CC BY
20
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА УДК 548.732: 539.2
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕЗОНАНСНОЙ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ БРЭГГА В СОВЕРШЕННЫХ КРИСТАЛЛАХ
А. П. Орешко
(.кафедра физики твердого тела)
Проведено точное решение задачи зеркального и дифракционного отражения рентгеновского излучения в условиях резонансной дифракции от идеального кристалла в геометрии Брэгга. Показана возможность эффекта аномального прохождения сквозь кристалл излучения с энергией, близкой к энергии К -края поглощения атомов.
Введение
Резонансная дифракция (РД) рентгеновского излучения (РИ) наблюдается при энергии падающего излучения, близкой к краю поглощения какого-либо элемента, входящего в состав кристалла, и является интенсивно развивающимся методом изучения свойств кристаллов [1, 2]. Более доступным метод РД стал при появлении источников синхротронного излучения, сочетающих большую яркость и высокую степень поляризации излучения с возможностью выбора нужной длины волны.
Так как вблизи краев поглощения величина коэффициента поглощения резко увеличивается и тем самым уменьшается глубина проникновения излучения в вещество, для интерпретации полученных экспериментальных данных по РД используется кинематическое приближение теории дифракции [3]. Однако ряд наблюдаемых в последнее время явлений не может быть удовлетворительно описан в рамках кинематической теории дифракции, что вызвало необходимость развития динамической теории РД.
Впервые попытка описания динамического рассеяния РИ в условиях РД предпринята в [4], где использовался подход, аналогичный методу Дарвина [5] для описания динамического рассеяния РИ, основанный на введении амплитуды рассеяния РИ резонансным атомом и рассмотрении процессов многократного рассеяния.
В настоящей работе развивается динамическая теория резонансной дифракции рентгеновского излучения в форме, основанной на решении уравнений Максвелла в среде с периодически меняющейся поляризуемостью [6].
1. Динамическая теория резонансной дифракции
Из микроскопических уравнений Максвелла в приближении линейной связи между индукцией
D{r, t) и напряженностью E(r, t) электрического поля в стационарной пространственно-однородной среде можно получить систему уравнений для Фурье-амплитуд поля в совершенном кристалле с учетом анизотропии, пространственной и временной дисперсии [7]:
1
(k,k)
xV*)
E{u),k) + \{{E{u),k),k),k)-
ni
+ ^2хН(со,к)Е( оа + Л) = 0, (1)
А^О
где Е(ш,к) — Фурье-компоненты напряженности электрического поля в кристалле, ко — величина волнового вектора в вакууме. Величина ХгДш, к) называется диэлектрической поляризуемостью (ДП) среды, общие соотношения симметрии для тензора ДП рассмотрены в [3, 8]. Второй член выражения (1) учитывает непоперечность поля.
Решение уравнений (1) с привлечением граничных условий и является основной задачей динамической теории дифракции РИ.
В традиционной рентгеновской кристаллооптике расчет поляризуемости проводится обычно в приближении сильной связи [8], в котором не учитываются явления анизотропии и пространственной дисперсии, т.е. поляризуемости Хц считаются скалярами, а поля — поперечными. Однако вблизи краев поглощения явлением анизотропии пренебрегать нельзя.
Рассмотрим двухволновую дифракцию полей Е0 = Е(ш, Чо) и Ен = Е{ш, ф,), где и цк = = + Л — волновые векторы проходящей и дифрагированной волн в кристалле, и пренебрежем эффектами пространственной дисперсии, т. е. поля будем считать поперечными. Тогда для скалярных амплитуд проходящей Ео = е^Е^ и дифрагированной Е}1 = е'рЕ^Р волн следуют уравнения,
описывающие динамическую дифракцию первичного излучения:
бо^ - х0^ - ГМЛ? = (2)
б^-хУ^-х^^О, (3)
где (/ = 1,2) — единичные векторы а-
и 7г-поляризации проходящего и дифрагированного излучения (е]0 = — единичные векторы вдоль волновых векторов <7о,/? соответственно, а ¿о,А = [(Чо,11<Чо,н)/к2о\ - 1- В (2), (3) проводится суммирование по повторяющимся индексам /= 1,2,3. Схематичное пространственное расположение векторов е'0к и <7о,/? приведено на рис. 1. Из условия поперечности полей следует, что Е^=0.
