Дифракция звука от точечного источника на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи упругой границы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 5.

УДК 539.3:534.26

DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-289-306

Дифракция звука от точечного источника на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи упругой

границы

Д. Ю. Ефимов

Ефимов Дмитрий Юрьевич — аспирант, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: [email protected]

Аннотация

В статье рассматривается задача дифракции сферической монохроматической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием, расположенном вблизи границы полупространств. Полагается, что цилиндр находится в верхнем полупространстве, заполненном идеальной однородной жидкостью, граничащем с однородным упругим полупространством.

Для представления рассеянного поля в идеальной жидкости используется представление в виде интеграла Гельмгольца-Кирхгофа, которое впоследствии сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье соответствующих разложений полного потенциала поля и его нормальной производной в жидком полупространстве.

Колебания неоднородного изотропного упругого слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды. Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Методом перевала получена асимптотическая формула для дальней зоны поля.

Представлены численные расчеты угловых характеристик рассеянного поля. Выявлено существенное влияние непрерывно-неоднородных покрытий, а также присутствия плоскости вблизи цилиндрического рассеивателя, на дифракционную картину рассеянного поля.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, однородный упругий цилиндр, неоднородное упругое покрытие.

Библиография: 23 названий.

Для цитирования:

Д. Ю. Ефимов. Дифракция звука от точечного источника на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи упругой границы // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 289-306.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.

UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-289-306

Diffraction of sound from a point source on an elastic cylinder with an inhomogeneous coating located near the elastic boundary

D. Yu. Efimov

Efimov Dmitrii Yurevich — postgraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: [email protected]

Abstract

In paper the problem of the diffraction of a spherical monochromatic sound wave on a homogeneous isotropic elastic cylinder with a radially inhomogeneous elastic coating located near the boundary of half-spaces. It is assumed that the cylinder is located in the upper halfspace filled with an ideal homogeneous liquid bordering on a homogeneous elastic half-space.

To represent a scattered field in an ideal fluid, a representation in the form of the Helmholtz-Kirchhoff integral is used, which is subsequently reduced to a system of linear algebraic equations with respect to the Fourier coefficients of the corresponding expansions of the total potential of the field and its normal derivative in a liquid half-space.

The oscillations of an inhomogeneous isotropic elastic layer are described by the general equations of motion of a continuous medium. To find the displacement field in an inhomogeneous coating, a boundary value problem for a system of second-order ordinary differential equations is constructed.

The asymptotic formula for the far field zone is obtained by the steepest descent method.

Numerical calculations of the angular characteristics of the scattered field are presented. A significant influence of continuously inhomogeneous coatings, as well as the presence of a plane near a cylindrical diffuser, on the diffraction pattern of the scattered field is revealed.

Keywords: diffraction, sound waves, uniform elastic cylinder, inhomogeneous elastic coating.

Bibliography: 23 titles.

For citation:

D. Yu. Efimov, 2023, “Diffraction of sound from a point source on an elastic cylinder with an inhomogeneous coating located near the elastic boundary” , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 289-306.

1. Введение

Задачи дифракции плоских гармонических звуковых волн на изотропных упругих телах цилиндрической формы обсуждалисв в ряде работ. Например, случай нормалвного падения на однородный упругий цилиндр исследовался в (1], а случай наклонного падения - в (2]. В работах (3,4] решалисв задачи рассеяния наклонно падающей звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием. При этом в работе (3] покрытие полагалосв радиалвно-неоднородным, а в (4] - дискретно-неоднородным.

Однако падающую волну можно считатв плоской, если расстояние от источника звука до рассеивателя значителвно болвше длины волны. На практике приходится учитыватв криволи-нейноств фронта падающей волны. Поэтому изучение дифракции звуковых волн, излучаемых цилиндрическими и сферическими источниками, представляет значителвный интерес.

Рассеяние цилиндрической волны на упругом цилиндре рассматривалосв в [5], а задача дифракции цилиндрических звуковых волн упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием решена в [6]. Задачи дифракции сферических звуковых волн на рассеивателях цилиндрической формы являются значителвно более сложными по сравнению со случаями дифракции плоских и цилиндрических форм, так как геометрия тела и фронта падающей водны в этом случае различны. Такие задачи исследовалисв в [7-9]. В [7] решается задача дифракции сферической звуковой волнв1 однородным упругим цилиндром с применением потенциалов Дебая. В [8] показано, что решение задачи рассеяния сферических звуковых волн на упругом рассеивателе цилиндрической может быть получено с исполвзованием известного решения рассеяния наклонно падающей плоской звуковой волны, а в [9] данный подход был применен для случая упругого цилиндра с неоднородным упругим покрытием.

В ряде работ исследоваласв возможности изменения звукоотражающих свойств тел с по-мощвю непрерв1вно-неоднороднв1х упругих покрытий путем выбора соответствующих законов неоднородности для механических параметров покрытия. Например, моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами осуществлено в [10].

В упомянутых ввпне работах полагалосв, что цилиндрические тела располагаются в безграничном пространстве. Однако в реалвности тела находятся в присутствии ограничивающих поверхностей, влияние которых на рассеянное акустическое поле является значительным. В работах [11-14] решались задачи рассеяния плоской звуковой волны упругим цилиндром с радиально-неоднородным покрытием, расположенном вблизи идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой) поверхности. В [11, 12] рассматривался случай нормального падения, а в [13, 14] - случай наклонного падения. При этом в [11, 13] решались прямые задачи дифракции, а в [12, 14] обратные задачи о моделировании неоднородных покрытий с требуемыми звукоотражающими свойствами. Во всех четырех работах задача решалась методом мнимых источников. В [15] с использованием интегральной теоремы Гельмгольца-Кирхгофа получено решение задачи дифракции звука на однородном изотропном упругом цилиндре, находящемся вблизи упругого или импедансного полупространства. Используя тот же подход, в [16] была рассмотрена задача дифракции цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства. При этом следует отметить, что метод, используемый в [15,16] не ограничивает тип рассматриваемой звуковой волны.

В настоящей работе рассматривается задача дифракции сферической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с упругим радиально-неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства.

2. Постановка задачи

Рассмотрим бесконечный однородный и изотропный упругий цилиндр радиуса го, материал которого характеризуется плотностью ро и упругими постоянными Ао и ро- Цилиндр имеет покрытие в виде радиально-неоднородного упругого изотропного слоя, внешний радиус которого равен г\. Цилиндр с покрытием находится в идеальной жидкости с плотностью р* и скоростью звука с, граничащей с однородным изотропным упругим полупространством с плотностью pi и упругими постоян ными Ai и Ось цилиндра параллельна границе упругого

полупространства и отстоит от неё на расстоянии d.

Введем прямоугольную декартову систему координат х, у, z так, чтобы координатная ось z совпадала с осью вращения цилиндра. С прямоугольной системой координат свяжем цилиндрическую систему координат r,p,z.

Полагаем, что плотность материала покрытия р является непрерывной функцией ради-

альной координаты г, а модули упругости материала покрытия Аид- дифференцируемыми функциями координаты г. В системе координат х, у, z граница упругого полупространства определяется уравнением у = —d.

В полупространстве, заполненном идеалвной жидкоствю, находится точечный источник, который генерирует гармоническую сферическую звуковую волну с частотой ш и амплитудой А. Положение источника определяется точкой Mq, имеющей цилиндрические координаты (ri, ^i, Zi). Точка наблюдения М имеет координаты (г, р, z).

Определим акустическое поле в жидком полупространстве.

3. Аналитическое решение

Потенциал скорости гармонической звуковой волны, излучаемой сферическим источником в свободном пространстве, представим в виде

Ф0 = AGq (R, Ri) exp (—iixt)

(1)

где A - амплитуда; G0 (R, Ri) =

exp (ik |R — Rj|)

трехмерная функция Грина для свобод-

4 л | R — Ri |

ного пространства; к = ш/с - волновое число жид кости; R и R^ - радиус-векторы точек М и Mq; t - время. Временной множители exp (—iwt) далее опускается.

Потенциал скорости полного акустического поля в жидком полупространстве будем искатв в виде

Ф = Фо + Ф,1 + Ф,2, (2)

где Ф51 - потенциал скорости волны, отраженной от упру гой поверхности; Ф^ - потенциал скорости рассеянной цилиндром волны (с учетом многократного переотражения между цилиндром и упругой поверхноствю).

Скорости частиц v и акустическое давление р в содержащей жидкости определяются формулами

v = grad Ф, р = гр*ш Ф.

Полное звуковое поле в верхнем полупространстве удовлетворяет интегралвному уравнению Гелвмголвца [17]

Ф (R) = AG (R, Ri) +

Ф^2)

dG (R, R2) дФ (R2)

дп

дп

G (R, R2)

dQ.

(3)

Здесв G (R, R2) - трехмерная функция Грина для уравнения Гелвмголвца; Q = Qi + Q2, Qi -поверхности упругого полупространства, Q2 - внешняя поверхности покрытия цилиндра. При интегрировании по поверхности Qi точкa R2 находится на поверхности полупространства и дифференцирование выполняется по внешней нормали к поверхности Qi, а в интеграле по поверхности Q2 точк a R2 находится на поверхности цилиндра и дифференцирование происходит по внешней нормали к поверхности Q2.

Используя разложение сферической звуковой волны по цилиндрическим волновым функциям, представим Gq (R, R2) в виде [18]

Go (h)

СЮ

Go (R, R2) = 8^/ ^о (h) dh,

— Ю

eih(z—Z2)

т ein((p—tp 2)

П= — Ю

Jn(khr)Нп (khr2), Jn (khG) Hn (khr),

г < Г2; Г > Г2,

(4)

где Jn (ж) и Нп (ж) - цилиндрические функции Бесселя и Ганкеля первого рода порядка п соответственно, kh = Vк2 — h2.

