CC BY
23
Рис. 5. Участок движения по дуге окружности
На первом участке движения границы устойчивости представляют собой отрезки прямых. С течением времени зона неустойчивого движения уменьшается, и, начиная с определенного момента времени, движение становится устойчивым при любом возможном значении коэффициентов вязкого сопротивления аь а2.
На рис. 1 представлены два соударяемых тела. Точки Б и Б , принадлежащие первому и второму телам, в момент начала удара занимают положение точки Б. Точка Б принята за начало координат. Ось х
На втором участке наблюдается обратная картина. В начальные моменты времени возможно устойчивое движение при любых допустимых а!, а2, а затем появляется зона неустойчивого движения, которая расширяется с течением времени.
Кроме того, построение границ устойчивости проводилось в пространстве параметров (V, сь с2, 1). Были построены аналогичные семейства кривых в плоскости (с!, с2). При этом значения коэффициентов вязкого сопротивления а! = а2 = 1 Н-с/м (рис. 4, 5).
Кривые строились в диапазоне изменения жестко-стей от 0 до 5000 Н/м. Однако на полученных графиках жесткость пружины горизонтального привода ограничена слева значениями не более 2000 Н/м. Это связано с тем, что при меньших значениях с! устойчивость возможна лишь при очень больших значениях жесткости с2, намного больше 5000 Н/м.
На первом участке граница устойчивости с течением времени смещается вниз. Кроме того, видно, что жесткость с!, в рассматриваем диапазоне, слабо влияет на устойчивость системы.
На втором участке граница также смещается вниз с течением времени и, начиная с некоторого момента, движение становится устойчивым при любом значении жесткостей в рассматриваемом диапазоне их изменения.
Полученный результат дает качественную картину поведения рассматриваемой системы и является отправной точкой для дальнейшей, более точной оценки устойчивости ее возмущенного движения и методов ее повышения.
Литература
1. Пат. РФ №2101434 С1 от 10.01.1998 / М.Д. Бондаренко, В.Т. Загороднюк, Д.М. Крапивин; Новочеркасский государственный технический университет.
2. Притыкин Д.Е., Кабельков А.Н. Решение первой задачи динамики робота-манипулятора на базе пантографного механизма // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 2.
3. Огурцов А.И. Основы аналитической механики. М., 2000.
17 ноября 2004 г.
направлена по общей нормали к телам в точке Б. Оси у 2 лежат в касательной плоскости, проходящей через точку Б. Центры инерции соударяемых тел лежат на оси х, их координаты С1(-х1,0,0), С2(х2,0,0).
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
УДК 624.042.8
ДИНАМИКА КОСОГО УДАРА ДВУХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
© 2005 г. Е. У. Жариков
У _
Ю 20
Рис. 1. К динамике косого удара двух твердых тел
Постановка задачи
По заданным скоростям центров инерции тел
2 * ,У02 у 2 2 )> а также заданным угловым скоростям этих тел ю10 (ю10 *, ю10 у, ю10 7),
ю 20 (ю 20 *, ю 20 у, ю 20 7) в момент начала удара определить
скорости центров инерции Ис (Ис1х,И у,И ),
Ис2(Ис2х, Ис2у, Ис 7) а также угловые скорости
J' c1xx (ю u1x Ю10 x ) J c1xy (ю Hjy Ю10 y ) -Jc^z (Ю u,z -Ю10 z ) = Mc1x (S1) = 0 -Jc1yx (юи1х -Ю10х ) + Jc1yy (юи1у -Ю10у ) --Jc1yz (Ю uz -Ю10 z ) = Mc1y (S1) = -xc1 P1z , -Jc1zx (Юи 1x -Ю10х ) - Jc1zy (Юи1 y -Ю10 y ) + +Jc1zz (Ю u1z -ro10z ) = Mc1z (S1) = xC1 P1y , m 2 (Uc2 - Vc2) = -(iS 1x + JP,y + kP1z),
(6)
(7)
Jc
■2xx (Ю u 2x -Ю 20 x ) - Jc 2 xy (Ю u 2y -Ю 20 y ) --Jc 2xz (Ю u 2z -Ю 20 z ) = Mc 2x (S '1) = 0,
c 2x
-J - J
c 2yx ((0u 2 x -Ю20 x ) + Jc 2yy (Ю 2y -Ю 20y ) -
c 2yz (Ю u 2 z -Ю 20 z ) = Mc 2y (S '1) = -xc 2 P1z > Jc 2 zx (Ю u 2x -Ю 20 x ) - Jc 2 zy (Ю u 2y -Ю 20y ) + +J c 2 zz (ю u 2z -Ю 20 z ) = Mc 2z (S ,1) = xc 2 P1y •
(8)
этих тел Ю1 (ю1х, Ю1 y, Ю 1z X Ю 2(ю 2 x ,Ю 2 y , Ю 2z )
в мо-
Конец первой фазы удара заканчивается равенст-
мент конца удара. Считаются данными массы этих тел вом скоростей точек О и Б.
