Динамическая реакция цилиндрической ободочки при осевом нагружении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 4

УДК 539.3:534.1

ДИНАМИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ОСЕВОМ НАГРУЖЕНИИ

В. И. Пацюк, Г. Л. Рыбакова, П. Ф. Сабодаш

На основе линейной системы уравнений Тимошенко и классического волнового уравнения для волноводного распространения возмущений в упругих стержнях исследована динамическая реакция цилиндрической оболочки при осевом нагружении. Упругие стержни, к торцам которых прикреплены инерционные массы, коаксиально расположены относительно продольной оси механической системы. Доказано достаточное условие устойчивости и сходимости разработанной схемы. На основе универсальных программ, реализованных на ЭВМ, исследована эволюция вибросостояния системы во времени и профили ускорений по осевой координате в характерные моменты времени.

1. Интенсификация эксплуатационных условий летательных аппаратов и, как следствие, увеличение быстроизменяющихся параметров тонкостенных авиационных конструкций условий эксплуатации (давления, температуры, скорости и т. д.) выдвигает проблему анализа возникающих в конструкциях переходных волновых процессов.

В этой связи в работе [1] рассматривается волновой осесимметричный процесс в линейной полубесконечной оболочке переменной толщины. Методом характеристик в сочетании с аналитическими приемами выделяются скачки (разрывы) в решении на упругих фронтах, которые в процессе распространения волн вдоль конструкции отражаются как от торцов, так и от внутренних границ.

Алгоритм численного решения, построенный на основе метода характеристик, использовался в работе [3] для анализа поперечных упругих волн, вызванных ударом в неоднородных по длине балках. Представлена эволюция поперечных прогибов и изгибающих моментов в конической балке, шарнирно опертой в концевых сечениях, при ее поперечном нагружении.

Метод характеристик использовался в [3] для исследования одномерного осесимметричного процесса распространения волн в кусочно-неоднородной по длине цилиндрической оболочки, составленной из круговых отсеков, выполненных из различных материалов. Действие внешних осевых усилий, воспринимаемых торцом оболочки, экспоненциально затухает со временем, а результаты относятся к эффектам отражения от внутренних границ— стыков отдельных отсеков, образующих составную оболочку.

Численному исследованию задач прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных оболочечных конструкций посвящена книга [4]. В справочнике представлены универсальные программы, реализованные в виде процедур на алгоритмическом языке.

Можно сказать, что исследованию осесимметричных волновых процессов в элементах конструкций при мгновенном приложении к ним ударно-волновых нагрузок посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов.

Вместе с тем следует отметить, что влияние ряда специфических конструктивных особенностей оболочек, важных для практических целей, до сих пор оставалось неизученным. Вот некоторые из них: кусочно-постоянная толщина стенки оболочки, наличие в структуре комбинированной конструкции стержней-волноводов и сосредоточенных масс, ослабление конструкции за счет отверстий и т. д., не изучено также влияние конструкционного демпфирования. Учету перечисленных факторов физической и геометрической природы и посвящена настоящая работа.

2. Будем рассматривать упругое движение комбинированной механической системы (рис. 1), состоящей из двух тонких цилинд-

рических оболочек различной толщины, на стыке которых расположена сосредоточенная масса М2. Торцы составной оболочки прикреплены к массам Мх и Мг, которые связаны по оси системы с массой М2 стержнями с поперечными сечениями ^ и $2 соответственно. Система выводится из состояния покоя воздействием на ее левый торец осевого импульса давления, направленного вдоль оси системы. Для описания процесса распространения волн в стенке цилиндрической оболочки исходим из системы одномерных линеаризованных уравнений гиперболического типа относительно перемещений [5] (ось л: направлена вдоль оси механической системы с началом координат на левом торце):

дх2 а дх dt2

t А9

К

/ д- w . \ 1 ( w дих \ ,2 w

V дх2 дх ) а \ а дх ) ~~ 1 дР

А? д^х — ( dw \

12 дхч- V дх дР ’

v2 . I ‘

- k, і= 1, 2.

