Дифференциально-логические модели неисправностей в дискретных системах на основе математического аппарата конечных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

менными позволяет прогнозировать циклические и неконтролируемые изменения состояния социума. Зависимости между эндогенными переменными и зависимости эндогенных переменных от экзогенных переменных могут быть определены

на основе регрессионного и факторного анализа фрагментарных данных о массовых событиях в социуме.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (госконтракт № 02.740.11.0437) и проекта РФФИ № 11-06-00454-а.

список литературы

1. Айвазян, С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов [Текст] /С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. -М.: ЮНИШ-ДАНА, 2001. -В 2 т. 2-е изд., испр. -Т.2. -432 с.

2. Плотинский, Ю.М. Модели социальных про-

цессов [Текст] / Ю.М. Плотинский. -М.: Логос, 2001. -296 с.

3. Huff, A.S. Mapping strategic thought [Текст] / A.S. Huff; ed. by A. S. Huff.// Mapping strategic thought. -Chichtster: Wiley, 1990. -P. 11-49.

УДК 519.688

Т.С. Калинин, Н.П. Красий, А.В. Чернов

дифференциально-логические модели неисправностей в дискретных системах на основе

математического аппарата конечных полей

Математический аппарат булевых производных широко применяется в технической диагностике цифровых устройств [1, 2]. Моделями цифровых устройств в данном исследовании являются дискретные динамические системы с заданным множеством существенных неисправностей Б . Например, неисправности могут относиться к классам логических констант, изменения логических состояний, временных задержек и др. Задача анализа некоторого множества тестов Т - определение множеств неисправностей Б(Т) е Б , обнаруживаемых тестами Т е Т. В результате анализа устанавливается оценка полноты системы тестов Т , а также образуется таблица неисправностей ( = |^ ; ||, г = 1, |Т|, . = 1, |Б|, ^. = 0, если Б. € Б(Т), ^. = 1, если Б. с Б(Т).

Для анализа задана логическая схема дискретной системы, в которой измеряется логическое значение zi логической переменной, сопоставленной с точкой г логической схемы. При возникновении неисправностей из класса логических констант в точке г логической схемы значение переменной станет либо zi = 0 , либо zi = 1. Таким образом, в данном случае техническая диагностика может выполняться с помощью анализа чувствительности Б. на выходе . по отношению к изменению

сигнала в точке г логической схемы. Формальное определение чувствительности Б,. производится

V

при помощи булевых производных Б. = дz. /дzi,

и строится таблица Б = ||б^| |, т = 1, |Т|, . = 1, |Б| /2. Заметим, что переход от таблицы Б к искомой таблице ( не представляет трудностей.

Цель данной статьи - описание метода и математической модели чувствительности дискретной системы для обнаружения константных неисправностей как не связанных, так и связанных с изменением временных задержек в цифровых устройствах. Предлагаемый подход отличается от известных двумя фактами. Во-первых, логические функции дискретной системы описываются над конечными полями, и, во-вторых, идея анализа чувствительности дискретной системы перенесена на случай расширений конечных полей, что позволяет использовать при анализе не только булевы, но и многозначные логические функции. В первой части статьи предложен метод формирования матрицы коэффициентов чувствительности Б = Цб^ | с помощью быстрых спектральных Фурье-преобразований. Во второй части предложена новая дифференциально-логическая модель динамической дискретной системы. Описан аналитический метод решения

системы дифференциально-логических уравнений с применением логических производных над конечными полями. Данный метод может служить отправной точкой анализа неисправностей, относящихся к классу временных задержек.

Использование математического аппарата конечных полей является альтернативным подходом к изучению логических функций. Первоначальные результаты описания логических функций с помощью полей Галуа были получены в [3], в работе [4] уделяется внимание связи между коэффициентом дискретного преобразования Фурье и полиномом, описывающим логическую функцию над конечным полем. Наиболее полной работой в данной области является [5], в которой сформулированы элементы, названные «теорией переключательных функций Галуа». Идея расширения полей для исследования дискретных динамических систем со свойством контролируемости в дальнейшем рассматривалась в [6, 7].

