Диэлектрическая проницаемость композита с металлическими включениями в виде эллипсоидов вращения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиооптика

>ДК 517.1;530.1

Диэлектрическая проницаемость композита с металлическими включениями в виде эллипсоидов вращения

Зарубин В. С.1'*, Кувыркин Г. Н.1, Савельева И. Ю.1 *[email protected]

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Построена математическая модель электрического взаимодействия матрицы композита и эллипсоидальных металлических включений, покрытых слоем электроизоляционного материала, исключающим проявление эффекта перколяции при повышении объемной концентрации включений. Заменой электроизолированного металлического включения эквивалентным проведено преобразование трехфазного представительного элемента структуры композита в более простой двухфазный, состоящий из трансверсально изотропного эквивалентного включения, покрытого слоем изотропного материала матрицы. Этот элемент использован для получения расчетных зависимостей, позволяющих прогнозировать значения диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита при упорядоченном и хаотическом расположении включений. На основе двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном твердом теле, содержащей два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном решении задачи совпадающие экстремальные значения, установлены двусторонние границы возможных значений диэлектрической проницаемости данного композита и получена оценка наибольшей относительной погрешности, которая может возникнуть при использовании в качестве искомого значения этой характеристики полусуммы установленных граничных значений. Результаты количественного анализа расчетных зависимостей не выходят за пределы указанных границ.

Ключевые слова: композит; диэлектрическая проницаемость; эллипсоидальные металлические включения

Ссылка на статью:

//Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №4. С. 62-77.

Б01: 10.7463/^ор1.0415.0811296

Представлена в редакцию: 18.09.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Введение

Композиты широко применяют в различных областях техники не только в виде конструкционных и теплозащитных материалов, но и как функциональные материалы в разнообразных электротехнических приборах и устройствах, в том числе в качестве диэлектриков [1, 2, 3, 4]. Для композита, используемого в этом качестве, основной характеристикой является относительная диэлектрическая проницаемость (далее для краткости слово "относительная" опущено). Эта характеристика зависит, в первую очередь, от свойств матрицы композита и включений, а также от формы и объемной концентрации включений.

Модификация диэлектрика, выполняющего роль матрицы композита, металлическими включениями позволяет увеличить диапазон возможного изменения диэлектрической проницаемости такого композита [5] и таким путем расширить область его применения. В отличие от дисперсных включений, близких по форме к шаровой, использование включений в виде эллипсоидов вращения при их определенной пространственной ориентации открывает возможность создавать текстурированные композиты с требуемыми анизотропными характеристиками диэлектрической проницаемости. Для прогнозирования ожидаемого уровня характеристик композита с включениями эллипсоидальной формы необходимо располагать адекватной математической моделью, описывающей структуру композита и электрическое взаимодействие его матрицы и включений. Такая модель должна включать представительный элемент структуры композита с эффективными диэлектрическими свойствами, которые идентичны искомым свойствам композита. При построении математической модели возникает возможность применения аналогии между формулировками и решениями задач электростатики и установившейся теплопроводности.

На основе построенной в данной работе математической модели электрического взаимодействия матрицы композита и эллипсоидальных металлических включений, покрытых слоем электроизоляционного материала, исключающим проявление эффекта перколяции при возможном непосредственном контакте включений при повышении их объемной концентрации, получены расчетные зависимости для прогнозирования диэлектрических характеристик композита при упорядоченном и хаотическом расположении включений. Заменой электроизолированного металлического включения эквивалентным проведено преобразование трехфазного представительного элемента структуры композита в более простой двухфазный, состоящий из трансверсально изотропного эквивалентного включения, покрытого слоем изотропного материала матрицы. Такой представительный элемент в сочетании с двойственной вариационной формулировкой задачи электростатики в неоднородном твердом теле, содержащей два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном решении задачи совпадающие экстремальные значения, использован для установления двусторонних границ, определяющих область возможных значений диэлектрических характеристик рассматриваемого композита и позволяющих оценить наибольшую относительную погрешность, которая может возникнуть при использовании в качестве искомых значений этих характеристик полусуммы установленных граничных значений.

