CC BY
100
ИНФОРМАТИКА
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ТРАФИКА ИНФОРМАЦИИ
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10049
Буслаев Александр Павлович,
МАДИ; МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]
Кучелев Денис Алексеевич,
МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]
Яшина Марина Викторовна,
МАДИ; МТУСИ, Москва, Россия, [email protected]
Ключевые слова: информация, вычислительные сети, пакетная передача данных, клеточные автоматы, моделирование трафика на сетях, модель следования за лидером, кластерная модель потоков на сети, динамические системы, стационарные режимы, марковские процессы.
Современные достижения в области электроники и вычислительной техники, бурное развитие телекоммуникационных технологий, Интернета и социальных сетей привели к возникновению новых научных направлений, в частности, теории информации, теории алгоритмов, теории вычислимости, новым разделам математической логики, информатики, кибернетики и др. Анализируются процессы научных исследований, начиная от Н. Винера и К. Шеннона, до современных принципов функционирования вычислительных сетей, методов коммутации и способов передачи данных. Уже в начале прошлого века возникли фундаментальные проблемы при описании сетевых процессов с большим количеством узлов. Первые автоматизированные телефонные станции обеспечивали одновременное соединение всех возможных пар абонентов, рост номерной емкости порождал сложность и высокую стоимость коммутационных матриц. Возникла проблема доступа к ограниченному коммутационному ресурсу. А.К. Эрланг начал исследования в данной области, разработав методы оценивания числа абонентов, одновременно обращающихся к сети, которые положили начало развитию теории очередей (массового обслуживания). Эта концепция сетевого моделирования, основанная на стохастическом подходе, предполагает специальные допущения на свойства потоков событий (требований) в сети, а именно, выделяется класс устойчивых независимых распределений бесконечно-делимых случайных процессов, простейшие пуассонов-ские потоки, показательное распределение времени обслуживания и т.п. Поэтому это направление сыграло выдающуюся роль в развитии теории сетевой передачи данных при относительно небольших нагрузках.
Моделирование поведения передачи данных в сети с насыщенными потоками потребовало дополнительных ограничений на их свойства, что далеко не всегда очевидно, (например, распределение времени обслуживания, очередь и т.д.). Многие вопросы были связаны с функционированием аппаратной части сети, архитектурой и поведе-
нием каналов при значительной нагрузке. Это проблемы привели к конвергенции сетевых моделей транспорта в широком смысле (перемещение масс, метаболизм, строение и свойства материалов и др.). Основой действий явилась развивающаяся вместе с инфоком-муникационной аппаратурой теория клеточных автоматов. Делается обзор базовых моделей теории транспортных потоков на улично-дорожных сетях. Отмечаются также актуальность описания насыщенных транспортных потоков. Формулируется кластерная модель потоков на сетях, разрабатываемая научной группой Буслаева А.П. и Козлова В.В., которая синтезирует основные положения теории транспортных потоков - волновую модель (Lighthill, Whitham), клеточные автоматы (Nagel, Schreckenberg) и модель Follow-the-Leader Model (Greenshilds).
Вводится классификация кластеров по типам взаимодействия - сжимаемые и несжимаемые кластеры. Для контурных сетей на базе кластерной модели в случае несжимаемых на регулярных сетях предложена информационная модель передачи сообщений. Разработано приложение "MultiClock", которое позволяет моделировать динамическую систему, с носителем из контурных блоков, сопряженных в заданных точках-узлах, и несжимаемыми кластерами, проводить имитационные эксперименты и снимать предельные характеристики динамической системы. Исследовано поведение динамической системы "Ожерелье" и ее вариаций в зависимости от параметров, найдены точки фазового перехода.
Для сетей с пакетной передачей информации и с буферизацией узлов разработана модель динамической системы на сети с узлами с составной структурой, называемыми клетками. Алгоритмизация логистики (маршрутизации) пакетов задается последовательностью номеров вершин с использованием представления вещественных чисел в позиционных системах счисления. С помощью приложения "MultiClock" исследованы свойства поведения таких динамических систем в зависимости от базовых параметров.
Информация об авторах:
Буслаев Александр Павлович, д.ф.-м.н., профессор, Московский автомобильно-дорожный технический университет (МАДИ); зав.кафедрой, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), профессор, Москва, Россия Кучелев Денис Алексеевич, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), Москва, Россия Яшина Марина Викторовна, д.т.н., к.ф.-м.н., профессор, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), зав.кафедрой, Московский автомобильно-дорожный технический университет (МАДИ); профессор, Москва, Россия
Для цитирования:
Буслаев А.П., Кучелев Д.А., Яшина М.В. Динамические системы и математические модели трафика информации // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №3. С. 22-38.
For citation:
Buslaev A.P., Kuchelev D.A., Yashina M.V. (2018). Dynamical systems and mathematical models of information traffic. T-Comm, vol. 12, no.3, pр. 22-38. (in Russian)
-е-
Uвеление. Информационнаяреволюция пашни XXI века
Компьютер и вычислительные сети явились основой технологическом революции конца прошлого века и начала нынешнего. Широкое распространение получили такие технические реализации коммуникационных сетей, как вычислительные сети, телефонные сети, сети сотовой свят, сети кабельного телевидения и т.д. С одной стороны, этим технологическим достижениям предшествовали теоретические открытия в естественно-научных областях наук, физики, электроники, математики, с другой стороны, потребности их развития привели к возникновению новых научных направлений, в частности, теории информации, теории алгоритмов, теории вычислимости, новым разделам математической логики и тем, что принято относить к Computer Science.
Информация и формы представления
Известное изречение Н, Винера, "отца" кибернетики (1948), [I, 2], - "Информация - это не материя и не энергия, информация — это информация"— подчеркивает широту и неоднозначность этою термина. Таким образом, Н, Винер полагал, что этот термин близок к таким философским категориям, как движение, бытие, сознание. В различных областях науки это понятие специальным образом конкретизируется, например, теистическая информация в биологии, информация как товар или ресурс в экономике и юриспруденции и т.д.
Специализированная система всемирной стандартизации КОЛЕС в стандарте но Информационным технологиям (ИТ - открытая распределенная обработка), [2|, определяет информацию как знания о фактах, событиях, вещах, идеях и понятиях, которые могут быть переданы другим пользователям. Согласно ГОСТ 7.0[3], информация— это сведения, воспринимаемые человеком и (или) специальными устройствами как отражение фактов материального или духовного мира в процессе коммуникации.
Математическая энциклопедия (1972), [4], лает следующее определение... "информация - это основное понятие в кибернетике. Кибернетика изучает машины и живые организмы исключительно с точки зрения их способности воспринимать определенную информацию, сохранять эту информацию в "памяти", передавать ее по каналам связи и преобразовывать в "сигналы", направляющие их деятельность в соответствующую сторону, ... фундаментальным результатом теории информации является то, что в определенных условиях можно пренебречь качественными особенностями информации и выразить ее количествен по"...(оцифровать). Этим, в частности, определяется возможность передачи информации по каналам связи, обработка и хранение. Статьи в [4], связанные с понятием "информация", "количество информации", "каналы связи" отсылают читателя к основным положениям теории информации К. Шеннона, [5].
Сообщения и связь
В 1948 году были изданы "Кибернетика" Винера и статья К.Шеннона "Математическая теория связи", |5], положившая начало т.н. теории информации. В современной научной литературе ее принято называть Теорией информации Шеннона-Колмогорова. отдавая дань вкладу академика Л.Н.Колмогорова, пополнившего идеи К.Шеннона глубокими математическими основаниями, [6].
