CC BY
21
19. Ошхунов М.М. Об оценке систематических ошибок при проведении рефлексометрических обследований / М.М. Ошхунов, З.Х. Абазова, Б.Х. Хацуков, В.К. Кумыков // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2013. - № 1. - С. 197-200.
20. Абазова З.Х. Гипокситерапия в комплексном лечении аутоиммунных тиреопатий / З.Х. Абазова, В.К. Кумыков, А.Х.М. Байсиев, М.К. Эфендиева // Вопросы курортологии, физиотерапии и лечебной физической культуры. - 2006. - № 3. - С. 11-13.
21. Колчинская А.З. Основные вехи развития науки о гипоксии / А.З. Колчинская, З.Х. Абазова, В.К. Кумыков, Б.Х. Хацуков // Проблемы социальной гигиены, здравоохранения и истории медицины. - 2002. - № 2. - С. 52.
22. Абазова З.Х. Об условиях и границах применимости формулы Хагена-Пуазейля для оценки тиреоидного статуса на состояние кровообращения / З.Х. Абазова, В.К. Кумыков, Б.Х. Хацуков, М.К. Эфендиева // Вестник новых медицинских технологий. - 2013. - № 1. (Электр. журнал) URL: http://www.medtsu.tula.ru/VNMT/BuUetin/E2013-1/00.html (дата обращения:
01.02.2013).
Урман Ю.М.1, Лапин Н.И.2
'Доктор физико-математических наук, профессор, Нижегородский государственный педагогический университет имени
К.Минина; 2Старший преподаватель, Нижегородский государственный педагогический университет имени К.Минина ДИНАМИКА ДИАМАГНИТНОГО РОТОРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Аннотация
В статье рассмотрено - вычисление моментов, действующих на диамагнитный ротор в магнитном поле, находятся первая и вторая гармоника, что позволяет рассмотреть угловые движения ротора. Записываются осредненные уравнения движения, выявляется характер движения вектора кинетического момента и движения относительно вектора кинетического момента.
Ключевые слова: левитация, неприводимый тензор, силовая функция.
Urman Yu.M.', Lapin N.L2
'Doktor of Physical and Mathematical Sciences, Nizhny Novgorod State Pedagogical University K.Minina; 2Tutor, Nizhny Novgorod
State Pedagogical University K.Minina DIAMAGNETIC ROTOR DYNAMICS IN A MAGNETIC FIELD
Abstract
In the article - the calculation of the moments acting on the diamagnetic rotor in a magnetic field, are the first and the second harmonic, which allows to consider the angular movement of the rotor. Averaged equations of motion are written, revealed the nature of the vector of the angular momentum and the motion with respect to the angular momentum vector.
Keywords: levitation, irreducible tensor, force function.
В работе [1] показано, что потенциальную энергию произвольного по форме и размеру диамагнитного тела в неоднородном магнитном поле можно представить в виде
U = ^ ЕЛ + " + q + L++ _,0 {la, в a. }qf r--% (er )Jv)
4 i,.,л (+n+q - 1) (l+n - q - 2)
(1)
x
Здесь
= -1
/^0
Cq0
- магнитная восприимчивость, l-10 n-10 - коэффициенты Г лебша - Г ордана [2]. На основании правила
q l - n < q < l + n - 2
треугольника для коэффициентов Глебша - Гордана, индекс принимает значения . Кроме того
l + n + q , an
накладывается условие на сумму трех индексов 1 , которая может быть только четной. Величины n - есть
коэффициенты разложения потенциала внешнего магнитного поля на магнитные мультиполи в окрестности начала опорной
3l„ (r)= rlr„, (e r) ¥„, (e „)
системы координат в ряд по шаровым функциям lm
e ч
направления единичного вектора r ), определенная без множителя
^27+1
- сферическая функция (функция, зависящая от
4^
[2]. Выражение в круглых скобках - скалярное l
(A, ■ B,)=ЕA,Л
произведение двух неприводимых тензоров, определяемых по правилу
{a, в a } = Е ai а Cf
К l n)qs lm ns-m lmns-m
Im^lm
m=-1 [2]. При этом в формуле (1)
J rl+n-2YqdV
тензорное произведение связано с полем, а тензор - с телом ротора.
Для нахождения поля достаточно ограничиться первыми неисчезающими членами. Это связано с тем, что при разложении магнитного поля на мультиполи получается ряд, который сходиться на конечном расстоянии. Так, система токов, состоящая из двух витков с противонаправленными токами, будет определяться магнитным квадрупольным моментом, то есть второй гармоникой разложения потенциала. Поэтому рассмотрим только случай, когда магнитное поле состоит из однородной и градиентной составляющих.