Тем не менее, представленные в этой статье методы исследования функций, описываемых над конечными полями характеристики 2, отличаются от названных выше и других работ в рассматриваемой области. Существенным отличием является предлагаемое в данной работе описание логических функций как отображений вида /: F 2 ^ F „ для дискретных устройств с к входами и п выходами, т. е. над конечными полями расширений ¥рП (р - простое, п - натуральное) полей характеристики 2. В перечисленных выше работах рассматривались случаи, где входные, выходные значения и логические функции принадлежат конечным полям одной и той же размерности, что упрощает применение спектральных методов расчета коэффициентов чувствительности. В предлагаемом подходе размерности полей не играют существенной роли, однако от этого сложность вычислений спектральных коэффициентов чувствительности не увеличивается.

Логические функции, определяемые

над расширениями конечных полей

Рассмотрим предлагаемый метод описания логических функций над конечными полями. Традиционно, дискретное устройство, имеющее к входов и п выходов, описывается п логическими функциями из к переменных, принадлежащих полю . Подход, использующий аппарат конечных полей, позволяет, в отличие от булевой алгебры, вместо набора п функций к

Таблица 1 Таблица истинности

\ -*0 У\ %

ООО 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1

переменных описывать дискретную систему полиномом над полем, являющимся полем расширения поля . Функции, описываемые такими полиномами, представляют собой отображение вида /: Е к ^ Е2п, а в более общем случае - отображение вида /: F к ^ F п .

Понятие о логической функции, определяемой над конечным полем, вводится следующим образом.

Пусть некоторая дискретная система описывается п = 2 (количество выходов) булевыми функциями к = 3 (количество входов) переменных, а также задается ее таблица истинности (табл. 1). Получаем отображение вида / :(^ Х, х2) ^(y0, л).

В терминах аппарата конечных полей приведем пример отображения /: Е 3 ^ Е 2 . Пусть а - элемент поля Е 3 , в - элемент поля ^ , а неприводимые полиномы над этими конечными полями х3 + х2 +1 и Х + х +1 соответственно. Отображение зададим таблицей 2 (таблицей истинности).

Ненулевые элементы конечного поля Е2к составляют мультипликативную циклическую группу порядка 2к -1, между тем, обратный элемент для нейтрального по сложению элемента 0 поля ^2к относительно операции умножения является неопределенным. Таким образом, относительно операции умножения элементы конечного поля ^2к составляют циклический моноид, который будем обозначать Ы2к . Введем обозначение для нейтрального элемента поля ^ следующим образом. Пусть а-0 = 0, тогда и элементами ¥ к и М 2к будут а-0, а0, а1, а2, ..., ат , где т = 2к - 2. Теперь, если рассматривать дискретную систему, которая описывается функциями к входных переменных, то она будет определяться на конечном счетном множестве, имеющем структу-

Таблица 2

Полиномиальная форма

Полиномиальная форма х У1 % Полиномиальная форма у

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 1

a 0 1 0 1 1 P2

a2 1 0 0 1 0 P

a3 1 0 1 0 1 1

a4 1 1 1 0 1 1

a5 0 1 1 1 0 P

a6 1 1 0 1 0 P

ру мультипликативного циклического моноида

M,

k, т. е.

f = (f, -0, f 0, f,1, ..., f m), m = 2k - 2 .

a a a

и вместе с этим её элементы будут выбираться из конечного поля, например, из Е п. Таким образом, все множество логических функций, определяемых над М2к и принимающих значения из Е п, является векторным пространством размерности 2к над полем ^. Обозначим это векторное пространство Е2 . Обозначим также

f ( f -0 5 f 05 f 15 ...5 f т 8 5 0, 5 1, ..., 5 т );

а а а •'а - а а а а -

т = 2к - 2

2к

элементы векторного пространства Е и определим на нем две операции: сложения

f + s = (f -0 + 5 -0, f 0 + 5 0, f 1 +

w a a ^ a a ^ a

+ 5 1, ..., f m + 5 m);

a J a a -

свертки

f * S = g = (ga -0 ,

Где g„-0 = fa-0 5„-0 ,

(1)

a 0 '5a° "V ' 6a>

gaz = X fa'5a'@J j=1

(3)

i = 0, 1, ..., m, m = 2 - 2 , z'Qj = (-i + j) mod j .