1. Структурная модель композита

Пусть отдельно взятое металлическое включение ограничено поверхностью эллипсоида вращения, уравнение которой в цилиндрицеской системе координат Огуъ с началом в центре включения имеет вид

(Ъг/К)

г + *2 = Ъ2, (1)

\2 ' 2

УГ I и2

где br и bz — полуоси эллипсоида вращения в направлениях соответственно радиальной г и осевой z координат при условии, что координатная ось Oz совпадает с осью вращения эллипсоида (в этом случае уравнение (1) не будет включать угловую координату <^). Включения могут иметь различные размеры, но являются геометрически подобными, т.е. br/bz = в = const. Каждое металлическое включение окружено достаточно тонким слоем электроизолирующего материала с диэлектрической проницаемостью es. Этот слой ограничен поверхностью эллипсоида вращения, геометрически подобного форме включения. Если форму включения описывает уравнение (1), то этой поверхности соответствует уравнение

где Z = const ^ 1 — отношение полуосей эллипсоидов вращения, ограничивающих поверхности соответственно включения и электроизолирующего слоя.

Рассматриваемый композит представим в виде множества составных частиц, каждая из которых содержит электроизолированное металлическое включение и покрывающий его слой материала матрицы с диэлектрической проницаемостью em. Форму составной частицы примем геометрически подобной форме входящего в эту частицу металлического включения. Тогда при описании формы включения уравнением (1) составная частица будет ограничена поверхностью эллипсоида с уравнением

где Z < 1 = const — отношение полуосей эллипсоидов вращения, ограничивающих поверхности включения и составной частицы соответственно. Таким образом, с учетом уравнений (2) и (3) объемная концентрация в композите электроизолированнык включений будет равна CV = (Z/Z)3. Размеры составнык частиц формально могут изменяться от некоторых конечный значений до бесконечных малык, что позволяет заполнить такими частицами весь объем, занимаемый композитом, и рассматривать изменение значения CV в промежутке от нуля до единицы. При этом каждую из трехфазных эллипсоидальнык составнык частиц, состоящих из металлического включения, электроизолирующего слоя и внешнего слоя из материала матрицы, допустимо считать представительным элементом структуры композита.

При построении математической модели электрического взаимодействия структурных элементов композита целесообразно условно заменить электроизолированное металлическое включение равновеликим, но однородным эллипсоидом вращения с эквивалентными диэлектрическими свойствами. Такая замена позволит упростить представительный элемент структуры композита, сведя этот элемент к двухфазному.

(2)

(3)

2. Диэлектрическая проницаемость эквивалентеного включения

Для нахождения диэлектрических свойств эквивалентного включения поместим эллипсоидальное металлическое включение без слоя электроизолирующего покрытия в неограниченный объем однородной среды с диэлектрической проницаемостью £3, совпадающей с диэлектрической проницаемостью материала слоя электроизоляции. На весьма большом расстоянии г по сравнению с наибольшей из полуосей Ъг/( и Ъ./( эллипсоида вращения, определяющего форму электроизолированного металлического включения, зададим однородное электростатическое поле с вектором Е. напряженности, направленным вдоль координатной оси Oz выбранной выше цилиндрической системы координат с началом в центре этого включения. С уменьшением величины г в этом поле будет нарастать возмущение, вызванное присутствием металлического включения. Тогда скалярный электрический потенциал векторного электростатического поля можно представить в виде и = — Е.г + Ди., где Е. = |Ег|, а функция Ди. учитывает возмущение линейного распределения этого потенциала.

Электрический потенциал электростатического поля в однородной среде при отсутствии в ней свободных электрических зарядов удовлетворяет уравнению Лапласа

1 д ( ди\ 1 д2и д2и

--г— +----1--= 0, (4)

г дг\ дг ) г2 д^2 дг2

записанному в выбранной системе координат. Если считать материал металлического включения идеальным проводником с электрической проводимостью о ^ то, то электрический потенциал в объеме такого включения будет иметь постоянное значение, которое можно принять равным нулю. Тогда по отношению к уравнению (4) равенство и = 0 будет выполнять роль граничного условия на поверхности металлического включения, описываемой уравнением (1), а известное решение соответствующей задачи электростатики [6], идентичное с решением аналогичной задачи установившейся теплопроводности [7], примет вид

Ъ2 Ъ г (и

и(г) = — ^г<1 — /а-), с. = (ц + ъ^)(ц + ъ2)З/2 , (5)

где £ — положительный корень уравнения

г2 г2

Ъ2 + £ + ЪГК =1, (6)

а а. = а. при значении £ = 0, соответствующем поверхности металлического включения.

Возмущение линейного распределения электрического потенциала в первом равенстве (5) описывает слагаемое Ди. = Е.гСх/С.. Это возмущение останется неизменным, если рассматривать электроизолированное металлическое включение, ограниченное поверхностью эллипсоида, описываемой уравнением (2). Заменим электроизолированное включение эквивалентным, диэлектрическую проницаемость которого найдем из сравнения Ди. с возмущением распределения электрического потенциала, вызванным этой заменой и равным при условии и = 0 в плоскости г = 0 (по аналогии с решением соответствующей

задачи установившейся теплопроводности [7])

Е* — еs)Сz

Ди*

1 + ()* - °

где

С = 7_^__(7)

* 2С3| (и + 62/с2)(и + Ь2/С2)3/2' ()

£ — положительный корень уравнения

г2 г2

+-= = 1, (8)

62/С2 + £ Ь2/С2 + £ '

а С* = С* при значении £ = 0, соответствующем внешней поверхности электроизолирующего покрытия, описываемой уравнением (2).

Отношение Д Ц* /Д и* с увеличением расстояния от начала координат должно стремиться к единице, что при г = 0 можно представить в виде условия

п Ди (е* - (5*

Иш —* = —^--—И^ —* = 1, (9)

™ ди* 1 + (е* - ев)<3° ™ /г

поскольку от г неявно зависит лишь отношение С*/С*.

При г = 0 из уравнения (6) для металлического включения без электроизолирующего слоя следует £ = г2 — Ь^, а в случае эквивалентного включения из уравнения (8) получим £ = г2 - Ь^/С2, т.е. £ ^ то и £ ^ то при г ^ то и, согласно равенству (7) и второй формуле (2), оба интеграла в отношении С * /С* стремятся к нулю. Предел в соотношении (9) вычислим путем раскрытия неопределенности типа 0/0, продифференцировав эти интегралы по нижнему пределу:

г (5* 1 (и + 6?)(и + Ь2 )3/2 1

|1Ш — = - 11Ш - = —

*-ш7 С* с3 ™ (и + ь^/с2)(и + ь2/С2)3/2 С3'

В итоге, учитывая, что для геометрически подобных эллипсоидов С° = С°, из соотношения (9) получим

е = е + сС°(в) = 7 ^ (10)

е* = +(1 - С 3)С* (в), ( (в)=2 0 (и + 0>(1 + и)3/2 • (10)

Если на весьма большом расстоянии г по сравнению с наибольшей из полуосей Ьг/£ и Ь*/£ эллипсоида вращения, определяющего форму электроизолированного металлического включения, задать однородное электростатическое поле с вектором Ег напряженности, направленным вдоль произвольно расположенной в плоскости г = 0 координатной оси Ог выбранной выше цилиндрической системы координат, то повторение рассмотренной выше процедуры замены такого включения эквивалентным приведет к соотношениям

ег = + (1 - С3)(°(в), ((в) = вт/ (и + в)2(1+ и)1/2 • (11)

Из вторых равенств (10) и (11) следует, что так называемые коэффициенты деполяризации 0° и 0° зависят лишь от параметра в = Ьг. В частном случае в =1 для шарового включения 0° = 0° = 1 /3, а в общем случае 0° + 20° = 1. Интегралы в указанных равенствах представимы в элементарных функциях [6, 7, 8, 9], в частности для сфероида (сплюснутого эллипсоида вращения) при в > 1

0°(в) = в2 (в2 - 1)1/2 - агс1в(в2 - 1)1/2

(в) в (в2 _ 1)3/2 •

При возрастании в сфероид приближается к круглой пластинке. Если допустимо пренебречь единицей по сравнению с в2, то 0° « 1 — (1/в) агС£ в ~ 1 _ (пв/2 — 1)/в2. Для удлиненного эллипсоида вращения при в < 1

0°(в) = в2агсПЬ(1 - в2)1/2 _ (1 _ в2)1/2

°°(в) = в (1 - в2)3/2 •

При убывании в такой эллипсоид приближается к длинному круговому цилиндру. Когда величина в2 пренебрежимо мала по сравнению с единицей, 0° ~ в21п(2/в). Если эллипсоид вращения близок к шару (в ~ 1), то 0° « 1/5 + 2в2/15. На рис. 1 в полулогарифмических координатах представлена зависимость 0° от в.

