Дифференциальное исчисление в курсе математики втуза Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 290

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Март

2006

ПРОБЛЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ

УДК 517.2:372.851

А.А. Ельцов, Г.А. Ельцова, Л.И. Магазинчиков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ВТУЗА

Предложен метод изложения темы «введение в анализ» и дифференциального исчисления, разработанный на основе исследования понятийного аппарата курса математики втуза. Метод реализован в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники. На протяжении всего курса широко используется матрично-векторный аппарат.

В статье описан наш многолетний опыт преподавания введения в анализ (понятие функции, предел, непрерывность) и дифференциального исчисления во втузе. Способ разработан на основе исследования понятийного аппарата дифференциального исчисления.

Современные подходы к изложению курса математики, базирующиеся на идеях теории множеств, топологии, функционального анализа, отличаются большим уровнем абстракции. Эти подходы реализуются в курсах, читаемых студентам, выбравшим математику своей специальностью. С другой стороны, имеется много людей, являющихся потребителями математики, т.е. использующих математический аппарат в своей деятельности в большом объёме. Это научные сотрудники и студенты многих естественных и инженерных специальностей. Книги с современным изложением для них трудны, их изучение требует больших усилий, хотя потребность в этом изучении есть.

Одним из таких разделов, применяемых как в самой математике, так и в некоторых разделах прикладной математики, как методы оптимизации, моделирование систем, теория автоматического управления и других, а так же во многих областях науки, использующих математику, является аппарат векторного дифференциального исчисления. Естественно возникает необходимость в изложении этого аппарата всякий раз, когда он используется. Поэтому было бы оптимальным изучить этот аппарат уже в курсе дифференциального исчисления, в том числе и в технических вузах, что сделало бы излишним его введение при каждом использовании. Впервые, насколько нам известно, в книге для студентов этот аппарат был изложен В.А. Зоричем в [1]. Эта книга написана для студентов математических специальностей и доступна лишь людям, получающим расширенную математическую подготовку. Последовавшие затем издания [2 - 7] также требуют серьёзной математической подготовки и сложны для студента технического вуза. В Томске первый опыт чтения векторного дифференциального исчисления был предпринят М.Р. Куваевым для слушателей факультета повышения квалификации при Томском государственном университете. Этот вариант изложен в [2]. Вторая попытка была предпринята Г.Г. Пестовым [3] для студентов старших курсов механико-математического факультета ТГУ.

В результате обсуждения современных концепций построения курса математики и понятийного аппарата этого курса на кафедрах геометрии, математического анализа, теории функций, общей математики, алгебры Томского государственного университета, выпускниками которого мы являемся, в частности с И.А. Александровым, С.Я. Грин-шпоном, С.П. Гулько, С.А. Копаневым, М.Р. Куваевым, Г. Г. Пестовым, Г. В. Сибиряковым и другими, нам удалось в [8] выработать и реализовать вариант изложения курса дифференциального исчисления, основанный на этих концепциях и доступный студенту технического вуза. В [9]

приведён краткий вариант изложения линейной алгебры и дифференциального исчисления для студентов вечерней и заочной форм обучения. Далее проанализирован этот способ чтения.

Считая курс высшей математики втуза единым [10 - 12], мы строим его на базе линейной алгебры [13] как раздела, в котором в простейшей форме впервые появляются многие понятия математики, допускающие обобщения в различных направлениях, и поэтому линейная алгебра является первым разделом, который читаем студентам.

Важным в современной математике являются понятия различных математических структур [10]. Поэтому вместе с традиционными вопросами, рассматриваемыми в этом курсе алгебры (теория матриц, теория систем линейных уравнений) нами также изучены структуры линейного (векторного), метрического, нормированного и евклидова пространств, дано понятие точечно-векторного евклидова пространства Я", в котором введено понятие расстояния между точками. Множество геометрических векторов, традиционно рассматриваемых в векторной алгебре, приводим как пример точечно-векторного евклидова пространства, а аналитическую геометрию излагаем как применение линейной алгебры.

Второй особенностью современного подхода к изучению математики является [10] понятие функции как соответствия между элементами точечных множеств. Поэтому изложение теории линейных операторов начинаем, отсылая студентов к [8], с традиционного для математического анализа понятия отображения (оператора) /: X ^ У точечного множества X в точечное множество У, приводя примеры отображений дискретных множеств. Примеры достаточно просты и легко усваиваются студентами. Подтверждением данного факта является опыт изучения этих понятий детьми [14]. Далее, считая, что X с Я", У с Ят, рассматриваем классы отображений в зависимости от п и т. В результате получается следующая ниже классификация.

1) При п = 1, т = 1 имеем скалярную функцию скалярного аргумента (функцию одной переменной), изучаемую в школе.

2) При п = 1 и произвольном т получаем вектор-функцию скалярного аргумента (вектор-функцию одной переменной), широко используемую в физике, например, при описании движения материальной точ-

ки с координатами (х, у, 2) в пространстве с помощью закона

г (1) = х(1 )1 + у(1) \ + ¿О1 )к = (х(/), у(1), ¿(0 ) , а также в интегральном исчислении при изложении криволинейных интегралов второго рода [15].

