CC BY
48
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМБИНИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ В.П. Афанасев, Е.Б. Дубко, Р.А. Козловский, Н.В. Пилипенко
Предложен метод определения динамических характеристик тепломеров различных типов, в основе которого лежит параметрическая идентификация нестационарных потоков.
В настоящее время интенсивно развиваются методы восстановления полей температур и тепловых потоков по ограниченному числу точек измерений, основанные на закономерностях теплопереноса внутри исследуемого объекта. Помимо самостоятельного интереса - определения поля температуры и ее локальных значений в труднодоступных местах объекта - эти методы помогают в решении других важных задач, а именно: восстановлении теплового потока поглощаемого телом, определении температуры среды или коэффициента теплоотдачи на поверхности объекта. Самостоятельное направление представляют задачи уточнений теплофизических свойств материалов совместно с восстановлением граничных условий.
Указанные задачи характерны для таких технологических процессов, как сжигание низкосортного топлива в псевдоожиженном слое, обжиг и сушка дисперсных материалов, теплообмен на наружном контуре турбинных лопаток авиационных двигателей, а также теплообмен в ударных трубах, каналах и др. Задачи востановления тепло-физических свойств объекта расматриваются в энергосберегающих технологиях, например, при определении теплового сопротивления строящихся зданий и сооружений, а также при исследовании различных энергетических установок, топок и камер сгорания.
В связи с этим ниже предложена унифицированная методология определения динамических характеристик различных типов преобразователей теплового потока (ПТП). В качестве объектов исследования выбраны комбинированные ПТП с одномерным полем температуры (рис.1), которые наиболее широко используются в технике. При этом возможна реализация ПТП из материалов с различными теплофизическими свойствами, наличием или отсутствием контакного термического сопротивления Як, воздушного зазора между элементами ПТП.
^ ^ I1
^ ^ || Ф)
Рис.1. Обобщенная модель комбинированного ПТП: 1,2,4 - материалы с различными теплофизическими свойствами; 3 - воздушный зазор
Общность подхода для любых типов ПТП, в том числе и указанных выше, состоит в составлении дифференциально-разностной модели теплопереноса в датчике.
Для этого ПТП разбиваем по высоте на п блоков с температурами Ь, ..Л„ (рис. 2). Средние температуры блоков tn, отнесенные к их центрам, составляют вектор состояния Т (т). Далее для каждого блока записываем уравнение теплового баланса с учетом различных теплофизических свойств материалов слоев, с наличием или отсутствием контактного термического сопротивления между слоями, воздушного зазора.
В результате теплоперенос в датчике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно составляющих вектора состояния Т (т), которая в векторно-матричной форме имеет вид [1]:
^ = Р. Т(т)+а-и(т) , (1)
ат
где Е и С - матрицы обратных связей и управления; и - вектор управления. Общее решение уравнения (1) имеет вид [1]
т
Т (т) = Ф(т, т0) - Т(т0) +{ф(т, 0)Си(0)а© , (2)
т0
где Ф(т, то) - переходная матрица, определяемая по зависимости
Ф = 1 + ЕАт + 2 Е2 (Ат)2 + 3 Е3 (Ат)3 +... + -1 Ер (АтУ + ...,(3)
где I - единичная матрица. Численное решение уравнения (3), которое используется при расчетах, представим в виде [2]
Тк+1 =Ф-Тк + 2 (1 + ФСис Ат , (4)
где Тк = Т(тк), Щ =и(тк), т к = к -Ат, к = 0,1,2,3,..., Ат - временной шаг.
Информация о количестве измерений, а также сведения о характере и величинах погрешностей отражаются в следующей математической модели измерений [2]:
У = N Тк + е, (5)
где Ук и е - векторы измерений и погрешностей, N - матрица измерений. По матрице измерений N можно судить о том, какие температуры и в каких точках измеряются в эксперименте.
Таким образом, полная математическая модель датчика как динамической тепло-измерительной системы состоит из моделей теплопереноса (1) и измерений(5).
Для восстановления входного теплового потока q(т) решается граничная обратная задача нестационарной теплопроводности (ОЗТ). При этом проводится параметризация задачи, суть которой сводится к представлению теплового потока, идущего через датчик, обобщенным полиномом, неизвестные параметры которого определяются с помощью математической модели и результатов измерений [2]:
г
q(т) = 2 qi (т^ (7)
I=1
где qi - неизвестные постоянные параметры, которые должны быть определены в результате решения ОЗТ (г = 1, 2,..., г); ф(т) - система базисных функций. В данном случае в качестве базисных функций используются В-сплайны первого порядка, описываемые уравнением [2]
1 • (8)
пРи | >1
т
где ^ = — - i+1 - безразмерный аргумент базовой сплайн-функции первого порядка,
А - участок сплайн-аппроксимации.
В результате параметризации ОЗТ формируется вектор искомых параметров
Q = |^/ |;=i = const. Тогда параметрическая идентификация ПТП как метод решения
граничной ОЗТ заключается в нахождении его оптимальной оценки Qk, дающей минимум следующей функции невязок [2]:
<®(Q) = Z
к=i
T
Yk - Yk (Qk)
R-1
Yk - Yk (Q)
(9)
где Yk (Qk) - модельные (расчетные) значения вектора измерений, определяемые по модели (5) ПТП в функции от Qk ; R - ковариационная матрица Sk с нормальным законом распределения; k - дискретное время, соответствующее определению тк = k-Ат ; Т - знак транспонирования.