(і)

Здесь их(х, t) и w(x, t) — перемещения точек срединной поверхности оболочки вдоль оси и ио нормали к боковой поверхности; Рх(х, £) — угол поворота этой нормали в направлении оси по теории Тимошенко; а—радиус оболочки; k — коэффициент сдвига; Е, р, v — модуль упругости, плотность и коэффициент Пуассона материала; /г,— const — толщина стенки; индекс і— 1 относится к первому цилиндрическому отсеку: і = 2 —ко второму; х — осевая

координата оболочки; t — время, отсчитываемое от момента включения внешнего воздействия. Система уравнений (1) справедлива внутри области х£[0, /2] за исключением точки x = lv

Предположим, что тонкие упругие стержни, коаксиально расположенные с осью оболочки, выполнены из одного и того же материала, но имеют различную длину и разные площади поперечного сечения. Тогда одномерное распространение волн вдоль их оси описывается уравнением классического типа

d2 U(i) 1 д2 U{i)

О = i=1; 2’ (2)

дх2 с2 дР ’ 0 } Ро

где ииц.х, £) —осевое перемещение частиц стержня; Е0 и р0 — модуль упругости и плотность материала.

Связь между сосредоточенными массами и стержнями осуществляется только на их торцах х = О, 1Х и /2. В тех же сечениях массы имеют полный контакт вдоль дуги с боковой поверхностью оболочки.

Считая дно оболочки абсолютно твердым телом с массой Ми граничные условия задачи в точке х = 0 запишем в виде

д2 их лц(!)

Mx~=F{t) + 2itaNx + Sl Е0

W=$x = О, (JW — их, 71 = 3,14,

(3)

где — равнодействующая внешних нагрузок, направленная

вдоль оси и имеющая конечную длительность Т\Е(() = 0 при t<^0 и Т); ^ — площадь поперечного сечения первого стержня;

Nх — с1(—— Н—— — продольное усилие в оболочке; с,—

V дх а 1

— ЕНХ{ 1 — V2)”'1 — жесткость первого отсека на растяжение — сжатие.

В точке х=-1х выполняются следующие условия сопряжения решений:

д*их , зи(1) дп№ )

-^- = ^{N7 - МЬ - «1 Е0^- + 52 Е0 |

w+—w =0, ,3jf = = 0, £/(1) = £У(2) = iix —их = их

Здесь 52 — площадь поперечного сечения второго стержня, значения функций слева и справа от точки х = 1х отмечаются значками „4-“ и „—“ соответственно. На правом торце х = 12 выполняются следующие граничные условия

чю=$х = О, £/<» = «,.

Физический смысл силовых граничных условий (3) — (5) состоит в том, что они связывают в соответствующих точках активную силу, действующую на систему, с силами инерции и реактивными силами, развивающимися в системе. Кроме того, принимается, что связи, накладываемые на систему в сечениях х = 0, 1и /2, исключают возможность бокового перемещения и поворота сечения.

Допускается, что механическая оболочечно-стержневая система приводится в движение из равновесного состояния, поэтому начальные условия относительно всех искомых функций — нулевые.

3. Численное решение смешанной задачи (1)—(5) относительно четырех искомых функций их(х, {), но (х, /), $х(х, г) и и(х, /) определяется по явной трехслойной разностной схеме второго порядка точности, которая строится следующим образом. Вводится безразмерная форма представления исходных уравнений, в которой все линейные размеры и перемещения относятся к длине оболочки /2, время — к величине -^2- а угол Зс нормируется относительно множителя а = ]/12 /2//гг. В области определения решения построим равномерную сетку (хт, Ьп) с шагами /гж—1 /И и \-TJM. Введем сеточные функции следующим образом:

ипх,т = их{ткх, Их), ™п-±^™[^т — -^)1гх, пх^ ,

$пх.т = $х(т11х, пх), ипт = и (тЛх, т).

Отметим, что число шагов по длине оболочки следует выбирать так, чтобы точка крепления средней массы Х1 = 1х\1^ = Ькх являлась узлом сетки. Разностная схема, аппроксимирующая уравнения (1)—(2), имеет вид:

Здесь использованы следующие обозначения:

(„»)« = [ъТ - 2г4 + {<&), = «+1 - VI'Ж,

(ъпп); = (*" - vam-^)|hл, = К-и - 2г& + <-і)//£ .

В граничных узлах запишем следующие разностные соотношения:

т = 0;

м1 {и",о)ь = Е У) + С1

2

<± = 0, ,8”, о=0, и% о = б'о ;

та =

(/.)Ъ — " сх 11 ~^Ей{и1)

а 2 _

I С 2

г п \ . V /г

..Иг,!]* Н------------®£ + 1

а + 2

+ 52 Ьй {и[)хг

+±=о, р.и=о, и^^иг-

т = А'":

•/И3 = —с2

'К'лт-ь _! = О, р", .V = 0, и”, л» = ^Удг •

(7)

Величины, обозначенные чертой сверху, вводятся в результате обезразмеривания уравнений (3) — (5) и выражаются через описанные выше константы.