Источником информации является любой объект веденной, порождающий сообщения, которые могут быть перемещены в пространстве и времени. Сообщение рассматривается как элементарная порция информации, В [51, (стр.243) отмечается, что "Основная задача связи состоит в точном или приближенном воспроизведении в некотором месте сообщения, выбранного для передачи в другом месте."
Переходя от абстрактной модели выбора элементов из заданного множества к процессам передачи данных, на сгр. 245 определяется, что понимается под сообщением в контексте описания системы связи. «Сообщения мо!ут быть различных типов: а) последовательность букв (телеграф и телетайп), б) некоторая функция времени / (') (радио или телефония), в) функция времени и других переменных (черно-белое телевидение), г) две или несколько функций времени (трехмерная передача звука), д) несколько функций от нескольких переменных (цветное телевидение), е) различные комбинации (телевидение со звуком).»
Согласно К.Шеннону, [5], система связи состоит из пяти частей. (1) Первая — источник информации, создающий сообщение. (2) - передатчик, (3) - канал, (4) — приемник, (5) - адресат, лицо или аппарат, для которого предназначено сообщение, рис. 1.
Источник иформации
Передатчик
Адресат
Канал связи
Приемник
Рис. 1. Схема системы связи по Шеннону
Таким образом, информация, передаваемая по системе связи, изначально имеющая различную физическую природу - голое, текст, телевизионное изображение, звук, после обработки "передатчиком", превращается в закодированную последовательность символов в фиксированном алфавите. Сообщение кодируется на входе канала связи и передается в виде кода сообщения на выходе с условием сохранения информационной ценности сообщения.
В основе теории информации лежит предложенный К. Шенноном способ измерения количества информации. Отмстим, что К. Шеннон, Р. Хартли (формула Хартли оценки количество информации для равновероятных исходов 2' = N}, [7] и Р. Хэмминг, [81, являлись сотрудниками Bel! Labs. Р. Хэмминг известен изобретением класса кодов (Error-Correcting Code, ЕСС), способных корректировать ошибки в каналах связи, в том числе и в магистралях передачи данных в компьютерах, прежде всего между процессором и памятью, получивших название "кодамиХэлшинга".
Пакеты как декомпозиция сообщения
Основным инструментом передачи информации в современном мире являются компьютерные вычислительные сети.
-е-
ИНФОРМАТИКА
-е-
Компьютерным файлом называется именованная область данных на носителе и г [формации, формируемая средствами файловой системы и управляемая средствами операционной системы. При передаче файла по вычислительной сети, например, сервисом почтовой службы, он может рассматриваться как целое сообщение, а также как линейная совокупность сообщений, разделенных специальными символами, например, флагами.
Л. Клейнрок в работе [10], 1%1 г., предложил технологию пакетной передачи данных, т.е. разбиение сообщений на порции и доставка их в параллельном режиме по сети.
Пакет это сегмент информации, передаваемый по сети в специальном режиме. Отличие пакета от сообщения, состоит в том, что длина пакета определяется технологическими соображениями, в то время как сообщение имеет размер в зависимости от содержания информации, составляющее сообщение. При паке] ном режиме сообщение разбивается на порции - пакеты, которые мо)ут использовать различные маршруты, но иметь единый конечный пункт.
Заметим, что при развитии пакетной передачи данных технологии сохранили свойство асинхронности. Более ранние "допакетные" технологии использовали синхронный режим передачи данных, при котором передатчик и приемник синхронизировал процесс передачи информации, что для пакетных технологий не является актуальным.
Методы передачи данных (информации)
Физические основы передачи данных по сети три принципиально различных [9J:
— Коммутация каналов {Circuit Switching) — организация составного канала через несколько транзитных узлов из нескольких последовательно "соединенных" каналов на время передачи сообщения (оперативная коммутация) или на более длительный срок {постоянная/долговременная коммутация, время коммутации определяется административно),
— Коммутация сообщений (Message Switching) — передача сообщений последовательно к следующему согласно маршруту транзитному узлу, который, приняв сообщение, запоминает его и передает далее таким же образом, как конвейер.
— Коммутация пакетов (Packet Switching) - сообщения декомпозируются на "пакеты", которые передаются от дельно.
При достижении узла-пункта назначения начинается процесс сборки пакетов в сообщения, [26].
В зависимости от типа маршрутизации пакетов различают виртуальные и дейтаграммные каналы. Виртуальный канал означает наличие одного маршрута для всех пакетов. Механизм виртуальных каналов (virtual circuit или virtual channel) создает в сети устойчивые пути следования трафика через сеть. При дейтаграммном канале маршруты пакетов могут различаться. Маршрутизаторы хранят таблицы маршрутизации (routing table), где для одного и того же адреса назначения может содержаться несколько записей, указывающих на различные адреса следующею маршрутизатора.
В отличие от коммутаторов в сетях с коммутацией каналов, каимутаторы при пакетной передаче данных имеют внутреннюю буферную память для временного хранения пакетов (рис. 2). Приняв пакет, коммутатор обрабатывает его, в частности, проверяет контрольную сумму, и, при подтверждении отсутствия искажении данных по адресу его назначения определяет следующий узел. В противном случае пакет теряется [9].
Рис. 2. Схема коммутатора (узла сети) с буферизацией пакетов, [9]
Существуют традиционные области применения каждой из техник коммутации. Так, телефонные сети создают с использованием техники коммутации каналов, тогда как компьютерные сети в подавляющем большинстве основаны на технике коммутации пакетов.
Под сетью передачи данных понимается система физических каналов связи и коммутаторов (узлов сети), реализующая тот или иной протокол передачи данных, т.е. топология вместе с правилами перемещения пакетов.
Обработка информации в узле сети осуществляется с помощью маршрутизатора, который генерируе т маршрут для пришедшего в узел пакета. 11равила движения по сети определяются протоколом (или логическим интерфейсом), под которым понимается набор правил, определяющих логику обмена этими сообщениями, а также набор информационных сообщений определенного формата, которыми обмениваются два узла.
Каналы связи, [9], делятся на несколько типов в зависимости от того, могут они передавать информацию в обоих направлениях или нет:
1) Дуплексный канал обеспечивает одновременную передачу информации в обоих направлениях;
2) Полудуплексный канал также обеспечивает передачу информации в обоих направлениях, но не одновременно, а по очереди;
3) Симплексный капал позволяет передавать информацию только в одном направлении. Часто дуплексный канал состоит из двух симплексных каналов.
Так как устройства сетевого взаимодействия являются узлами 1рафа вычислительной сети наряду с компьютерами, отметим основные среди них. Это
1) концентратор (активный хаб, многопортовый репитер) - прибор с 4-32 портами, применяемый для объединения пользователей в сеть;
2) мост - прибор с 2 портами, обычно используемый для объединения нескольких рабочих групп, позволяет осуществлять фильтрацию сетевого трафика по М АС-адрссам. Те же функции выполняет коммутатор - прибор с несколькими (4-32) портами (многопортовый мост);
3) маршрутизатор - прибор, который используется для объединения нескольких рабочих групп, позволяет осущест-
О
вяять фильтрацию сетевого трафика по сетевым (IP) адресам;
-е-
Л
Кошю
Рис. 3. "Стандартные топологии" вычислительных сетей, [26]
Вычислительная сеть представляет собой конфигурацию физических связен между несколькими компьютерам, которую в данном техническом контексте приняло называть топологией. А именно, под топологией сети понимается конфигурация графа, вершинам которого соответствуют конечные узлы сети (например, компьютеры) и коммуникационное оборудование (например, маршрутизаторы), а ребрам - каналы связи между вершинами.
