CC BY
20
УДК 621.757
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОТКЛОНЕНЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ СВОБОДНОЙ ФОРМЫ
© А.А. Валов1, М.А. Гаер2, Д.А. Журавлев3
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассмотрена классификация пространственных допустимых отклонений поверхностей свободной формы с точки зрения дифференциально-геометрического подхода к представлению геометрии. На основании свойств коэффициентов квадратичных форм описаны алгоритмы воздействия на внутреннюю геометрию и характеристики кривизны поверхности. Сформулированы основные типы воздействия на геометрию поверхности. На основе описанных типов воздействия составлена классификация видов геометрических отклонений для поверхностей свободной формы.
Ключевые слова: проектирование с учетом допусков; математическая модель поверхности; поверхность свободной формы; квадратичные формы поверхности; пространственные допустимые отклонения.
DIFFERENTIAL AND GEOMETRIC CLASSIFICATION OF FREE-FORM SURFACE DEVIATIONS A.A. Valov, M.A. Gaer, D.A. Zhuravlev
Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The classification of spatial tolerances of freeform surfaces is considered in the article in terms of a differential-geometric approach to geometry representation. The algorithms of the impact on internal geometry and the characteristics of surface curvature are described on the basis of properties of quadratic form coefficients. Having described the basic types of the impact on surface geometry, the authors have classified the types of geometrical deviations for the free-form surfaces.
Keywords: tolerance-considering design; mathematical model of a surface; free-form surface; surface quadratic forms; dimensional tolerances.
Введение
Рассматривая геометрические допуски на форму поверхности, описанные в современных международных стандартах, можно сделать вывод, что основное внимание уделяется допускам на форму поверхностей деталей, участвующих в плоских сопряжениях и системах вал - отверстие. Также для поверхностей данного типа описаны и используются частные случаи допусков формы, такие как выпуклость/вогнутость, бочкообразность и пр. В то же время геометрические допуски, которые могут быть применены для поверхностей свободной формы, описаны в общем
виде и представлены лишь эквидистантным допуском на профиль. Между тем детали с подобными поверхностями находят все большее применение в различных узлах и агрегатах, зачастую оказывают прямое влияние на качество и безопасность изделия, а значит, требования к точности их изготовления возрастают.
В настоящей работе рассматривается возможность классифицировать пространственные допустимые отклонения поверхностей свободной формы с точки зрения дифференциально-геометрического подхода к представлению геометрии, описанного в [4]. Данный подход предполагает
1
Валов Александр Александрович, старший преподаватель кафедры технологии машиностроения, тел.: 89086461139, e-mail: [email protected]
Valov Aleksandr, Senior Lecturer of the Department of Technology of Mechanical Engineering, tel.: 89086461139, e-mail: [email protected]
2Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021709580, e-mail: [email protected]
Gaer Maksim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering, tel.: 89021709580, e-mail: [email protected]
3Журавлев Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021719546, e-mail: [email protected]
Zhuravlev Diomid, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Technology of Mechanical Engineering, tel.: 89021719546, e-mail: [email protected]
вычисление точек поверхности по известным коэффициентам Е, Р, в, I, М, N первой и второй квадратичных форм. В соответствии с описанным в [1] геометрическим смыслом коэффициентов квадратичных форм данные коэффициенты характеризуют длину и кривизну линий на поверхности. Такой подход к представлению геометрии позволяет характеризовать отклонения формы поверхности от номинальной геометрии через отклонения от кривизны и длины соответствующих линий.
Исследование влияния
изменений коэффициентов
квадратичных форм
Рассмотрим поверхность, заданную коэффициентами квадратичных форм, при
этом коэффициенты F, М, N = 0 (рис. 1). Кривизна линий в главных направлениях на данной поверхности отлична от нуля только в направлении и, а векторы касательных в главных направлениях в каждой точке ортогональны.
Важным следствием алгоритма, используемого для вычисления поверхности, заданной квадратичными формами [2], является то, что изменение коэффициентов квадратичных форм оказывает влияние также и на положение поверхности. На рис. 2 показан результат изменения коэффициента ^ рассматриваемой поверхности (полученную поверхность назовем «изогнутой»).
Рис. 1. Поверхность: А - вид сверху; В - в трехмерной проекции
Рис. 2. Результат изменения коэффициента L рассматриваемой поверхности: А - трехмерная проекция; В - профиль поверхности в направлении и
Как видно из рис. 2, изменение коэффициента L повлияло не только на кривизну рассматриваемой поверхности, но и на ее относительное положение. За положение поверхности в пространстве отвечает выбор начальных условий при расчете поверхности, которые, согласно [1], представляют собой радиус-вектор точки начала отсчета, касательную в направлении u, касательную в направлении v и нормаль в данной точке:
г(Щ, V,) = ё,о I ги(щ,Ро) = [(Щ,Уо) = ёх \Гу(Цо,Ро) = д(ио,Уо) = ёг ' п(Щ, V,) = ё3
Так, в рассмотренном выше примере «изогнутая» поверхность была вычислена при начальных условиях, соответствующих положению номинальной поверхности (вектор касательной щ). Исходя из этого, для сохранения относительного положения поверхности при модификации ее коэффициентов квадратичных форм необходимо также корректировать начальные условия перед вычислением поверхности, а именно вектора касательных, в направлении которых производится изгибание или изменение метрики. В рассмотренном выше случае необходимо повернуть вектор касательной в направлении u на угол а.
