CC BY
34
4/2010 ВЕСТНИК _МГСУ
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ УСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ МНОГОКАНАТНОГО ПОДЪЁМНИКА (ЛИФТА) В ПУСКОВЫХ
РЕЖИМАХ РАБОТЫ
DYNAMIC EQUATIONS OF MOTION MULTI-CABLE HOIST (ELEVATOR) IN THE STARTING MODES
С.Ю. Бархаев S.Yu. Barkhaev
ГОУ ВПО МГСУ
Составлены дифференциальные уравнения движения лифта с учётом изменяющихся жесткостей ветвей канатов, а также механической характеристики двигателя.
Account of dynamic factors of the vibrational branches ropes eliminates slippage while keeping them and thus reduce the wear of the working groove pulley. This is due to the safety and longevity of operation of elevators.
Опыт эксплуатации лифтов показывает, что износ и работоспособность такого важного органа как канатоведущий шкив зависит от физических особенностей взаимодействия каната и ручья этого шкива. Обычно при этом выделяют упругие перемещения каната относительно рабочей поверхности шкива, а также проскальзывания как отдельных канатов по всей дуге обхвата, вызванные неравномерным распределением натяжений между ветвями канатов на стороне кабины или противовеса, так и одновременные динамические проскальзывания всех канатов по шкиву в период неустановившихся режимов работы (пуск, торможение).
Как известно, условие непроскальзывания каната по шкиву выражается формулой Эйлера:
гтнб
S, * f, (1)
где S"6, S°6 - натяжения набегающей и стягивающей ветвей каната;
f - приведенный коэффициент трения между канатом и шкивом; а - угол обхвата канатом канатоведущего шкива.
Изменение натяжений ветвей каната Бнб и Бсб в значительной мере определяется динамическими процессами при пуске подъемника. Понятно, что при этом необходимо рассмотреть колебательные процессы, возникающие в системе кабина - канат -шкив - противовес (рис 1).
При решении этой задачи следует учесть, что в каждую ветвь включена пружина 4 или 5. При многоканатном подъеме (обычно число канатов n > 3) они используются как подвески кабины и противовеса. Кроме того, пружины обеспечивают и определенную степень выравнивания натяжений между ветвями канатов, что необходимо для
равномерного износа канавок шкнва 3 и сохранения одинаковой их тяговой способности.
Жесткость ветви каната изменяется в зависимости от высоты подъема кабины 2 или противовеса 1, т.е. зависит от координат Х2 и Х1 ( см Рис 1 ). Так приведенные жесткости набегающей и сбегающей ветвей каната в функции этих координат равны:
ЕЕ
->нб Сп
С
г • Г "Р и V Г
нб пр ^кан п ~ л2 пр
С + Сн6 ЕЕ С„„
пр ^кан С +--1 , пР /ТГ у \
С"Р + и - 1 + ^ (Н ' Х2>
-,сб С„
н - Х2 ЕЕ
ЕЕ
С •С пР и а- С
гсб= пр кдн = _п0 + Х1 = _^пр__(2)
° г + гсб ЕЕ С ' (2)
СкйН С- + ^ 1 + ЕЕ о* + Х1)
Здесь Спр - жесткость пружины; Е - модуль упругости каната;
Е - площадь поперечного сечения каната (Б = 0,785 с|, где сСк - диаметр каната);
И0 - расстояние от оси канатоведущего шкива 3 до крайнего верхнего положения кабины или противовеса.
Поскольку удельное значение масс противовеса 1, кабины 2, канатоведущего шкива 3 в общем балансе приведенных весов являются определяющими, то динамические уравнения рассматриваемой машины в период её пуска можно составить как для трехмассовой механической системы.
Решение поставленной задачи выполнено на основании уравнений Лагранжа второго ряда. При этом обобщенными координатами выберем Х1 и Х2, характеризующие абсолютные движения противовеса и кабины, а также угол поворота ф канатоведущего шкива. ( см. Рис 1 )
Указанные уравнения запишем в следующей форме:
С (дт) Ж = О .
Щ) ^ 1 >
Л
с (ж) - Ж = О .
Л (ж) Ж
Л
д = О . (3)
Здесь Т - кинетическая энергия системы;
Оь О2, О9 - обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам Х1, Х2, и ф.
Известно, что исследование динамики машины, включающей упругий массивный канат переменной длины с подвешенной к его концу сосредоточенной массой, сводится к интегрированию дифференциальных уравнений в частных производных и представляет собой достаточно сложную и громоздкую задачу. Вместе с тем пренебрежение массой каната вносит в ряде случаев (когда вес каната соизмерим с весом
4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ
груза) заметную погрешность. Эта погрешность может быть уменьшена, если к массе концевого груза прибавить некоторую часть массы каната.
Согласно методу Рэлея задается закон изменения деформацией каната вдоль его длины и устанавливается, что для учета кинетической энергии каната при колебаниях рассматриваемой системы достаточно к массе концевого груза добавить одну треть массы каната.
Кинетическую энергию системы можно представить таким выражением:
1
Т = -2
[ + Щ+Л 2 + ° + Щ^Ы) . X22 + I ^ 3g ! ^Ч 3g /
(4)
где О], О2 - вес противовеса и кабины соответственно;
10г - приведенный к канатоведущему шкиву момент инерции вращающихся частей привода;
9 - погонный вес каната.
Деформации набегающей и сбегающей ветвей будут такими:
еб хт
4 =Х1 -г ,
нб у
5 = Х 2 - г ,
где г - радиус навивки каната на шкив.