Рис. 1. Схема расположения единичных векторов е'0к, волновых векторов проходящего <уо и дифрагированного (¡¡I излучения и вектора обратной решетки Л. (М/) — отражающая плоскость
Домножив выражения (2), (3) слева на е'0 и е'н (г = 1,2) и введя обозначения = (е'0,е'к) = = {1 (г = 1); сое20(г = 2)}, С(3) = Бт20, где в -угол между падающим излучением и отражающими плоскостями (М/), получим следующую основную систему уравнений динамической теории РД:
-(С^х^-С^х^ = 0, -(С«2)^2-С«3)^з)£«2) = 0,
= о,
- (С«2)),!, - с'3^,)^ - - с'3^,)^ -
+ {(4 - [\22С<2)2 - \33С<3>2]) + + С(2)С(3)(^3-^)}£/(2) = 0. (4)
Отличие системы уравнений (4) от хорошо известной основной системы динамической теории состоит в наличии недиагональных элементов тензора ДП х- Если предположить, что х скалярная
величина, то система (4) совпадает с традиционной основной системой динамической теории [6].
Система основных уравнений имеет нетривиальное решение только в случае равенства нулю детерминанта этой системы:
с1еМ = 0, (5)
где А — матрица коэффициентов (4). Дисперсионное уравнение (5) позволяет с привлечением граничных условий для волновых векторов на границе раздела двух сред найти величины волновых векторов в кристалле.
В немагнитных кристаллах тензор ДП имеет вид XV = (Хо + х'о + ОСо')й/ + вызван потенци-
альным вкладом в диэлектрические свойства кристалла; х'о- Хо добавки, включающие в себя изотропную часть эффектов дисперсии и поглощения; а х\) вызван анизотропным резонансным вкладом [1,8, 9]:
х'рп = Х% + 'Х/тЖ -Ьп) + ¡ХрпКК + ¿„) +
+ хЧИтпКЬр + • • • - (6)
где к и к' — волновые векторы соответственно падающей и рассеянной волн; Хр~1п и х]птр Ди~ поль-дипольный (ДД), диполь-квадрупольный (ДК) и квадруполь-квадрупольный вклады в резонансную часть ДП, а верхние индексы «б» и «а» отвечают симметричной и антисимметричной частям ДК-вклада.
Последовательное описание тензора ДП строится на основе квантово-механической теории, требует знания атомных и кристаллических волновых функций электронов [8-10] и выходит за рамки настоящей работы. Необходимо отметить, что компоненты тензора ДП вычисляются предварительно (вычисление тензора можно провести, например, при помощи программы РЭМЫЕБ [11]) и затем считаются постоянным в расчетах по динамической теории дифракции.
Перейдем к анализу дисперсионного уравнения (5). В силу непрерывности тангенциальных (вдоль поверхности) составляющих волновых векторов падающей на кристалл волны ¿о и проходящей волны в среде ^о- вектор ^о получает приращение только вдоль нормали к поверхности п (направленной в глубь среды) т.е. ^о = ^о + коеп, где е — так называемая аккомодация [6], подлежащая дальнейшему определению.
Таким образом, подставив тензор ДП в виде (6) в (5), получим, что дисперсионное уравнение является уравнением восьмой степени относительно величины аккомодации е и внутри кристалла может распространяться 8 проходящих и 8 дифрагированных волн. При этом в случае толстого кристалла следует выбирать только такие решения, для которых \U\Ej >0.
2. Геометрия Брэгга
Рассмотрим задачу о зеркальном и дифракционном отражении плоской монохроматической волны Eq exp(iéor) от идеального монокристалла в условиях РД. Решение задачи будем проводить в наиболее общем случае скользящей некомпланарной брэггов-ской дифракции [12, 13].
Излучение падает из вакуума под произвольным углом скольжения <ро по отношению к поверхности так, что одновременно имеет место дифракционное отражение от атомно-кристаллических плоскостей, составляющих угол ф по отношению к нормали п, направленной в глубь кристалла вдоль оси г.
Поле в вакууме над поверхностью кристалла (z ^ 0) состоит из трех волн:
(г) = А0 exp(ik0r) + Л5 exp(iésr) + Ah exp(ikhr),
(7)
где Ло, As и А^ — амплитуды падающей, зеркально отраженной и дифрагированной волн соответственно, |£0| = \ks\ = \Ы = ko, k0 = 2vr/A, kSz = koz■ Рентгеновская волна возбуждает в кристалле когерентную суперпозицию проходящей и дифрагированной волн
Еа(г) = Е0 exp(iq0r) + Eh exp(iqhr), (8)
где £o,/i амплитуды, Ço./i волновые векторы проходящей и дифрагированной волн в кристалле. Амплитуды Eo,Eh в (8) удовлетворяют системе динамических уравнений (4), а величина е определяется из уравнения (5).
Анализ корней дисперсионного уравнения показывает, что в геометрии Брэгга только 4 корня удовлетворяют условию Im > 0, и в кристалле могут распространяться 4 проходящих и 4 дифрагированных волны.