О?

1,0г

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

!

/

/

/

0,01 0,1

(3

О 100

Рис. 1. Зависимость коэффициента деполяризации С°° от параметра в = Ьг/Ъх формы эллипсоидального металлического включения

Из первых равенств (10) и (11) видно, что эквивалентное эллипсоидальное включение несмотря на изотропию электроизоляционного материала приобретает по отношению к диэлектрической проницаемости анизотропные свойства, а именно свойство трансверсальной изотропии относительно оси вращения эллипсоида. На рис. 2 в логарифмических координатах приведены зависимости убывающего с увеличнением параметра в отношения /е8

Рис. 2. Зависимость от параметра в отношений /е3 и ег/е3 при различных значениях параметра £

и возрастающего при увеличении этого параметра отношения ег /е3 для различных значений (: 0,8 — сплошные кривые; 0,9, 0,95 и 0,98 — штриховые, штрихпунктирные и пунктирные линии соответственно. Эквивалентное включение изотропно лишь при значении в = 1, соответствующем шаровой форме. Таким образом, при замене в исходном трехфазном представительном элементе структуры композита эллипсоидального электроизолированного металлического включения эквивалентным этот элемент переходит в более простой по структуре двухфазный, но содержащий анизотропное эквивалентное включение, что приведет к анизотропии и двухфазного представительного элемента структуры композита.

3. Представительный элемент структуры с эквивалентным включением

Для нахождения эффективных диэлектрических свойств двухфазного представительного элемента структуры композита с анизотропным эквивалентным включением поместим это включение в неограниченный объем однородной среды с диэлектрической проницаемостью ет, совпадающей с диэлетрической проницаемостью материала матрицы. Если теперь на весьма большом расстоянии г по сравнению с наибольшей из полуосей Ьг /Ъ и Ьх /Ъ эллипсоида вращения, определяющего форму представительного элемента структуры композита, задать однородное электростатическое поле с вектором Ег напряженности, направленным вдоль координатной оси Oz выбранной выше цилиндрической системы координат, то с убыванием величины г будет нарастать возмущение линейного распределении электрического потенциала, вызванное присутствием эквивалентного включения. Такое возмущение также должно удовлетворять уравнению (4) и при условии и = 0 в плоскости г = 0 по аналогии с возмущением Дйг будет равно Д1]'х = Егг(ег — ет)Сг/(1 + (ег — ет)<5°), причем оно не из-

менится, если рассматривать эквивалентное включение вместе со слоем материала матрицы, ограниченным поверхностью эллипсоида, описываемой уравнением (3), т.е. применительно к двухфазному представительному элементу структуры композита.

После замены указанного элемента равновеликим однородным эллипсоидом с искомым значением е* диэлектрической проницаемости композита в направлении оси Oz возмущение линейного распределения электрического потенциала будет определять равенство

где

G 2

AUz

Ez z (ej em) Gz

1 + (ez - em)Gc du

2Z37 (u + b2/Z2)(u + b^/Z2)3/2'

(12)

£ — положительный корень уравнения

b2/Z2 + £ + b2/Z2 + £

(13)

а О◦ = Ог при значении £ = 0, соответствующем внешней поверхности слоя материала матрицы, описываемой уравнением (3).

Отношение Д Ц /Д Ц с увеличением расстояния от начала координат должно стремиться к единице, что при г = 0 можно представить в виде условия

lim

AUz (eZ - em)(1 + (ez - em)Gc) r Gz — lim -=—

™ AUz (ez - em)(1 + (ez - em)Gc) ™ Gz

1,

(14)

так как от г неявно зависит лишь отношение Ох /(.