Для того, чтобв1 в (3) исключитв интегрирование по бесконечной поверхности Qi, воспользуемся функцией Грина [16]

G (R, R2) = Go (R, R2) + G1 (R, R2),

(5)

где Gi (R, R2) - некоторая функция, представляющая акустическое поле, полученное при отражении первичной волны Go (R, R2) от поверхности Qi. Таким образом функция Грина (5) определяет поле точечного источника в пространстве внешнем к поверхности Qi, т.е. является функцией Грина полупространства.

Запишем функцию (4) в декартовой системе координат. Восполвзуемся теоремой сложения для цилиндрических волновых функций [18]

ГО

Ho (kh |r — r2|) = £ emG-^

П=-ГО

{

Jn (khr) Hn (khV2), Jn (khr2) Hn (khr),

r < r2; Г > Г2.

Такое выражение содержится в формуле (4). Определим связв между декартовыми и цилиндрическими координатами выражениями х = г cos у = г sin Х2 = Г2 cos ^2, У2 = G sin ^2-

Тогда исполвзуя интегралвное представление цилиндрической функции Ганкеля первого рода нулевого порядка [18]

Ho (kh |r — r2|)

exp [ikh sin <pi (x — X2) + ikh cos <pi ф — У21] d<pi,

где Г - контур Зоммерфельда на комплексной плоскости <^i (пределы интегрирования от —ж/2 + гж до п/2 — гж), получим выражение для Go (R, R2), записанное в декартовой системе координат

Go (R, R2)

exp (гк |R — R2|) 4п |R — R2|

ГО ГО

= 8-2 J J exp [ikhC (х — Ж2) + ikhy ly — У2| + ih (z — Z2)] .

— CO — CO

Тогда, основываясв на (6), функция Gi (R, R2) может бытв записана как

ГО ГО

Gi (R, R2) = 8^2 J J А' (£, h) exp [ikhi (х — Ж2) + ikhy (у + У2) + ih (z — Z2)]

d(dh

,

V

—ос —ос

(6)

(7)

где A/i (ф h) = exp (i2khdy) Ai (ф h), у = y/l — £2, Ai (ф h) - коэффициент отражения плоской водны единичной амплитуды, падающей на упругое полупространство.

Функция Грина (5) удовлетворяет на поверхности раздела идеалвной жидкости и упругой поверхности тем же граничным условиям что и потенциал скорости акустического поля

У

d :

■iwuiy

dG

~д^, aiyy

iшp*G, o'ixy — 0, o'izy — 0,

где Uiy n oiyy, &ixy, oizy - нормальная компонента вектора смещения и компоненты тензора напряжений в упругом полупространстве. При таком выборе функции Грина интеграл по поверхности полупространства Qi в (3) обращается в ноль, и остается только интеграл по поверхности цилиндра Q2.

Задача об отражении плоской звуковой волны, падающей на границу раздела идеалвной жидкости и упругой поверхности решена в [19]. Коэффициент отражения плоской волны, падающей на границу полупространств под полярным и азимутальным углами падения ф, имеет вид

А\ (фь Ф)

di - d2 d\ + d2’

(8)

где

di

ky [Афц (2kiTy Фг) + 2Pikiiy (кцу (2фт^

к 1т) + ‘Zkiry (кх + ф))] ,

d2 = кцу к\т ш2р*.

Здесь кх = к sin ф sin ку = к sinф cos kz = к cos ф; кц = ш/сц и kiT = ш/с\т — волновые числа продольных и поперечных упругих волн в упругом полупространстве; Си = у/(А 1 +2р\) /р! и Сцт = \[~РлТр1 - скорости продольных и поперечных волн;

кцу = yjk2t - к2х - к2, киту = ^к\т - к| - к2.

Выполняя в (7) замену переменных х = г cos р, у = г sin р, Х2 = Г2 cos р2, У2 = G sin <^2, £ = sin р^ у = cos pi а в (8) кх = kh sin р^ ку = kh cos р^ kz = h, Gn (R, R2) примет вид

Gi (R, R2) = ^ J j A'i (Pi, h) exp [ih (z - Z2)] x —го г

x exp [ikhr sin (p + pi)] exp [-ikhr2 sin (pi - p2)\ dp>1dh. Используя разложение [18]

ГО

exp(±ikr sin p) = Y^ (±1)mJm (kr) exp (imp),

rn=—ro

ПОЛУЧИМ

Gi (R, R2)

00

г

го

8n2 I I ^ 1 (^i,h) clh(z Z2) Y Jn (kh,r)exp[in (p + pi)] — го г П=—Ж

го

< Y (-!)mj™ (khG) exp [im (pi - ^2)] dpidh.

m=—oo

(9)

Определим потенциал скорости полного акустического поля на внешней поверхности покрытия цилиндра ^2- Представим его, а также нормальную составляющую скорости частиц жидкости на поверхности Q2 в виде рядов Фурье по координате р и интегралов Фурье по координате z

Ф|

г=п

Pq (Ф exp (iqp) da,

(10)

<9Ф

дп

Г=Г\

vq (a) exp (iqp) da,

(11)

где pq (а) ж vq (а) - коэффициенты, подлежащие определению.

