CC BY
32
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ЗНАНИЯ йКРг: ЕЁ МЕТАЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ*
Е.Е. Ледников
Кафедра онтологии и теории познания Факультет гуманитарных и социальных наук Российский университет дружбы народов Ул. Миклухо-Маклая, 10а, Москва, Россия, 117198
В статье показано, что авторская первопорядковая модальная логика знания DKpl, является непротиворечивой и полной, что для неё справедливы теоремы компактности, Левенгейма—Ско-лема и интерполяционная теорема Крейга.
Ключевые слова: динамическая логика, эпистемология, методология, металогика.
В большинстве философско-гносеологических концепций понятие знания используется для выражения итога, конечной цели познания. Но для характеристики процесса познания, движения по пути постижения истины, одного понятия знания недостаточно. Вот почему такие глубокие диалектики, как Сократ, Платон и И. Кант привлекали для характеристики познания и другие понятия. Сократ фактически предложил различать степени знания, Платон знанию противопоставлял мнение, а И. Кант, в дополнение к знанию, использовал понятия мнения, веры, убеждённости и достоверности [1. С. 98—99].
Нами было предложено характеризовать процесс достижения знания с помощью понятий убежденности, доказательства, веры, мнения, сомнения и опровержения [1. С. 99]. Но чтобы подобная картина познания приняла вид логически строгого философского дискурса, она должна быть дополнена соответствующей логикой, в рамках которой только и возможно её последовательное и непротиворечивое описание. Такая логика, названная нами DKpr-логикой, была построена в виде исчисления гильбертовского типа и в виде аналитических таблиц в [2], а в [3] была предложена для неё семантика.
В настоящей работе исследуются металогические характеристики DKpr-логики, прежде всего её полнота. Доказательство полноты осуществим для аналитикотабличной формулировки DKpr-логики и для формулировки гильбертовского вида.
DKpr-логика является первопорядковой модальной логикой и сформулирована в первопорядковом предикатном модальном языке PLd. Данный язык содержит в качестве исходных дескриптивных символов счётное множество пропозициональных переменных, индивидных и предикатных переменных, а также логические символы {~, &, V, з, V, 3, =, Кф, Сф, вф, Тф, Бф, Бф, Яф). Символами Кф, Сф, вф, Тф, Бф, Бф, Яф обозначены личностные модальные операторы «субъект ф знает, что...», «субъект ф убеждён в том, что...», «субъект ф доказыва-
* Исследование выполнено при поддержке РГНФ, проект № 07-03-00335а.
ет (обосновывает), что...», «субъект ф верит, что...», «субъект ф полагает, что...», «субъект ф сомневается в том, что...», «субъект ф опровергает, что...» соответственно. Так что если А — произвольная формула классической логики предикатов, ф — индивидный символ для обозначения субъекта знания, убеждённости, доказывания, веры, мнения, сомнения или опровержения, то, СфА, вфА, ТфА, ВфА, БфА, ЯфА и их отрицания — формулы рассматриваемой логики. Если Б — формула вида ПА или её отрицание (где □ — один из модальных операторов DKpr-логики), то все выражения вида КфБ, (Ух)Б, (Зх)Б и их отрицания также являются формулами DKpr-логики.
*
Пусть PL d — расширение языка PLd за счёт добавления счётного множества новых индивидных переменных. В качестве правил редукции в формулировке DКpr-лошки используются правила для а-, Р-, у-, 5-, 8-, V-, п-типов формул. К правилам редукции классической пропозициональной логики (а-правилам и Р-пра-вилам [4. Р. 614]) добавляются правила для кванторов (у-правила и 5-правила), правило для тождества (8-правило) и правила для сильных (у-правила) и слабых (п-правила) модальностей.
Правило удаления истинной формулы с внешним квантором общности и ложной формулы с внешним квантором существования:
[у/у(2)], где 2 — произвольная индивидная переменная языка PL*d. Это правило многократного применения.
Правило удаления истинной формулы с внешним квантором существования и ложной формулы с внешним квантором общности:
[5/5(2)], где 2 — новая индивидная переменная РЬ*й. Это правило однократного применения.
Правило удаления формулы с тождеством (подставимость тождественного): [8/80] А(х, у), X = у/А(х, х).
Правила удаления сильных модальностей:
[(К)у/уо] КфА/А — правило удаления для сильной эпистемической модальности;
правила удаления для сильных модальностей убеждённости [(С)у/уо], дока-зываемости [(в)у/уо], веры [(Т)у/уо], мнения [(В)у/уо], сомнения [(Б)у/уо] и опровержения [(Я)у/уо] отсутствуют.