Для определения амплитуд полей в (7), (8) нужно записать условия непрерывности тангенциальных компонент электрических и магнитных полей на границе кристалл-вакуум. В итоге получим систему уравнений
4 4
л;; +/г;^££•;, 7о {А$-А*) =
/=1 /=1
Al = J24jEaor = (9)
/=1 /=1 4 4
/=1 /=1 4 4
Ai =^2RhjRofEoj' -7иг=ЕгЛ-лчГ£о/' (10)
/=1 /=1
где верхний индекс а отвечает ст-компоненте, а ж — 7г-компоненте, 70 = k0z/k0, jh0 = (ko + h)Jk0. Если ipo — скользящий угол падения излучения
на кристалл, то 70 = sin ipo, 7/jo = 70 — фв, где фв = 2sini/'sm$fí — эффективный параметр угла наклона отражающих плоскостей (ф>0, hz < 0), а вв — угол Брэгга, который определяется из соотношения h = 2ko sin вв ■
Пусть (fh — угол выхода дифрагированного излучения в вакуум по отношению к поверхности, тогда z -проекция kf¡z = —&о7л> где 7/j = sin (iph > 0). Дифракционное отражение в область г < 0 (геометрия Брэгга) реализуется при таких углах скольжения ipo, что 70 < фв, т.е. 7/jo<0. Угол выхода ipfj при заданных углах ipo и ф определяется выражением [12] 7/j = (7^ + а)1 ^, где параметр а = 1 — (k0 + h)2/kq = 2A0s'm20B характеризует угловую отстройку падающего излучения от угла Брэгга, а условие а > —710 задает допустимые отклонения АО = в — &в от точного угла Брэгга.
В (9), (10) введены обозначения Го/ =7о + е/, Г/у = 7/10 + £/ (/ = 1 -4) и учтены связи между амплитудами дифрагированных и проходящих волн в кристалле: = Я* £* , £* = ЩЦ, Ц = ,
следующие из (4).
Решение системы (9), (10) для амплитуд зеркально отраженных и дифрагированных волн имеет вид
4
f-K ЛЖ '/ л0
/= 4
^ = — £(70
27o f
• Г,
о/
)ДЬ7(
уст ДО" '/ л0
■7}М5
4
ла_ \ ' па ( та ла i тж Лж
лк — Щ \ i 0 + '/ Л0
/=1 4
л ж_ \ л пж паж i та л а
лк — Щ 0/ j л0
/= 1
грЖ л-К '/ л0
(11)
(12)
(13)
(14)
где введены следующие обозначения: Т\ =в416>)2 - О-, ] 042, Т? = - 270642/ Т\, П = 2Ъ052/Т1, Ц = 27О041 Пх, Ц = -27О051 Пх, Ох! = ЩЫ + ГМ)}/{Щ4Ы + Гм)}, о2/ = + Т^ЩЩ^Ы + Гм)},
Оз/ = (С?2/ - ¿луУ^гз - С?1з), 041 = + Г0/) - /?оТ(7о + Гоз)Оз/ --^|(70 + Г04){О1/-О1зОЗ/}, 05/ = (7о + Г0/) - (70 + Гоз)03/- -
- (7о + Г04){О,/ - 01303/}.
Соотношения (11)-(14) представляют собой точное решение задачи зеркального и дифракционного отражения РИ от идеального кристалла в геометрии Брэгга. Они справедливы для любых углов
(,Ро при 70 ^ 'фв и любых допустимых отклонений а ^ —(70 — Фв)2 от точного угла Брэгга и, как легко показать, в случае диагонального тензора ДП сводятся к полученным ранее соотношениям в нерезонансной теории [13].
3. Аномальное прохождение
Рассмотрим частный случай дифракционного отражения от совершенного монокристалла, обладающего кристаллической решеткой с кубической симметрией. В этом случае тензор ДП диагональный, а система уравнений (4) однородна относительно состояний поляризации. Для упрощения задачи учтем только главный ДД-вклад в резонансную часть ДП (6).
Таким образом, фурье-компоненты тензора ДП примут вид = + (¿,/=1,2,3),
где опущены верхние индексы «с1с1>> у элементов ха-а система уравнений динамической теории РД (4) — вид
(*> - - - - х;!'^ = о. - х"4'} - Х!\АХ) + (8„ - х0^ - Х^Р = 0.
-С™Х£Е™ = 0,
- (х12С^2 - х°33с^2)Е12} = 0. (15)
Пренебрегая квадратичными по величине е членами (не рассматриваем скользящие схемы дифракции) для корней £,• первого и второго уравнений (15), получим
£1,2 = [{г/°(7о + 7ао) + 7о«} ±
± {IV0(7о - 7АО) + 7о«]2 + ^707к0'ПНгГн}]/2} /4707/?0.