Тогда модули сил упругости этих ветвей равны
С
ЕГ = Ссб . (X, - г )= С пр- (X1 - г) ;
1 + (К + X,)
С
ЕГ = Снб . (X 2 - г ) =-^- (X1 - г) . (5)
1 + ЕЕ (н+х 2 >
Последовательно сообщая системе независимые между собой возможные перемещения ¿Х1, 5Х2, 8(р (см. Рис 1) и определяя соответствующие выражения элементарных работ сил, действующих на данную механическую систему, найдем следующие значения обобщенных сил:
01 = О + 3 9 (К + Х1) - С(X1 -г9) = О1 + 3 9 (К + Х1)-С
пр-(X - гф) ;
1 + К + X1) Ее
02 = - Ог -3 д (Н - X 2)-Снб (Хг -тр) = - о2 -3 д (н + Х2) -
С,
1 + ^ (Н + X,) ЕЕ 2
■ (Х2 - г$>) ;
(6)
0, = Мвр + Сс6 (X, - г<?) • г + Сн6 (Х2 - тд>У г =
С • г
= М„ + ""
1 + ^Т (А + X1) ЕЕ
(X - гр) + ^ • г-(Х2 - гф)
1 + ^ (Н -X2)
Сдвиг
Рис. 1. Расчётная схема лифта
С достаточной точностью можно предположить, что изменение вращающего момента электродвигателя привода от пускового М0 ДО максимального Мтах
[ы0 < Мвр < Мтах ] происходит по линейному закону:
Мер = Мо+ Л = Мо+ Л • ,
, М тах - М 0 11
где л =-- коэффициент возрастания пускового момента.
(7)
Определим производные в уравнениях Лагранжа (3) с учетом выражения кинетической энергии (4):
Л ст
& ЛХх
[ + здт (Ао + X1)
X + т^'Х2
3 я
1
тах
4/2010
ВЕСТНИК
_МГСУ
А (АХ2Мg + зg (Я - ^
2 .
3 g ^ '
(8)
ат 1
£Х1 2 3 g ат 1 9
9 . Г2 •
л 1 ;
АХ,
2 3 g
• X 2 ;
А ^АТ^ А А '
£Т
т=0
Подставляя полученные значения производных и обобщенных сил с учетом равенства (7) в исходные уравнения (3), получим искомую систему дифференциальных уравнений движения рассматриваемой механической системы:
[ + 3- к + X1)
• X,
9 6 g
9
■ X 12 =
С
= О1 + | К + X1)
ир
С
г );
1 +
пр
ЕЕ
К + Xl)
[ + (н - X2)
• Хо
6 g
• X 2 =
-О2 + 3 (Н - X2)■
С
пр
С
г )
(9)
1 +
ир
С пр ' г
С
(Xl-г )--
ЕЕ С
(Н + X 2 )
пр
1 +
пр
ЕЕ
К + Xl)
С
■с X 2- г; = м0
1+-^ (И - X2 ) ЕЕ v 2/
Решение полученной системы дифференциальных уравнений сводится к отысканию функций обобщенных координат в виде:
*1= Х1(1), Х2=(1), = .
(10)
(громоздкое решение этих уравнений здесь опускается)
Имея функции (10), легко установить характер изменения упругих деформаций ветвей канатов и их натяжений по высоте подъема кабины или противовеса на основании формулы (5).
г
Г
к
О
Условие непроскальзывания канатов (1) по канатоведущему шкиву в пусковом режиме может быть записано в развернутой форме:
= С • (Х2 - тф) = EF + ^ -(hp + Xi).(X2 - пр) ^ f Sс6 Сс6 • (Xi - тф) EF + Спр • (H - X2 ).(Xi - тф) e
При известных уравнениях XI = Xl(t), Х2 = X2(t), у = y(t) и, следовательно, при известных ускорениях X1 , X2 , ф , которые найдены с учетом упругости ветвей канатов и колебательных процессов системы, можно определить оптимальное значение коэффициента тяговой способности y = dа, исключающего проскальзывание канатов в режимах пуска машины (чрезмерное увеличение этого коэффициента приводит к конструктивным усложнениям).
Заметим, что очень часто расчет тяговой способности канатоведущего шкива ведется по ускорению, сообщаемому приводом подъемника кабине или противовесу, пренебрегая при этом упругостью ветвей канатов, что приводит к существенным ошибкам при высоте подъема более 40 метров.
Итак, учет динамических колебательных факторов ветвей канатов позволяет исключить одновременное их проскальзывание и тем самым уменьшить износ рабочих канавок шкива. Это связано с обеспечением безопасности и долговечности эксплуатации лифтов.
Литература
1. Давыдов Б.Л., Скородумов В.А. Статика и динамика машин в типичных режимах эксплуатации. М.: Машиностроение, 1967.
2. Комаров М.С. Динамика грузо-подъемных машин. М.: МашгиЗ,1962.
Literature
1. Davydov B.L., Skorodumov V.A. Statika i dinamika mashin v tipichnix rezhimax ekspluata-cii. M.: Mashinostroenie, 1967.
2. Komarov M.S. Dinamika gruzo-pod"yomnyx mashin. M.: MashgiZ, 1962.
Ключевые слова: канат, подъёмник, натяжение, кабина, противовес, подвеска, канатове-дущий шкив
Key words: rope, hoist, pulling, cab, counterweight, suspension, traction
129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26, КМК, 534,536 ауд; тел.(факс): (499) 183-24-01
Рецензент: A.A. Ионов, профессор кафедры строительных и подъёмно-транспортных машин ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета
