Дифракция плоской волны на решетке, составленной из импедансных тел вращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

16 декабря 2011 г. 17:55

T-Comm #10-2010

(Технологии информационного общества)

Дифракция плоской волны на решетке, составленной из импедансных тел вращения

С помощью модифицированного метода нулевого поля решена трехмерная задача рассеяния на решетке, состоящей из соосных импедансных тел вращения, выведена система интегральных уравнений и получены численные результаты для различных геометрий элементов решетки.

Кюркчаи Л.Г., Маненков С.Л.

Введение

Рассмотрена дифракция плоской волны па трехмерной решетке, состоящей из импедансных тел вращения, расположенных на одной оси. для решения задачи в работе использовался модифицированный метод нулевого ноля (ммни). предложенный и успешно апробированный в работах [1-4]. метод нулевого ноля (мнп), часто называемый в литературе также методом т-матриц [1-4] был впервые предложен уотсрмсном [5,6]. в основе этого метода лежит некоторое соотношение (см. ниже), выполняющееся всюду внугрн рассеивателя, требование выполнения этого соотношения на некоторой замкнутой поверхности внутри рассеивателя позволяет свести краевую задачу дифракции к решению интегрального уравнения фредгольма i-ro рода с гладким ядром, в работах [1-4] было показано, что интегральное уравнение мни имеет решение, соответствующее краевой задаче, лишь в том и только в том случае, если поверхность (обозначаемая в этих работах буквой X), на которой ставится условие нулевого поля, охватывает множество особенностей аналитического продолжения дифракционного ноля внутрь рассеивателя, кроме того, в этих работах показано, что для получения наиболее быстродействующих и устойчивых алгоритмов эту поверхность X целесообразно строить при помощи аналитической деформации фаницы рассеивателя [7].

Отметим также, что в рассматриваемой ниже задаче рассеяния волн на периодической решетке используется периодическая функция Грина (ФГ), вычисление которой представляет определенные трудности. В работе эта функция рассчитывалась двумя способами. В случае большого расстояния (вдоль координаты, перпендикулярной оси решетки) между точкой источника и точкой наблюдения ФГ разлагалась в рад. получаемый с помощью формулы Пуассона. В случае, когда указанное расстояние мало, возможно использование разложения ФГ в ряд по сферическим гармоникам. Коэффициенты этого ряда представляют собой однократные интегралы, зависящие юлько от параметров решетки, но не от геометрии ее элементов. Для вывода коэффициентов указанного рада использована методика, аналогичная подходу, предложенному в работе [8], но модифицированному адя трехмерного случая. Преимущество данною метода расчета ФГ решетки состоит в том, что указанные интегралы Moiyr быть вычислены гаранес, то есть до вычисления матричных элементов алгебраической системы, к которой сводится исходная краевая задача.

1. Вывод основных соотношений.

Рассмотрим решетку, составленную из одинаковых соосных импедансных тел вращения. Считаем, что ре-

шетка имеет период с!. Введем цилиндрическую систему координат, причем ось Z направим вдоль оси решетки (см. рис. 1). Обозначим через S() - поверхность центрального элемента решетки. Считаем, что структура облучается плоской волной:

и" = exp(-/A/'(sin 0U sin 0cos (р + cos 0lt cos в)). где (г.О.ф) - сферические координаты, к - волновое число. О - угол падения волны (в силу осевой симметрии геометрии задачи предполагаем, что (ри = 0). дифракционное поле и\р.(р,:) вне решетки удовлетворяет однородному уравнению гельмгольца:

А//1 + А21/1 =0.

Кроме того, вторичное иоле удовлетворяет условиям периодичност и Флокс ио оси г :

и'(р.(р.: + J) = ii'{p. (р. г )ехр(-/*•). где К-Ыcos#, - параметр флокс, [р,<р,г) - цилиндрические координаты, на бесконечности вторичное поле удовлетворяет условию излучения:

up)

exp(-)V

yJ'\P

Рис. 1

где и*

л* + 2/Гл

примем знак квадрат-

ною корня выбирается из условия неположительности его мнимой части, на поверхности каждого элемента решетки выполнено импедансное краевое условие для полного поля:

_ ди

где п - нормаль, внешняя к поверхности тела, Z - импеданс.

Будем решать поставленную задачу с помощью ммнп. Для этого представим вторичное поле в виде:

II'(г) = (Ґ)|о'(г,Ґ) - 2д'.

(6)

где обозначено / = — - неизвестный ток на 5,,.

Э п

При этом мы учли краевое условие на поверхности элементов решетки. В формуле (6) функция С/ представляет собой периодическую функцию Грина, которая имеет вид [9]:

С(г,г') = '^Г )ехр(—/\дг).

Где

Г . „ . . ехр(-ше.) 4/гАЛ

Я = у]р: + 0 -2рр"счь(/ + (г-г'-л</):,

у/=<р-<р'.

Таким образом, рассеянное ноле в виде (6) удовлетворяет условиям периодичности флокс.