Приведем несколько примеров:
1) Если в формуле (1) l = n = 1, то
1 2
и = 4 хм0 a1V
(2)
Из (2) следует, что взаимодействие однородного поля с диамагнитным телом произвольной формы не зависит от поворотов
2) В формуле (1) l n 2 (градиентное поле), тогда
U = 4 хм0
J r 2 dV -J 7 ({a 2 в a2 I' 12 )
a2 Jr 2
J r2 dV
(3)
12s =J r %s (e r )dV -
В выражении (3) - неприводимый тензор ранга 0, а - момент инерции тела единичной
плотности - неприводимый тензор второго ранга. Если тело по форме эллипсоид, то вычисления представленных тензоров
9
j r" dV = 1 (a2 + b2 + c-У
j r %, (e, )dV
f
I-0 = — (-c 20 10 v
2 - a2-b 2
b2 У, In = I, -2 = } j|(b! - a2 У, 12, = I, -1 = 0
a, b, c
где ’ ’ - главные полуоси эллипсоида, а
тело в градиентном поле, определяется выражением
M1 =-,V35 ХП {{a2 ®«ъ } ®12 }
3) В формуле (1) П ^ 1,2 , тогда
V = — mbc
3
(—)
- объем эллипсоида. Момент силы, действующий на диамагнитное
U =
М0Х
4
ai2 V - Vio ({ai ®a2 }• I1 ) + a22 j Г 2dV - ^({a2 ® a2 }• 12 )
(5)
следовательно, момент сил, действующий на диамагнитный ротор, в поле, состоящем из однородной и градиентной составляющих, определяется формулой
Ml = 2,45MXga, ® 02 }i ® Ii}i -u!3in—L{{a1 ® a, } ® I,}
(6)
Аналогично можно рассмотреть влияние на диамагнитное тело полей более сложной конфигурации.
I1 = f rY1ndV = f rdV = rcV
В формуле (5) величина J и J - есть вектор центра масс однородного по плотности тела.
Поэтому, если в качестве начала системы координат выбран центр масс, то влияние момент сил от однородной составляющей поля равно нулю.
Рассмотрим подвес, образованный двумя круговыми токами, направленными навстречу друг другу. Первый неисчезающий член разложения потенциала на оси относительно точки, в которой центр подвеса совпадает с центром масс тела, имеет вид
P2 (c0sP)= a2 2 - 2 (х 2 + У 2 )J
(Ро = a2Г РД
если сила тяжести действует вдоль оси подвеса, то тело сместиться и разложение потенциала на оси относительно центра подвеса будет иметь вид
Ро = a2 (z + Z0 )2 - 2 (x 2 + У 2 ) = 2a2 ZZ0 + a2 I Z 2 - ^ (Х 2
2(х 2 + y 2 )j+<
здесь 0 - сдвиг центра масс диамагнитного тела вдоль направления силы тяжести относительно центра подвеса.
Таким образом, в новой системе координат, связанной с центром масс ротора, появится однородная составляющая поля вдоль оси системы
Hz = 2a2Z0 = ai (7)
F =-v(u xa2z2) = -2 n
и, следовательно, появится сила z vr*°A 2 °/
(5) после подстановки в нее выражения (7).
{°xa2 z0 , которая находится дифференцированием формулы
„ -n0xa■2 z 0 = mg
В состоянии равновесия 0 2 0 ,
Z 0 =
mg
откуда
— n0Хa2
то есть смещение тела зависит от величины
магнитного квадруполя.
Рассмотрим теперь угловые движения диамагнитного тела. Для этого введем следующие системы координат:
. X, (, = 1,2,3)
опорная, связанная с подвесом,
Z,
связанная с твердым телом. Вращение тела относительно неподвижной точки можно
рассматривать как наложение двух движений: движение относительно кинетического момента и вместе с кинетическим моментом.
Y Y3
Поэтому введем еще одну систему координат 1 , которая связана с вектором кинетического момента тела К. Ось 3 сонаправлена
К Z й
с вектором К, оси системы i направлены вдоль главных центральных осей эллипсоида инерции тела с моментами инерции
A, B, С п Xt Y
соответственно . Переход от системы координат i к i осуществляется путем двух последовательных поворотов на
сферические углы
р,а
последовательных поворотов на углы Эйлера
характеризующие положение вектора кинетического момента в системе
а, 0,у
X
YZ
а от 1 к
после трех
к
В качестве переменных, задающих движение тела относительно неподвижной точки, выберем: величину кинетического
р,о а, В,у
момента, углы , .