Для получения оптимальных оценок Qk используется рекуррентный алгоритм фильтра Калмана (ФК) [2]. Данный алгоритм для каждого измерения выдает не только саму оценку искомого параметра (теплового потока), но и ковариационную матрицу ошибок, характеризующую точность этой оценки.
Kk+1 = PkH+1 [k+iPAt+i + r]-1 , (10)
Qk+1 = Qk + Kk+1 Yk+1 - fk+1 ((2k) , (11) Pk+1 = Pk - Kk+x$kPk , (12)
где K k+1 - весовая матрица; Yk+1 (Qk) - модельные значения вектора измерений в (k+^-й момент времени, рассчитываемые по модели ПТП (5) с использованием предыдущей оценки вектора параметров Qk; Pk и Pk+i - ковариационные матрицы ошибок оценок вектора параметров для моментов времени k и (k+1) соответственно; H " матрица чувствительности, рассчитанная с использованием Qk .
Изложенная методология реализована с помощью оригинальной компьютерной программы «Heat Stream», позволяющей решать как прямую, так и обратную задачи теплопроводности и восстанавливать нестационарный тепловой поток, меняющийся по произвольному закону с учетом влияния шумов в измерениях.
Экспериментальные исследования по определению динамических характеристик и восстановлению теплового потока q(x) проводились нами для различных случаев, а именно: материалы тел 1,2,4 - сталь 4Х13, никель, керамика Al2O3; толщины элементов - до 310-3м; контактные сопротивления Rk=10-3 м2К/Вт; толщины воздушных зазоров -до 0.210-3 м; величины шумов в измерениях (среднеквадратичное отклонение) - до 1° С; величины восстановленных потоков - до 106 Вт/м2. В качестве примера приведем результаты исследований для двухслойной модели ПТП: ^1=31 Вт/мК, а1=8'10"6 м2/с, 51=0.002м., ^2=20 Вт/мК, а2=6.7'10"6 м2/с, 52=0.003м., где - тепло- и температуропроводности материалов, 5 - толщина элементов ПТП. При этом измерялись температуры поверхностей ПТП t1(x) и ¿22(т). Контактное тепловое сопротивление между 11 и 12 блоками составляло Rk=10-3 Втм2/К. Среднеквадратичное отклонение при измерении температуры равнялось 0.5 °C. Модель двухмерного ПТП представлена на рис. 2.
Рис. 2. Модель двухслойного ПТП: 1 - сталь 4Х13; 2 - керамика Л120з.
Для решения задачи каждый из слоев разбиваем на 11 элементов, между которыми учитываем контактное сопротивление Кк, и составляем уравнение теплопереноса между элементами ПТП:
^(т) ^ = С1(^ -12); ат А
. . _ с1и , . —(tl -12) = С2-2 + —(t2 -tз);
А АЛ
А
ат
^& - tз) = С + ^(tз - t4); ат
А
А
А 1
1
_Г(t10 - = с11 ~Т~ + ТГ"- t12) ат ЯК
. \ ^ \ 0^12 А $ , .
(t11 - t12) = С12 ~Г~ + ~Г(t12 - t13) ат А
, ^ _ 013 V' $ / \
^12 - t13) = С13 ""Г" + _Г"(t13 - t14) ат А
(13)
Кк А' $
А
V' $ , \ п 021 V' $ , ч
—7—(t20 - t21) = С21 ""Г" + _Т"(t21 - Н2) А ат А
— (^21 - t22) + q2 (т)$ = С22'022
А 21 22 2 22 ат
Составляющие дифференциально-разностной модели (1) для данного ПТП после преобразований уравнения (13) можно записать в виде
2
Т =
22 х1
'22
С =
22 х2
с рА 0
0 0
с рА
и =
2 х1
^(т) q2(т)
(14)
0
Матрица Е , характеризующая связи между элементами ПТП, здесь не приведе-
22 х 22
на.
На рисунке 3 и 4 показаны результаты модельных экспериментов при различных законах изменения искомого потока д(т).
Относительное время
Рис. 3. Измеренные температуры поверхности ПТП. 1 и 1'- температуры поверхности первого блока; 2 и 2' - температуры на поверхности двадцать второго блока
0 100 200 300 400 500 500 700 800 300 1 000
Относительное время
Рис. 4. Потоки, восстановленные по измеренным температурам поверхности
первого блока
Как следует из рис.4, шумы в измерениях температуры существенно влияют на погрешность восстановления искомого потока, в особенности при гармоническом законе изменения температуры.
Как известно, связь всех входов системы со всеми выходами характеризует импульсная переходная матрица [3]. Между импульсной переходной матрицей О(т,т0) и переходной матрицей Ф(т,т0) известна связь, а именно [4]
0(х,То)=ВДФ(т,То) С(то), (15)
где Ы(т) - матрица измерений.
В процессе исследований нами были получены значения переходной и импульсной переходной матриц, которые позволили вычислить практически все динамические характеристики исследуемого ПТП. В результате получены практические рекомендации и установлены границы применения различных ПТП.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии (ч. 1) // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т.46. №8. С. 50-54.
2. Пилипенко Н. В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теп-лометрии (ч. 2) // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т.46 №10. С. 67-71.
3. Теория автоматического управления. Часть 1, 2. / Под редакцией акад. А. А. Воронова. М.: Высшая школа,1986. 367 с.
4. Симбирский Д.Ф. Температурная диагностика двигателей. Киев: Техника,1976. 208с.