3) При произвольном п и т = 1 имеем скалярную функцию векторного аргумента (функцию многих переменных), традиционно изучаемую в курсе математики на естественных и математических факультетах классических и инженерных факультетах технических университетов.

4) При произвольных п и т получаем вектор-функцию векторного аргумента (вектор-функцию многих переменных), которую очень удобно использовать при изложении замены переменных в кратных интегралах [15].

Графиком отображения /: X ^ У, как это и принято в современной литературе, называем множество точек вида (х, /(х)) из декартова произведения X х У. Для отображений /: X с Я ^ У с Я получаем в роли графика множество точек на плоскости, а для отображений /: X с Я2 ^ У с Я множество точек в трёхмерном пространстве, которые для непрерывных функций являются соответственно непрерывной кривой на плоскости и непрерывной поверхностью в пространстве.

Все отмеченные классы функций встречаются в различных областях применения математики, в том числе в курсе физики, особенно второй класс при изучении движения материальной точки в пространстве и четвёртый класс при введении различных векторных полей.

Такой подход вызывает необходимость отождествления понятий функции и отображения (оператора). В дальнейшем изложении мы считаем эти слова синонимами. Этот уход в математический анализ позволяет показать в дальнейшем место линейных операторов среди других операторов.

Далее, возвращаясь к линейной алгебре [13], излагаем теорию линейных операторов (определение линейного оператора, матрица линейного оператора, изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса, самосопряжённые линейные операторы и их матрицы и т.д.) в конечномерных пространствах.

Прочитав в алгебре материал, относящийся к теории самых простых по структуре операторов, линейных операторов, приступаем к теме «введение в анализ». Так как понятие функции уже дано, то начинаем с рассмотрения важнейших в курсе математики понятий предела и непрерывности. Современное изложение этой теории базируется на понятии окрестности в топологическом пространстве. В существующей литературе для студентов технических вузов теория предела излагается на языке неравенств (е, 5). Этот язык, являясь строгим математически, труден для восприятия. Смещение акцентов в сторону баз окрестностей делает понятие предела более геометрич-ным, а следовательно, и более понятным. Поэтому дальнейшее изложение начинаем с построения топологии пространства Яп введением систем окрестностей точек этого пространства при различных п. Вво-

дим и описываем с помощью неравенств различные базы систем окрестностей точек на вещественной прямой (Я) и её несобственных элементов да, +да, -да: обычные окрестности - интервал, проколотые окрестности - интервал с выброшенной точкой, лево- и правосторонние окрестности - полуинтервал и интервал, заканчивающиеся или начинающиеся в точке, окрестность точки да - внешность некоторого отрезка, окрестности точек +да и -да - соответственно интервалы (а, +да) и (-да, Ь), где а и Ь - некоторые числа. Далее, на плоскости это круги, внутренности эллипсов, параллелограммов, прямоугольников и другие обобщения интервала и проколотого интервала. В Я3 - это шары, внутренности эллипсоидов, параллелепипедов и так далее. И, наконец, в Я" - это п-мерные шары, внутренности п-мерных эллипсоидов, п-мерных параллелепипедов и т.д. При рассмотрении баз окрестностей мы ограничиваемся лишь п-мерным точечно-векторным евклидовым пространством, структура которого достаточно проста и операции над элементами которого довольно легко воспринимаются студентами.

Данное построение позволяет на основе введённых баз окрестностей дать общее определение понятия предела для всех случаев отображений. Перевести определение предела с языка окрестностей на язык неравенств (е, 5) не представляет серьёзных затруднений. Что мы и делаем для некоторых случаев, предоставляя остальное доделать студентам. Отметим, что, не затрагивая предела последовательности, на языке неравенств можно дать 36 различных определений предела функции. Считаем, что описанный выше вариант изложения понятия предела лучше традиционного, так как геометрический подход легче воспринимается студентами. Разумеется, случай п = 1, т = 1 изучается более подробно. Отметим, что подобное изложение лежит в русле современного построения теории предела.

Следующей важной в современной концепции курса математики является задача о линеаризации функции. Идея линеаризации часто используется и является весьма плодотворной в различных областях науки. Следуя [2], рассматриваем примеры физических задач, приводящих к линеаризации функций и появлению на её основе новых физических понятий. Этим логически обосновано начинать изложение дифференциального исчисления с понятия дифференцируемых функций как класса функций, допускающих линеаризацию, т. е. допускающих в окрестности точки х0 запись значения функции (отображения)

/: X с Яп ^ У с Ят в близкой к х0 точке х в виде

/ Xх ) = / X х0)+ А Xх - х0 ) + аХх - х0 Ь

где А : Яп ^ Ят - линейный оператор, а : Яп ^ Ят -бесконечно малое отображение более высокого, чем ||х - х01|, порядка малости. Одновременно появляются понятия производной матрицы, т. е. матрицы линейного оператора А и дифференциала как значение А Xх - х0) этого линейного оператора на заданном векторе X х - х0) приращений аргументов. Затем подробно изучаем строение производной матрицы для всех наиболее важных случаев.

