Динамика грунтовых вод водохранилищ электростанций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Т, = Т2 у' = Т,(1 -у1)/р.

1=0

При х=т получим

т, = т,(1 - ут)/р.

Тогда

Т, = (ут, +1)(1 - ут)/р

или после преобразования получим

Т, = (' - ЕП)/РЕП, Т, = 1 + рТ,(1 - ут)/р = 1/ут.

Определение Тт позволяет выразить искомое среднее время Т<т>(Ж) = (1/ут-1) + (1 - Ет)/Ет .

Анализ этого уравнения показывает, что W не может быть равно "+1" или "-1", так как в первом случае возникает поглощающее состояние, а во втором - автомат находится в соответствующем подавтомате лишь один такт.

Значение Тт>{Щ резко возрастает с ростом т, что целесообразно исследовать для практических задач обеспечения достоверности передачи.

Определение Тт>{Щ показывает, что а-оптимальность выполняется при произвольных значениях Ж" и Ж". Учитывая предложения по оценке W(yk) и исходя из выигрыша времени передачи, можно сделать вывод о целесообразности применения данного семейства автоматов для разработки адаптивных автоматных систем управления в условиях недостаточности априорной информации об объекте управления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Срагович В.Г. Теория адаптивных систем управления. - М.: Наука, 1976.

2. Финаев В.И. Моделирование при проектировании информационно-управляющих систем. - Таганрог: Изд-воТРТУ, - 2004.

3. Варшавский В.И. Коллективное поведение автоматов. - М.: Наука, 1973.

А.А.Афонин, В.В.Ершов

ДИНАМИКА ГРУНТОВЫХ ВОД ВОДОХРАНИЛИЩ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ

Грунтовые воды являются наиболее важным элементом системы водных ресурсов, использующей воду для повседневных нужд населения, промышленности и сельского хозяйства. Управление водными ресурсами предполагает не только обеспечение необходимым количеством воды и высоким ее качеством, но и принятие решений в случае загрязнений ее промышленными и сельскохозяйственными отходами, проседания почвы в районе производственных скважин, а также (для приморских городов, таких, как Таганрог) засоления ее морской водой. Для этого требуется мониторинг, основанный на математических моделях, включающих

уравнения математической физики, описывающие динамику движения грунтовых вод в указанных условиях. Решение уравнений математической модели, описывающей фильтрацию грунтовых вод в реальной области, является откликом этой системы в ответ на вышеуказанные внешние воздействия. Реакция лица, принимающего решение, должна быть адекватной.

При контакте прибрежных горизонтов с морем имеет место такое явление, как интрузия, или вторжение, морской воды в грунт с последующим вытеснением пресной воды, текущей к морю. Как правило, вторгшаяся морская вода образует «язык», а поверхность раздела имеет форму, близкую к параболе.

В первом приближении интерфейс между пресной и соленой водой можно считать четким, однако реально, ввиду гидродинамической дисперсии, обе жидкости смешиваются, что приводит к размытию интерфейса. Интерес представляет изучение формы и мощности переходной зоны, а также динамики этой зоны с течением времени и при наличии различных источников и стоков.

Эта задача тем более актуальна, если в прибрежной зоне имеются скважины, предназначенные для откачки пресной воды из водоносного горизонта. Интрузия может вызвать засоление скважин, поэтому численные расчеты движения интерфейса при различных условиях могут помочь в выборе режима скважины. Помимо прочего, становится возможным установить потери пресных вод в результате разгрузки ниже уровня моря.

Одной из возможных моделей динамики пресных и соленых вод в прибрежной зоне является модель смешивающихся жидкостей, в которой пресная и морская вода рассматриваются не как отдельные фазы, а как неоднородная однофазная жидкость с переменной плотностью и

вязкостью, зависящими от концентрации одного флюида в другом [1].

Основными уравнениями модели служат уравнение неразрывности, уравнение Дарси и уравнение конвекции-диффузии. Как правило, в прибрежных водоносных горизонтах градиент напора невелик, и скорость фильтрации мала. Поэтому все уравнения построены с учетом закона Дарси, справедливого для небольших градиентов напора (при малых числах Рейнольдса) и связывающего поток жидкости с этим градиентом [1].

Уравнение неразрывности и уравнение Дарси связывают основные характеристики жидкости, такие, как, давление, плотность, скорость,

вязкость, и характеристики водоносного горизонта, такие, как проницаемость, пористость. Третье уравнение (конвекции-диффузии) учитывает гидродинамическую дисперсию и связывает концентрацию одной жидкости в другой со скоростью флюида.