При г = 0 из уравнения (8) для эквивалентного включения получим £ = г2 — /£2, а в случае замены представительный элемент структуры композита равновеликим эллипсоидом из уравнения (13) следует £ = г2 — Ь2^2, т.е £ ^ то и £ ^ то при г ^ то и, согласно формулам (7) и (12), оба интеграла в отношении О^/Ог стремятся к нулю. Предел в соотношении (14) вычислим путем раскрытия неопределенности типа 0/0, продифференцировав эти интегралы по нижнему пределу:

G z

Z3, (u + 62/С 2)(u + b2/Z 2)3/2 Z3 1

lim = — lim _ _

z-mo Gz Z3 ™ (u + b2/Z2)(u + b2/Z2)3/2 Z3 Cv'

В итоге, учитывая, что для геометрически подобный эллипсоидов Gc = Gc ношения (14) получим

= 1 +

(ez - 1)Cv

1 + (ez - 1)(1 - Cv)Gc(e):

Gc, из соот-

(15)

где ez

ez /em-

2

2

1

z

e

m

Повторение аналогичной процедуры при задании на расстоянии г, весьма большом по сравнению с размерами представительного элемента структуры композита, однородного электростатического поля с вектором Ег напряженности, направленным вдоль произвольно расположенной в плоскости г = 0 координатной оси Ог выбранной выше цилиндрической системы координат, приведет к соотношению

~ = е* = 1 +__(ег— 1)Су__(1б)

г ет + 1 + (ег — 1)(1 — Су)С?(в)' ( )

где ег ег/ет.

Из формул (15) и (16) следует, что при упорядоченном расположении в композите эллипсоидальных металлических включений, когда оси вращения всех включений имеют одинаковое направление, композит будет трансверсально изотропным относительно этого направления. При хаотическом расположении включений, когда расположение осей вращения включений равновероятно по всем возможным направлениям, композит будет изотропным с эффективным значением диэлектрической проницаемости е* = (е* + 2е*)/3.

4. Двусторонние границы диэлектрических характеристик композита

На основе двойственной вариационной формулировки задачи электростатики в неоднородном твердом теле можно построить двусторонние границы возможных значений диэлектрической проницаемости композита при упорядоченном расположении эллипсоидальных включений, когда оси вращения всех эквивалентных включений параллельны. Область V, занятую композитом, выберем в виде прямого цилиндра высотой Н с площадью ^ оснований Б0 и Бн [5, 10]. Боковую поверхность 5* цилиндра в точках N Е Б* примем электроизолированной, на одном из оснований зададим электрический потенциал и = ин, а на другом —

и = 0.

Сначала рассмотрим вариант расположения включений в области V, когда их оси вращения перпендикулярны основаниям цилиндра. При этом диэлектрическая проницаемость е(М) будет зависеть от положения точки М € V, т.е. будет принимать значение ег, если эта точка принадлежит эквивалентному включению, или значение ет, когда она принадлежит матрице. Истинное распределение и*(М) электрического потенциала в выбранной области минимизирует функционал [10, 11]

3 [и] = 1 У е(М )(Уи (М ))2 ¿V (М), (17)

2у

где V — дифференциальный оператор Гамильтона. Этот функционал допустимо рассматривать на распределениях и(М), М € V, удовлетворяющих на основаниях цилиндра заданным выше граничным условиям и непрерывных в замкнутой области V = V и Б, а в открытой области V имеющих кусочно непрерывные производные. Альтернативным по отношению

к функционалу (17) является максимизируемый функционал [10]

I[D] = -1 J dV(M) - Uh J D(N) ■ n(N) dS(N), (18)

V SH

допускающий рассмотрение на непрерывных распределениях вектора D(M) (M G V) электрического смещения (электрической индукции), удовлетворяющих дополнительным условиям V ■ D(M) = 0 (M G V) и D(N) ■ n(N) = 0, N G S*.

Из экстремальных свойств функционалов (17) и (18), составляющих двойственную вариационную формулировку задачи электростатики, и равенства их значений на истинном решении задачи следует цепочка неравенств

J[U] ^ J[U*] ^ I[D]. (19)

При заданных граничных условиях

J [U *] = 1 У e(M )(VU *(M ))2 dV (N ). (20)

Примем для функционала (17) в качестве допустимого достаточно простое линейное по высоте области V распределение электрического потенциала U (M ), M G V .В этом случае (VU(M))2 = (UH/H)2 = const. Тогда из формулы (17) получим

/ \ 2

1 иА2 Г гг2^(1 - CV)е

m + CV

Ji = 1(Uh) / £(M) dV(M) = UHF

2 V Я / У 4 ' 4 У н 2Я

у 7 V

Для функционала (18) в качестве допустимого распределения вектора Ю примем постоянное значение Д единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Значение Д найдем из необходимого условия максимума функционала (18), который примет значение

I' = - ^ (^ + ^) - иниг.