"Стандартные топологии" вычислительных сетей, рис. 3, [27]:
1) полный граф (completely-connectedgraph или clique): система, в шторой между любой парой узлов существует прямая линия связи;
2) линейка (lineararray или farm)', система, в которой все процессоры перенумерованы по порядку и каждый процессор, кроме первого и последнего, имеет линии связи только с двумя соседними (с предыдущим и последующим) процессорами. Такая схема является, с одной стороны, просто реализуемой, с другой стороны, соответствует структуре передачи данных при решении многих вычислительных задач (например, при организации конвейерных вычислений);
3) крльцо (ring): данная топология получается из линейки процессоров соединением первого и последнего процессоров линейки;
4) звезда (star)-, система, в которой все узлы имеют линии связи с некоторым управляющим узлом — концентратором;
5) решетка (mesh)', система, в которой Граф линий связи образует прямоугольную сетку (обычно двух- или трехмерную).
Во многих руководствах отмечают сель шину (bus) с последовательным соединением рабочих станций, подсоединенных к общему кабелю. Такая сеть топологически эквивалентна звезде, в которой правило прохода через центральный узеч является последовательным, а не параллельным.
Эволюция сетевого трафика н проблемы моделирования
Трафик на сетях; инстру ментарий, теория, история
Сетевые технологии по передачи сообщений, голоса и др. видов информации относятся еще к XIX веку, "телеграф" С.Ф. Морзе (1837), телефон АЛ". Белла (1875), система автоматической коммутации каналов Э.Ь. Сгроуджра (1889), [12].
После появления автоматизации в телефонной связи произошел качественный скачок в осмыслении сетевых процессов. Первые АТС обеспечивали одновременное соединение всех возможных пар абонентов, и рост номерной емкости порождал сложность и высокую стоимость коммутационных матриц. Возникла проблема доступа к ограниченному коммутационному ресурсу.
Датский математик А,К. Эрланг одним из первых начал исследования в данной области и разработал формулы для вычисления оценки числа абонентов, одновременно обращающихся к сети, (1909), [13]. Эти работы положили начало развитию теории очередей (массового обслуживания).
П.Винер, основоположник кибернетики и теории искусственного интеллекта, вместе с коллегами на междисциплинарном семинаре, организованном в МТИ в 1948 г., высказали предположение, что компьютер должен стать одним из важнейших средств коммуникации. Семинар Н. Винера стал школой, откуда вышли многие создатели Глобальной Сети, К их числу относится и Дж. Ликлайдер, который несколько лег спустя, работая по проекту ARPANet (1967), стал ключевой фигурой первого проекта Сети - основы современного Интернета.
Для проверки концепции пакетной коммутации каналов Л. Роберте и Т. Мсрилл (1965) соединили компьютер ТХ-2 в Массачусетс с компьютером Q-32 в Калифорнии с помощью низкоекоростных телефонных коммутируемых линий, [12], Результатом эксперимента стало понимание лого, что компьютеры с разделением потока пользовательских заданий по времени могут успешно работать вместе, выполняя программы и осуществляя выборку данных на удаленной машине, и, что телефонная система с коммутацией каналов непригодна для построения компьютерных сетей.
Развитие теории сетевого трафика
Оцифровка сигналов
15 1928 в работе "Некоторые вопросы теории телеграфной передачи", [14], Г, Нанквиет изложил принципы преобразования аналоговых сигналов в цифровые и сформулировал теорему. В СССР эту теорему назвали теоремой В.А. Ко-тельниюва, хотя аналог ичные результаты были опубликованы пятью годами позже, [15]. Обратная ситуация сложилась с теоремой о пропускной способности канала. Она носит имя К.Шеннона (1948), хотя В. А. Котельников доказал этот результат в докторской диссертации 1947 года.
Следует отмстить, чло К. Шеннон имел также опыт инженерных разработок и в качестве сотрудника лаборатории Bell Laboratory, реализовал быстродействующую цифровую систему, использующую метод преобразования из аналоговой формы в цифровую А. Р и перс а (1938).
Холя в западной литературе теорема Котельникова часто называется теоремой 1 [айквнета со ссылкой ¡¡а [14], в злой работе речь идет лишь о лребуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота полезною сигнала
-е-
ИНФОРМАТИКА
-е-
должна быть больше половины частоты дискретизации). Таким образом, в контексте теоремы отсчетов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Теорема о возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчетам была предложена и доказана В.А. Котельнпковым в 1433 г. в 115], где, в частности, была сформулирована теорема: "Любую функцию /('), состоящую из частот от 0 до Л , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2/,) секунд".
Теорема отсчетов как в част и утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчетам, так и в части способа реконструкции, рассматривалась ранее. В частности, первая чаетт была получена Бореяем ещев 1897году. 118].
Теория Эрланга и конвергенция проблем моделирования
транспорта на сетях
Как уже отмечалось ранее, от работ Эрланга идет концепция сетевого моделирования, основанная на стохастическом подходе и специальных допущениях на свойства потоков событий (требований) в сети. А именно, выделяется класс устойчивых независимых распределении бескоисчно-делимых случайных процессов, простейшие пуассоновские ПОТОКИ, показательное распределение времени обслуживания и т.п. Это направление сыграло выдающуюся роль в развитии теории сетевой передачи данных при относительно небольших нагрузках.
Моделирование поведения передачи данных в сети с насыщенными потоками потребовало дополнительных ограничений на их свойства, что далеко не всегда очевидно, (например, распределение времени обслуживания, очередь и т.д.). Многие вопросы были связаны с функционированием аппаратной части сети, архитектурой и поведением каналов при значительной нагрузке.
Это проблемы привели к конвергенции сетевых моделей транспорта в широком смысле (перемещение масс, метаболизм, строение и свойства материалов и др.). Основой действий явилась развивающаяся вместе с инфокоммуипкаци-онной аппаратурой теория клеточных автоматов.
Клеточные автоматы и программные продукты
для моделирования трафика
Возникшая в 60-Х годах в связи с компьютеризацией и кибернетикой ("лженаукой") теория клеточных автоматов, подпитываемая серьезными задачами теории вычислении (атомный проект, биология и т.д.), в конце XX в. усилиями лосаламосовских выпускников (Нагель, Шрекспбсрг и др.) заложила основы агентного моделирования в трафике, 118].
Современные пакеты агентного моделирования позволяют построить компьютерную модель транспортных потоков на заданном участке сети, оценить влияние общественного транспорта, дорожпо-траиспортпых происшествий и т.д., т.е. учесть события, которые могут быть собраны средствами геоинформационных систем (ТИС), к которым относятся такие известные продукты как PTV Vision V1S1M/VISUM, TSS AIMSUN, TransNET и др. Fl агентных моделях из-за большого количества учитываемых характеристик сложность теоретического анализа возрастает. Как правило, пак не модели позволяют получить только компьютерную
модель транспортного потока на фрагменте сети и за oipa-ничеиный период времени. Это одни из вариантов подбрасывания монеты с большим количествам допустимых начальных условий и разветвлений.
Проблемы трафика и КАМ-традиции России
Современное состояние естественной науки характеризуется двумя аспектами в самых различных областях: наличием огромного количества данных, полученных в результате автоматизации мониторинга — BigDala И недостаточностью существующих теорий. Опыт использования импортных математических пакетов показал их полезность в образовании и, отчасти, в научных изысканиях, но до строго обозначенных в каждом случае пределов, которые наша российская фундаментальная наука еще не разучилась определять.Поэтому н в теории трафика конкуренция и импорто-замещение необходимы.