Уравнения движения жидкости имеют вид 1 ди = F 1 п дt р

-V -(ри) + f = п — , дt

п = div(DVC) - uVC ,

дt

Vp и ,

или, в скалярной форме,

Р ди а др V

п дt

др

п— + Т —

д а=1 дх

дхс

д

-т и а - УРР]1 к

(иар) = У

дС *

п— + 2 иа

дt а. а

дС

дха

-2

а=1

д

(

дх

D

а

дС

дха

Л

= 0

а у

где и и р - скорость и давление жидкости, р = р(С) и /л = ^(С) -плотность и вязкость жидкости, к = к(х,у,2) и п = п(х,у,2) -

проницаемость и пористость среды, D = D(x,y,z) - коэффициент диффузии, С - концентрация одного флюида в другом, а функция У(х,у^) описывает источники в модельной области.

Начальные условия для уравнений движения:

иа(х,У^Ло) = Uа0(x,У,z),

С(х,у^^о) = С0(х,у^).

Необходимо задать также начальное положение свободной поверхности.

На границах области необходимо задать давление и компоненты скорости как функции времени (в частности, на свободной поверхности давление равно нулю, а на непроницаемых границах равны нулю нормальные компоненты скорости). Концентрация (или ее нормальная производная) также задана на границе как функция времени.

В некоторых случаях полученную модель можно упростить, сведя ее к двумерной. Например, когда к побережью примыкает горизонтальная система водоносных слоев значительной площади, а береговая линия не слишком изрезана (отсутствуют мысы, косы), достаточно рассмотреть движение жидкости в одном или нескольких вертикальных срезах, чтобы получить полную картину.

Получим дискретные сеточные уравнения, позволяющие решить задачу численно. Для этого, прежде всего, перейдем в уравнениях движения к новым безразмерным независимым переменным так, чтобы п = 1.

Рассмотрим регулярную область П, показанную на рис. 1.

Рис.1

Введем в О равномерные прямоугольные сетки по пространственным

переменным и по времени: а а = {ха \ ха = iаhа , Іа = 0^а }

®т={tn\tn = пТ , п = 0,^т}.

Уравнение конвекции-диффузии запишем в виде дифференциальнооператорного уравнения:

— + АС = 0, А = АО) = КО) + й, t>0,

dt

с начальным условием С(0) = С0.

Здесь РС - оператор диффузионного переноса

РС = -2

д

а=1 ил а

дха

Б(х)

дС

дх

а у

КС - оператор конвективного переноса в недивергентной форме

КС = 2 Па(х,і)

дС

а=1 дха

Аппроксимируем со вторым порядком дифференциальный оператор О разностным

р=2 р

(а)

Р(а)у = -(*< )х , х Е®,

положив

а=1

а '(х) = Б х1 —~^,х2,х3 |, а( '(х) = Б

V

,х3

2

2

V * )

Конвективные слагаемые аппроксимируем с первым порядком, используя направленные разности на разнесенных сетках:

з [ъ(а)у- + Ь(а)у И < х < I — И

К = ^ К (а) К (а) у = \ ух« °— -Уха , Иа - ха - 1а Иа ,

а=1 V , ха = 0 , ха= 1а ,

положив

Ъ(а)(х) = иа(х) ,

Ъ+(х) =1 (ъ( ()+\Ъ( х)|) > 0,

Ъ—(х) =1 (ъ( х) — |Ъ( х)|) < 0 ■

После дискретизации по пространству приходим к дифференциальноразностному уравнению:

— + К(і)у + йу = 0 , х є ш, і > 0 .

Жі

Расщепляем задачу на две решаемые последовательно подзадачи (расщепление по физическим процессам) [2,3]

Иу<1>

у + К(і)у(1) + йу = 0, Іі < і < і]+1,

Жі

+ К(і)у(1) + йу(2) = 0, і, < і < і,+1, Жі 1 1

с начальными условиями

у'"(0) = С0, уІ2)(І,) = /"(І,+і).

Можно показать, что эта схема аппроксимирует исходную задачу в суммарном смысле.

Поставим каждой подзадаче в соответствие чисто неявную схему:

..П+1/2 — уп

+ К (гМІ2)уп"'2 + Оуп = 0,

0,5т

, 0)

у п+1 — у п+1 2

-----+ К«п,„2 )уп+12 + Оу-+' = 0.