Моменты (4) и (6) малы в силу малости величины магнитной проницаемости и для анализа движения тела можно применить аппарат асимптотических методов теории колебаний [3], который позволяет переменные, описывающие движение, разделить на
10
быстрые и медленные. Обычно основное значение для анализа возмущенного вращения тела имеет характер изменения медленных переменных, эволюция которых описывается системой дифференциальных уравнений, более простой по сравнению с исходной системой.
V
Различный вид эволюционных уравнений рассмотрен в [4]. Мы возьмем вторую форму, где под 1 будем понимать усредненную по быстрым переменным силовую функцию (3).
Чтобы провести осреднение, преобразуем силовую функцию к фазовым переменным задачи. Получаем
JJ 1
U = 4 хро
a2 jr 2dV -J2 0 a2 LDl'k p,0)DiP,y\1
где
d';„ (M
(8)
матрица конечных вращений [2].
X
Для осесимметричного поля ось ‘ *3 опорной системы координат совпадает с осью поля, поэтому индекс m 0. Следовательно, силовая функция не зависит от угла 6 . Осреднение силовой функции сводится к осреднению по свободному движению, которое представляет собой движение Эйлера - Пуансо. В работе [4] показано, что в нерезонансном случае, когда частоты свободного движения несоизмеримы, осреднение можно проводить двумя независимыми этапами: сначала по & , а затем по полодии.
Не нарушая общности, будем считать, что
1
U = 4 хро
A ^ B ^ C . Осредняя по углу & получим, полагая в формуле (7)
2
mf = 0
jr 2dV -Л 2 {а2 0 а2 }20 P2 (c0S р) Ё D02m" (0, Рг\ 1
а\ | r 2
2 m"
m =-2
(9)
D02m"(0, Р,У) = Y2 -m’^P.r)
2
Ё D2
Z^-^Om
m "=-2
D0m-(O, P,r)l2m-=(Y, • 12 )
Y iK j Y'n(r)dt
Осреднение по полодии сводится к вычислению интегралов вида [5] эллиптический интеграл первого рода.
Осредненная силовая функция с точностью до константы будет иметь вид
где K - полный
U = - i ХРо ^2 (а2 0 а2 }20 ((Y2 ) • 12 )P2 (C0S Р)
Уравнения эволюционных движений
1 дШ) д( U
Кр = —:------3—-, K sin 6 =
(10)
Sin р 6
др
(11)
дают следующую картину движения диамагнитного тела в осесимметричном подвесе. Вектор кинетического момента, не
меняя углового положения относительно оси поля прецессии
(р = const)
прецессирует вокруг оси с постоянной угловой скоростью
=
3 cos р0 1 2 К 4
ХРо^2(а2 0а2 }2о ((Y) •12)
'0 ' , (11) а вокруг вектора кинетического момента тело совершает свободные движения Эйлера - Пуансо
= B *
. Картина движения не меняется, меняется
Е б (A = B * C) ^ = P2 (cos 0)
Если тело обладает осью симметрии v ', то ' ' .
только скорость прецессии.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ грант № 12-01-31133
Литература
1. Урман. Ю. М., Бугрова Н. А., Лапин Н. И. О левитации диамагнитных тел в магнитном поле // Журнал Технической Физики.- 2010.- № 9.- С. 25-33.
2. Варшалович Д. А., Москалев Ф. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента- Л.: Наука. Ленин. отд., 1975.- 439 с.
3. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики .- М.: Наука, 1969.— 380 с.
4. Урман Ю. М. Неприводимые тензоры и их применение в задачах динамики твердого тела // Механика твердого тела.-2007.-
Т. 1, № 6.- С. 52-68.
5. Денисов Г. Г., Урман Ю. М. Прецессионные движения твердого тела под действием моментов, имеющих силовую функцию // Изв. АН СССР. МТТ.- 1975.- № 6.- С. 5-14.
2m
m.m ,m
Малеев В.А.
Курган Лифт ЗАО
ТП(ПВД), ИЛИ «ТЕОРИЯ ПАРАДОКСАЛЬНОСТИ (ПРОСТРАНСТВА, ВРЕМЕНИ, ДВИЖЕНИЯ)» ЧАСТЬ №2.А
Аннотация
Наблюдаемые нами свойства трёхмерного пространства, это лишь частный случай поведения (ПВД). В настоящей работе сделана попытка осуществить универсальный подход к рассмотрению динамики тела (m) в поле тела (M) при квантовании движения. Применён ключевой тезис о том, что сила 2- составная. Что позволило в частности осуществить вывод формул 4-х видов взаимодействия...
Ключевые слова: Сила импульса действия, лучевая компонента, компонента зарядового потенциала, шаг масштаба.
Maleev V.A.
11