Выражения (1)-(3) позволяют рассматривать логические функции над конечными полями, изучая алгебраическую структуру, построенную на основе моноида M2k . Выражение (3) легко представляется в матричном виде, где матрица свертки S является блочно-диагональной:

f 5 -0 0

а

5 0

S =

0

5 1

а

5 0

0 )

51

а

5 2

а

50 a у

.(4)

Если исключить из матрицы (4) первую строку и первый столбец, то можно выделить из 8 подматрицу 8С, которая является циркулянтной матрицей порядка 2к -1, а (я -0,5 0,5 1, ..., 5 „), т = 2к - 2 является ее генератором. Более компактная запись (4):

(5 ! ^ 8 = [ 5^----I. (5)

sc

c у

Множество 2k -1 перестановок f задается соотношениями:

(Paj ) a-0 = fa-0 , (Pa j ) az = fxi@j ,

(6) (7)

), (2) где i, j = 0, 1, 2, ..., 2k - 2 , z'0j = (-/ + j) mod j .

Например, в случае описания логических функций над М 22 в соответствии с (6), (7) имеем перестановки:

Ра 0 = (¿а-0, 0, Л1,2); Ра1 = (-0, ^а 2,0, ЛА

Р 2 = (/ -0, / 1, / 2, / 0).

Теперь обратим внимание на тот факт, что любая циркулянтная матрица может быть приведена к диагональному виду с помощью матрицы дискретного преобразования Фурье. Зададим матрицу Н вида

0

5

m

a

5

5

m-1

со

со

Н

I I

4--

! н

й у

(8)

где Нй - матрица дискретного преобразования Фурье порядка 2к -1. Диагонализация выполняется следующим образом:

HSH-1 = Л, (9)

где Л - диагональная матрица, причем первый диагональный элемент равен s 0 , а остальные диагональные элементы являются коэффициентами дискретного преобразования Фурье цирку-лянтной матрицы 8 с. Линейное преобразование F ^ f будет задаваться в виде

Р = Hf, f = Н-^ , (10)

где Р = (Р -0, Р 0, Р ..., Р т), т = 2к - 2.

а а а а 7

Рассмотрим свертку двух логических функций f и s , определенных над конечным полем, и как прежде g = f * 8, а в матричной записи

§ = (И)

где матрица 8 задается в виде (5). Умножая обе части (11) на Н, получаем:

Щ = HSf, О = ШН-1Щ С = ЛР,

где Р ^ f , § ^ Р и 8 Л = ШН-1 .

Матрица Л = diag(Ла_o,Ла0,Ла 1, ..., Лат), т = 2к - 2, таким образом, О а = Л ¡Е ¡, где г =-0, 0, 1, ..., 2к - 2. а а =

Приведенные выше рассуждения позвотают рассматривать логические функции над полями в спектральном виде, где Р и Л - матрицы, содержащие коэффициенты спектральных преобразований, т. е. в виде коммутативной алгебры, изоморфной алгебре (1)-(3).

Операции, определенные в спектральном домене:

сложение Р + Л

Е г +Л г, г =-0, 0, 1, ..., 2к - 2, (12)

а а ' ' 4 '

умножение РЛ

Е г Л г , г = -0, 0, 1, ..., 2к - 2, (13)

ос ОС ' '

очевидно, составляют коммутативную алгебру

ок

размерности 2 и позволяют переити к полиномиальному представлению логических функций над конечными полями.

Рассмотрим полиномиальное представление логических функций над конечным по-

лем. Пусть /(х) - логическая функция, где х = (а1, а2, ..., а7', ..., а2 ), ' = 1, ..., 2к .

Собственные значения матрицы 8 при ее ди-агонализации (9) могут быть представлены в полиномиальном виде

2к -1-г

йа-0( Х) = (Х2-1) + 1, ка (Х) = Х г = 0, 1, ..., 2к -2, т = 2к - 2; Н-1 = (к -0, к 0, к ,, ..., к т).

4 а а а а '

(14)

Полиномиальное представление собственных значений позволяет представить логическую функцию над конечным полем также в виде полинома, используя соотношение f = Н- Р . Тогда

/(х) = Е _0((Х2к-1) +1) + §Е^-1-' .