2 \ ет )

Тогда из условия Я' /^Д = 0 получим

ия/Я

D = —

(1 - Cv)/£m + CV/е2 и в итоге

, (UHF)/(2H)

Ii

(1 - Су)/ет + Су/е/ Заменим в рассматриваемой области неоднородную среду, состоящую из матрицы и эквивалентных включений, однородной средой с искомым эффективным значением е* диэлектрической проницаемости композита в направлении ориентации осей вращения включений. В этом случае принятое выше линейное распределение электрического потенциала будет истинным для функционала (17) и он, согласно равенству (20), примет значение

3* = е^иН(2Н). В соответствии с неравенствами (19), используя найденные значения Зь 1\ и 3*, получим двусторонние границы

е+ = (1 — Су)ет + Суег ^ е^ ^ --С ) ,1 + С , = е-, (21)

(1 — Су )/ет + Су/ег

которые не зависят от формы включений. Повторение рассмотренной процедуры применительно к случаю расположения осей вращения эллипсоидальных включений параллельно основаниям цилиндра приведет к идентичной формуле для двусторонних границ е+ и е-эффективного значения еГ диэлектрической проницаемости композита в направлении, пе-репндикулярном ориентации осей вращения эквивалентных включений:

е+ = (1 — Су)ет + Суег ^ е*г - 1 = е-, (22)

(1 — Су) /ет + Су/ег

Отметим, что равенства для е++ и е+ совпадают с формулой, которая следует из теории смесей [12], но в отличие от использованного выше вариационного подхода эта теория не дает оснований утверждать, что е+ является верхней границей по отношению к истинным значениям диэлектрической проницаемости. Верхняя и нижняя границы в соотношениях (21) и (22) совпадают при значениях Су = 0 и Су = 1, но при промежуточных значениях Су € (0; 1) разность е+ — е- растет по мере отклонения отношения ег/ет или ег/ет от единицы. Если в качестве эфективного значения диэлектрической проницаемости композита

выбрать полусумму полученных граничных значений, то отношение п = т-— можно

рассматривать в качестве наибольшей возможной относительной погрешности, которая может возникнуть при таком выборе. Наибольших значений пт =1 — ^ —2)/8 относительная погрешность достигает при Су = 1/2.

5. Количественный анализ расчетных зависимостей

Для отношения е5/ет = 0,5 на рис. 3 приведены построенные по формулам (15) и (16) зависимости от объемной концентрации Су электроизолированных эллипсоидальных металлических включений (при ( = 0,9) отношений е^/ет = ё,г (сплошные кривые) и е*г/ет = ег (штриховые линии) при в = 0,75 (отмечены ромбами) и в = 4. Этим значениям параметров отвечают рассчитанные по соотношениям (21) и (22) зависимости от Су отношений е++/ет = е++, е+/ет = (штрихпунктирные линии) ие-/ет = е-, е-/ет = е- (пунктирные линии), определяющие соответственно верхние и нижние границы областей, содержащих возможные значения е^ и еГ. Из рисунка видно, что все кривые, построенные по формулам (15) и (16) для выбранных значений параметров не выходят за пределы этих границ.

При в = 0,75 форма включений в виде удлинненных эллипсоидов вращения сравнительно близка к шаровой, что приводит к слабо выраженной анизотропии диэлектрических характеристик композита даже для формально допустимых значений объемной концентрации Су, близких к единице. В этом случае е^ > еГ. Для сфероидальных включений при

8Z, Sr? ^Zj Sr

1 1 t / t I «! 1 1 / i;

i i d i / ! .' / * ' У У / ; / • / ; / . / •

/ I 1 / 1 / ' /Ф ' / г t / * /

,5 ; / / f t / / / / f / / /

♦ /* ■ / / / / я t / , * е f * /

/ ш' f Г * ' / / 0 / / / У

/ / /' ✓ ЕГ / , /

if:' s

ш

0 0,2 0,4 0,6 0,8 Cy Рис. 3. Результаты количественного анализа расчетных зависимостей

в = 4 анизотропия диэлектрических свойств композита выражена более существенно, причем е* < е*.