т1, т2, а также осевые и центробежные моменты инерции этих тел относительно центров инерции С1, С2.
В основу решения задачи положена двухфазная модель удара. В связи с этим в расчетную схему удара вводятся скорости центров инерции тел и ^ (V ^ V ^ у ,ис1г), ис2(ис2Х, ис2у, V Сг2), а
Скорости этих точек определяются равенствами:
УО' = V^ -юи. хТ., УО,, = йс_ -ю„. х7.
Из равенства скоростей точек О', О" следует
Uc -Uc =Юu хrc -Юu хrc •
c1 c 2 u1 c1 u 2 c 2
(9)
также угловые скорости Юu1 (юu 1 x > Юu1y > Юu1z X
юи2К2*> юи2у> Ши27X соответствующие концу первой фазы удара.
В момент первой фазы удара ударный импульс 5" 1, приложенный в точке О', определяется формулой:
^ = 751* + ~]Р\у + кРг, (1)
где 51х - нормальная составляющая импульса 5х, а Р\у, Ръ - касательные составляющие импульса 5х, направленные по осям у, 7.
Ко второму телу в точке О приложен импульс 5 ,
5 '1 = -51 = -(751* + 1РХу + кР12). (2)
Ударный импульс второй фазы, приложенный в точке О' , представим равенством
52 = 752* + 1Р2 у + кР2 7. (3)
Ко второму телу в точке О приложен импульс 5' 2 :
5'2 = -52 = -(752* + 1Р2у + кР27) . (4) Уравнения удара
Первая фаза:
т^ - Ус1) ='51* + 1Р1у + кРъ, (5)
Векторное равенство (9) является дополнительным уравнением динамики удара первой фазы. Вторая фаза удара:
т1(Ис1 - йс1) = 52 = ("5 2* + 1Р2у + кР2 7), (10)
-1с^ (ю1* -ю и1* ) - ■1с1*у (ю1у -ю и1у ) -
-Jc\xz (ю17 -юи1г) = Мс1* (52) = 0. Jc1xУ (ю1* -ю и1* ) + -ТЛуу (ю1у -ю и1у ) -
2у7 (ю17 -ю и1г ) = Мс1у (5 2) =-*с1 Р2 7 , (11) JclZx (ю1* -ю и1* ) - ■/с1ту (ю1у -ю и1у ) + +-7с177 (ю17 -ю и 1г ) = МС7 (5 2 ) = *с1 Р2 у ,
т 2 (И с 2 - йс 2) = 5 '2 =-(752* + 1Р2у + кР2 7), (12)
-1 с 2** (ю 2* -ю и 2 * ) - -1с 2 *у (ю 2 у -ю и 2 у ) -
u 2 x
u 2 y^
-Jc
-Jc
:(Ю 2 z -Ю u 2 z ) = Mc 2 x (S 2) = 0, (Ю 2 x -Ю u 2x ) + Jc 2yy (Ю 2 y -Ю u 2y ) -
с 2 у*
2 у7 (ю 2 7 -ю и 27 ) = Мс 2у (52) =-*с 2 Р2 7 , (13) 27* (ю2* -юи 2* ) - -1с 27у (ю 2 у -юи 2у ) +
+^с2(ю 27 -ю и27 ) = Мс27 (52') = *с2 Р2у .
В пяти векторных (5), (7), (9), (10), (12) и в двенадцати скалярных (6), (8), (11), (13) уравнениях содержатся 30 неизвестных величин, а в скалярных уравнениях удара - 27.
Одним из дополнительных равенств системы уравнений удара является коэффициент восстановления к , определяемый нами соотношением:
к = ^. (14)
5 1х
Остальные, недостающие, уравнения получим, исходя из следующих соображений. По аналогии с сухим трением, динамические касательные импульсы представим равенствами:
Р^и , Р2у=/152х , (15)
, Рг/^х (16)
Дополнительно введенные равенства (14)-(16) делают систему уравнений удара разрешимой.