Традиции российской-совстекой-российской науки вписаны большими буквами в историю мировых достижений. Одно из них - KAM (Кол могоров-Арнольд-Мозер)-теория посвящается классическим задачам механики. По-видимому, и в обсуждаемых здесь проблемах моделирования сложных социально-технических систем, которые в первом приближении можно классифицировать как динамические системы и марковские процессы на графах, вышеприведенная аббревиатура KAM, но уже в чисто российском содержании, займет основное место: Колмогоров А.Н. - выдающийся математик XX века, Арнольд В.И. - (ученик Колмогорова) один из создателей теории динамических систем, ярый критик "наглого" внедрения "передовых" технологий в школьном и вузовском образовании России, Марков А. А. - основатель теории, которая давно и широко используется во всем мире.
Теория динамических систем и теория марковских процессов на сетях — зто и есть та база, которая должна сделать клеточные автоматы и атентные модели частью естественной науки.
Кластерная модель графика сообщении
Модель автодорожного трафика
В 2011 г. академиком Козловым В.В. и др., [20], предложен подход к моделированиюпотоков на сетях - кластерная модель, которая синтезирует основные
"аутсайдер* в 1
"лидер"
п+1
ii Li i J b i J L i J L T~L ■■
li. T,-.1 1-ДД-J I,,, T-JT. —▼.--
X/l) X,(tJ X.(t) X.JI)
Рис, 4. Схема движения цепочки автомобилей в FL-модели
Положения теории транспортных потоков - волновую модель (Lighthill, Whitham, 1955), клеточные автоматы (Nagel, Schreckenberg, 1992) п модель Follow-the-Leader Model (FL-модель) (Greens hi Ids, 1933).
~x„ =/(*■■) (1) где *«(') координата и-го транспортного средства, функция 3 (*) в правой части уравнения (I) является МОНОТОННО воз-
-е-
26
-е-
растающей, ири фазовых ограничениях на скорости
и координаты
(')•" = !.:г,- (2)
Поток, удовлетворяющий соотношениям (1)-(2), называется тотально связным. Основным понятием в РЬ-модели является динамический габарит, т.е. расстояние от бампера ¡-го автомобиля до бампера позади движущего
0-1) -го автомобиля.
В работе Буслаева Д.Г1. и Козлова В,В. (2014), [21 ], доказано, что при очень широких предположениях движение цепочки устойчиво относительно поведения лидера и устанавливается равномерным после определенного временного лага при равномерном движении лидера. Установившийся
режим непочки
< X, < ... < X.
следовательно
Cont , , ConI
.Сот
эквивалентен равномерно пе-
ремещающемуся со скоростью v ~ J '(С) кластеру с плотностью Í " С ■
Кластеры и их свойства
В работе [22] предложена модель взаимодействия кластеров. Прямоугольники, основаниями которых являются отрезки с постоянной плотностью, а высоты значениями плотностей потока, назовем геометрией кластеров. Динамическая система задается системой дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие кластеров, заключающееся в изменении координат границ оснований или (и) высоты кластеров в зависимости от сценария. В [23] исследованы свойства кластерной модели для конечного числа кластеров па кольце.
Кластеры классифицируются следующим образом:
Сжимаемый кластер — это кластер, длина и с корост ь которого изменяются при взаимодействии с другими класт ерами или препятствиями.
Несжимаемый кластер - это кластер, у которого скорость и плотность имеет два фиксированных значения, что соответствует, например, train-транспорту. Несжимаемый кластер является крайним вариантом сжимаемого кластера с меньшим количеством изменяющихся параметров, что позволяет уггростить качественное и компьютерное исследование его поведения на сложных сетях, [22-25].
Свойства кластерной модели графика сообщений на замкнутых цепях (Train cluster model on network -TCMN)
Модель информационного трафики сообщений
При моделировании сети с разделением на локальные (local) и глобальную (wide) части перейдем от стандартной модели графа с вершинами и ребрами к контурному графу — совокупности циклических компонент, соединенных между собой в некоторых точках, ргге. 5 |29].
Циклические компоненты — контуры — соответствую! локальному движению, где скорость перемещения имеет технические ограничения. Если информация передается глобально, то при переходе между контурами происходит через высокоскоростную магистральную сеть, поэтому в модели можно предположить, что скорость перемещения между
контурам гг бесконечна = 00 . Контуры занумерованы по-
Рнс, 5. Контурный граф - локальное и глобальное перемещение
Размеры контуров нормированы. Полагаем, что их длина равна единице, на каждом контуре выбрана точка - начало координат Щ направление движения и позиции точек на контуре задаются угловыми координатами (рис. 21).
Рис. 6. Контур и точка соединения
Для простоты предполагаем, что между двумя контурами не может быть более одного соединения. Точки соединения контуров задаются координатами в угловой мере ¡га контурах
и нумеруются двумя индексами е 9 , где J - номера соответствующих контуров. Представляется, что такая модель сети более адекватна стандартной ири моделировании передачи информации и изначально содержит элементы структуризации системы передачи данных. Таким образом, контурный граф задастся матрицей вида ^ ~ {е*Д \ , еf -либо координаты точки связи между /-ым и /-ым контурами, либо 0, если связь отсутсвуег.
Сообщение в этой конфигурации - это неделимая последовательность единиц информации, которая перемещается по сети в пункт назначения по заданным правилам. Например, за каждую единицу времени цепочка смещается на 1 пункг в заданном направлении.
Таким образом, можно считать, что сообщение — ото кластер. а к ластерная модель — модель передачи сообщений. В классической терминологии имеем обобщенный клеточный автомат 240. [26], который обеспечивает неразрывность кластера при передаче.
ПО "MttiliClock " имитационного моделировании кластерной модели ни регулярных сетях Для исследования поведения несжимаемых кластеров на сложных сетях создано приложение "MultiClock", которое позволяет моделировать сети, состоящие из контурных блоков гг сопряженных в заданных точках-узлах, а также моде-
-е-
ИНФОРМАТИКА
-е-
пировать движение кластеров и снимать предельные характеристики.
1 (рограммное обеспечение написано на языке JavaScript с использованием библиотеки jQuery. Это библиотека языка программирования JavaScript, обеспечивающая взаимодействие скриптов JavaScript и HTML-документов, Библиотека jQuery дает возможность получать доступ к любому элементу программного интерфейса DocumentObjectModel (DOM), не зависящего от платформы и языка, обращаться к атрибутам элементов DOM и управлять ими.
Запуск программы "MultiClock" возможен с использованием любого браузера. Пр01рамма имеет модульную структуру, Также проект использует сторонние библиотеки jquery.js, Chart,js, di.js. bootstrap.js.
1 laкет позволяет формировать геометрический образ кластерной модели на регулярной сети по заданным параметрам, и выполнять имитационное моделирования динамической системы с пошаговой визуализацией, сохранением текущих характеристик системы н вычислением интегральных характеристик.
Структурой данных, хранящих информацию о связях между контурами, является двумерный массив, каждый элемент которого указывает координату узла в угловых координатах на соответствующем контуре. Например, для 6-звен ной цепи пот массив задастся матрицей вида:
А -
0.75 0 0 0 Ü.25 1
0.25 0 0.75 0 0 0
0 0.25 0 0.75 0 0
0 0 0.25 0 0.75 0
0 0 0 0.25 0 0.75
.0.75 0 0 0 0.25 0 i
- количества итерации достижения стационарного режима,
- время поиска непротиворечивых начальных состояний системы,
- время выполнения каждого шага.
...
1'ис. 8. Выходные данные моделирования в приложен аи "Ми1пС1оск"
Результаты моделирования, представленные на рис. 8, показьгвают, что состояние системы существенно зависит от начальных ус ловий.