(16)
где г/0,±/? = х°'±к + Хп±Л • Видно, что если параметр
Д = г/°г/° - = 0- О7)
то при точном выполнении условия Брэгга (о = 0) корень ег обращается в нуль и одна из волн будет распространяться без поглощения. Ситуации, в которых для одного из корней 1теу = 0, будем называть случаями аномального прохождения. Ранее в [14] исследовался эффект аномального прохождения 7-квантов, резонансно взаимодействующих с ядрами в кристалле.
Возникает вопрос, возможна ли ситуация, при которой параметр Д (17) обращается в нуль или хотя бы достигает своего минимального значения. В качестве примера на рис. 2 приведены расчетные энергетические зависимости действительной и мнимой частей параметра Д для отражения Се(224) вблизи /(-края поглощения германия. Вычисления проводились при помощи программы РЭМЫЕБ [11] для кластера ¿е, состоящего из 100 атомов [15].
Д, 10 11 отн. ед.
" / " ' /
\ / \ /
0 20 40 60 Е= 11103 эВ
Рис. 2. Энергетическая зависимость действительной (/) и мнимой (2) части параметра Л (17) для «запрещенного» отражения (224) вблизи Л"-края поглощения Ge (Er = 11 103 эВ)
Видно, что при энергии падающего излучения, примерно на 1 эВ меньшей энергии /(-края поглощения, параметр Д принимает свое минимальное значение. Таким образом, действительно можно говорить о том, что на левом краю К-края поглощения Ge возможно наблюдение эффекта аномального прохождения.
Амплитудный коэффициент дифракционного отражения в рассматриваемом случае определяется выражением = (2jo£ — г/°)/г/-А, и кривая дифракционного отражения (КДО) в РД, так же как и в нерезонансной, имеет вид пика с практически плоской вершиной в области углов Д0о — Aöß ^ А6 ^ Д0о + Aöß, где выражение под знаком квадратного корня в (16) отрицательно:
Д0о = — Re(Y°)(l + b)/2b sin 26п —
— Re(\-u)(l + b)/2b sin 26в (18)
— смещение брэгговского максимума от угла &в в результате преломления РИ, а Абц = = R e({rihrrh}]/2)/b]/2 sin 2&в — полуширина КДО на половине высоты. Второе слагаемое в выражении (18) описывает дополнительное смещение брэгговского максимума за счет эффектов РД.
Таким образом, в настоящей работе построена динамическая теория резонансной дифракции рентгеновского излучения в совершенных кристаллах. Показано, что основные уравнения динамической теории дифракции являются частным случаем резонансной динамической теории. Показана возможность явления аномального прохождения сквозь кристалл излучения с энергией, близкой к энергии краев поглощения атомов.
Автор выражает глубокую благодарность М.А. Андреевой, В.А. Бушуеву и E.H. Овчинниковой за интерес к работе и плодотворные обсуждения
полученных результатов. Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 04-02-16866 и 05-02-16770).
Литература
1. Дмитриенко В.Е., Овчинникова E.H. // Кристаллография. 2003. 48, № 6. С. 59.
2. Hodeau J.L., Favre-Nicolin V., Bos S. et al. // Chem. Rev. 2001. 101. P. 1843.
3. Беляков B.Â., Дмитриенко B.E. // УФН. 1989. 158, № 4. С. 679.
4. Ведринский P.В., Козырев В.Э., Новакович A.A., Гончар A.A. // Исследовано в России. 2005. 129. С. 1311 (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/ 129.pdf).
5. Darwin C.G. // Phil. Mag. 1917. 19. P. 315, 675.
6. Пинскер З.Г. Рентгеновская кристаллооптика. М., 1982.
7. Агранович В.М., Гинзбург В. J1. Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория эк-ситонов. М., 1979.
8. Колпаков A.B., Бушуев В.А., Кузьмин Р.Н. // УФН. 1978. 126, № 3. С. 479.
9. Blume М. Resonant anomalous X-Ray scattering / Eds. G. Materlik, C.J. Sparks, K. Fisher. Amsterdam, 1994. P. 495.
10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1992.
11. http://www-cristallo.polycnrs-gre.fr/ Themes_de_recherche/Simul/.
12. Александров П.А., Афанасьев A.M., Степанов С.А. 11 Кристаллография. 1984. 29, № 2. С. 197.
13. Бушуев B.Ä., Орешко АЛ. // ФТТ. 2001. 43, № 5. С. 906.
14. Афанасьев A.M., Каган Ю. // ЖЭТФ. 1973. 64, № 3. С. 1558.
15. Орешко А.П., Дмитриенко В.Е., Жоли Ив и др. // Изв. РАН. Сер. физ. 2004. 68, № 4. С. 578.
Поступила в редакцию 15.05.06