В силу того что в исходной постановке задачи заданы нулевые начальные условия, значения искомых функций для временных слоев п — 0 и 1 полагаем равными нулю.

Разложением в ряд Тейлора нетрудно показать, что разностная схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу со вторым порядком точности. Построенная явная схема является условно устойчивой, т. е. шаги пространственно-временной сетки должны быть связаны определенным соотношением. Критерий устойчивости получим на основе использования теории трехслойных схем А. А. Самарского [6]. Для этого запишем разностную схему (6) в каноническом виде

Ву° + ^Иу-и-'г Л? = /\

где у" = [и", и !_ > Р",ь и’1) , В — нулевая матрица, /?= ~ Е,

_Л? = Л1^+(С + ^)/, (8)

0 0 0 ч

кх о о \

0 1 о г

0 0 1—V2 /

СуЧ =

Щх. і)

О о

о к1 а (р", і)х о

О

О

£ =

О

О

О

О

I о о

О — -

о о о о

о о

о о

-а**! О

о о

По теореме 1 (§ 2 гл. 6 [6]) схема будет устойчива по начальным данным

|| уп+11|< || уп А,

где

1>+1г = 4-и (гг+1+уп), уп+1 +г)+** ^ ~ а );», у? |,

если выполняются следующие операторные соотношения:

5> О, Д = Я*, Л = Л*>0, Ц

Л > О.

О)

Используя следующие априорные оценки:

•(Ауг,. .уХта-ЦуЦ*. (Су, у)<— У^ + ^Иу!

Фу, УХ«2МЯг>

оценим сверху оператор

4

(А У, УХ

Ь!12-

Тогда из последнего условия (9) получим следующий достаточный критерий устойчивости

Ну

г тх

V X

-м Г п <У.2 с)

+ -Гк*

Для практических целей часто требуется определять не только перемещения точек оболочки, а также их скорости либо ускорения. Прямое вычисление этих функций при помощи численного дифференцирования перемещений является неустойчивой процедурой, поэтому в настоящей работе используется следующий подход. Уравнения (1)—(5) дифференцируются по времени требуемое

■«Ученые записки ЦАГИ» № 4

81

число раз и в качестве неизвестных функций выбираются скорости либо ускорения. В силу линейности уравнений их вид не изменится, поэтому для решения может быть использована описанная выше численная схема.

4. Анализ численных результатов. Рассмотрим оболочечно-стержневую систему, составленную из двух цилиндрических отсеков длиной /, = 53 см, /2 — /t = 80 см, толщины их стенок соответственно /г, =0,3 см, /г2 = 0,45 см, радиус оболочки а = 45.5 см, площади поперечных сечений стержней s, = 0,71 см2, s2=l,75 см2, оболочка и стержни выполнены из одного и того же материала— дюраля, который характеризуется следующими численными значениями физических величин v = 0,3, р = 2,7 г/см3, Е=7 ■ 1011 дин/см3; Мх = 104-103 г, Ж2 == 100-103 г, Л43= 1000-Ю3 г.

Результаты, приведенные на рисунках, получены на сетке с шагами в безразмерном виде hx = 1/133 и t/hx = 0,3. Была проведена серия расчетов с шагами в два и четыре раза меньшими, которая показала, что выбранный шаг является оптимальным с точки зрения затрат машинного времени и требуемой точности результатов. При измельчении сетки максимальные значения амплитуд практически не изменялись, в то время как наблюдались незначительные отклонения в частотах.

На рис. 2 различными кривыми представлено прогнозируемое настоящей методикой изменение осевого ускорения их точек срединной поверхности оболочки по х для равнодействующей внешних нагрузок, изменяющейся на интервале /6[0, Т] по закону

F(t) = 3,06• 1010(^1 — cosдин, Т= 10~4 с; вне указанного интервала подводимое воздействие обращается в нуль (F(t) = 0 при £<0 и £ > Г). Различные кривые соответствуют дискретным моментам времени t= const. Время

продольная волна в оболочке проходит всю ее длину (так что моменту t—\ в реальном масштабе времени соответствует значение, равное 249,2 мс). Цифрами 1, 2, 3, 8 на рис. 2 обозначены

кривые, соответствующие моментам времени £ = 0,25; 0,50; 0,75; 2,00.