Чувствительность по параметрам ДС "Ожерелье"
Канонической цепочкой кон гуров - "Ожерельем " - называется контурный граф из компонентов длиной 1. последовательно соединенных в точках И'Е (запад-восток), рис. 9, центр.
При вводе параметров, определяющих структуру динамической системы, пакет "МиЫОоск" генерирует визуальных образ системы. На рис. 7 показан пользовательский интерфейс приложения "Ми1кС1оск".
Рис. 7. Интерфейс пакета "МцШС1оск"
11а рисунке 8 изображен интерфейс приложения "МиИЮкюк" с выходными данными моделирования динамической системы:
- графики мгновенной скорости, усредненные но заданному числу экспериментов, в зависимости от нагрузки;
Рис. ДС Ожерелье и его варианты
ДС "Ожерелье " — это динамическая система, состоящая из канонической цепочки контуров и набора соответствующих каждому контуру кластеров, которые в определенном направлении и равномерно перемещаются, проходя узды но правилу Обобщенной числовой характеристикой дви-
жения является значение средней мгновенной скорости кластеров или некоторый функционал от зтой функции времени.
Будем исследовать этот агрегат как функцию четырех параметров. Пусть 2п - количество контуров, н е N
2х - суммарная нагрузка двух соседних контуров.
28
о
ИНФОРМАТИКА
При у = 0 Л С (2) становится сетью с симметричными узлами ДС {4.3.1).
Величина кластера на каждом звене постоянна 0 < х < 1. Правило разрешения конфликта в узлах - Р1Но. Такая динамическая система называется Ожерелье с Папа-Мама узлами.
11а рис. 9 показаны результаты моделирования для определения вида зависимости функции состояния от у при фиксированной величине нагрузки х = 0,3 и и = 16, т.е. 32 контура, - * (0-3' 1 б ). на рИс. Ю - при том же значении длины кластера и лля 128 контуров.
Put. 13. Функция состояния F (о.З ; у; 0.4 ) дс Ожерель с Папа-Мама узлами
Рис. 14. Функция состояния F(0.35,0. -8)
—- —А
1 1 1
1 1
1
■ 1
0.2 0-2 S
-е-
Результаты показывают, что функция состояния мало зависит от количества контуров.
Гипотеза о достаточных условиях:
ДС Ожерелье (Папа-Мама узлы) при любых начальных условиях достигает режима самоорганизации при 0<х<Ч2-2у.
_ 0.5 -
Таким образам, значение У ~' ^ ~ является точкой фазового перехода.
ДС Ожерелье (Папа-Мама узлы) имеет нулевую скорость, если
х > I / 2 + 2 у.
ДС Ожерелье с чередующейся нагрузкой
ДС Ожерелье с Папа-Мама кластерами имеет симметричные узлы и чередующиеся кластеры длиной х + г и х - г соответственно. Зависимость функции состояния ДС Ожерелье с Папа-Мама кластерами от парамет ра - показана на рис.
14,15, Здесь величина ИСХОДНОГО кластера * ~ количе-
ство контуров 16 - п = 8 величина параметра 2 варьируется в интервале 0 < г < 0.3.
Вывод:
Обозначим 1\ ~ * -21 и ¡1 — Х+2 Моделирование с помощью пртложения "Мультичасы" показало, что поведение динамической системы можно разделить на 4 типа (рис. 16).
Фазовый переход для экспериментов, показанных на рис. ¡4 и 15 происходит в точке 2 " хо ■
Рис.15. Функция состояния F (0.4,0, i. S )
0.5
l=x+z
\ IV m \ П
k+lt-1
/ \ IV Ш N.
0.5
1 h x-z
Рис. 16. Режимы работы сети в зависимости от параметров - длин кластеров:
(I): Самоорганизация: длины обоих кнастеров меньше 0.5.
(II): Коллапс: длины обоих кластеров больше 0.5.
(III): Стационарные пробки: длина хотя бы одного кластера меньше 0,5 н сумма меньше 1,
(IV): Динамические пробки: длина котя бы одного кластера меньше 0.5 и сумма больше 1.
Вариация количества контуров
11а рисунке 17 показаны функции состояния для ДС Ожерелье при различных значениях п.
О
эп
1
.. 1 _
1
—^
1
1
!
*
О.В 0.9 I
-е-
Рис. 17. ^{аг.О.О,п„).п„ = 8.16,3264 .
О
На рис. 18 показаны зависимости от п значений функции состояния при фиксированной величине нагрузки X = 0.3 для величин смешений узловуц = 0.2, 0.3 и 0.4. 1
120
140
0 20 40 60 00 100
п
у=0.2 1—•— у=0.3 —•— у=0.4 —Л—
Рис. 18. ^{0.3,0.2,0, я), ^(0.3,0.3,0, „). и Р (0.3,0.4,0, л).
Вы под. Результаты моделирования позволяют предположить. что функция состояния маю меняется с изменением количества контуров.
Модель ракетной передачи данных
Узлы, связи и частицы
Рассматриваем модель сети пакетной передачи данных.
Узел (клетка) — ЭТО неподвижный элемент динамической системы, местонахождение подвижных элементов - пакетов (частиц). Занумерованы последовательными целыми положительными числами 0, 1.. .п - 1.
Так как узел выполняет функции обработки и хранения пакетов, будем называть его клеткой, структуру которого опишем в следующем пара!рафе.
Способ нумерации в этом контексте несущественен.
Матрицей связей называют соседей каждой вершины, из которых частица может попасть в данную за такт времени.
Подвижные зле менты (частицы, пакеты информации) занумерованы целыми положительными числами 0, 1 ...т - 1.
Структура вершины
Клетка состоит из одного ядра и т-ош буферов (рис. 19). Количество буфер зависит от кратности клетки как вершины графа, т.е. от числа инцидентных ей каналов связи. В каждый момент времени ядро и буферы могут содержать заданное количество частиц (емкость).
На рисунке 19 показана клетка с одним гп-буфером и одним ош-буфером. Обозначим:
С1—максимальное число пакетов (емкость) в ядре /-ой клетки; Су,"- емкость ш-буфера /-ой клетки, соответствующего связи изу'-ой клетки в 1-ую; Сд"и1 - емкость оШ-буфера /-ой клетки, соответствующего связи из /-ой клетки в /-уто.
Буферы каждой клетки согласованы со структурой графа (рис. 20). Каждому входящему и исходящему ребру графа соответствует свой буфер, который нумеруется индексом.
ИНФОРМАТИКА
-е-
у, где (-номер ядра клетки-источника, }• приемника.
Рис. 19, Сеть из клеток
П простейшем случае считаем, что Су , Су™ = 1. VI, ], к,1
Предполагается, что в ядре происходит обработка пакетов, а в буферах пакеты находятся в состоянии ожидания.
Буфер в каждый момент времени может содержать некоторое число пакетов, не превышающее ею емкости.
При движении пакет, при возможности, моментально перемещается из ядра одной клетки в ядро следующей клетки. Если ядро следующей клетки занято, то входящий пакет останавливается в соответствующем входящем буфере следующей вершины при наличии в нем свободного Места, а иначе - в исходящем буфере текущей клетки.
Обработка очереди происходит по следующему сценарию:
(1) Бесконечная очередь: пакеты бесконечно ожидают освобождения пути.
11 дальнейшем предполагается рассмотреть следующие сценарии:
(2) Ограниченная очередь: при поступлении пакета в полностью занятый буфер пакет теряется,
(3) Ограниченное время ожидания: мри задержке в одной вершине более чем на заданное время пакет пропадает.
Логистика (маршрутизация) пакетов
Маршрут каждого пакета задается последовательностью номеров вершин от пункта отправления до пункта назначения и кодируется рациональным числом в система счисления по основанию п.
