ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА PM В МНОГООБРАЗИЕ ГИПЕРКВАДРИК ПРОСТРАНСТВА PN Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА Рт В МНОГООБРАЗИЕ ГИПЕРКВАДРИК

ПРОСТРАНСТВА Рп

Н.Н. И в а н и щ е в а

(Калининградский государственный университет)

Изучается дифференцируемое отображение £ Рт^^^) проективного пространства Pm в многообразие гиперквадрик R(Q) проективного пространства Pn.

0

Введено понятие инфлексионной кривой в элементе Р, сформулиро-

ваны необходимое и достаточное условия инфлексионности кривой l:R^R(Q) в

0

элементе Р. Рассмотрены характеристические прямые и характеристические направления отображения £

1. Дифференциальные уравнения отображения. Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп. Отнесем его к подвижному реперу {Ао, А1,...,Аи}. Деривационные формулы репера имеют вид: ёАа = ю^ А р (а, ...= 0, п), причем формы Пфаффа юр удовлетворяют структурным уравнениям Картана Бю£ = ю[лю5 и условию ю0 + ю} +...+юП = 0.

Уравнение гиперквадрики Qn-l пространства Рп имеет вид: аарха хр = 0, причем а ар = а Ра , а ар Н0^.

Пусть аар - компоненты матрицы, обратной к матрице (аар). Обозначим:

^арЕ ^ ар" а ау Ю р а тр Ю а . (1)

Рассмотрим другое проективное пространство Рт. Отнесем его к подвижному реперу {Во, В1,...,Вт}. Деривационные формулы репера имеют вид: ёБт = ОК^к (!,••• = 0,т), причем формы Пфаффа ОК удовлетворяют структурным уравнениям Картана dQ К = О Т л О К и условию О 0 + О} +... О ^ = 0.

Рассмотрим дифференцируемое отображение пространства Рт в

многообразие гииперквадрик R(Q) проективного пространства Рп. Система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:

0аР=Лар! 01 (1,.=Т7т). (2)

Дважды продолжая систему дифференциальных уравнений (2) отображения £ получим:

ар1 =Лар!К О K, ар1К + Лар (!О К) = Лар1КТО T, (3)

где круглые скобки обозначают циклирование, а дифференциальный оператор V имеет вид:

V?' = НЕ1 — Е т — Е ту -

УЕ арЖ НЕ ар Ж Е ур1К Ша Е ау1К тр

— Е (О т — й тО 0) — Е (О т — й т О 0)

Е арТК(О I й I О 0/ Е ар1Т(° К й К О 0/•

Из уравнений (3) следует, что системы величин

Г1 = {аар , Лар } , Г2 = {аар , Лар1 , Ларж} (4)

являются фундаментальными объектами отображения f первого и второго порядка соответственно.

2. Инфлексионная кривая.

0 0 Определение 1. Элементом Р будем называть гиперквадрику а ар ха хр = 0

0

такую, что Р.

Определение 2. Кривой в многообразии гиперквадрик R(Q) называется

0

дифференцируемое отображение ^0)= Р.

Разложение в ряд Тейлора отображения l:R^R(Q) имеет вид:

0 1

а ар = а ар+Лар I + - М ар I2 +< 3 >•

Определение 3. Кривая l:R^R(Q) называется инфлексионной кривой в эле-

0

менте Р, если выполняется условие Ма)3 = кЛа)3.

Введенное понятие имеет следующий геометрический смысл.

0

Теорема 1. Кривая l:R^R(Q) является инфлексионной в элементе Р тогда и

только тогда, когда фокальные многообразия первого и второго порядка кривой

0

совпадают в элементе Р.

3. Характеристические направления. Рассмотрим случай, когда m=N, где N - размерность многообразия гиперквадрик R(Q) проективного пространства Pn. Фундаментальный объект второго порядка Г2 определяет для любой точки В0 инвариантное алгебраическое многообразие I

Лар1КХ1ХК— 2Лар!Х1Х° = 0,

которое называется индикатрисой. Рассмотрим множество X, которое состоит из прямых связки ^0}, имеющий с индикатрисой I две общие точки.

Определение 4. Прямая ЛeX называется характеристической прямой отображения £ а направление, определяемое этой прямой в точке Bo, называется характеристическим направлением.

Объект Лт задает характеристическое направление в том и только том случае, когда выполняется условие

Л арЖ ^ ЛК— 2^ ^ = 0.

