CC BY
18
© В.Г. Дмитриев, Н.Ю. Иванов, 2012
УДК 622.647.2
В.Г. Дмитриев, Н.Ю. Иванов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ НАТЯЖЕНИЯ НА КРИВОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ТРАССЫ ЛЕНТОЧНОГО ТРУБЧАТОГО КОНВЕЙЕРА
На основании анализа составляющих обшей силы сопротивления движению ленты на единичной роликоопоре, а также дополнительных сил, возникающих на криволинейном участке составлено дифференциальное уравнение для изменения натяжения на этом участке. Уравнение является существенно нелинейным, его решение предлагается искать численным методом.
Ключевые слова: ленточный трубчатый конвейер, роликоопора, вычислительный эксперимент, трубообразная лента.
Согласно исследованиям, выполненным в ряде работ [1, 2 и др.], сила сопротивления движению трубообразной ленты на единичной роликоопоре ЛТК может быть представлена в виде суммы трех сил:
и = и + и + и ф (1)
р вр вд деф \ '
где и вр — сила сопротивления движению от вращения роликов; ид — сила сопротивления от вдавливания роликов в ленту; идеф — сила сопротивления от деформирования ленты и груза в пролете между роликоопорами.
При этом в работе [2] сделан вывод о том, что сила ивр практически не зависит от нагрузок на ролики и для шестироликовой опоры может быть определена, как
ир = ±^(1 + 0,2^)6), Н, (2)
р
где Др — диаметр роликов, м; чп — скорость движения ленты, м/с; у(6) -
температурный коэффициент при температуре окружающей среды 6 > 5°С , у(6) = 1; при 6 = -10°С, у(6) = 1,12; при 6 > -15°С, у(6) = 1,25; при 6 = -20°С , у(6) = 1,5.
Для определения силы сопротивления движению от вдавливания 2-того ролика в ленту в работе [1] использовать формулу, полученную К. Джонкерсом:
Г д У/3
ид(6) = ((8с)• , д2., • р4,/3-ф(6), Н, (3)
V к р • )
где Ръ — нагрузка на 2-й ролик, Н; I — длина контакта ленты с образующей обечайки ролика, м; / (8с) = 1,14 • tg8c, 8с — угол между действительным и мни-
Таблица 1
Значения коэффициента ф(>)
Температура 9, °С -30 -20 0 20 30 40
Коэффициент ф(9) 0,91 0,94 0,96 1,0 1,02 1,04
мым модулями упругости резины — Б'к и Б'К ; при скоростях движения ленты 3 ч 4 м/с tg8c = 0,35 ^ 0,4 и / (8с) = 0,5 ; Д — толщина нижней обкладки ленты, м; Е'к — модуль упругости нижней обкладки ленты при температуре 9 = 20°С , в нашем случае ЕК = 3,0 • 107, Па; ф(9) — коэффициент, учитывающий влияние температуры на силу сопротивления движению от вдавливания (табл. 1).
Суммарная сила сопротивления движению от вдавливания шести роликов в ленту равна
= ивд1 + иш2 + ивлз + ивд4 + ивд5 + ивд6, Н, (4)
Таким образом, суммарная сила сопротивления движению от вдавливания шести роликов
иш = ф(>) • f(8с)а
1=6 р4 • У 3 -Р-
б'П к3 1,
(5)
Учитывая результаты, полученные в работе [2] перепишем формулу (5) в виде:
I ; ,=6 ( ГБ г) г) ^
= ф(>) • /(8с)3
Б' П2
•У
р - р.