А вот как будут выглядеть правила удаления соответствующих слабых модальностей:
[(К)п/по] ~КфА/~А (но сначала из столбца вычёркиваются все формулы, кроме (К)у-формул);
[(С)п/по] ~СфА/~А (но сначала из столбца вычёркиваются все формулы, кроме (К)у-формул и (С)у-формул, а (С)у-формулы заменяют (С)уо-формулами);
[(в)п/по] ~вА/~А (но сначала из столбца вычеркиваются все формулы, кроме (К)у-формул, (С)у-формул и (в)у-формул, а (С)у-формулы и (в)у-формулы заменяют (С)уо-формулами и (в)уо-формулами);
[(Т)п/по] ~ТфЛ/~А (но сначала из столбца вычёркиваются все формулы, кроме (К)у-формул, (С)у-формул, (в)у-формул и (Т)у-формул, а (С)у-формулы, (в)у-формулы и (Т)у-формулы заменяют (С)уо-формулами, (в)уо-формулами и (Т)уо-формулами);
[(Б)п/по] ~БфЛ/~Л (но сначала из столбца вычёркиваются все формулы, кроме (К)у-формул, (С)у-формул, (в)у-формул, (Т)у-формул и (Б)у-формул, а (С)у-формулы, (в)у-формулы, (Т)у-формулы и (Б)у-формулы заменяют (С)уо-форму-лами, (в)уо-формулами, (Т)уо-формулами и (Б)уо-формулами);
[(Я)п/по] ~ЯфА/~А (но сначала из столбца вычеркиваются все формулы, кроме (Б)у-формул, а (Б)у-формулы заменяют (Б)уо-формулами);
правило удаления слабой модальности сомнения [(Б)п/по] отсутствует. Столбец аналитической таблицы является замкнутым, если он содержит формулу вида ~(х = х), либо пару формул вида (Л, ~А), либо (КфЛ, БфЛ), либо (КфЛ, ЯфЛ), либо (СфЛ, БфЛ), либо (СфЛ, ЯфЛ), либо (вфЛ, БфЛ), либо (вфЛ, ЯфЛ), либо (ТфЛ, БфЛ), либо (ТфЛ, ЯфЛ).
В доказательстве полноты DKpr-логики будем следовать стратегии, изложенной в [4. Р. 615—618]. Прежде всего, важным в этом доказательстве является модальное свойство непротиворечивости той или иной модальной логической теории.
Множество £ непустых подмножеств формул 51, £2,..., 5п языка PLd образует DKpr-свойство непротиворечивости, если для каждого 5 е £, выполняются правила:
(1.1) если Л — атомарная формула, то неверно, что Л е 5 и ~Л е 5;
(1.2) если х — свободная переменная в некоторой ППФ из множества 5, то 5 и {х = х}е£;
(2) если а е 5, то 5 и {а1, а2 }е£;
(3) если в е 5, то 5 и в1 е£ или 5 и в2 е£;
(4) если у е 5, то 5 и {у(z)} е £ для произвольной индивидной переменной z языка РЁа;
(5) если 5 е 5, то 5 и {5(z)} е £ для новой индивидной переменной z языка РЁ(;
(6) если 8 е 5, (х = у) е 5, то 5 и {80 }е £;
(7) если Ку е 5, то 5 и {Ку0 }е£;
(8) если Кп е 5, то Бк и {Кп0 }е£, где Бк = {у|Ку};
(9) если Сп е 5, то 5С и {Сп0 }е£, где 5С = {у, у01Ку, Су0 };
(10) если вп е 5, то и{вп0}е£, где ={у,у0|Ку, Су0,ву0};
(11) если Тп е 5, то и{Тп0}е£, где ={у,у0|Ку, Су0,ву0,Ту0};
(12) если Бп е 5, то 5Ь и{Бп0}е£, где 5Ь = {у,У0|Ку,Су0,ву0,Ту0,Бу0};
(13) если Яп е 5, то 5Г и {Яп0 }е £, где 5Г = {у0|Бу0 }.