0,5т

На первом полушаге на верхний слой выносится конвективный перенос, на втором - диффузионный. Можно показать, что полученная схема безусловно устойчива [2].

В случае двумерной области О для решения полученной выше системы сеточных уравнений можно воспользоваться попеременнотреугольным методом, а в трехмерном случае можно произвести

х1 , х2

дальнейшее расщепление каждой подзадачи на ряд локально-одномерных схем, также аппроксимирующих подзадачи в суммарном смысле.

Сеточные уравнения, соответствующие первому уравнению модели, имеют вид

иТ — к

р—-------а = - р

т

п+1 г*1 п+1 ^ У7

-т иа — 8Р^*3

к

Эти уравнения позволяют найти скорость флюида на новом временном слое явным образом:

и

п+1 1,1+1/2

2п+1 п+1

Х +12 рі+1

п+1

Рї+1/2

п+1

И

п+1 2п+1

Рг і І+1!2 ип

1,г+1І2 '

т '

и

2,1+112

пп+1 п+1

Л}+1/2 Р1+1 - Р

п+1

п+1

Рг+1/2

И2

1

лп+1

I Л1+12 ип ^ и 2,1+12

(2)

т

X

п+1

и

3,1+12

Хп+1 пп+1 п+1

1+12 р1+1 р1 + 1+12 ип — хп+1 _

п+1 и _ 3,1+12 А1+12Ь ■

Р1+12

И3

т

где

у}п+1 Х+12

п+1

р+12

п+1 п+1

р+12 + "і+1/2

т

кг

г+1/2

Наконец, определим поле давлений. Разностная соответствующая уравнению неразрывности, имеет вид

схема,

рП+1 — Р'1 и1,г+12р+12 и1,г-1/2р-1/2 и2,]+12Р]+12 и2,]—1І2Р]—1І2

п+1

п+1

п+1

п+1

п+1

п+1

п+1

п+1

■ +

т

И

+-

И

- +

п+1 ^П+1 1 П+1 глП+1

+ и3,1+12Р1+12 — “'3,1-112^1-112 _ Г к3 “ '

Подставив в это уравнение скорости (2), получим схему

Рп+1 ъп+1 Уг+1 Х+1/2 '

И2

Рп+1 Рп+1

рг— + Х+1 Рг

рГ+1

4—12

И2

лп+1 — Х+12 '

~п+1

3+1

. п+1

п+1

И2

- + Х1!,2-

п+1

3—1

И2

(3)

Хп+1 рТ+1— рТ1 + х

— Л1+12--------Т2------+ Х1

И2

п+1 р1

12

рі-

И2

п+1

где

pn+1 Р

т hjZ h2T

h3T

Полученная неявная разностная схема безусловно устойчива и аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком. Решение системы уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями для двумерной области также можно получить попеременно-треугольным методом.

Уравнения полученной дискретной модели решаем в следующем порядке:

1) находим концентрацию С из системы уравнений (1), используя значения концентрации и скорости на предыдущем временном шаге и граничные условия (затем находим р и |J как функции C);

2) находим поле давлений из системы (3), используя значения давления на предыдущем временном шаге и граничные условия;

3) находим поле скоростей по явной схеме (2), используя полученные ранее значения скорости и давления;

4) находим новое положение свободной поверхности с учетом полученного распределения скоростей.

Расчеты, произведенные для двумерной модели в регулярной области (рис.1) с использованием аддитивных схем расщепления, приводят к следующим результатам. Четкая в начальный момент времени граница раздела между пресной водой, текущей к морю, и неподвижной морской водой с течением времени размывается, однако границы переходной области близки к параболической форме. Морская вода образует клин, направленный вглубь водоносного горизонта, причем его длина зависит от величины потока пресных вод и давления пресной и морской воды. При увеличении потока пресных вод увеличивается область разгрузки, расположенная ниже уровня моря. Наконец, при наличии стоков (скважин), расположенных вблизи берега, форма интерфейса и величина интрузии морской воды меняются: при откачке пресной воды клин соленой воды растет, поверхность раздела изгибается, а свободная поверхность понижается вблизи скважины.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bear J., Verruijt A. Modeling Groundwater Flow and Pollution, D.Reidel Publishing Company, 1987.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. - М.: Наука, 1999.

3. МарчукГ.И. Методы расщепления. - М.: Наука, 1989.

Н.И.Чернов