На начальном этапе развития процесса в окрестности левого торца формируется область аномально высоких значений осевых ускорений их, абсолютный максимум которых достигается внутри области и составляет 550 g, ^ = 9,81 м/с2. С ростом времени этот максимум удаляется от левого торца внутрь области, охваченной возмущением. Этот максимум формируется в основном системой прямых волн и волн, отраженных от массы М2, которая работает почти как „жесткая“ стенка. Этим объясняется тот факт, что доля волновой энергии, перенесенной упругими фронтами во второй отсек х^(11г /2) на порядок ниже энергии, аккумулируемой в первом отсеке.

Пространственная структура профилей горизонтального ускорения, характеризующаяся наличием (для всех моментов времени) множества локальных экстремумов, наглядно отражает волнообразный характер передачи энергии в конструкции с помощью системы прямых и многократно отраженных от границ х = 0, 1Х и /, плоских упругих фронтов.

Профили изгибного ускорения и по х для моментов времени £ = 0,25; 0,50; 0,75 и 1,0 при тех же исходных данных показаны кривыми на рис. 3 (условные обозначения совпадают с используемыми на рис. 2).

Следует отметить, что максимальные амплитуды но в среднем в три раза меньше амплитуд осевых ускорений их. Этот результат объясняется тем, что подводимая к системе энергия механического удара распространяется преимущественно в осевом направлении; на деформацию оболочки в радиальном направлении тратится меньше подводимой энергии.

На всех эпюрах рис. 2 отчетливо наблюдается лишь один ярко выраженный экстремум, расположенный внутри первого отсека оболочки, во втором отсеке происходит резкое уменьшение амплитудных значений ускорения их. Наоборот, законы формирования профилей изгибных ускорений но в интервале х £ [0, /;| характеризуются высокочастотной осцилляцией (особенно на моменты времени £ = 0,5; 0,75; 1,0). Количественные и качественные различия в поведении функций их(х) и 10 (х) свидетельствуют о том, что, во-первых, большая часть энергии механического удара распространяется в осевом направлении через упругие стержни-волноводы и стенку оболочки, а, во-вторых, масса М2 играет роль, аналогичную жесткому защемлению сечения х=1х. Поэтому механизм формирования профилей ускорений их и ш в первом отсеке в основном определяется системой упругих фронтов, отраженных от масс М1 и Л12.

Расчетные осциллограммы осевого ускорения их(1) во времени в точке х — 53 см представлены графиками на рис. 4 и 5 [в последнем случае с помощью переменного модуля упругости £■(£) = = Ей1~1а0=Ю0 учтено влияние конструкционного демпфирования].

Основные закономерности временной эволюции осевого ускорения их в точке * = 53 см определяются законом движения во времени массы М2. Специфику формирования частотных характеристик колебаний этой массы определяют упругие свойства механической системы, в которой возмущение переносится с тремя различными скоростями, и ее геометрические размеры.

и х,см/с

- vflj

-120а

q = 9,8tc*/c‘ Рис. 4

Последовательность резких всплесков ускоренного движения массы М2 чередуется с таким же по величине торможением; масса М2 на исследуемом интервале времени г* б [О, Т0], Т0 = 10 мс быстро вовлекается в движение, выходя на режим собственных колебаний, на которое накладываются незначительные осцилляции волнового характера.

Вследствие диссипации подводимой энергии конструкционное демпфирование значительно снижает пики собственных колебаний массы М2 и увеличивает их период. При этом локальные волновые флуктуации на кривой рис. 5 сохраняются. Даже на исследуемом коротком отрезке времени £б[0, Т0\ конструкционное демпфирование вызывает значительное затухание амплитуды горизонтальных ускорений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ковалев А. М. Линейная осесимметричная реакция составной оболочки вращения на л^дариую нагрузку. „Изв. АН СССР, МТТ“, 1981, № 1.

2. Ляховенко И. А. Метод расчета упругих волн в неоднородных балках. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 3, 1973.

3. Ziv М. Finite longitudinnaly multilayered membrane shells., subjected to impact loads. „А1АА J.“, 13, N 6, ii-75.

4. M я ч e н к о в В. И., Григорьев В. И. Расчет составных оболочечных конструкций на ЭВМ. Справочник. М., „Машиностроение", 1981.

5. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М., „Наука", 1972.

6. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., „Наука". 1971.

Рукопись поступила 24>Х11 1981 г.