Определение искомых величин И И с ю1, ю 2
Сложив одноименные части уравнений (5), (10) и (7), (12), получим:
т (И с! - Ул) = (71 + 7/ + /2 )(1 + к) 5 !х , (17) т 2 (Ил - ¥с2) = -(71 + 7/1 + к/2 )(1 + к)51х. (18)
Сложив построчно (6) и (11), а также (8) и (13), получим:
'7с1хх (ю1х -Ю10х ) - •1о1ху (ю1у -Ю10у ) -
^е^(ю и -ю 10 *) =0;
-'1с1ух (ю1х -Ю10х ) + '1с1уу (ю1у -Ю10у ) -
-3Сху2 (ю1г -юшг) = -(1 + к)/251х; (19)
-'7с1гх (ю1х -Ю10 х ) - '1с ! гу (ю1у -Ю10у ) +
+•1е1гг (ю1г -Ю10г ) = (1 + к)/151х ;
-1с 2хх (ю 2 х -ю 20 х ) - -1С 2 ху (ю 2 у -Ю 20у ) -
--1е2хг (Ю 2г -Ю 20г ) = 0
- '1с 2ух (ю2х -ю20х ) + Jc2yy (ю 2 у -Ю 20у ) -
- J с 2уг (ю 2г - Ю 20г ) = -(1 + к)/2 51х ; (20)
- с2гх (ю2х -Ю20х ) - '1с2гу (ю 2у -Ю 20у ) +
+-1с2гг (Ю 2г -Ю 20г ) = (1 + к)/151х.
Из равенств (17) - (20) следует: искомые величины И с, И с ю 1, ю 2 определяются по формулам (17) -
(20) при условии, что параметры 51х , / , /2 будут выражены в функции заданных величин.
Предварительно создадим математическую базу зависимостей, лежащих в основе определения параметров 51х , /1 , /2.
Сложив уравнения (5), (7), получим:
т1^С;х + т 2ис2 = тУс1 + т 2^С 2.
Из последнего векторного равенства следуют три скалярных:
Из векторного равенства (9) следует:
и - ис 2 х = 0, (24)
с1 х с 2х ' 4 '
ис1у - ис2у =-(хс!ю В1г + хс2 ю и 2г ), (25)
ис1г - ис2г = хс!Ю и1у + хс2 Ю и 2у. (26)
Определяем 51х.
Равенство (21) с учетом равенства (24) примет вид:
(т1 + т 2)ис1х = т1^х + т 2Vc2x. (27)
Из векторного уравнения (5) следует:
и =V +^
С1х С1х
1 1 т1 Подставив значение и с х в равенство (27), получим:
= _ m1m2 V _ v )
1x , ^ clx С2x' •
mx + m
(28)
2
Определяем /¡, /2.
Умножим равенство (25) на т2 и, сложив результат с (22), найдем:
(т 1 + т 2)ис1у = т1^у + т 2 Vc 2у --т 2 (хс! Ю и ¡г + хс2 Ю и2г ).
Из векторного равенства (5) следует:
Р1
(29)
UCiy = y +■
iy
Подставив и в (29), получим:
т1т 2(Vc1 у - ¥с , у ) = -(т1 + т 2)Р1 у -
_m1m 2 (xc1 ЮuF + xc2 Ю u 2z )•
(30)
По теореме Крамера из уравнений (6) и (8) выра-в функции ударных импульсов Р1 у ,
зим Юu1z и Юu2z
Plz •
Определители систем уравнений (6) и (8) имеют вид:
(31)
J С1ХХ J c1xy J c1xz
А1 = _ J С1 Ух J C1 yy ~ J c1 yz
J C1ZX _Jc1zy J c1ZZ
J c 2 xx _ J c 2 xy Jc 2 xz
А 2 = J c 2 yx J c 2 yy _Jc 2 yz
J c 2 zx _ J c 2 Z Jc 2 zz
(32)
Из уравнений (6), (8) следует:
А13
Ю u1z Ю10 z = '
Ю u 2 z _Ю
23
20z
где
m U c1x + m 2Uc2x = m Vc1x + m 2Vc2x, (21) J cx _ J c1xy 0
m Uc1 y + m 2Uc2y = m Vc1 y + m 2Vc 2 y , (22) А 13 = J c1 yx J c1 yy _xc1 P1z
m 1Uc1z + m 2Uc2z = m Vc1z + m 2Vc2z • (23) J c1zx _ J c1zy xc1 P1y
(33)
(34)
2
A 23 =
J c 2 xx J c 2 xy 0
J c 2 yx J c 2 yy
- Xc2 Piz
- J - J X P
u c2zx c2zy Ac2 1 y
(36)
Подставив (33), (34) в равенство (30), получим:
m1m 2 [Vqy - Vc2y ) + (xc1 »10 z + Xc2 » 20z )] =
= -(m1 + m 2)P1y - m1m 2(-
Xcj A 13 Xc2 A 23
A i
- + -
). (37)
2 2 x ai3 xc2 a234 m1m2 1 + (—1-+ —2-)-1——
1
2
x2,b13 x22b23, m1m2 (—1-+ —2-)-1——
1
2
f1 -Л-
(40)
(41)
Ucz = ^z +
m
(42)
ю u 2y в функции P1y , P1z.