Далее изменим коэффициенты квадратичных форм рассматриваемой поверхности по следующему правилу:
Ен = Ес •к; LH = Lc;
(1)
то есть увеличим коэффициент E в Д раз при неизменных остальных коэффициен-
тах. В случае рассматриваемой поверхности коэффициент кривизны в направлении u может быть вычислен по формуле:
Ки = б ;Ru = 1'
где Яи - радиус касательной окружности в данной точке, характеризующий кривизну линии на поверхности. Следовательно, коэффициент кривизны после изменения коэффициента E,
ЬН гС ц-С
Ен ЕСД Д '
значит, Ян > Яс (рис. 3). Таким образом, при изменении коэффициентов по данному правилу происходит «растяжение» поверхности в выбранном направлении, то есть увеличиваются длины дуг кривых в данном направлении, но при этом уменьшается их кривизна в каждой точке.
Далее рассмотрим влияние изменения коэффициентов квадратичных форм на характеристики поверхности по следующему правилу:
(2)
Ен =ЕС • Д' 1Н = Iе • Д' таким образом,
К» = L--,KH =КС; RH = RC,
иН '
то есть увеличение коэффициента E сопровождается пропорциональным увеличением коэффициента L, тем самым коэффициенты кривизны в каждой точке номинальной поверхности и производной поверхности будут соответственно равны (рис. 4).
Рис. 3. Результат изменения коэффициентов по правилу (1): А - трехмерная проекция; В - профиль поверхности в направлении и
Рис. 4. Результат изменения коэффициентов по правилу (2): А - трехмерная проекция; В - профиль поверхности в направлении и
Следует отметить, что сохранение значений кривизны при увеличении длины координатных линий приводит также к «сгибанию» поверхности. В соответствии с формулами вычисления точек движением по карте поверхности (в нашем случае движение по карте поверхности вправо [1]): и = и + hu, v = const; r(u + hu, v) = hu^ f(u, v) + r(u, v); f(u + hu, v) = (hu • Г^О, v) + 1) • f(u, v^i + hu^ rhgiu, v)+ +hu • L(u,v) • n(u,v); f(u,v + hv) = (hv • Г\2(и, v) + 1)^ f(u, v) + hv • Г22д(и, v) + +hv • M(u,v) • n(u,v); g(u + hu, v) = f(u,v + hv) - f(u, v) + +g(u, v);
в геометрическом смысле последующая точка вычисляется сдвигом по касательной
в данном направлении, а вектор касательной в новой точке образуется суммой векторов касательных и нормалей в предыдущей точке, умноженных на специальные коэффициенты. На рис. 5 представлена схема вычисления вектора касательной в точках для рассматриваемой поверхности.
Как видно на рис. 5, вектор касательной и' в вычисляемой точке представляет собой сумму вектора касательной и в предыдущей точке, длина которого ТЁ, и вектора нормали в предыдущей точке, умноженного на коэффициент ^ (здесь следует обратить внимание, что влияние вектора касательной в направлении V в данном случае не учитывается, так как в каждой точке рассматриваемой поверхности вектор касательной в направлении V не меняется).
Рис. 5. Схема вычисления вектора касательной в точках для рассматриваемой поверхности
Изменение коэффициентов квадратичных форм по правилу
Ен = ЕС • А; 1н = Iе •ЛА (3)
приводит к тому, что длины векторов, участвующих в вычислении касательной в новой точке, будут увеличены не пропорционально, а именно: вектор в направлении п будет увеличен в Ла раз больше, чем вектор в направлении и, вследствие чего вектор касательной и'' в вычисляемой точке будет отклонен на угол а относительно вектора касательной в точке номинальной поверхности. Таким образом, если изменить коэффициенты квадратичных форм по правилу (3), направление данных векторов совпадет, при этом результирующая поверхность будет «растянута» относительно номинальной поверхности, но сохранит визуальную форму, т.е. в данном случае можно говорить о «масштабировании» поверхности в заданном направлении (рис. 6). При этом
Кн=^г = К~; Нн>ИС. Ен ЛА
Результаты исследования
На основании исследования влияния представленных выше изменений коэффициентов квадратичных форм можно сформулировать следующие варианты воздействия на поверхность (рис. 7):
1. «Сгибание/разгибание в заданном направлении» - изменение кривизны поверхности при сохранении длины линий на поверхности в заданном направлении. В этом случае производится изменение коэффициентов второй квадратичной формы (Ц, M, N при неизменных коэффициентах (Е, F, G) первой.