Так, маршрут {01222.,.} соответствует (и=10) числу 1 (. II
0.01 (2) =
100
И-
900
а цикл -
012012012 ...<->= 0.(012 )= — 4 ' 999
Правила разрешения конфликтов
Считаем, что клетка свободна, если емкость ее ядра не заполнена. Пусть несколько частиц (пакетов) претендуют на одну ту же свободную клетку в текущий момент. Тогда возможны два принципиально различных правила разрешения конфликтов:
(А) - случайный (А\'ега^ете11юф\
(Р) - приоритет (РгюгИутевюсО,
И л о, и другое имеет прикладное значение. Поэтому наши автоматы далее будем называть ДиМа (детерминированный и марковский автомат (агрегат)).
Правила движения пикетов
Пусть логистический план к-го пакета (частицы) содержит переход из ¿-ой клетки в /-ую клетку. Пусть в текущий момент частица находится в ядре /-ой клетки.
I) Если ядро /-ой клетки свободно и нет конкурирующих частиц, на следующем шаге частица переходит в ядро у -ой клетки.
2} Если ядро /-ой клетки свободно и имеется конкурирующая частица, то по правилу ДиМа происходит разрешение конфликта. Если А-ая частица выиграла конкуренцию, она занимает ядро /-ой клетки, иначе попадает в ¡п-буфер/ -ой клетки и получает свой номер очереди в нем.
3} Если ядро /-ой клетки занято и ¡п-буфер/-ой клетки не исчерпал своей емкости, то А'-ая частица попадает в ¡п-буфер /-ой клетки.
4) Если ялро /-ой клетки занято и ¡п-буфер /-ой клетки исчерпал свою емкость, то А'-ая частица попадает в оШ-буфер /-ой клетки, если он не исчерпал своей емкости.
5) иначе пакет (частица) тсрясгея,
Изм еряем ые характерною ики
Пусть текущий момент времени / - количество прошедших дискретных моментов времени.
Перемещение пикета си за один /'-ый л акт времени равен
том} и в силу правил ДС то1' ? И''0, V) = 1,...,/.
Текущая скорость пакета ак
V, =
тт:
= то ж
Логистический план частиц (пакетов) - в каждый следующий момент времени частица должна находиться в вершине с заданным номером.
Пусть щ - пакет и его логистический план
а — {в, ,.,,аг } Где _ номера клеток. Последовательные клетки маршрута соединены каналами связи. 15 модели
предполагаем, что маршрут является циклическим, т.е. 3 канал 1«л",а/]. Длиной плана называем количество переходов пакета а( /* между ядрами соответствующих клеток маршрута.
Рис. 2(1. Реализация логистического влана пакета
Средняя скорость текущая ДС, у - среднее арифметическое скоростей пакетов
у _ к, ™™:
N
О
т»
-е-
Пройденный путь пакета а1 равен sk:
stl = £'„ ¡movf
В силу заданного логистического плана а ~ Ха\ }
на каждом шаге i пакет должен находится в узле а/, при этом пройденный путь должен быть равен s¡ = i. Но динамика системы вызывает задержки при прохождении клеток, очереди в буферах, поэтому реализация меньше либо равна логистического плана sf < i (рис. 19).
Процент выполнения плана пакета а, в текущий момент времени / - величина pk(i).
Также вычисляются характеристики загрузки клегок.
Накопленная загруженность клетки p¡ — отношение среднего количества пакетов, находящихся в ядре и in- out-буферах клетки, по всем моментам времени к суммарной емкости клетки.
Средняя загруженность (загруженность) р — средняя по всем вершинам загруженность вершин.
Программное обеспечение
«Модель графика пакетов (PackTrafMod)»
ПО PackTrafMod позволяет описать граф топологии динамической системы (клетки и ребра) на языке DOT [27], задать логистические цепочки-планы движения {с достаточным указанием ключевых элементов), нагрузку на каждой цепочке и любую комбинацию из ранее описанных параметров динамической системы.
Логистические цепочки задаются последовательностями номеров клеток.
Достаточно задать ключевые точки плана движения, необходимые пути между ними будут найдены автоматически.
Возможна визуальная демонстрация происходящих в системе процессов.
О , о
в"
О-
При нажатии на кнопку «пуск,» частицы динамической системы начинают передвигаться, согласно заданным правилам. Выводятся ¡"рафики средних скоростей по каждой частице, клетке и системы в целом. Вычисляется период динамической системы при его наличии.
Па следующих рисунках показаны визуализации "стандартных сет евых топологий" с помощью ПО РаскТгаМсй!,
Рис. 21. Интерфейс ПО «Модель графика пакетов» (PackTrafMod)
1 [ри выборе типа топологии - "звезда", "шина", "кольцо" или "решетка" - появляется запрос об количестве узлов. Так, на приведенном рис. 22, выбрана "топология звезда", на запрос о количестве узлов - введен ответ 5. В результате создастся ДС "звезда", отображенная на рис, 22. Центральный узел имеет номер 0, остальные нумеруются от 1 до 5 по часовой стрелке. Созданы in- и out- буферы согласно матрице смежности данного графа.
В текстовом окне «Логистическс цепочки» выведены тестовые маршруты, состоящие из двух узлов (?,/, /=/.....
• ¿Í......**'
Рис, 22. Генерация топологии «шина» средствами PackTrafMod
- *
■ CD '
О
О
CD
CD
-г
ч
/
о
V
CD
А
CD -
со
о
Л
Рис, 23, Генерация топологии "кольцо" средствами PackTrafMod
Моделирование пакетной передачи данных в сетях со стандартными топологиями
Вариация количества пакетов для ДС Кольцо Все клетки соединены направленными ребрами в одно кольцо. Замкнутый маршрут движения пакетов возможен только один - обход всех клеток кольца.
Пусть п - количество узлов-ядер системы, ш - число пакетов, Ск„ - емкость ядра, Cin емкость входною буфера, С0„, емкость выходного буфера, Е(ш,п,С),п.,С|а1С0д,)функция состояния системы.
ИНФОРМАТИКА
34
ИНФОРМАТИКА
-e-
Сравнение динамики коэффициента выполнения текущего «.««
Проведем иммитационное моделирование для оценки р процента выполнения логистического плана.
Пусть в топологии "кольца" п = 10. На рисунке 34 показана зависимость процента текущего выполнения логистического плана от времени при количестве пакетов 10, 15, 20.
Рис. 32. Динамика усредненного коэффициента выполнения текущего плана для "кольца"
Па рисунках 35 и 36 показана зависимость процента текущего выполнения логистического плана от времени при количестве пакетов 10, 15, 20 для топологий "звезда" и "шина" для п = 6.
S— -1 -
Рис. 33. Динамика усредненного коэффициента выполнения текущего плана для "кольца"
2БО
эоо
О 50 100 ISO 200
t
ri' - "> —4— m = 10 —H— m = 15 -
Рис. 34. Динамика усредненного коэффициента выполнения текущего плана для "кольца"
Вывод. Коэффициент выполнения плана наиболее низкий i топологии "мина".
Заключение
Моделирование насыщенных потоков на сетях становится актуальной задачей для многих прикладных направлений: трапепорг, трафик информации, метаболизм в биологии и медицине, создание новых материалов, конструирование высокопроизводительных вычислительных средств и др.
В статье сделана попытка показать, что передача информации гга сложных сетях может быть смоделирована на базе классической теории марковских процессов, современных представлений о динамических системах и специальных методах представления сетей посредством контурных графов, композиции локальных и магистральных архитектур сетей. Логистика потоков имеет прямой выход на основные методы классической арифметики, теории ipytrn, дискретную геометрию.