Определители этих систем уравнений даны формулами (31) и (32).
Из теоремы Крамера следует:
А,
Ю u1y Ю10 y
» u 2 y » 20 y = '
12
(43)
(44)
где
1,2
A 22 =
J c1xx 0- Jc1xz
= £ - - x1 P1z - j c1 yz
-J c1zx xc1 P1 y Jc1zz
Jc 2 xx 0- J c 2 xz
J c 2 yx - xc2 P1z - Jc 2 yz
- J c 2 zx xc2 P1y J c 2 zz
Раскрыв определители А13, А 23, будем иметь:
А13 = xc 1(ai3Py - bi3Piz), (38)
А 23 = Xc2(«23P1y -b23P1z), (39)
где
a13 = J C1XXJ C1yy J C1XyJ c\yx, a23 = J c 2XXJ c^yy J c 2xyJ c 2yx, b13 = Jc1xxJc1zy + Jc1xyJc1zx, b23 = J c2xxJ c2zy + Jc 2xyJc 2zx •
(39')
Подставив значения (38), (39) в равенство(37), учитывая (15), (16), (28) , получим
Vc1 y Vc2y ) + (Xc1 »10z + Xc2 » 20z ) =
V - V ~
c1X c2x
Подставив (43), (44) в равенство (42), получим:
m1m 2 [(Vc1z - Vc2z ) - (xc1 »10y + Xc2 » 20y )] =
= -(m + m2)P1z + mm2(Xc1 ^ + Xc2 ^j-22) (45)
А1 А 2
Раскрыв определители А12 и А 22, найдем:
А12 = Xc1(a12 P1z + b 12 P1 y), (46)
А 22 = Xc2 (a22P1z + b22P1y) (47)
Подставив (46), (47) в равенство (45), имеем:
Xc1 »10y + Xc2 » 20y )
(Vc1z - Vc2z ) - (xc, »10 y + xc2 » 20 y )
(V - V )
V c1x c 2 x f
,x\b 12 x^2b22 s mm2 (—1-+ —2-) 1 2
A 2 m1 + m 2
2 2 x a12 xc2 a 22 m1m 2 1 - (—1-+ —2-) 1 2
A 2 m1 + m 2
f1 + f2,
(48)
Равенство (40) является уравнением с неизвестными /1,/2.
Второе уравнение получим аналогичным образом. Умножим равенство (26) на т2, результат сложим с равенством (23), найдем:
(т1 + т 2)ис,г = т,ГС12 + т 2ГС 2г +
+т 2 (ХС, Ю и,у + Хс2 Ю и 2у ).
Из векторного уравнения (5) следует:
где
а12 = —'' С,ХХ'С,Т2 + Jc1xzJc1zx, а22 = — Jc2xxJc2zz + 'С^'С-^ , Ь12 = • С,хх' С,ут + • с^хт' С,ух, Ь22 = • С2хх' С2УТ + • С2Хт' С2УХ'
(49)
Равенства (40), (48)составляют систему двух уравнений с неизвестными /1, /2.
