ДИНАМИКА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, СВЯЗАННЫХ С АЛГЕБРОЙ $\mathbf{SU(1,1)}$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 69-74.

УДК 517.98

ДИНАМИКА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ,

____ «_»

СВЯЗАННЫХ С АЛГЕБРОЙ SU(1,1).

В.Э. КИМ

Аннотация. В настоящей работе рассматриватеся линейный непрерывный оператор в сепарабельном пространстве Фреше, являющийся одним из генераторов алгебры Ли su(1,1). Изучается динамическая система с дискретным временем, порождаемая итерациями этого оператора. Показано, что при некоторых дополнительных условиях оператор, порождающий указанную динамическую систему, является часто-гиперциклическим и хаотическим (в смысле Девани). Указываются применения полученного результата к исследованию конкретных операторов.

Ключевые слова: часто-гиперциклический оператор, алгебра Ли.

Mathematics Subject Classification: 47A16

1. Введение

Среди динамических систем с дискретным временем важный подкласс составляют системы, описываемые с помощью итераций какого-либо одного отображения (см., например, [1], [2]). Пусть X - сепарабельное пространство Фреше, T : X ^ X - непрерывный оператор. Тогда итерации {Tn, n = 0,1, •••} задают в пространстве X дискретную динамическую систему. Существуют различные подходы к определению хаотичности динамической системы (см., например, [3]). В данной статье мы будем пользоваться определением хаотического отображения по Девани [1], [2]. Оператор T является хаотическим (по Девани), если выполняются следующие условия: 1) оператор T является топологически транзитивным, т.е. существует такой элемент x Е X, что его орбита Orb(T, x) = {Tnx, n = 0,1, •••} является плотным подмножеством в X; 2) множество периодических точек оператора T плотно в X. Напомним, что точка x Е X называется периодической для оператора T, если существует такое n Е N, что Tnx = x.

Линейный топологически транзитивный оператор обычно называют гиперциклическим оператором. Хорошо известно, что в конечномерных пространствах топологически транзитивными могут быть только нелинейные операторы. Однако в бесконечномерных пространствах существуют широкие классы гиперциклических и линейных хаотических операторов. Так, например, известная теорема Годфруа-Шапиро [4] утверждает, в частности, что все операторы свертки (кроме операторов умножения на константу) в пространстве всех целых функций H(C) являются гиперциклическими и хаотическими. В работе [5] было показано, что указанные операторы являются также часто-гиперциклическими.

Понятие часто-гиперциклического оператора было впервые введено в работе [6]. Пусть A С N - некоторое множество. Обозначим через dens(A) нижнюю плотность множества A, т.е.

dens(A) = lim inf #{П Е A : П < N} .

V.E. Kim, Dynamics of linear operators connected with su(1,1) algebra. © Ким В.Э. 2014.

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-00572, 11-01-97019).

Поступила 18 июля 2013 г.

Согласно определению, данному в работе [6], линейный непрерывный оператор Т : X ^ X называется часто-гиперциклическим, если найдется такой элемент х Е X, что для любого непустого открытого подмножества и С X выполняется: ¿ап8{п Е N : Тпх Е и} > 0. Нетрудно видеть, что любой часто-гиперциклический оператор является гиперцикли-ческим. Однако есть примеры гиперциклических операторов, не являющихся часто-гиперциклическими. Более подробные сведения об этих и других вопросах динамики линейных операторов можно найти, например, в книге [7].

В ряде работ (см., например, [8]—[11] ) исследовался вопрос о том, какие еще операторы в пространстве Н(С), помимо операторов свертки, являются гиперциклическими. Так, в работе [11] было, в частности, доказано, что линейный непрерывный неинъективный оператор Т : Н(С) ^ Н(С) является гиперциклическим, если Т удовлетворяет коммутационному соотношению

а 1

I,

где I - тождественный оператор. Известно, что коммутационное соотношение типа (1) порождает алгебру Ли, называемую обычно алгеброй Гейзенберга-Вейля (см., например, [12, с. 24]). Цель настоящей работы — показать, что свойством гиперцикличности (а также частой гиперцикличности и хаотичности) обладают также операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям, порождающим другую алгебру Ли, а именно, алгебру ви(1,1). Как известно (см., например, [12, с. 38]), генераторы К0, К_, К+ алгебры ви(1,1) удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