Моделью М DKpr-логики будет структура (и, Н, '^, '^, Wg, Wt, WЬ, Wd, '^, Я*, Я¥, Уа1), где и — предметная область индивидов а, Ь, с, (... (универсум рассуждения), Н — выделенный («реальный» мир), Wk, Wc, Wg, Wt, WЬ, Wd, Wr — множества миров (альтернатив) соответствующей индексу динамической модальности, И* — отношение достижимости на Wk (на эпистемических альтернативах),
Т> V __
Я — отношение достижимости на альтернативах остальных видов модальностей, Уа1 — функция приписывания значений выражениям языка PLd (функция означивания). Отношение Я* обладает свойствами рефлексивности и транзитивности,
Т1V
на отношение Я не наложено никаких ограничений.
Для каждой пары множеств миров Wk, WV существует множество 5 такое, что {5) = {р, q, г, ..., Л1, ..., Лт) = ^^) П ^*2) П ...^*) (где7 — число элементов в Wk), причем {5) с ^^) для произвольного возможного мира WVг■. Другими словами, множество 5 — это общая часть эпистемических альтернатив, которая явля-
~ ~ УХ ^
ется подмножеством множества высказываний произвольной альтернативы \У *. Охарактеризуем теперь с помощью определений функцию означивания Уа1:
Определение 1. Уа1(х) = а е и, то есть любой индивидной переменной х эта функция сопоставляет некоторый индивид а из предметной области и.
Определение 2. Уа1(Рп) = ¥(Рп) = {(аь а2, ..., ап>, (Ьъ Ь2, ..., Ьп), ...), то есть любой п-местной предикатной переменной Рп функция Уа1 сопоставляет объем V, состоящий из множеств упорядоченных п-ок индивидов из и.
Определение 3. Уа1(Л) = И или Уа1(Л) = Л. Другими словами, любой формуле Л языка PLd функция Уа1 сопоставляет семантический объект «истина» или семантический объект «ложь». Эту же мысль можно выразить как М, Wi = Л или М, Wi Ф Л — как выполнимость (соответственно, невыполнимость) формулы Л в возможном мире Wi модели М (разумеется, при функции означивания Уа1, входящей в определение модели М). Отношение выполнимости = (соответственно, невыполнимости Ф) определяется следующим образом:
1) для пропозициональной переменной р или её отрицания ~р: М, Wi = р (~р), если р (~р) е Wг■;
2) для отрицания произвольного неэлементарного высказывания Л, содержащего только те элементарные высказывания, которые принадлежат к Wi: М, Wi = ~Л, если М, Wi Ф Л; М, Wi Ф ~Л, если М, Wi = Л;
3) для а-формул: М, Wi = а, если М, Wi = а) и М, Wi = а2; М, Wi Ф а, если М, Wi Ф а; или М, Wi Ф а2;
4) для в-формул: М, Wi = в, если М, Wi = в1 или М, Wi = в2; М, Wi Ф в, если
м, wг■ ф в! и м, wг■ ф в2;
5) для Kv-формул: М, Wk = Kv, если М, Wl| = Kv0 в каждом Wkj таком, что
WikЯWkj , иначе М, Wlk Ф Kv;
6) для Vv-формул: М, Wгv = Vv, если М, WJ = Vv0 в каждом WJ таком, что WvЯVW7V, иначе М, w7 Ф Vv (1);
7) для Кп-формул: М, Wk = Кп, если М, Wl| = Кп0 в некотором Wl| таком, что WtkЯкWк , иначе М, W;k Ф Кп;
17 1
8) для Vп-формул: М, Wгv = Vп, если М, WJ = Vп0 в некотором WJ таком, что WгvЯVWJ, иначе М, WJ Ф Vп (2);
9) для элементарной формулы исчисления предикатов Рп(х1...хп): М, Wi = Рп(х1...хп), если Уа1(х1), ..., Уа1(хп) е У(Рп), в противном случае М, Wi Ф Рп(х1...хп).
10) для у-формул: М, Wi = у, если М, Wi = y(z) для всех z из ^, иначе М, Wi Ф у;
11) для 5-формул: М, Wi = 5, если М, Wi = 5^) для некоторого z из Wi,
иначе М, Wг■ Ф 5.
Высказывание Л общезначимо (= Л), если М, Н, = Л во всех своих моделях М.
Приведем далее ключевые моменты доказательства по методу М. Фиттинга.
1. Пусть множество £ представляет собой DKpr-свойство непротиворечивости, замкнутое относительно объединения цепей. Пусть 50 е £, а Б0 представляет
собой множество индивидных символов из 50. Пусть {(1, (2, (3, ...) - счётное
множество индивидных символов, не входящих в Б0, а Б = Б0 и {(1, (2, (3, ...). Тогда для 50 существует расширение 5 е £, насыщенное вниз относительно Б (иначе говоря, модельное множество Хинтикки относительно Б).