,пр ^ I, ,пр
0,16 Вл
(6)
При этом величина под знаком суммы является на криволинейном участке трассы функцией натяжения ленты в, а на участке с изгибом ленты в вертикальной плоскости — ещё и функцией пройденного лентой пути 1к. Этот факт можно выразить слдующим образом. Обозначим сумму в формуле (6) через Ф1(в) для случая винтообразного криволинейного участка и через Ф2( в, 1к) — для случая изгиба трассы в вертикальной плоскости. Кроме того, введем также обозначение
К = ф(9) • /(8с Ъ1
Б' П2
(7)
Тогда для изгибающейся в горизонтальной или вертикальной плоскости трассы ЛТК можно записать:
и = К • ФЛв), (8)
вдг вд 1 4 ' ' 4 '
и = К • Ф2(в, 1к). (9)
вдв вд 2 4 ' к' 4 '
В работе [27] приведены значения составляющей силы сопротивления движению ленты от деформирования груза и ленты в пролете между роликоопорами идеф для случаев использования резинотканевой и резинотро-
совой ленты, полученные в результате вычислительного эксперимента на ЭВМ. Эти данные аппроксимированы следующими эмпирическими выражениями:
,•=1
— сила сопротивления от деформирования резинотканевой ленты:
■ ( Яг + Ял ) !'р~
идеф - 7,1 • 10-10 [(дг + ял)))
х(1 + 0,344^ )соз2,6 рк;
1 + 4,37-
— сила сопротивления от деформирования резинотросовой ленты:
идеф - 2,2 • 10-10
[(Яг + Ял )
2,6
1 + 4,37
(Яг + Ял) Гр в
х(1 + 0,17^2 )соэ2,6 Рк
(11)
Величина идф прямо пропорциональна удельной работе сжатия груза при
вхождении в роликоопору. При этом груз находится в пассивном напряженном состоянии. В случае винтообразного криволинейного участка трассы ЛТК эпюра дополнительного давления от боковой составляющей натяжения ленты, приведенная на рис. 1, в, в правой своей части снижает степень пассивного деформирования груза, а в левой — на столько же её повышает. Поскольку происходит пластическая деформация груза, процесс сжатия груза совершается при постоянных внутренних напряжениях в нём, пассивный характер напряженного состояния груза не нарушается. Это дает основание использовать принцип суперпозиции напряжений на границах деформируемого объема груза, а следовательно, оставить в силе формулы (10) и (11) для случая винтовой траектории.
В случае изгиба ленты в вертикальной плоскости воспользуемся линейной зависимостью идеф (см. (10) и (11)) от угла набегания ленты на роликоопору в
вертикальной продольной плоскости, рассчитанного по известной формуле для кривой провеса ленты как гибкой нити в пролете между роликоопорами [3]:
Э1п Др = Др =
(яг + Яё))
Рис. 1. Суммарные силы давления груза и ленты на роликоопоры (а) и дополнительные силы давления от боковой составляющей натяжения ленты (б, в)
б
При изгибе ленты в вертикальной плоскости выпуклостью вниз этот угол уменьшается на величину поворота поперечного сечения
1 Г
Aß' =1 .
2 Ив
Учитывая линейную зависимость силы 0леф от этого угла, можно просто
вычесть в квадратных скобках в выражениях (10) и (11) величину 4,37ip / Ив, в
этом случае имеем:
— для резинотканевой ленты
идеф.верт - 7,1 -10-10 [( + qn)1'р
х(1 + 0,344v2)cos2,6 ßk;
— для резинотросовой ленты:
идеф.верТ - 2,2 -10-10 [( + qn)ip
(q + q 11' i' 1 + 4,37V r Wp -4,37—
s ' r
1 + 4,37^^ - 4,37 Ijp.
S R
(12)
х(1 + 0,17^)еоз2,6 Рк. (13)
При изгибе ленты в вертикальной плоскости выпуклостью вверх в формулах (12) и (13), изменяется знак Яв на противоположный.
Воспользуемся тем, что при стремлении Я или Яв к бесконечности (отсутствует изгиб в соответствующей плоскости) добавки от изгиба ленты на криволинейном участке в соответствующей плоскости обращается в нуль, а случаи Я ^ да и Яв ^ да приняты нами ранее как взаимоисключающие, запишем зависимости для нормальных нагрузок на ролики и сил сопротивления движению ленты для общего случая. При этом учтем, что изменение знака радиуса изгиба ленты Яв влечет за собой изменение знака дополнительных нагрузок и сопротивлений от изгиба ленты. Кроме того, учтем, что давление на ролик не может быть отрицательным.
Таким образом, для получения обобщенных зависимостей для нормальных нагрузок на ролики достаточно добавить соответствующие дополнительные нагрузки появляющиеся в случае изгиба ленты в вертикальной плоскости.
При этом расчет нормальных нагрузок на ролики и сил сопротивления сводится к следующим шагам. На первом шаге вычисляются нагрузки для случая прямолинейного участка:
Р1пр = 0,436Бл0,2(Яг + Ял) 1'р соз(Рк 1
р2пр = Рбпр = 0,576ß°0,2
Ив"
q + ip cos(ßto + R),
р3пр = Рзпр = 0,092Bл0,2(qг + qB)ip cos(ßko + R.), Ппр = 0.