[Ко, К+] = К+; [Ко, К_] = —К_; [К_, К+] = 2Ко. (2)

Статья организована следующим образом. В параграфе 1 доказывается основной результат статьи (Теорема 2). В параграфе 2 приводятся примеры, иллюстрирующие применение Теоремы 2. Эти примеры показывают, что с помощью Теоремы 2 устанавливаются некоторые новые классы гиперциклических и хаотических операторов, а также, что из этой теоремы вытекают некоторые уже известные результаты о гиперциклических операторах.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этом разделе будет сформулирован и доказан основной результат статьи о гиперцик-лическом и хаотическом поведении оператора К_, удовлетворяющего коммутационным соотношениям вида (2). Для доказательства этого результата мы будем использовать следующую теорему, доказанную в работе [6]:

Теорема 1 (Г. Вауаг^ Б. Опуаих). Пусть X - сепарабельное пространство Фреше, Т - линейный непрерывный оператор на X. Предположим, что существует плотное подмножество X0 С X и отображение Б : X0 ^ X0, такие что

1: ряд ^2^=0 Тпх сходится безусловно Ух Е X0;

и: ряд ^2^=0 Бпх сходится безусловно Ух Е X0;

111: ТБх = х, Ух Е X0.

Тогда оператор Т является часто-гиперциклическим и хаотическим.

Для доказательства основной теоремы нам также понадобится следующая вспомогательная лемма.

Лемма 1. Пусть X - сепрабельное пространство Фреше, К0, К_, К+ - линейные непрерывные операторы на X, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (2). Тогда при любом п Е N выполняется

К0К+ = пК+ + К+ К0. (3)

Доказательство. Доказательство по индукции. Из соотношений (2) вытекает, что К0К+ = К+ + К+ К0. Таким образом, равенство (3) выполнено при п =1. База индукции установлена. Возьмем произвольное т Е N т > 1. Докажем теперь равенство (3) при п = т, предполагая, что (3) выполняется при п = т — 1, т.е.

К0К+т_1 = (т — ^К^-1 + К+т_1К0.

Имеем

-т-1\ _ т^т , ту- т^т-1

К0К^ = К0К+(К+т_1) = Кт + К+К0К+т_1 = = Кт + (т — 1)Кт + КтК0 = тКт + К+^К.

□

Следующая теорема является основным результатом статьи.

Теорема 2. Пусть X - сепарабельное пространство Фреше, {рк}£=1 - семейство полунорм, задающих топологию в пространстве X. Пусть К0, К_, К+ - линейные непрерывные операторы на X, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (2). Предположим, что найдется такой элемент х Е X \ {0}, что А: х Е кег К_;

В: система {К+ х, п = 0,1, • • • } полна в X;

С: при любом к Е N выполняется

г (Рк (Ктх) \1/т

11т , П2 <1;

т^<х\ (т!)2 /

Б: 2К0х = х.

Тогда оператор К_ является часто-гиперциклическим и хаотическим.

Доказательство. Докажем вначале, что

К_К+х = п2 К+_1х (4)

при любом п Е N. Проведем доказательство по индукции. Из соотношений (2) и условий А и Б вытекает, что К_К+х = х. Таким образом, (4) выполняется при п =1. База индукции установлена. Возьмем теперь произвольное т Е N т > 1. Предполагая, что (4) выполнено для п = т, докажем, что (4) выполняется для п = т +1, т.е. К_Кт+1х = (т + 1)2К+”х. Используя условия А и Б, соотношения (2) и Лемму, получаем:

К_К+т+1х = К_К+т+1 х + К+(т2К+г_1х — К_Ктх) =

= К_К+т+1х + т2К+”х — К+К_(К+*х) =

= К_К+г+1х + т2К+^х + 2К0Ктх — К_К+т+1х = т2К+*х + 2К0К+*х =

= т2К+”х + 2тК+”х + К+^^х) = (т + 1)2К+тг.