Выпишем систему уравнений [(40),(48)]
1+
^ xc1 a13 x2, a 23 ^
1 +-2-
A1
2
m1 m 2
m1 + m
Подставив U в равенство (41), будем иметь:
m1m 2 (Vc1z - Vc2 z ) = -(m1 + m 2 )P1z + +m1m 2(xc1» B1y + Xc 2 » u 2y
Из системы уравнений (6) и (8) выразим » и
7„ 2
xc1 b13 + xc2 b 23
A1
Y„ 2
4 2
m1 + m
xc1 b12 + xc2 b 22
M 2
2
1-
xc1 a12 + xc2 a22 A 1 A 2
m1 m 2
m1 + m
f1 -f2 = Ay, f1 + f2 = A2
(50)
где
. = (Vc1 y - Vc2y ) + (xc1 ю10z + xc2 Ю 20z ) Ay =-,
y V - V
c1x c2x
(Vc1z - Vc2z ) - (xc1ro»10y + xc2 » 20y )
Az =
V - V
c1x c2x
Определитель системы уравнений (50) имеет вид
2 2 х а1Ъ хс a23 m1m2 1 + (—1-+ —2-)- 1 2
А f =
А1 А 2 m 1 + m 2
хС1 ¿13 хС21 b 23 m1m 2 -(—1-+ —1-) 1 2
1
А 2 m1 + m 2
,х\ b12 хС^2 b 22 m1m 2 (—1-+ —2-) 1 2
1
А 2 m1 + m 2
2 2 х а12 хс2 а22 . m1m2 1 - (—1— + —2-) 1 2
1
А 2 m1 + m 2
(51)
По теореме Крамера определяем неизвестные /ь /
f1 =
Л,
А,
хс1 b13 + х22 b 23
1
2
2
4 2
m1 + m 2
1-
л „ ^
хс1 а12 + хс2 а 22
А1
m1m 2
m1 + m 2
f2 =
2
А f
.2 „ А
(52)
хс1 а 13 + хс2 а 23
2
х2 b12 х22 b22 ^ -1-+-2-
1
2
m1 + m 2
Л,
Л,
А
(53)
f
m1
' с1У с1у S
m1
1х .
Ис, = V^ + f2(1 + к)
m
Ис 2« = V^ - (1 + к) ^; И с 2, = Vc 2, - f1(1 + к) ^;
^^ 2 ^^ 2
S1 х
И с 2 z = Vc , z - f2(1 + к)
2
Определитель системы уравнений (19) имеет вид:
А1 =
J
- J
- J с
с1хх
с1Ух
- J
с1Ху
J
- J
с1 уу
сх
- J
с1уг
- Jс
J с
С\2Х С12у
Согласно теореме Крамера неизвестные определяются равенствами:
0 - - 3
(ю1х -ю10х) =
с1ху
-(1 + к ) f2 S 1х Jcxyy
(1 + к) f,S 1 х - Jc„
c^z
- J
c1yz
J
с1,
(ю1у -Ю10 у ) =
J
- J
- Jc
сх
с1 Ух
А1
0
- Jc
с^
- (1 + к) f2 S 1х - J
с1
(1 + к) fvS 1
Jc
10 у /
(Ю 1, -юш z ) =
А1
J с 1хх - J с1ху 0
- Jc1 ух J с1 уу - (1 + к) f2 S 1х
Jс lZX - J cz (1 + к) f1S 1х
А1
Неизвестные ю 2(ю 2х, ю 2у, ю 22) находим из системы уравнений (20). Определитель этой системы имеет вид:
А 2 =
Jc
- J<
- Jc
- J
2 Ух
c 2 хУ
J
- J
2 уу
с 2 х,
- J
2 Уz
- Jc
Jc
где А^ А2, А/ определяются из (31'), (32), (51).
Остальные параметры определяются из (39'), (49).
Определив ^ (28), /1 (52), /2 (53), найдем все искомые величины.
Из равенств (17) и (18) следует:
Исух = УСуХ + (1 + к) ^; ИС1у = Усу, + /1(1 + к) ^;
с 2 2Х с 22у с 22
Искомые ю 2(ю 2Х, ю 2у, ю 22) определяются равенствами:
0 - 3с „, - 3
(Ю 2 х -Ю 20 х ) =
с 2 хУ
с 2хz
-(1 + к ) f2 S 1х Jc 2уу
(1 + li)f1S 1х - JJc2гу
- Je Jс
'2 Уz
А2
(Ю у -Ю 20 у ) =
J с 2 хх
- J
0
- J,
2xz
с 2 ух
- Jc
- (1 + к) f 2S 1х - Jc2z
(1 + к) f1S 1х Jc 2zz
Из системы уравнений (19), (20) определяются
ю^х, ю^у , ю1г ), ю 2 (ю 2Х , ю 2у , ю 2г ).
(Ю 2 z -Ю 20 z ) =
А2
J с 2 хх - J с2ху 0
- J 2 ух J с 2 уу (1 + к) f2 S!x
Jс 2 ^^ - J с 2 z (1 + к) f1S 1х
А2
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
15 ноября 2004 г.