В уравнении (3) устремим точку наблюдения на поверхность Q2 и учтем, что при выборе функции Грина в виде (5) достаточно ограничиться интегрированием по поверхности ^2- Подставим в левую часть (3) разложение (10), а в первое слагаемое правой части (3) - функцию

Грина в виде суммы (5), составленной из суммы выражений (4) и (9), в которых Г2, Р2 следует заменить на п, В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что координата положения сферического источника Zi = 0. Далее подставим разложения (10), (11) и функцию Грина (5) в подынтегральное выражение уравнения (3). При этом дифференцирование по нормали следует выполнять по переменной Г2- При выполнении дифференцирования выражения (4) следует выбрать нижнюю строчку в первом слагаемом, определяемым формулой (8). После выполнения дифференцирования следует положить г = г2 = Т\.

Осуществляя интегрирование по поверхности цилиндра dQ2 = r\d^2dz2, р2 £ [0, 2-л] ,

Z2 £ (-то, го), при интегрировании по ко ординате 22 будем пользоваться следующими свойствами (17]

СЮ

У exp [г (а — h) z] dz = 2nS (а — h),

— Ю

b

J f (a) 6 (a — h) da = f (h), a £ [a, b],

a

где 5 (x) - дельта-функция Дирака. В результате получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов pq (h) и vq (h)

где

pq (h) + aq (h) vq (h) + ^

П= — Ю

Pqn (h) Pn (h) + (h) vn (h)

Xq(h),

q = —го, ...го, q £ Z , h = —го, ...го, h £ R ,

aq (h)

Hq (khri) khH'q (khr 1),

^(V = £ir s„+, W,

№ (h) = (—1)n+1

Jn (khri)

khH'q (fan)

9n+q (h) ,

(12)

Xg (h)

A

A^2khriH'q (fan)

Hq (khri)exp(—iqpi)+ ^ (—1)mJm (fan) exp (—impi) gm+q (h) ,

т=—ю

9i(h)

A1 (p1,h) exp [i (2fad cos p1 + lp1)] d<p1.

9i (h) = - J A1 (p1,h)exp [i (2fad cos P1 + 1^1)] dp1. r

Для вычисления коэффициентов gi (h) следует выполнить замену Д = sin ^д, щ = cos ^д. В таком случае интегралы будут вычисляться не по комплексному контуру Г, а по вещественной прямой

СЮ

9i (h) = - / AI1 Д1,h)(rn + ifa)1 —, (13)

к J 91

— Ю

где N1 (h,fa) = exp (i2fadg1) А1 (h,fa). Следует отметить, что при осуществлении интегрирования в (13) функция А1 (h, £1) может обращаться в бесконечность в некоторых точках fa (h).

Однако все такие точки являются интегрируемыми особыми точками в смысле в главного значения.

Теперв восполвзуемся резулвтатами работы [9]. Согласно [9] компоненты вектора смещения и в неоднородном упругом покрытии представляются в виде рядов Фурве по координате р и интегралов Фурве по координате z

иг (г, р, z)

uv (г, р, z)

uz (г, р, z)

Uiq (г, h) exp [iq (р

U2q (г, h) exp [iq (p

U3q (r, h) exp [iq (p

Pi)] dh,

Pi)] dh,

Pi)] dh,

(14)

где функции U\q (r, h), U2q (r, h), U3q (r, h) для каждого qvi h являются решением следующей системы линейнвк обвгкновеннвк дифференциальных уравнений второго порядка

A „ U" + B „ U' + C а U = 0,

(15)

Ч'-’ q ' q ~r q

где Ug = (U\q (r, h), U2q (r, h) , U3q (r, h))T; Aq, 13q, (3q - матрицы третвего порядка с элементами, приведенными в (9].

Граничные условия на внешней поверхности покрытия заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц неоднородной упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений при г = Г\:

—гшиг = vr,

Crr — Р, — Ф &rz — Ф

(16)

где щи vr - нормальные компоненты векторов смещения и скорости; агг, аГ1р, arz - компоненты тензора напряжений в упругом неоднородном покрытии.

Используя обобщенный закон Гука (20] с учетом (14), будем иметь

г °° Г Д

vrr =1^2 (Х + 2р) и1 я (r, h) + - (иЧ (r, h) + iqU2q (r, h) + ihrU3q (r,h))

_ q=—oc

—oo H

Qq (p, z, h) dh,

q= — oc

CO

-Ulq (r,h) + U' (r,h) - U2q (r,h)

Qq (p, z, h) dh,

(Jrz — SR P [u3iq (r, h) + ihUiq (r, h)] Qq (p, z, h) dh,

~ q=—oc

— ooH

(17)

где Qq (p, z, h) = ethz exp [iq (p — pi)].