Зададим далее поверхность в сферической системе координат:

.у = г чіп Осо$<р. Г = /*ЧІГІ 0ЧІП (рч 1 = Г со$в* где г-г(в). вспомогательную поверхность Х0, на которой ставится условие нулевого поля будем строить, как уже отмечаюсь, при помощи аналитической деформации поверхности . при этом будут иметь место уравнения (см. [7], [1-4]):

Л' = /V .ЧІП ву_ СОьф. у = /V ЧІП вг чіп (р. Г = Гг сочв, .

#=а^£(л. /;=|£(г)|. £(г) = г(г+/£)ехр(/г-£). Г Є [0. /г].

В формулах (11) 8 — положительный параметр, отвечающий за степень деформации контура осевою сечения тела. Выбор параметра 8 подробно онисан в работах [7].[ 1-4].

В силу периодичности рассматриваемой структуры и падающего поля задача сводится к определению неизвестного тока только на поверхности центрального элемента решетки. Как известно [6], интеграл, стоящий в правой части равенства (6). равен с отрицательным знаком первичному полю в любой точке внутри поверхно-

сти 50. В соответствии с ММНП потребуем, чтобы выполняюсь следующее равенство:

Таким образом, имеем интегральное?) уравнение Фредгольма 1-го рода относительно неизвестного тока на поверхности центрального элемента решетки. Это уравнение разрешимо, как отмечалось выше, лишь при условии, что охватывает множество особенностей аналитического продолжения дифракционного поля внутрь .

Учтем осевую симметрию задачи. Разложим неизвестный ток в ряд Фурье:

7(/.^')= £ /, (/)ехр(//и0>')-

где 1 = 0' Функция Грина (7) также может быть представлена рядом Фурье:

1 ^

где

С(г,в.г'.в'.1/г) = — V Б,(г,в.г’.в')ек,'р(іппі/) • 4/г»=- (7)

хр(—ікК, -і\к -ітц/)

кЯ.

-с/у/

В результате подстановки формул (13) и (14) в уравнение (12) получим бесконечную систему одномерных интегральных уравнений первого рода относительно неизвестных гармоник тока:

К

К,„ (г. = В,„(т).

о

/я = 0,±1,±2.... ге[0,/г].

здесь

К (Т.1) =

ЛГ(/Ып/|

(9)

Э5„,(г .1) Эл'

Bm^т) = -^uJm(kpsmffl, )ехр(—/А со£0„г). где % - ф-иг) + г'2(1) И ./ ( V) - функция бесссля.

Система интегральных уравнений (16) решается методом коллокации. При этом заменим бесконечные ряды конечными суммами, считая, что ш = -М.ЯР) Разобьем интерваї [0. л’] изменения параметра I точками

/ = — ^ у _ і = І. .V, и заменим интегралы в формуле (16) суммами Римана. Далее приравняем полученное равенство в точках коллокации. которые выберем

при Г = 11 . В результате перейдем от интегральных

уравнений к соответствующим алгебраическим системам относительно неизвестных значений тока в точках на вспомогательном контуре центрального элемента решетки.

2. Асимптотическое решение задачи для случая большого периода решетки.

Рассмотрим асимптотику волнового поля при р —» <». Она имеет вид:

\р ~ Ы\:)

у/кР

где в = агссш( и-,). Функция $п{в,ср) - представляет собой диаграмму рассеяния центрального элемента решетки. причем

.1= ~ ^ ~ |с\р(Д/ /со»укКУс/р"

и и

где .]{(/.<р‘) - г(в’)^\п)Лв'.<р')• соьу = нпв'япвсои(1р-<р') + 1:о>>в'со*в. Данная диаграмма полностью совпадает по форме с соответствующей диаграммой рассеяния на одиночном теле (в отсутствие решетки). Отличие состоит в том, что под интегралом стоит величина тока, наведенного решеткой. Представляет интерес вопрос об асимптотическом решении задачи рассеяния на решетке при условии кс/ » 1. Можно показать, что в этом случае Л„(«.Д:й„0) = а';<«./М„0)+5 8,Г(й’.Д:л-.0)&,(л-.0:Я„0) +5*&Т<«./?:0.0)Й„(0.0;3,.0).

Соотношения (20)-(22) дают явное аналитическое решение задачи при кс/ »1. если известна диаграмма рассеяния плоской волны уединенным элементом решетки.

3. Численные результаты.

Для тестирования разрабо-танного численного алгоритма были рассчитаны зависимости мо^у^р невязки условия (12) на контуре осевого сечения вспомогательной поверхности Х(1. В качестве примера была рассмотрена задача дифракции на решетке, составленной из сплюснутых сфероидов. Параметры задачи имели следующие значения: полуоси (19)сфероида

ка = 10. кс = 2.5, период решетки кс/ = 5.1. Число дискретных источников и число гармоник Фурье равнялось соответственно N = 100 и М = 15. График невязки для двух углов наблюдения (р представлен на рис.2. Как видно, максимальный уровень невязки не превосходит 2.510 *.

