ю(Х, т) = -Т 2р2 . 1=- эш л/Т #(*2 -РХ)]

т(Х, т) = эт

л/Т

. -ЬХ)

Т2 >

(9)

,Х ч кр2 .

Ю(Х, т) =-------ЭШ

Тл/Т

т(Х, т) = ~к= эт л/Т

^2 -РХ) ^2 -РХ)

У т2 > 0.

ЧИСЛЕННЫИ ПРИМЕР

Заряд весом С = 30 кг (Д0 = 0,158 м) взрывается в песчаном грунте плотностью р2 =

= 1,53 т/м3, а* = 660 м/с на глубине I = г + к. Трубопровод диаметром В = 1 м с толщиной стенки к0 = 0,01 м проложен на глубине к = = 1,5 м, Е = 2 • 105 МПа, р = 8 т/м3, ех = = 5 • 103 м/с (рис. 1). Угол внутреннего трения песчаного грунта ф = 30°. Принимаем г = 150Д0, ^ = 0,1 с.

Расчеты проводились по формулам (9). Наибольший изгибающий момент и прогиб возникают в области - Х0 < X ^ X. По данным расчетов построены графики изменения максимального изгибающего момента ттах(т) и прогиба ю(х) в эпицентре взрыва в сечении трубопровода X = 0 в зависимости от времени (кривые 1 на рис. 2 и 3). Эти величины можно определить по формулам

_ ^р^)

УІТЕЕ

к

М(°,т2) =-(Т2 -РХ), Т2 >РХ0.

Т

Рис. 2. Графики изменения максимального изгибающего момента да(т) по времени:

1 - по теории изгиба; 2 - по теории типа Т имошенко

Рис. 3. Графики изменения максимального прогиба ю(х) по времени: 1 - по теории изгиба; 2 - по теории типа Тимошенко

Графики 2 на рис. 2 и 3 построены по результатам решения уравнений движения балки типа Тимошенко, приведенным в [1]. Прогиб трубопровода в эпицентре взрыва по теории изгиба в два раза меньше по сравнению с теорией, учитывающей деформацию сдвига, а напряжения - на 35-40% больше. Согласно теории типа Тимошенко, полный угол поворота равен