¡=0

"Угатьшая что /-0 = /(0) = Еа-0,

2 к-2

/(Х) = Е -0 + (Е -0 + Е0)Х2к-1 + £^ "

2к-2

....+

= а -0 + а 0Х +... + :а ,Х г=1

а

2к -1-г

(15)

где а _0 = Е _0, а 0 = (Е -0 + Е 0), а г = Е г ,

гу гу г/ 4 г/ а / ~ ос ОС

а . а 3 а 4 а а

г = 1, 2, ..., 2к - 2.

Выражение (15) является полиномиальной формой представления логической функции над конечным полем.

Вектор коэффициентов а = (аа-0, аа0, аа1, ..., а ат) и векторы логических функций f = (/ 0, /а0, /1, ..., / т), т = 2к - 2 связаны через несингулярную матрицу порядка 2к х 2к (рис. 1), из которой можно получить вектор коэффициентов (рис. 2), либо в матричной записи

а = А^ (16)

и, соответственно,

f = аА-1. (17)

Соотношение (16) содержит блочно-диаго-нальную матрицу А, элементы которой могут быть рассчитаны с помощью дискретного Фурье-преобразования.

Общая модель дифференциально-логической дискретной системы

В этой главе рассматривается метод представления динамической системы как дифференциальной системы над конечным полем. Дана система из п вещественнозначных векторных переменных V = (у1, у2, ..., уп )е Мп .

Каждой из вещественнозначных переменных у.

1

(

/ (0) / (1) / (а)

/ (а2)

/ (ат )

0 1

(ат ) (ат )2

/ т\3

(а )

с т\п

(а )

г т\2

(а )

0 У а

а

2

у V аат у

Рис. 1. Несингулярная матрица порядка 2к

/ (0)

(а а „ ' 1 0 0 0 • • 0 л / (1)

а 0 а 1 1 1 1 • • 1

аа 0 1 а а2 • • (а)т / (а)

а 2 а = 0 1 2 а 4 а • • (а 2)т / (а 2)

• 0 1 а3 а6 • • (а3)т

• • • • •• • • •

V аат у , 0 1 т а (а т )2 • / т\т • (а ) У •

/ (а т)

Рис. 2. Вектор коэффициентов

соответствует булева переменная, задаваемая условием

X (0, V < Чг'

Т I1, V > Чг,

1 = 1, ..., п ; е М - граничная переменная.

Тогда система может описываться изменениями вектора х = (хг,х2, ..., хп) е ¥2 с помощью временных разностных уравнений:

\ = Л ). (* - ^12 V•••> - ));

Х2 — /г _ ^21)' Х2 ~ ^22 )' —»хп(* ~ ^2п)) >

и/ g, Ъ - некоторые логические функции.

Рассмотрим дальнейшее развитие этого подхода. Обозначим X* = (хг, ..., хг-1, хм, ..., хп), т. е. набор переменных размерности (п -1), в котором нет переменной х{, и ха = хг, ..., хг-1, аг, хг+1, ..., хп), т. е. набор переменных размерности п , в котором переменная хг заменяется на переменную а,.

Определение 1

Частной производной логической функции /(х1, х2, ..., хг-1,х,, х,+1, ..., хп) над конечным полем Е п по переменной х, будем называть

Хп = /п(Х1 (' - )>Х2(Г-1п2\->Хп(*~ Т-пп )).

где т .. - временная задержка.

Далее описывается метод нахождения решения для такой разностной системы. В работе [8] доказывается теорема Тео рема 1

Логическое дифференциальное уравнение

—д— = g для г е 1, ..., т имеет решение/= gх. + Ъ

дхг

тогда и только тогда, когда g, Ъ не зависят от х,,

д/ .

(х. = /(X1,..., х-1 а,ххп)-/(х .

дх.