1. Для отображений /: X с Я ^ У с Я , т.е. для скалярной функции скалярного аргумента, производная матрица состоит из одного элемента производной функции, изучаемой в средней школе.

2. Для отображений /: X с Я ^ У с Ят, т.е. для вектор-функции скалярного аргумента производная матрица есть вектор

/' (х)=((х), /2 (х )—/т (х )Т,

координатами которого являются производные /’(х), і = 1,2,..., т координат вектора / (х).

3. Для функции многих переменных (для скалярной функции векторного аргумента), т.е. для отображений /: X с Яп ^ У с Я элементами производной матрицы

"д/ (хТ д/ (хТ д/ (х)'

дхп

/'(х) = . ,

дх1 дх2

являются частные производные

д/ (х)

дхі

і = 1,2,..., п

функции/(х) по переменным хь х2,..., хп, понятие о которых вводится уже на первой лекции по дифференциальному исчислению.

4. И, наконец, для общего случая отображений /: X с Яп ^ У с Ят элементами производной матрицы являются частные производные координат вектора /(х) по переменным хь х2,..., хп.

Останавливаемся на геометрическом смысле производной функции одной переменной (скалярной функции скалярного переменного), функции многих переменных (скалярной функции векторного переменного) и, особо, на геометрическом смысле ото-

бражений / : X с Яп ^ У с Яп при п = 1,2,3 (модуль определителя производной матрицы есть коэффициент изменения п-мерного объёма), что позволяет дальше в интегральном исчислении дать единое доказательство формулы замены переменной для определённого и кратных интегралов [15]. Большую общность приобретает при таком способе изложения формула дифференцирования композиции отображений (сложной функции), частные случаи которой традиционно изучаются в различных разделах математического анализа. При этом используется ранее изученный в линейной алгебре материал о композиции линейных операторов, сводимой к произведению матриц.

В качестве приложений приводятся вопросы по исследованию функций, теории выпуклых функций и введению в теорию экстремальных задач с изложением классических методов их решения на основе дифференциального исчисления. Задачи выпуклости и вогнутости излагаем в классическом стиле через неравенство Йенсена

/(ах + (1 -а)*2) < а/(х^ + (1 -а)/^), как это принято в функциональном анализе, теории экстремальных задач и теории выпуклых функций. Более подробно изучается случай скалярных функций скалярного аргумента.

Кроме отмеченных в литературе пособий, написан также практикум (задачник с большим количеством разобранных примеров) по дифференциальному исчислению [16], позволяющий легко организовать проведение практических занятий и самостоятельную работу. Созданы программы автоматизации подготовки индивидуальных заданий и контрольных работ по рассмотренным выше темам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1981. 544 с.; Ч. 2. М.: Наука, 1984. 640 с.

2. Кан В.И., Куваев М.Р., Невидимова М.И., Поломошнова Р.С. Избранные главы методики преподавания математики в вузе. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1981. 236 с.

3. Пестов Г.Г. Дифференцируемые отображения в конечномерных пространствах. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1983. 74 с.

4. РайковД.А. Многомерный математический анализ: Учеб. пособие для мат. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1989. 271 с.

5. Булдырев В.С., Павлов Б.С. Линейная алгебра и функции многих переменных: Учебное пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. 496 с.

6. Грибанов Ю.И. Дифференциальное исчисление в евклидовых пространствах: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1984. 111 с.

7. ВеличенкоВ.В. Матрицы, геометрия, механика и ЭВМ: Учебное пособие. М.: Изд-во МИФИ, 1984. 267 с.

8. Ельцов А.А., Ельцова Г.А., Магазинников Л.И. Высшая математика I. Дифференциальное исчисление. Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2001. 227 с.

9. Магазинников Л.И. Высшая математика I. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие. Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 1998. 191 с.

10. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1980. 144 с.

11. Ельцов А.А., Ельцова Г.А., Магазинников Л.И. Об организующей роли линейной алгебры в курсе математики втуза // Известия Томского политехнического университета. 2005. Т. 308. № 1. С. 227 - 229.

12. Ельцов А.А., Ельцова Г.А., Магазинников Л.И. О структуре курса математики втуза // Междунар. конф. по математике и механике: Избранные доклады. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 252 - 256.

13. Горбанев Н.Н., Ельцов А.А., Магазинников Л.И. Высшая математика I. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2001.

14. Папи Ф. и Папи Ж. Дети и графы. Обучение детей шестилетнего возраста математическим понятиям. Брюссель - Монреаль - Париж, 1968. Пер с франц. М.: Педагогика, 1974. 190 с.

15. Ельцов А.А. Высшая математика II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2002.

16. Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. Высшая математика I. Практикум по введению в математический анализ и дифференциальному исчислению: Учебное пособие. Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2001. 168 с.

Статья представлена кафедрой высшей математики отделения фундаментального образования Томского государственного университета

систем управления и радиоэлектроники, кафедрой и лабораторией математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Информатика» 30 мая 2005 г.