Увеличение параметра (, соответствующее уменьшению относительной толщины электроизолирующего покрытия на металлическом включении и увеличению диэлектрической проницаемости эквивалентного включения в двухфазном представительном элементе структуры композита, приводит к возрастанию значений e*z и е*г. Для сравнения на рис. 3 при es/em = 0,5 и в = 4 представлены зависимости ez (сплошная кривая с кружками) и ег (штриховая линия с кружками) при значении ( = 0,92. Даже относительно небольшое увеличение параметра ( вызывает заметный рост как ez, так и ег.

Аналогично влияние отношения es /ет на диэлектрические свойства рассматриваемого композита. На рис. 3 графики с квадратами построены при es/ет =1 и прежних исходных значениях остальных параметров. Сплошная кривая с квадратами уже при CV > 0,4 оказывается вне области возможных значений ez, построенной для отношения es/em = 0,5, а штриховая линия с квадратами пересекает верхнюю границу области возможных значений ег для отношения es/em = 0,5 при CV ~ 0,58.

Заключение

Использование в представительном элементе структуры композита эквивалентного эллипсоидального включения позволило получить расчетные зависимости для прогноза анизотропных диэлектрических характеристик композита с электроизолированными металлическими включениями в виде эллипсоидов вращения. Проведенный количественный анализ этих зависимостей показал, что для композита с упорядоченным расположением включений прогнозируемые значения диэлектрической проницаемости остаются в пределах области

возможных значений, границы которой установлены на основе двойственной вариационной формулировки задачи электростатики для неоднородного твердого тела.

Работа выполнена по грантам НШ-1432.2014.8 и МК-6573.2015.8 программ Президента РФ государственной поддержки ведущих научных школ и молодых кандидатов наук, а также в рамках проекта 1712 в сфере научной деятельности в части государственного задания 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания по проекту 1.2640.2014.

Список литературы

1. Физика композиционных материалов / Под общ. ред. Н.Н. Трофимова. В 2-х т. Т. 2. М.: Мир, 2005. 344 с.

2. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 208 с.

3. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б.И. Сажина. Л.: Химия, 1986. 224 с.

4. Тареев Б.М. Физика диэлектрических материалов. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.

5. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Оценки электрофизических характеристик композита с диэлектрической матрицей и дисперсными проводящими включениями // Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №3. Б01: 10.7463/гёор1;.0315.0800066

6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

7. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с.

8. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций: пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 248 с.

9. Зарубин В.С., Савельева И.Ю. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита со сфероидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. №4. С. 3-14.

10. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценки диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2015. №3(102). С. 50-64.

11. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Пугачев О.В. Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №2. Б01: 10.7463/шаФш.0215.0769483

12. Головин Н.Н., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Смесевые модели механики композитов. Ч. 1. Термомеханика и термоупругость многокомпонентной смеси // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2009. №3. С. 36-49.

Radiooptics of the Bauman MSTU, 2015, no. 4, pp. 62-77.

DOI: 10.7463/rdopt.0415.0811296

Received: 18.09.2015

© Bauman Moscow State Technical University

Permittivity of Composite with Metallic Inclusions as an Ellipsoid of the Rotation

Zarubin V. S.1'*, Kuvyrkin G. N.1, Savel'eva I. Yu1. * [email protected]

1 Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: composite, permittivity, ellipsoidal metallic inclusions

Composites are widely used in various fields of technology, not only as the structural and thermal-protection materials, but also as the functional materials in a variety of electrical appliances and devices, including as it relates to dielectrics. For the composite used in this capacity, the main characteristic is a relative permittivity. This characteristic depends, primarily, on the properties of the composite matrix and inclusions, and also on the shape and volume concentration of the inclusions.