I

где 1 < /' < п, х-* = (*!,..., хп), а,, е Утверждение 1

Логическое дифференциальное уравнение

^д^- = g (х* ),1 = 1, ..., п, х* = (хь ..., хп) (18)

дхг ...дхп

имеет решение тогда и только тогда, когда

g (ха,)=0. (19)

1

а 0

а

2

а

а

а

4

а

а

(X

6

3

а

а

т

1

1

а

Решением является

n

ж V ^ п ж

f (x) = £ с (хг) + (-1)ng (x), (20)

i=1

где

(X) = (-1)

5 п-1фг

i-1 _ ai . .. ai-1.ai+1.-an

dxi -dxi-1dxi+1-dxn

i = 1. .... n.

(21)

ф - логическая функция размерности (п -1),

/ : Ерп ^ Ерт, g : Ерп ^ Ерт .

Доказательство

Вычислим первую частную производную над конечным полем:

gXj

с (X*) + (-1) "+1 g (x*).

i=2

Так как сг(Ха1 ) = 0 для г = 2, ..., п, данное соотношение является верным только при условии g (Ха1) = 0, что соответствует (19).

Вычислим вторую частную производную над

конечным полем

д 2 f

SxjSx2

= £ с (X*) + (-1)n+2 g (x*),

так как сг(Х*2) = 0 для г = 3, ..., п , данное соотношение является верным только при условии g(х<*2 ) = 0, что соответствует (19). Вычисляя производные до п -го порядка, получаем формулу (18).

Докажем теперь, что функция / имеет вид (20). По определению 1 соотношение (18) при подстановке (п -1) имеет вид

д n-f

dx2...dxn

■ = Cj( x*) - g (x*).

причем. по условию (19) g (x) = 0. а c1(xc*) должно иметь вид (21) для i = 1 при произвольной логической функции ф( x2. .... xn). Далее. для производной порядка (n - 2) получаем

д n - 2 f

Ja^n = C2(x*) - с (x*) + (-1)2 g(x*).

dx3...dxn

Л* Л *

причем. с1 (xa 2) = 0 и g (xa 2) = 0. таким образом. C2 (x*) должно иметь вид (21). Вычисляя производные n раз. получаем формулу (20).

В статье предложены математические модели неисправностей в цифровых устройствах. основанные на анализе чувствительности к ошибочным изменениям логических состояний схем. Рассмотренные модели базируются на математическом аппарате конечных полей и дифференциальном логическом исчислении. Основной результат первой части работы - формула (16) для расчета коэффициентов чувствительности быстрыми спектральными методами преобразований Фурье. имеющими сложность не более O = n log n . Основной результат второй части работы - утверждение 1 и формула (20). позволяющая решить логическое дифференциальное уравнение над конечным полем с помощью рекурсивного расчета частных логических производных.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-08-00097-а).

список литературы

1. Янушкевич, С. Логическое дифференциальное исчисление: достижения. тенденции и приложения [Текст] / С. Янушкевич. Д. Бохманн. Р. Станкович [и др.] // Автоматика и телемеханика. -2000. -№ 6. -С. 155-170.

2. Чернов, А.В. Развитие аппарата логического дифференциального исчисления в применении к задачам проектирования и диагностики телекоммуникационных систем [Текст] / А.В. Чернов // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2008. -№ 2. -С. 118-126.

3. Ninomia, I. Theory of Coordinate Representation of Swichin Func-tions [Текст] / I. Ninomia // Memoirs. Fac. Engg. -1958. -Vol. 10. -P. 175-190.

4. Menger, K.S. Jr. A Transform for Logic Networks [Текст] / K. S. Jr. Menger // IEEE Trans. Comput. -1969. -Vol. C -18. -P. 241-250.

5. Pradhan, D.K. A Theory of Galois Switching Function [Текст] / D.K. Pradhan // IEEE Trans. Comput. -1978. -Vol. C-27. -P. 239-248.

6. Белявский, Г.И. Математические модели линейных контролируемых дискретных динамических систем [Текст] / Г.И. Белявский. А.В. Чернов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. -2009. -№ 2. -С. 145-151.

7. Чернов, А.В. Методы линеаризации и модели контролируемых нелинейных дискретных динамических систем [Текст] / А.В. Чернов // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2009. -№ 2. -С. 156-162.

8. Posthoff, C. Logic Functions and Equations. [Текст] / C. Posthoff. B. Steinbach. Binary Models for Computer Science. -Springer. 2003. -392 p.

3