Создано программное обеспечение для моделирования двух типов передачи данных как динамической системы на контурном 1рафе: MiiltiCloek - для моделирования передачи сообщений и PackTrafMod — для передачи данных в пакетном режиме.
С помощью компьютерного моделирования установлены апостериорные зависимости функций состояния динамических систем от параметров. Получены качественные зависимости.
При этом, введена классификация базовых конструкций и система параметров, что дает возможность получения не только качественных закономерностей, но и точные оценки для соотношений на измеряемые величины параметров для выхода динамических систем па определенные режимы.
Литература
1. Винер И. Кибернетика или Управление и связь в животном п машине /2-е изд. М.: Советское радио, 1968.201 с.
2. ISO/IEC 10746-2:2009( en) Information technology - Open Distributed Processing, https://www.iso.otg.
3. Система стандартов no информации, библиотечному и издательскому делу. ГОСТ 7.0-99.
4. Большая советская энциклопедия / Изд. 3-е. М.: Советская энциклопедия, 1972. Т. 10.
5. Шеннон К.Э. Математическая теория коммуникации// Технический журнал Bell System, июль и октябрь 1948 г. С. 379-423. С. 623-665,
6. Колмогоров АН.. Успенский В.А, Алгоритмы и случайность // Теория вероятностей и ее применения. Т. 32. № 3. 1987. С. 425-455.
7. Хартли Р.В. Передача информации // Технический журнал Bell Labs. 7 (3), 1928. С. 535-563.
8. Хэмминг Р.В. Коды обнаружения ошибок и исправления ошибок // Beil Labs Technical Journal, 29 (2), 1950. С, 147-160,
9. Олифер ВТ.. Олчфер H.A. Компьютерные сети. Принципы, технолог ии, протоколы. 5-ое изд. Санкт-Петербург, 2016.992 с.
10. Клейнрок Л. Информационный поток в крупных сетях связи // RLL Quarterly Progress Report, Массачусетс кии технологический институт, 1961.
11. Назаров А.Н., Разживип И.А.. Симонов MB. ATM: Технические решения создания сетей. Справочное издание. М.: Горячая Линия - Телеком, 200!. 376 с. ISBN 5-93517-040-Х.
12. Вишневский В.М., Портной C.J1., Шахнович И.В. Энциклопедия WiMAX. I [уть к 4G. М: Техносфера, 2010. 472 с.
13. Эрпанг А.К. Теория вероятностей и телефонных разговоров // Nyt Ttdsskrift для Maternalik, 20 (6), 1909. С. 87-98.
О
14. Найквист X. ¡Некоторые темь; теории телег рафной передачи // Труды Американского института инженеров-электриков, №47(2). 1028. С. 617-644.
15. Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки н электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет II Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7(2006). С. 762-770.
16. Шеннон К. Общение при наличии шума // Институт радиотехники. № 37 (1). 1949. С. 10-21,
17. К 100-летию со дня рождения академика Котельникева Владимира Александровича / Официальный сайт Российской Академии наук http://wwwjas.ru/news.
18 Meijertng Е. Хронология интерполяции от древней астрономии к современной обработке сигналов и изображений. № 90. 2002. UOI: 10.1109/5.993400.
19. Нагель К., Шрекенберг М. Модели сотовой автоматизации для автомагистрали // J, Phys. 1. Франция. 1992. С. 2221-2229.
20. Бугаев A.C., Буслаев Л.П.. Козлов В В., Яшина М.В. Распределенные проблемы мониторинга и современные подходы к моделированию трафика / 14-я Международная конференция ШЕЕ по интеллектуальным транспортным системам (ITSC 2011), Вашингтон, США. 5-7.t0.20fl, DOI: 10.1109 / ITSC.20116082805. 2011. С. 477-481.
21. Буслаев Л.П.. Козлов В.В. О системе нелинейных дифференциальных уравнений для модели полностью связанного трафика // J. Concr. Appl. Math., № 12, 1-2 2014. С. 86-93.
22. Буслаев А.П.. Яшина М.В. Кластерная модель общего потока с локальной информацией / Ргос. of Im, Conf. CMMSE-2012, часть 1,2012. С. 225-232.
23. Буслаев А.П.. Таташев А. Г.. Яшина М.В. Модели кластерных потоков и свойства соответствующих динамических систем // Журнал прикладного функционального анализа, Eudoxus Press. № 8(1),
2013. С. 54-76.
24. Буслаев A il., Струсинский U.M. О качественных свойствах модели несжимаемого кластерного потока на кольцевой сети // Конференция AASR1 по спортивной инженерии и информатике (SECS 2014), AASRI Procedure. Конференция по обработке Схем и сигналов (CSP 2014) Elsevier. Том 9, 2014. С. 114-122. DOI: 10.1016/j.aasri.20!4.09.019
25. Струсинский П.М. Исследование кластерной модели потоков и се применение для оптимизации транспортной системы города // Диссертация кандидата физико-математических наук. Москва, МАЛИ. 2016. 196 с.
26. Вольфрам С. Клеточный автомат // Rev. Mod. Phys. Том 55, №3, 1983. С. 601-644.
27. Новиков Ю.В., Кондратенко C.B. Основы локальных сетей. II Интернет-Университет Информационных Технологий. Москва, 2005. С. 360.
28. Язык DOThltp://graphviz,org/contcnt/dot-language.
29. Буслаев А.П.. Яшина М.В. Математические аспекты движения несжимаемых частиц на простых круговых структурах / Материалы 16-й Международной конференции по вычислительным и математическим методам в области науки и техники, CMMSE 2016, 4-8 июля 2016 г. Том. 1. С. 273-279. ISBN 978-84-608-6082-2
30. Бугаев A.C., Буслаев А.П.. Козлов В. В. Таташев ¿Т., Яшина М.В. Обобщенная транспоргно-логистическая модель как класс динамических систем И Журнал Математическое моделирование (РАН), том. 27, № 12, 2015. С. 65-87.
31. Буслаев А.П . Гасников A.B., Яшина M B. Selected Mathematical Problems оГТгаГПс Flow Theory II International Journal of Computer Mathematics, том. 89, №3, 2012. С. 409-432.
32. Бугаев A.C.. Буслаев А.П., Козлов В В.. Яшина М.В. Некоторые математические и информационные аспекты моделирования трафика // Т-Согтип: Телекоммуникации и транспорт.
Московский Технический Университет Связи и Информатики (МТУСИ), Институт Инженеров Электротехники и Электроники (IEEE), Издательский дом "Медиа Паблишер"
проводят международную научно-техническую конференцию
"2018 Systems of signals generating and processing in the field of on board communications"
IEEE Conference #43917 14-15 марта 2018 года, г. Москва, ул. Авиамоторная, 8А, Конгресс-центр МТУСИ
С 201 8 года конференция внесена в официальный перечень конференций IEEE
Доклады участников конференции будут включены в Программу Публикаций Конференций IEEE (IEEE Conference Publication Program (CPP)) и размещены на сайте IEEE. Доклады также войдут в сборник трудов конференции, который размещается на платформе SCOPUS.