Подставляя (10), (11), (14) и (17) в первые два граничных условия (16), получаем

—

Рд (h)

Vq (h) = —iwUlq (ri,h) exp (—iqpi),

(X + 2p) U[q (vi,h) + ^ (Uiq (ri,h) + iqU2q (ri,h) + ihriU3q (ri,h))

x — exp(-iqpi). p* ш

Подставляя выражения (18) в систему (12), получаем краевое условие при г — Г\ для нахождения частного решения системы (15)

F\qи[д (n, h) + F^Uiq (n,h) + F3qU2q (ri, h) + FAqU3q (n,h) + + ^ FinU[n (r\,h) + F^Uin (r\,h) + F3nU2n (n,h) + FAnU3n (n,h)

n=—<x>

— X (h),

F3qn —

(19)

q — -ж, ...ж, q £ Z , h — -ж, ...ж, h £ R ,

где

г

Fiq —------[X (ri) + 2p (n)] exp (-iqifi)

F U) = Л_

2q p* ш

p*w

x (Г\) + t)2 (khri)

+ Ш p

FAq = -

n ■ khz}i) (khn) h\ (ri)

, • ч r? (ri) / ■ \

exp (—iq<pi), F:iq — - _ _ _ exp (—iq^i),

rip*W

p* Ш

exP (-iq^i), F5qn = (-l)n J*t ^i)9n+q (h)

Zif) (khn) — Hg (khn), Z(2) (khri) — Jg (khn) .

Другие краеввге условия, которым должна удовлетворятв система (15) при г — ri, находим из третвего и четвертого граничных условий (16) с учетом (17)

iqUiq (n,h) + riU2q (n,h) - U2q (n,h) — 0,

u3q (n,h) + ihUiq (ri,h) = 0. (20)

На внутренней поверхности покрытия при переходе через границу раздела упругих сред должнв1 бвив непрерв1внв1 составляющие вектора смещения частиц, нормальные и тангенциальные напряжения при г — Vq:

Ur — UQr, U{^ — , Uz — Uqz , (Jrr — O'Orr, @r<p — ^0r^, ®rz — &0rz, (21)

где u0r, u0lf, u0z m o0rr, a0rv, o0rz - компоненты вектора смещения и компоненты тензора напряжений в однородном упругом цилиндре.

В результате преобразований, аналогичных приведенным в (9], из (21) получаем еще три условия, которым должна удовлетворять система (15) при г — го

(4 A q и' + F, Ид) —0. (22)

Компоненты матрицы Fq в уравнении (22) приведены в [9].

Решение краевой задачи (15), (19), (20), (22) может быть найдено методом сплайн-коллокации (21] для q — -N, -N + l,..., 0, l,..., N, выбрав в качестве порядка усечения величину N — 2 Дщ] + 1, где [ ] - целая часть числа. После нахождения Uiq (г, h), U2q (г, h), U3q (г, h) определяем по формулам (18) коэффициенты pq (h), vq (h). В результате получаем аналитическое описание потенциала скорости полного акустического поля и нормальной составляющей скорости на поверхности цилиндра.

Теперь определим потенциал скорости полного акустического поля в точке наблюдения М. Обратимся к интегральному уравнению (3), используя представление потенциала Ф в виде (2), запишем выражения для Фо, Фщ, Ф^2- Будем иметь

Фо (h)

ГО

Фо

a-L

8ж

Ф0 (h) dh,

Ahz

£

0in(tp—tpi)

п= — оо

f Jn (khr) Hn (khn), 1 Jn (khn) Hn (khr),

r < n; r > n,

(23)

Фв1

A—

8k

ГО

e

ihz

ro

^2 Jn (khr)exp(iwp)

ГО

^2 (-!)mJm (khn) exp (-imifii)gn+m (h) dh, (24)

— ГО

n=-ro

m=-ro

Ф-2 = //

&2

Подставим в (25) разложения (10), (11), а также функцию Грина в виде суммы (5), в которой первое слагаемое определяется нижней строкой формулы (4), а второе слагаемое -формулой (9). Интегрируя по поверхности цилиндра, получаем

Ф(Я2)

dG (R, R2) дФ (R2)

дп

дп

G (R, R2)

dQ2.

(25)

Фз2 = ethz ^2 [Ря (h) khJ'q (khr{) - vq (h) Jq (khn)] x

4

q=-ro

Hq (khr) exp (iqip) + (-l)q ^ Jn (khr) exp (inp)gn+q (h)

dh,

n=—oo

(26)

где коэффициенты pq (h) и vq (h) определяются согласно (18). Потенциал скорости рассеянного поля имеет вид

Ф3 = Фв1 +Ф32.

(27)

4. Асимптотические формулы

В дальней зоне акустического поля (кг ^ 1) интегралы (24) и (26), могут быть вычислены методом перевала (22]:

Jg (1)ewf‘-')d1 A wlf*bo )|g (Ю) ew«->0)+'*. W » 1, (28)

П V

где С - некоторый контур та комплексной плоскости 7; ф - угол, определяющий направление линии наибыстрейшего убывания функции Re f (7), проходящей через точку перевала 70, определяемую как точку резкого максимума функции f (7), т.е. Д(7о) = 0 /"(lo) = 0.