The metallic inclusion-modified dielectric, performing a role of the composite matrix, allows us to increase a range of the possible changes in the permittivity of the composite and thus extend the scope of its application. Unlike suborbicular dispersed inclusions, the use of inclusions shaped as ellipsoids of rotation with their specific spatial orientation makes it possible to create the textured composites, which possess desired anisotropic characteristics of dielectric constant. In order to predict the expected performance level of the composite with ellipsoid-shaped inclusions it is necessary to have an adequate mathematical model describing the composite structure and the electrical interaction between matrix and inclusions. Such a model should include a representative composite structure element with effective dielectric properties, which are identical to desired properties of the composite. When building a mathematical model there is a possibility to make use of the analogy between formulation and solution of problems of electrostatics and steady heat conduction.

The paper's constructed mathematical model of the electric interaction between matrix composite and ellipsoidal metal inclusions covered by a layer of electrically insulating material, which excludes the activity effect of percolation, when a direct contact with inclusions is possible with their increasing volume concentration, enables us to obtain the calculated relationships to predict the dielectric characteristics of the composite when inclusions have an ordered and chaotic arrangement. Replacing an electrically insulated metallic inclusion for equivalent one enables converting a three-phase representative structure element of the composite into simpler two-phase one, that

Radiooptics

Electronic journal of the Bauman MSTU

http://radiooptics.ru

consists of a transversely isotropic equivalent inclusion covered by a layer of an isotropic matrix material. In conjunction with the dual variational formulation of the problem of electrostatics in a heterogeneous solid, containing two alternative functionals (minimized and maximized), which in the true solution of the problem take the coincident extreme values, such a representative element is used to set the limits, which determine a range of possible values of dielectric characteristics of the considered composite and allow us to estimate the greatest relative error that can arise when a half-sum of the set limits is used, as desired values of these characteristics.

References

1. Trofimov N.N., ed. Fisika kompozitsionnykh materialov. T. 2. [The physics of composites. Vol. 2.]. Moscow, Mir Publ., 2005, 344 p. (in Russian).

2. Vinogradov A.P. Electrodinamika kompozitnukh materialov [The electrodynamics of composites]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2001, 208 p. (in Russian).

3. SajhinB.I., ed. Electricheskie svoistva polimerov [Electric properties of polymers]. Leningrad, KhimiaPubl., 1986, 224 p. (in Russian).

4. Tareev B.M. Fisika dielectricheskikh materialov [Physics of dielectric materials]. Moscow, EnergoatomizdatPubl., 1982, 320 p. (in Russian).

5. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Pugachev O.V. Estimating Electro-physical Properties of the Composite with Dielectric Matrix and Dispersed Conductive Inclusions. Radiooptika = Radio and optics, 2015, no. 3, pp. 51-67. DOI: 10.7463/rdopt.0315.0800066 (in Russian).

6. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskay fizika. T. 8. Electrodynamika sploshnykh sred [Teo-retical physics. Vol. 8. Electrodynamics of continuous media]. Moscow, Nauka Publ., 1992. 664 p. (in Russian).

7. Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of Heat in Solids. 2nd ed. Oxford University Press, 1959. (Russ. ed.: Teploprovodnost' tverdykh tel. Moscow, Nauka Publ., 1964. 488 p.)

8. Eshelby J.D. The continuum theory of lattice defects. In: Seitz F., Turnbull D., eds. Progress in Solid State Physics. Vol.3. New York, Academic Press, 1956, pp. 79-144. (Russ. ed.: Kontinual'naia teoriiadislokatsii. Moscow, "Izd-vo inostrannoi literatury" Publ., 1963,248 p.).

9. Zarubin V.S., Savel'eva I.Yu. Effective Thermal Conductivity Coefficients of the Composites with Spheroidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences, 2013, no. 4, pp. 116-126. (in Russian).

10. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Estimating Electro-physical Properties of the Composite with Dielectric Matrix and Dispersed Conductive Inclusions. Vest-nik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Instrument Engineering, 2015, no. 3, pp. 50-64. DOI: 10.18698/0236-3933-2015-3-50-64 (in Russian).

11. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Pugachev O.V. Variational approach for estimating permittivity of composite with dispersible inclusions. Matematika i matematicheskoe mod-elirovanie = Mathematics and mathematical modelling, 2015, no. 2, pp. 37-49. DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483 (in Russian).

12. Golovin N.N., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Mixture models of composite mechanics P.1. Thermal mechanics and thermoelasticity of multicomponent mixture. VestnikMGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural Sciences, 2009, no. 3, pp. 36-49. (in Russian).