media-publisher.ru/en/about-bc-2018
COMPUTER SCIENCE
DYNAMICAL SYSTEMS AND MATHEMATICAL MODELS OF INFORMATION TRAFFIC
Alexander P. Buslaev, Denis A. Kuchelev, Marina V. Yashina, MTUSi, Moscow, Russia, [email protected] Abstract
Latest developments in electronics and computer technology, rapid expansion of communications, Internet and social networks formed new fields of science, such as information theory, theory of algorithms, computability theory, new sections of mathematical logic, informatics, cybernetics and others. This work analyzes processes of scientific research, starting with N. Wiener and C. Shannon, up to modern principles of building computer networks, network switching and data transmission. At the beginning of the 20th century fundamental problems related to processes on networks with lots of nodes started to appear. First automatic telephone exchanges allowed simultaneous connection of all possible subscriber pairs. Switching matrixes' complexity and cost were going up with increasing capacity of the switching system, which led to the problem of sharing limited switching capacity. A.K. Erlang developed methods of computing average capacity requirements, which led to mass service theory. It greatly influenced low-duty data transmission theory. Modeling the saturated network data streams required additional limitations of their properties (such as processing time distribution, queueing). Many decisions were related to how the actual network hardware, architecture and links work under the heavy load. That led to convergence of network transport models in a broad sense (mass relocation, metabolism, structure and properties of materials etc). Cellular automata theory was used as the basis. This work includes an overview of basic traffic flow models on road networks. Cluster flow model is formulated, which is being researched by A.P. Buslaev and V.V. Kozlov. The model constructs the main principles of traffic flow theory - wave model (Lighthill, Whitham), cellular automata (Nagel, Schreckenberg) and Follow-the-Leader model (Greenshilds). Information model of data traffic is considered for the case of incompressible cluster model on regular networks. "MultiClock" software was developed which computes performance data for dynamical systems with circuits connected with cross-points and incompressible clusters. The "Necklace" dynamical system and its variations were researched and phase transition points has been found. Another dynamical system model consisting of composite nodes called cells was developed for networks with packet data traffic and buffering. Logistics (routing) is defined by sequences of node numbers utilizing the representation of real numbers in positional number systems. Properties of such dynamical systems were researched with the "MultiClock" software.
Keywords: information, computer networks, packet data traffic, cellular automata, network traffic modelling, follow-the-leader model, cluster model of network flow, dynamical systems, stationary states, Markov process.
References
1. Wiener. N. (1948) Cybernetics or control and communication in the animal and the machine. The Massachusetts Inst of Technology. 212 p.
2. ISO/IEC l0746-2:2009(en) Information technology. Open Distributed Processing. https://www.iso.org.
3. System of standards on information, librarianship and publishing. GOST 7.0-99.
4. Great Soviet Encyclopedia (1972) Soviet Encyclopedia, No3, Moscow, p. 10.
5. Shannon C.E. (1948) A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal, July and October 1948, pp. 379-423, pp. 623-656.
6. Kolmogorov A.N., Uspensky V.A. (1987) Algorithms and randomness. Theory of Probability and its Applications, vol. 32, no. 3, pp. 389-412.
7. Hartley R.V. (1928) Transmission of information. Bell Labs Technical Journal, 7(3), pp. 535-563.
8. Hamming R.W. (1950) Error detecting and error correcting codes. Bell Labs Technical Journal, 29(2), pp. 147-160.
9. Olifer V.G., Olifer N.A. (2016) Computer networks. Principles, technologies, protocols. No5. St. Petersburg. 992 p.
10. Kleinrock L. (1961) Information Flow in Large Communication Nets. RLE Quarterly Progress Report, Massachusetts Institute of Technology, July 1961.
11. Nazarov A.N., Razzhivin I.A., Simonov M.V. (2001) ATM: Technical solutions for networking. Reference edition. Moscow: Hot Line - Telecom. 376 p. ISBN 5-93517-040-X.
12. Vishnevsky V.M., Portnoy S.L., Shakhnovich I.V. (2010) Encyclopedia of WiMAX. The path to 4G. Moscow: Technosphere. 472 p.
13. Erlang A.K. (1909) The theory of probabilities and telephone conversations. Nyt Tidsskrift for Matematik, No20(6), pp. 87-98.
14. Nyquist H. (1928) Certain topics in telegraph transmission theory. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, no. 47(2), pp. 617-644.
15. Kotelnikov V.A. (1933) On the capacity of ether and wire in telecommunications - All-Union Energy Committee. Materials for the First All-Union Congress on Technical Reconstruction, Communication and Development of the Low-Current Industry, pp. 762-770.
16. Shannon K. (1949) Communication in the presence of noise. proc. Institute of Radio Engineers, no. 37(1), pp. 10-21.
17. To the 100th anniversary of the birth of Academician Kotelnikov V.A. Official site of the Russian Academy of Sciences http://www.ras.ru/news, no. 11, pp. 459-467.
18. Meijering E A. (2002) Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing. Proc. IEEE, no. 90. DOI:l0.ll09/5.993400
19. Nagel K., Schreckenberg M. (1992) A cellular automation models for freeway traffic. J. Phys. I. France, pp. 2221-2229.
20. Bugaev A.S., Buslaev A.P., Kozlov V.V., Yashina M.V. (2011) Distributed Problems of Monitoring and Modern Approaches to Traffic Modeling. 14th International IEEE Conference on Intelligent Transportation Systems (ITSC 2011), Washington, USA, 5-7.10.2011, pp. 477-481. DOI: l0.ll09/ITSC.20ll6082805
21. Buslaev A.P., Kozlov V.V. (20l4) On a system of nonlinear differential equations for the model of totally connected traffic. J. Concr. Appl. Math., no. l2, pp. 86-93.
22. Buslaev A.P., Yashina M.V. (20l2) Cluster model of total-connected flow with local information. Proc. of Int. Conf. CMMSE-20l2, vol.l, 20l2, pp. 225-232.
23. Buslaev A.P., Tatashev A.G., Yashina M.V. (20l3) Cluster flow models and properties of appropriate dynamic systems. Journal of Applied Functional Analysis, Eudoxus Press, no8(l), pp. 54-76.
24. Buslaev A.P., Strusinskiy P.M. (20l4) On qualitative properties of incompressible cluster flow model on the ring network. AASRI Conference on Sports Engineering and Computer Science (SECS 20l4), AASRI Procedia. Conference on Circuit and Signal Processing (CSP 20l4) Elsevier, vol. 9, 20l4, pp. ll4-l22. DOI:l0.l0l6/j.aasri.20l4.09.0l9
25. Strusinsky P.M. (20l6) Investigation of the cluster model of flows and its application for optimization of the city transport system. Thesis of the candidate of physical and mathematical sciences. Moscow. MADI. l96 p.
26. Wolfram S. (l983) Cellular automata. Rev. Mod. Phys., vol. 55, no.3, pp. 60l-644.
27. Novikov Y.V., Kondratenko S.V. (2005) Basics of local networks. Internet University of Information Technologies, Moscow. 360 p.
28. The DOT Language http://graphviz.org/content/dot-language.
29. Buslaev A.P., Yashina M.V. (20l6) Mathematical aspects on traffic of incompressible worms on simple circular structures. Proceedings of the 16th International Conference on Computational and Mathematical Methods on Science and Engineering, CMMSE 20l6, 4-8 July, 20l6, vol. l, pp. 273-279. ISBN 978-84-608-6082-2
30. Bugaev A.S., Buslaev A.P., Kozlov V.V., Tatashev A.G., Yashina M.V. (20l5) Generalized transport-logistic problem as class of dynamical systems. Mathematical Models and Computer Simulations, vol. 27, no. l2, 20l5, pp. 65-87.
31. Buslaev A.P., Gasnikov A.V., Yashina M.V. (20l2) Selected Mathematical Problems of Traffic Flow Theory. International Journal of Computer Mathematics, vol. 89, no. 3, Section B, pp. 409-432.
32. Bugaev A.S., Buslaev A.P., Kozlov V.V., Yashina M.V. (20ll) Some mathematical and information aspects of traffic modeling. T-Comm, no. 4, 20ll, pp. 29-3l.