Рассмотрим интеграл (26). Используя асимптотические формулы для цилиндрических волновых функций (23]

Hq (khr) ^ \j~~2~r exp [i (khr - vq/2 - ^/4)] , Jn (khr) cos (khr - кп/2 - ж/4)

а также тождество cos (х) = (егх + е~гх) /2, позволяющее записатв асимптотическую формулу функции Бесселя через экспоненциальные функции, представим интеграл (26) в виде суммы трех интегралов, каждый из которых может быть вычислен методом перевала при кг ^ 1

т %fi

ф<2 = т £

q= — <x>

hg exp (iqp) + -(-1)9 ^ (hqn + hgn) exp (imp)

n=—oo

СЮ _____

= (-,)’

wq (h) exp (ikhr) dh,

9n+q (h) Wq (h) exp (ikhr) dh,

hqn = гпеш/4 J elhz^j-J2-gn+q (h) Wq (h) exp (-ikhr) dh,

Wq (h) = Pq (h) khJ'q (^hO) — Vq (h) jq (fchO) .

В каждом из полученных интегралов выполним замену h = к sin 7:

hq = (-i)q е

qe-in/4 j ^

2

■ккг cos 7

exp

ikr ^ - sin 7 + cos 7^ wq (k sin 7) к cos pdp,

hqn = (-i)n&~

2

жкгcos 7

exp

ikr sin 7 + cos 7^ gn+q (k sin 7) wq (k sin 7) к cos pdp,

hqn = inem/i

2

■ккг cos 7

exp

ikr (^- sin 7 — cos 7^ gn+q (k sin 7) wq (k sin 7) к cos pdp.

Точка перевала для интегралов и hqn определяется как

7о = arctan ^ -^J ,

а для интеграла hqn

70 = — arctan ^ - j .

Определим направление линии наискорейшего спуска из точки 70. Запишем разложение в ряд Тейлора функции f (7) вблизи точки 70

f (7) - f (7о) + 2f //(7о)(7 — 7о)2.

Выполним параметризацию f //(р0) = |///(70)| exp (г arg f //(р0)), 7 — 70 = pexp(iф). Получим

f (7) — f (70) = 2р2 |///(70)| exp [i (2ф + arg ///(70))] .

Теперь найдем те направления, вдоль которых разность Re [/(7) — f (70)] быстрее всего убывает с увеличением 7 a Im [/(7) — f (70)] остается неизменной. Тогда направление наискорейшего спуска может быть найдено из уравнения

2ф + arg f// (70) = п + 2ъ1, I Е Z

(29)

По формуле (29) получаем ф = - л/4 для интегралов iig и hgn, ш ф = л/4 для интеграла hgn-В резулвтате в соответствии с (28) будем иметв

I1q к- (-i)q+l exp ikr у-sin 70 +cos y0J wq (к sin 7o)cos 70,

2 ~ f z

hgn к -(—i)n+1 exp ikry-sin 70 +cos 70 J gn+q (k sin 70) wq (k sin 70) cos 70

hgn к - in+1 exp

\r

ikr(^ sin 70 — cos 70 ) gn+g (k sin 70) wq (k sin 70) cos 70.

(30)

В частном случае, когда точка наблюдения и точка, в которой находится источник, расположены в одной плоскости, перпендикулярной оси, т.е. z = 27 выражения (30) значителвно упрощаются и принимают вид

/1, к -(—i)»+4 (0)exp<iM,

hgn к -(—г)п+1дп+д (0) wq (0)

exp (ikr)

hgn к -in+1gn+q (0) wq (0)

exp (—ikr)

И асимптотическая формула для далвней зоны акустического поля может бытв записана в виде

т гГ1

Ф*2 к

-г

д= — ж

hq exp (iqip) + ^ W2qn exp (inp)

Wq (0),

(31)

где

hq = (—i)q+1 exp (ikr), W2gn = (-1)9+1 sin (™ — kr^j gn+q (0)

Wq (0) = Pq (0) kJg (кгф) - Vg (0) Jg (кгф).

Используя ту же процедуру, что и для предыдущих интегралов, может быть получена асимптотическая формула для Ф51 в дальней зоне акустического поля при 2 = Zi

Ф

s1 к

-А4— ^ sin (™ - kr^j exp (inp>) ^ (-1)mJm (kri)exp(-impi)gn+m (0). (32)

Г

n= — oo

n=—oo

m=—oo

5. Численные исследования

На основе полученного решения были проведены расчеты угловых характеристик рассеянного акустического поля |Ф*М1 в дальней зоне (г = 100 м) в плоскости 2 = 0.