Итак, мы установили, что равенство (4) выполняется при любом п Е N. Заметим теперь, что в силу условия В множество X0 = врап{К+ х, п = 0,1, • • • } является плотным подмножеством в X. Возьмем в качестве оператора Т в Теореме 1 оператор К_ и покажем, что для него выполняются все условия Теоремы 1.

Из соотношения (4) и условия А следует, что для любого у Е X0 найдется такой номер М Е N что Кту = 0 при т > М. Таким образом, для оператора К_ выполнено условие

1 Теоремы 1. Определим теперь на множестве X0 отображение Б следующим образом:

Кп+1

Б К п = _+

+ = (п + 1)2.

Тогда, как нетрудно видеть, К_Бу = у для любого у Е X0. Таким образом, выполнено условие 111 Теоремы 1.

Заметим, что

(n!)2K ?+m т

sm кnт _ ( ) K+ т

S +T _ ((n + m)!)2 ‘

Тогда из условия C вытекает, что ряды

ГО

^ pk (SmK+), n _ 0,1, ••• m=0

сходятся при любом k Е N. Отсюда следует, что ряд ряд ^=0 Smy сходится безусловно Vy Е X0. Таким образом, условие ii Теоремы 1 также выполнено. Следовательно, оператор K_ является часто-гиперциклическим и хаотическим. □

3. Примеры

В этом разделе будут представлены примеры, иллюстрирующие применение Теоремы

2 к изучению динамики конкретных операторов. Вначале мы докажем один результат, относящийся к описанию генераторов алгебры su(1,1). В качестве следствия будут получены результаты о гиперцикличности и хаотичности некоторых конкретных операторов на примере операторов, действующих в пространстве всех целых функций H(C) с топологией равномерной сходимости на компактах. Отметим, что эквивалентное описание топологии пространства H(C) может быть дано с помощью счетной системы полунорм Pk(f) _ max|z|^k |f (z)|, k Е N.

Теорема 3. Пусть X - топологическое векторное пространство. Пусть T, A - линейные непрерывные операторы на X, удовлетворяющие коммутационному соотношению

[T, A] _ I, (5)

где I - тождественный оператор на X. Тогда операторы K_ _ T + AT2, K+ _ A, K0 _ (1/2)I + AT удовлетворяют коммутационным соотношениям (2), т.е. являются генераторами алгебры su(1,1).

Доказательство. Отметим, что из соотношения (5) вытекает, что [T, An] _ nAn_1, [Tn,A] _ nTn_1, n Е N. Используя этот факт, получаем:

[K_, K+] _ [T + AT2, A] _ [T, A] + [AT2, A] _ I + AT2A - A2T2 _ _ I + A[T2, A] _ I + 2AT _ 2K0.

Проверим теперь выполнение остальных соотношений. Имеем:

[K0,K+] _ [(1/2)I + AT, A] _ [(1/2)I, A] + [AT, A] _ ATA - A2T _

_ A[T, A] _ A _ K+;

[K0,K_] _ [(1/2)I + AT,T + AT2] _ [AT,T + AT2] _ [AT,T] + [AT, AT2].

Заметим теперь, что

[AT, T] _ AT2 - TAT _ AT2 - T(TA - I) _ AT2 - T2A + T _ -2T + T _ -T;

[AT, AT2] _ ATAT2 - AT 2AT _ AT (AT2 - TAT) _ AT (-T) _ -AT2.

Окончательно получаем:

[K0, K_] _ -T - AT2 _ -K_.

Таким образом, все коммутационные соотношения (2) выполнены. □

Следствие 1. Оператор Ф, действующий в пространстве Н(С) по правилу

Ф/(г) = / '(г) + г/"(г), является часто-гиперциклическим и хаотическим.