2. Пусть £ представляет собой DKpr-свойство непротиворечивости, замкнутое относительно объединения цепей, а 5 — множество высказываний в языке PLd, такое, что 5 е £. Тогда, используя £, можно построить для 5 модель (в частности, такова предложенная нами модель М = (и, Н, Wk, Wc, Wg, Wt, WЬ, Wd, Wr, Як, Я^ Уа1), в которой 5 — выполнимо (3).
Теорема о существовании модели позволяет установить полноту DKpr-логики в аксиоматической и табличной формулировке. Так, в первом случае, достаточно установить, что совокупность множеств формул, непротиворечивых в смысле аксиоматической системы DKpr-логики, образует DKPr-свойство непротиворечивости. Рассмотрим некоторую формулу вида ~Л из языка PLd, не являющуюся противоречием. Тогда, очевидно, формула Л не будет доказуема в DKpr-логике. Но поскольку формула ~Л непротиворечива, она, по теореме М. Фиттинга, выполнима. Мы приходим к следующему условному высказыванию: если формула Л недоказуема, то формула ~Л выполнима. Откуда, по закону контрапозиции, следует: если
формула ~Л невыполнима (то есть если = Л), то формула Л доказуема (Ь Л). Сходное рассуждение справедливо и для табличной формулировки DKpr-логики,
если принять во внимание, что множество высказываний языка PLd является непротиворечивым в том случае, когда ни одна аналитическая таблица для них не является замкнутой.
Как известно, из теоремы М. Фиттинга можно извлечь также доказательство теорем компактности, Лёвенгейма—Сколема и интерполяционной теоремы Крейга. Образцы доказательств можно найти в работе [4. P. 619].
Подведём некоторые итоги. Предложенная нами DKp-логш.а обладает не только важными для любой формализованной теории металогическими свойствами, но, что не менее значимо, установленные в ней логические отношения между модальностями, характеризующими этапы, ступени получения знания, находятся в полном согласии с интуитивными представлениями об этих понятиях. Так, вполне естественно, что субъекту познания ф (можно сказать и по-другому — исследователю ф) известны все его умственные состояния, возникающие на пути достижения знания. Другими словами, если субъект ф сомневается в некотором тезисе A, опровергает, полагает его и т.д., то он обязательно знает об этом. Не менее естественной является и упорядоченность всех модальных понятий по их дедуктивной силе, при которой самым сильным является знание, а самым слабым — сомнение. Разумеется, данная логика не подменяет философскую теорию познания как характеристику процесса достижения объективной истины, но может быть для неё полезным подспорьем, придавая философским рассуждениям необходимую логическую строгость и последовательность.
ПРИМЕЧАНИЯ
(1) Разумеется, знак V означает здесь определённый вид сильной модальности, отличной от сильной модальности знания, а не произвольную сильную модальность.
(2) Знак V означает здесь определённый вид слабой модальности, отличной от слабой модальности знания, а не произвольную слабую модальность.
(3) Мы считаем излишним воспроизводить детали доказательства этих двух тезисов, поскольку они с точностью до несущественных различий совпадают с доказательством М. Фиттинга в отношении алетических модальных систем [4. P. 617—618].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ледников Е.Е. Возможность и предпосылки динамической концепции знания // Вестник РУДН. Серия Философия. — 2008. — № 3. — С. 98—102.
[2] Ледников Е.Е. Об одном варианте динамической логики знания // Логические исследования. — М.: Наука, 2007. — Вып. 14. — С. 218—223.
[3] Ледников Е.Е. Семантика первопорядковой динамической логики знания // Логические исследования. — М.: Наука, 2009. — Вып. 15. — С. 129—136.
[4] Fitting Melvin. Model existence theorems for modal and intuitionistic logics // The journal of symbolic logic. — 1973. — V. 36. — N. 4, Dec. — P. 613—627.
DYNAMIC LOGIC OF KNOWLEDGE DKpr: ITS METALOGICAL PROPERTIES
E.E. Lednikov
Department of Ontology and Epistemology Faculty of Humanities and Social Sciences Russian People’s Friendship University Miklucho-Maklay Str., 10a, Moscow, Russia, 117198
The paper shows that the author’s first order modal logic of knowledge DKpr is consistent and complete, that compactness theorem, Lewenheim—Skolem theorem and Craig interpolation theorem may be true of it.
Key words: dynamic logic, epistemology, methodology, metalogic.