Полагалось, что алюминиевый цилиндр (р0 = 2.7 ■ 103 кг/м3, А0 = 5.3 ■ 1010 Н/м2, Ц0 = -.6 ■ 1010 Н/м2) радиуса Г0 = 0.8 м с неоднородным упругим покрытием толщиной

0.2 м располагается в полупространстве, заполненном водой (р* = 103 кг/м3, с = 1485 м/с) и отстоит от границы полупространств на расстояние d = 1 + п м. Упругое полупространство характеризуется параметрами: р1 = 7.85 ■ 103 кг/м3, А1 = 1.2 ■ 1011 Н/м2, р1 = 7.9 ■ 1010 Н/м2 (сталь). Рассматривалось как однородное полимерное покрытие с характерной плотностью р0 = 1.07 ■ 103 кг/м3 и характерными модулями упругости А0 = 3.9 ■ 109 Н/м2, р° = 9.8 ■ 108 Н/м2 (поливинилбутираль), так и неоднородное покрытие, механические характеристики которого менялись по законам:

Р = Р° ■ f М, А = А0, р = р°

где

/ (г) = (г — Го) / (ri - Го) + 0.5, Го ^ г ^ Г1.

Предполагалось, что сферический источник излучает звуковую волну единичной амплитуды и располагается в точке с координатами Г{ = 4, ^ = ^/4, ^ = 0.

На рис. 1 представлены зависимости амплитуды рассеяния \Ф5/Д\ от полярного угла ^ при волновом размере тела кг1 = 5. На лучах диаграмм отложены значения безразмерной амплитуды рассеяния, вычисленной для соответствующих значений угла Сплошная линия соответствует случаю неоднородного покрытия, пунктирная - однородному покрытию. Сравнение диаграмм направленности для тел с однородным и неоднородным покрытиями показывает, что неоднородность покрытия существенно влияет на дифракционную картину.

На рис. 2 приведены угловые зависимости \Ф5/А\ при значении волнового размера кг1 = 5 для случая цилиндра с неоднородным покрытием, расположенном вблизи границы упругого полупространства (сплошная линия), и для того же цилиндра, находящегося в безграничном пространстве [9] (пунктирная линия). Как видно из диаграмм направленности, присутствие подстилающей поверхности сильно влияет на характер рассеяния звука.

Рис. 1: Диаграммы направленности в случае упругой поверхности

Следует отметить, что полученное решение не ограничивается рассмотрением только упругой границы полупространства. В том случае, если цилиндр расположен вблизи абсолютно жесткой поверхности, функция Грина (7) при у = —d должна удовлетворять условию

dG

ду

= 0.

Если же поверхность является акустически мягкой, то

(33)

G = 0 (34)

при у = —d.

Условие (33) выполняется при А1 = 1 а условие (34) при А1 = —1 [15]. Тогда выражение (13) может быть сведено к интегральному представлению цилиндрической функции Ганкеля [18]. Получаем gi (h) = ±(—i)-1 Hi (2k^d), где знаки плюс и минус относятся к абсолютно жесткой и акустически мягкой поверхностям соответственно.

Рис. 2: Диаграммы направленности в случае упругой поверхности

На рис. 3 и 4 изображены диаграммы направленности рассеянного акустического поля для цилиндра с покрытием, расположенного вблизи абсолютно жесткой и акустически мягкой поверхностей соответственно. Значение волнового размера полагалось кг\ = 5. При этом сплошные линии соответствуют случаю неоднородного покрытия, пунктирные - однородного покрытия.

Рис. 3: Диаграммы направленности в случае абсолютно жесткой поверхности

Сравнивая кривые на рис. 1, 3 и 4 можно сделать вывод о том, что тип границы полупространства оказывает существенное влияние на рассеянное акустическое поле.

Рис. 4: Диаграммы направленности в случае акустически мягкой поверхности

6. Заключение

В настоящей работе получено точное решение задачи дифракции сферической звуковой волны на упругом цилиндре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства. На основе полученного аналитического решения проведены численные расчеты, показывающие возможность изменять звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел с помощью непрерывно-неоднородных покрытий.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Л.А. Толоконникову за постановку задачи, постоянное внимание и полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Faran J. J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. Vol. 23, № 4. P. 405-418.

2. Flax L., Varadan V. K., Varadan V. V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. Vol. 68, № 6. P. 1832-1835.

3. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.

4. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.

5. Lee F. A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. Vol. 13, № 3. P. 26-31.

6. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция цилиндрических звуковых волн на упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 1. С. 460-472.

7. Клещев А. А. Дифракция звука от точечного источника на упругой цилиндрической оболочке // Акустический, журн. 2004. Т. 50, № 1. С. 86-89.

8. Li Т., Ueda М. Sound scattering of spherical wave incident on a cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1990. Vol. 87, № 5. P. 1871-1879.

9. Толоконников Л. А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19. Вып. 4. С. 215-226.

10. Толоконников Л. А., Ларин Н.В., Скобелвцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. № 4. С. 189-199.

11. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности // Известия Тулвского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276-289.

12. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. О влиянии неоднородного покрытия упругого цилиндра на рассеяние звука в присутствии плоской поверхности // Известия Тулвского гос. ун-та. Технические науки. 2020. Вып. 9. С. 111-118.

13. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием, находящимся вблизи плоской поверхности // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21. Вып. 4. С. 369-381.

14. Ефимов Д. Ю. Моделирование непрерывно-неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами в полупространстве // Известия Тулвского гос. ун-та. Технические науки. 2021. Вып. 4. С. 125-133.

15. Шейдеров Е.Л. Дифракция звука на упругом цилиндре, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Акустический жури. 2002. Т. 48. № 2. С. 266-276.

16. Толоконников Л. А., Ефимов Д. Ю. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, расположенном вблизи поверхности упругого полупространства // Прикладная математика и механика. 2021. Т. 85. Вып. 6. С. 779-791.

17. Шейдеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 304 с.

18. Иванов Е. А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

19. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

20. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

21. Заввялов Ю.С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980, 352 с.

22. Илвин А. М., Данилин А. Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с.

23. Лебедев И. И. Специалвные функции и их приложения. М.: Физматгиз, 1963. 358 с.

REFERENCES

1. Faran, J. J. 1951, “Sound scattering by solid cylinders and spheres”, J.Acoust. Soc. Amer., vol. 23, no. 4, pp. 405-418.

2. Flax, L., Varadan, V. К. к Varadan, V. V. 1980, “Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 68, no. 6, pp. 1832-1835.

3. Tolokonnikov, L.A. 2013, “Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2,

pp. 265-274, fin Russian].

4. Larin, N.V. к Tolokonnikov, L.A. 2015, “The scattering of a plane sound wave by an elastic cylinder with a discrete-layered covering”, J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.

5. Lee F. A. 1963, “Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder”, Acustica, vol. 13, no. 3. pp. 26-31.

6. Tolokonnikov, L.A. к Efimov, D.Yu. 2021, “ Diffraction of cylindrical sound waves by an elastic cylinder with radially inhomogeneous coating”, Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 1, pp. 460-472, fin Russian].

7. Kleshchev A. A. 2004, “Diffraction of point-source-generated sound by an elastic cylindrical shell”, Acoustical physics, vol. 50, no. 1, pp. 74-76.

8. Li T., Ueda M. 1980, “Sound scattering of spherical wave incident on a cylinder”, J. Acoust. Soc. Amer., vol. 87, no. 5, pp. 1871-1879.

9. Tolokonnikov, L. A. 2018, “Diffraction of a spherical sound wave by an elastic cylinder with an non-uniform coating Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 4, pp. 215-226, fin Russian].

10. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. к Skobel’tsvn, S. A. 2017, “Modeling of inhomogeneous coating of an elastic cylinder with given sound-reflecting properties”, J. Appl. Mech. and Techn. Physics, no. 4, pp. 733-742.

11. Tolokonnikov, L.A. 2018, “Diffraction of a plane sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no. 9, pp. 276-289, fin Russian].

12. Tolokonnikov, L.A. к Larin, N.V. 2020, “About influence of an inhomogeneous coating of an elastic cylinder on sound scattering in the presence of the flat surface”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 9, pp. 111-118, fin Russian].

13. Tolokonnikov, L.A. к Efimov D.Yu. 2020, “Scattering of a plane sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface”, Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 369-381, fin Russian].

14. Efimov, D. Yu. 2021, “Modeling of a continuously non-uniform coating of an elastic cylinder with specified sound-reflecting properties in a half-space”, Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 4, pp. 125-133, fin Russian].

15. Shenderov, E. L. 2002, “Diffraction of sound by an elastic cylinder near the surface of an elastic halfspace”, Acoustical Physics, vol. 48, no. 2, pp. 225-234.

16. Tolokonnikov, L.A. к Efimov, D.Yu. 2021, “Diffraction of sound waves at an elastic cylinder with an inhomogeneous coating in the vicinity of the boundary of an elastic half-space”, Mechanics of Solids, vol. 56, no. 8, pp. 1657-1667.

17. Shenderov, E. L. 1989, “Emission and Scattering of Sound”, Sudostroenie, Leningrad, 304 p, fin Russian].

18. Ivanov, Е. А. 1968, “Diffraction of electromagnetic waves by two bodies”, Nauka i tekhnika, Minsk, 584 p., fin Russian].

19. Brekhovskikh, L.M. 1973, “Waves in Layered Media”, Nauka, Moscow, 344 p., fin Russian].

20. Nowacki, W.1973, “Teoria sprezvstosci”, PWN, Warszawa.

21. Zavvialov, Yu. S., Kvasov, В. I. к Miroshnichenko, V. L. 1980, “Spline function methods”, Nauka, Moscow, 352 p., fin Russian].

22. Ilvin, A.M. к Danilin, A.R. 2009, “Asymptotic Methods in Analysis”, Fizmatlit, Moscow, 248 p, fin Russian].

23. Lebedev, N.N. 1963, “Special Functions and their Applications”, Fizmatgiz, Moscow, 358 p., fin Russian].

Получено: 15.08.2023 Принято в печати: 21.12.2023