Доказательство. Заметим, что ^,ъ = I, где через ъ обозначен оператор умножения на независимую переменную г в пространстве Н(С). Следовательно, по Теореме 6 оператор Ф является генератором алгебры ви(1,1). Хорошо известно, что система {ъп(1) = гп, п = 0,1, • • • } полна в Н(С). Кроме того, очевидно, Ф(1) = 0, (I + 2ъ^)(1) = 1. Таким образом, условия А, В и Б Теоремы 2 выполнены. Заметим также, что

Иш (і'7” = К™ , к2/ =0, ^ Є N.

т^те V (т!)2 / т^те (т!)2/т

Таким образом, условие С Теоремы 2 также выполнено, а значит, оператор Ф является часто-гиперциклическим и хаотическим. □

Отметим, что гиперцикличность оператора вида (6) следует также из результатов работы [9], так как этот оператор является частным случаем оператора Гельфонда-Леонтьева.

В следующем утверждении уставливаются новые классы гиперциклических и хаотических операторов в пространстве Н(С).

Следствие 2. Пусть Т - оператор в пространстве Н(С), действующий по правилу Т/(г) = Р(^)/(г) — г/(г), где Р Є Н(С) - некоторый многочлен. Тогда оператор

Ф = Т + £ т2 я *

стве Н(С!).

Ф = T + T2 является часто-гиперциклическим и хаотическим оператором в простран

Доказательство. Заметим, что T, -jZ = I (см. [9]). Следовательно, по Теореме 6 оператор

Ф является генератором алгебры su(1,1). Из общей теории линейных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости следует, что найдется такая функция F Є H(C), что F Є ker T, F ф 0. В [9] было показано, что система {F(n), n = 0,1, • • • } полна в H(C). Кроме того, очевидно, Ф^) = 0, (I + 2-jzT)(F) = F. Таким образом, условия A, B и D Теоремы 2 выполнены. Заметим также, что при любом k Є N выполняется

Um (Pf!? )1/m « lim (f" = їг4г = 0.

(m!)2 / km(m!)2 / k(m!)1/m

Таким образом, выполнено условие C Теоремы 2. Следовательно, оператор Ф является часто-гиперциклическим и хаотическим. □

Приведем пример конкретного оператора в пространстве H(C), удовлетворяющего условиям Следствия 2. Если в качестве оператора T взять оператор T = -jZ — z, то в качестве функции F можно взять функцию F(z) = exp(z2/2). Тогда оператор Ф будет иметь вид Ф/(z) = /'''(z) — z/"(z) — /'(z) — zf(z). Согласно Следствию 2 этот оператор является часто-гиперциклическим и хаотическим оператором в пространстве H(C).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. R. Devaney An introduction to chaotic dynamical systems. Addison-Wesley. 1989. 336 p.

2. M.W. Hirsch, S. Smale, R. Devaney Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. Elsevier. 2004. 417 p.

3. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. К вопросу об определении хаоса // Успехи математических наук. Т. 64, № 4. 2009. С. 125-172.

4. G. Godefroy, J.H. Shapiro Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds // J. Funct. Anal. V. 98, № 2. 1991. P. 229-269.

5. A. Bonilla, K.-G. Grosse-Erdmann On a Theorem of Godefroy and Shapiro // Integral Equations and Operator Theory. V. 56. 2006. P. 151-162.

6. F. Bayart, S. Grivaux Frequently hypercyclic operators // Trans. Amer. Math. Soc. V. 358. 2006. P. 5083-5117.

7. K.-G. Grosse-Erdmann, A. Peris Manguillot Linear chaos. Springer. 2011. 386 p.

8. H. Petersson Supercyclic and hypercyclic non-convolution operators // J. Operator Theory. V. 55, № 1. 2006. P. 133-151.

9. Ким В.Э. Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки, порождаемых операторами Гельфонда-Леонтьева // Матем. заметки. Т. 85, № 6. 2009. С. 849-856.

10. J. Conejero, V. Muller On the universality of multipliers on H(C) // J. Approx. Theory. V. 162. 2010. P. 1025-1032.

11. V.E. Kim Commutation relations and hypercyclic operators // Archiv der Mathematik. V. 99. 2012. P. 247-253.

12. Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и некоторые их применения // Успехи физических наук. Т. 123, № 1. 1977. С. 23-55.

Виталий Эдуардович Ким,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]