Для проверки работы метода была также рассмотрена задача дифракции плоской волны на решетке, состоящей из близко расположенных суперэллипсоидов вращения. Осевое сечение суперэллипсоида вращения описывается уравнением:

1901

где

' X'

ехр(-/дЫ ± Ык) _ I

—1п(1 - е\р( —Ии1{ I + оь ) 11 2 5

кс/

и ”, (а.(5.&,,0) - диаграмма уединенного элемента решетки, то есть при кс/ —> °°. Из (20) получим:

яТ(л,0:^.-0)5'йГ(аО(л;0)+(1-5-й'(л’.0:жО))яТ(ао:^.0) Я,(и«Ч,.и)«-----------------------—-------------------------,

п.«:(Ол^.о)у,!;;(л-.(хао)+(|-Ук7(а(хао)).С('гл^.О) а(*.ич,,о)=-----------------------—-------------------------,

где

л=( I <ж<ио>х I ((Ш(Н)»-5 у,ц; «щдОа (даао)

|Д|

2.5x10'-I

1.5х10л-

1.0x10^-

5.0x10'*-

Рис. 3

(2! I

о.о

При большом значении параметра / и малом расстоянии между суперэллипсондами, зада'Й^йакой геометрии маю отличается от задачи рассеяния поля на бесконечном круговом цилиндре. Как известно, последняя задача имеет аналитическое решение. На рисунке 3 представлена угловая зависимость диаграммы рассеяния решетки из суперэллипсоидов вращения с параметрами: ка = 2.5; кс = 5; / = 10. Период решетки кс/ = 10.1. Решетка облучалась волной, падающей по нормали к оси структуры. Также на этом рисунке показана зависимость диаграммы рассеяния бесконечного кругового цилиндра. Как видно из рисунка обе зависимости практически совпадают.

о.о

12 1.8 Рис. 2

г.е зг

23

19„1

1

* '-'А /: /’ ‘V чЧ —

2

Рис. 5

Рассмотрим далее применение асимптотической формулы для скалярной задачи дифракции на трехмерной решетке. На рис. 4 и 5 представлены зависимости диаграммы рассеяния нулевой моды решетки, составленной из сферических элементов и элементов в виде вытянутых сфероидов для двух значений периода решетки. Пунктирные кривые на рисунках иллюстрируют асимптотическое решение задачи, полученное по формулам (20) - (22). Сплошные кривые соответствуют строгому решению задачи, основанному на ММНП. В случае рис. 4 параметры задачи имели следующие значения: радиус сфер ка = I, количество источников и гармоник Фурье .V = 45: А/ =5- Для рис. 5 параметры были следующие: полуоси сфероидов кс = 1. ка- 0.25 и N = 80. М= 5.

Как видно из рисунков уже при значениях расстояния между элементами решетки, равному 0.1 (кривые I) оба способа решения задачи отличаются менее чем на 5 процентов для решетки из сфер и примерно на 10 процентов для решетки из сфероидов. С увеличением этого расстояния до 2 фафики (кривые 2) практически совпадают.

Заключение

На основе ММНН разработан эффективный численный алгоритм решения задачи дифракции на трехмерной эквидистантной решетке, составленной из тел вращения. Получена система интегральных уравнений. Решение интегральных уравнений осуществлялось по методу дискретных источников. Получено асимптотическое решение задачи для большою значения периода решетки.

Продемонстрирован малый уровень невязки условия на вспомогательной поверхности для случая близкого расположения элементов решетки. Показано, что решетка. составленная из близко расположенных суперэллипсоидов вращения и бесконечного кругового цилиндра имеют практически совпадающие диаграммы рассеяния волнового ноля. Асимптотическое решение задачи применено к решетке, составленной из элементов сферической формы и решетки из вытянутых сфероидов. Показано. что данное решение позволяет получать достоверные результаты диаграммы рассеяния даже для небольших значений периода решетки.

Работа выполнена при поддержке российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 08-0200621. 09-02-00126.

Литература

1. Кюркчаи А.Г„ Смирнова Н.И. Обобщение метола продолженных фаппчных условий. - Радиотехника и электроника. 2008. т. 53. №7. - С. 809-817.

2. ККюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Учет особенностей аналитического продолжения волнового ноля при использовании методов нулевого поля и Т-матриц. - Электромагнитные волны и электронные системы. 2008. т. 13. №8. С. 78-86.

3. Кюркчаи А.Г.. Смирнова Н.И. Методы вспомогательных токов и нулевого поля. - Электромашитные волны и электронные системы. 2009. т. 14. №8. С'.4-12.

4. Кюркчаи А.Г„ Смирнова Н.И. О решении задач дифракции волн методом нулевого поля. - Акустический журнал. 2009. т. 55. Л«6. - С. 691 -697.

5. Waterman Р.С. Matrix formulation of electromagnetic scattering. Proc. IEEE. 1965. v.53, pp. 805-812.

6. Колтон Д., Кресс P. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир. 1987. - С.312.

7 Кюркчаи А.Гм Минаев С.А., Соловейчик АЛ. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля. - Радиотехника и электроника. 2001. т. 46. № 6. С.666-672.

8. Yasumoto К.. Yoshitomi К. Efficient calculation of lattice sums for space-periodic Green's function. International Symposium on Electromagnetic Theory. May 25-28 1998, Thessaloniki. Cireccc. 2. p. 834.

Ч Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь. 1987.

24