2. «Растяжение/сжатие в заданном направлении» - изменение кривизны поверхности путем увеличения/уменьшения длины линий на поверхности в заданном направлении. В этом случае производится изменение коэффициентов первой квадратичной формы (Е, F, G) при неизменных коэффициентах (Ц M, N второй.
«Масштабирование» в заданном направлении - сгибание/разгибание поверхности в заданном направлении, сопро-
вождающиеся растяжением/сжатием таким образом, что соответствующие касательные векторы номинальной и результирующей поверхности сонаправлены.
Напомним, что, согласно [3], изменение коэффициента Е (аналогично G) первой квадратичной формы влияет на длину координатных линий в направлении и (аналогично V) следующим образом:
S + AS = f
j-I
и0
JE(1 + A)du = = (1 + A)S ■
(4)
Выражение (4) можно использовать при воздействии на поверхность методом «масштабирования» для вычисления необходимой величины изменения коэффициента Е (или G) так, что длина проекции выбранной линии на поверхности на выбранную плоскость изменится на необходимую величину. На рис. 8 длина проекции на плоскость а соответствующих линий номинальной поверхности и поверхности после «сгибания» отличается на величину . Так как при воздействии на поверхность методом «масштабирования» направления векторов касательных в каждой точке исходной поверхности сонаправлены с векторами касательных в соответствующей точке результирующей поверхности, изменение длины дуг кривых на поверхности пропорционально изменяет длину проекций соответствующих линий на выбранную плоскость. Таким образом, для получения такой согнутой поверхности, что ее проекция на выбранную плоскость будет соответствовать проекции номинальной поверхности, данную поверхность необходимо «масштабировать» с применением коэффициента «масштабирования» А = к2.
Соответствие проекций номинальной поверхности и поверхности после сгибания/растяжения позволяет применять описанный выше метод воздействия на поверхность на практике для имитации отклонений поверхностей деталей. Условие соответствия проекции в данном случае гарантирует целостность детали при имитации отклонения отдельной ее поверхности.
и
Рис. 6. Результат изменения коэффициентов по правилу (3): А - трехмерная проекция; В - профиль поверхности в направлении и
Поверхность после Номинальная «сгибания» поверхность
Поверд ность после «растяжения»
Рис. 7. Виды воздействия на геометрию исследуемой поверхности: А - трехмерная проекция; В - профиль поверхности в направлении и
А / * В
номинальная поверхность
Рис. 8. Результат воздействия на поверхность методами «сгибания» и «масштабирования»: А - трехмерная проекция; В - профиль поверхности
в направлении и
Выводы
На основании описанных выше вариантов воздействия на поверхность можно сформулировать следующий базовый вид отклонения поверхностей свободной формы с точки зрения параметров кривизны и внутренней геометрии поверхности: вогнутость/выгнутость поверхности де-
лали в заданном направлении, имеющем свободную форму - отклонение кривизны линий на поверхности в данном направлении, сопровождающееся изменением длины этих линий при наложенных ограничениях на поверхность другими размерными характеристиками детали (рис. 9). _Путем комбинирования отклонений
Рис. 9. Имитация вогнутости/выгнутости поверхности: А - трехмерная проекция; В - профиль поверхности в направлении и
вогнутости/выгнутости поверхности свободной формы на разных ее участках можно также описать следующие виды отклонений:
- винтообразность поверхности детали в заданном направлении - смена «вогнутости» на «выгнутость» в направлении, противоположном заданному;
- волнистость поверхности в заданном направлении - периодическое чередование смены «вогнутости» и «выгнутости» на разных участках поверхности в указанном направлении.
Несмотря на то что в настоящее
Библиогра
1. Валов А.А., Гаер М.А., Журавлев Д.А. Представление геометрии поверхностей с помощью квадратичных форм // Вестник ИрГТУ. 2013. № 8. С. 22-28.
2. Гаер М.А., Журавлев Д.А., Яценко О.В. Конфигурационные пространства поверхностей деталей и сборок // Вестник ИрГТУ. 2011. № 10. С. 32-36.
3. Гаер М.А., Калашников А.С., Шабалин А.В.
время существует целый ряд систем автоматизированного проектирования, имеющих в своем составе модуль анализа допусков, данные системы все еще не позволяют проводить размерный анализ для сборок, ключевой характеристикой анализа которых является качество поверхности свободной формы. Описанный выше подход к представлению отклонений поверхностей свободных форм может быть использован для решения подобного рода задач.
Статья поступила 11.11.2015 г.
кии список
Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками: мат-лы региональной научн.-практ. конференции «Винеровские чтения». Иркутск, 2004 г. С. 64-68.
4. Гаер М.А., Шабалин А.В., Плонский П.Л. Описание пространственных допустимых отклонений с помощью коэффициентов квадратичных форм. М.: МГТУ «МАМИ», 2009. С. 138-144.