Рассмотрим кривую L:R^Pm, L(0)=Bo, для которой разложение в ряд Тейлора имеет вид :

У=ЛЧ + -М42 + < 3 >. (5)

2

Она задает в точке Bo направление, определяемое объектом ЛI. Кривая (5) является инфлексионной [1] в точке Bo, если M1 = к Л1.

Теорема 2. Инфлексионная в точке B0 кривая L:R^Pm задает в ней характеристическое направление в том и только том случае, если кривая f о h является

0

инфлексионной кривой в элементе Q, т.е. фокальные многообразия первого и второго порядка кривой f о L совпадают.

4. Объект связности Леви-Чивита. Рассмотрим метрику, которая определяется как след квадрата преобразования a а|39ру. Имеем:

ds2 = яареру о яу8е8а = мIKоIоК,

где

Мк = а аРЛру1а ^к.

Введем в рассмотрение объект VаРI, определяемый следующими равенствами:

1

Л Vу5' = -8у88 Л Vарк =8к

Л ар I * = 2 8 (а8 р)' Л ар! * = 8 I .

Обозначим М1К = аа^ру1ау^8аК. Легко показать, что М1КМКЬ =8 Ь, т.е. матрицы (М1К) и (М1К) взаимно обратны.

Дифференциальные уравнения объекта М1К имеют вид:

= М1кЬ ЛЬ,

где

М!КЬ = аарЛру1Ьау8Л8ак + ааРЛру1а^Л^ -Лру1 Л8акЛ^(а^аау8 + аараа™). Для объекта Г Ь связности Леви-Чивита [2] получаем

ГгК = 1мЬН(М1Нк + Мнк! -М!кн) = УарЬЛар!к -1ау8VарЬ(Лру1 Л8ак +Л8р!Луак).

Заметим, что система величин VарьЛар1К является аналогом объекта связности Г. Врэнчану [3] точечного соответствия.

Библиографический список

1. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Алгебра. Топология. Геометрия. 1970 / ВИНИТИ. М., 1971. С.153-174.

2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. M.: Наука, 1981. Т.1. С.153-157.

3. Vranceanu G. Sue tensore associato ad corrispondenza fra spazi proettivi // Boll. Un-ione mat. ital. 1957. V.12. N4. P.489-506.

N.N. Iv a n i c s h e v a

DIFFERENTIABLE MAPPING OF PROJECTIVE SPACE Pn INTO MANIFOLD OF HIPERQUADRICS OF THE SPACE Pn

Differentiable mapping f: Pm^R(Q) of the projective space Pm into manifold of hyperquadrics R(Q) of the projective space Pn are studied. The notions of inflexional

o

curve /:0^R(Q) in the element Q is introduced. Necessery and sufficient conditions

o

of inflexion of the curve /:O^R(Q) in the element Q are formulated. Characteristic straight lines and characteristic directions of the mapping f are considered.

УДК 514.75

SPEZIELLE DISTRIBUTIONEN AUF GRASSMANN'SCHER MANNIGFALTIGKEIT (III)

V.V. K a i s e r

(Friedrich -Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg)

Mit Hilfe des analytischen Apparat [1] sind speziellen nichtholonomen Kongruenzen bestimmt und entsprechende Ergebnisse, die im ersten Teil des Sufsatzes [2] formuliert sind, bewiesen.

3. Nichtholonome Kongruenzen.

3.1. Allgemeine Klassifikation. Aus dem Lemma 2.1 [1] folgt, daß jede beliebige 2-dimensionale Distribution к (nicht holonome Kongruenz) auf der Grassmann'schen Mannigfaltigkeit M mit Hilfe von einem Pfaffschen Gleichungssystem

a Q1 + a Q2 + a Q3 + a Q4 = 0,

1 2 3 4 (3.1)

b Q1 + b q2 + bQ 3 + b Q 4 = 0

(local) bestimmt werden kann, wobei der Rang der Matrix des Systems (3.1) gleich zwei sein muß.

Es sei T=t0Ao+t1Ai ein Punkt auf der laufenden Geraden leM. Aus (2.1) mit der Berücksichtigung von (2.3) folgt

dT = (dt0 +1V00 +1V) A° + (dt1 +1 V +1Ц1) A1 +

/ ч / ч (3.2)

+ (-10Q3 +11Q1) A2 + (t 0Q4 +1 !Q2) A.

Daraus folgt, daß der Punkt T den Brennpunkt einer integralen Torse (aufrollbaren Fläche) für к ist, wenn zusätzlich zu (3.1) gelten