(14)
На втором шаге вычисляются дополнительные нагрузки в обобщенном виде: Р = _ • ^ = _0 14 в •1р
Г1ва - - V, 14т
В„ Я
ё в
Я '
Р23о = 0,16-
в • I)
Р3во = 0,16-
Я
вл
Я
соз р^ _ 0,07-
в • 1)
соз р,о + 0,07-
Яв
в • 1)
Яв
Р4 во = 0,14 ^ • I (Д.),
Я
(15)
в • 1' в • 1' Р5во =_0,16—р • соз рко + 0,07- р
Р6во =_0,16
где I (Я,) =
Я в • 1'
соз р,о + 0,07-
Яв в • 1'
Я
1при Яв У 0;
Яв
[0при Яв ч 0.
На третьем шаге вычисляются полные нормальные нагрузки на ролики:
Р = Р + Р 1 = 1 6
1 Ы 1 1пр Т 1 1Яо' ^
(16)
На четвертом шаге вычисляются длины контакта роликов с лентой для случая прямолинейного участка, но с учетом возможно переменного угла рк :
1, = 0,008В
1пр ' ё
(Яг + Ял) 1'р соз(р,, + Я-)
Яв
12пр = 16пр = 0,006Вл
13пр = 15пр = 0,002Вл
1„
0,3
(Яг + Ял)1 р соз(р,о + Я)
Яв
(Яг + Ял) 1 р соз(р,о + Я)
Яв
13пр = 0.
На четвертом шаге вычисляются длины контакта роликов с лентой в случае криволинейного участка трассы ЛТК:
1. =-
Ры
Р. + Р.
.пр .во
Р Р _ Р.
' .'пр + Ы .'пр
(17)
1. 0,16В 1. 0,16В
.пр ' л .пр ' л
На пятом этапе определяется сила сопротивления движению ленты на единичной роликоопоре: 210
ив (й, 1к) = ^Ц + 0,2чп) • у(9) + ф(0) • ¡(8С )з,
+к
леф
п
(Яг + Я„) I С05(Рк
л.
К
( (Яг + Яё) 1'Р _ 4 37_-р
1 + 4,37-
1Р
й К;
х(1 + куп), (18)
где клеф = 7,11 • 10_10 — для резинотканевой ленты; клеф = 2,21 • 10_10 — для
резинотросовой ленты; ки = 0,344 — для резинотканевой ленты; ки = 0,17-для резинотросовой ленты.
Эквивалентное распределенное сопротивление движению на криволинейном участке трассы ЛТК:
и
и (й, 1к) = .
р
Тогда дифференциальное уравнение изменения натяжения ленты вдоль криволинейного участка принимает вид:
1„
6й = и(й, 1к )в1к + (Яг + Ял)з1п(Рк0 + ,
в
с начальным условием й( 1к = 0) = йо .
В стандартной форме уравнение (19) имеет вид:
вй = 1 ир (й, 1к) + (Яг + Ял)з1п(Р ко + -К-),
р
(19)
61
К
(20)
й(61к )|к =0 = й .
Ланное уравнение является существенно нелинейным и его необходимо решать численным методом. Результат решения — функция й( 1к) используется при определении суммарных поперечных вертикальных и горизонтальных нагрузок на металлоконструкцию става ЛТК.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеева Н.В. Обоснование метода линейной части ленточного трубчатого расчета распределенных сопротивлений конвейера для горной промышленности. движению ленты на линейной части Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд.
трубчатого конвейера. Автореферат дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. — М.: МГГУ, 2009.
2. Бажанов П.А. Обоснование и выбор
техн. наук. — М.: МГГУ. 2012.
3. Дмитриев В.Г., Иванов Н.Ю. Аналитическое описание и анализ криволинейной пространственной трассы для ленточного
рациональных конструктивных параметров трубчатого конвейера.—М.: МГГУ. 2012. ЕСЗ КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -
Дмитриев Валерий Григорьевич — доктор технических наук, профессор, Иванов Никита Юрьевич — аспирант,
Московский государственный горный университет, [email protected]
+
