Действие подвижной нагрузки на ребристую цилиндрическую оболочку с упругим заполнителем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies

2024; 4(4) eISSN: 2782-2818 https://www.oajmist.com

УДК: 620.164 EDN: EQBCHF

DOI: https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-03 01 -03 09

Действие подвижной нагрузки на ребристую цилиндрическую оболочку с упругим заполнителем

Н. К. Эсанов1, Ж. М. Саипназаров2

1Университет Альфрагануса, Ташкент, Узбекистан 2Каршинский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада аль-Хорезми, Карши, Узбекистан

Аннотация. В работе рассматривается действие подвижной нагрузки на ребристую цилиндрическую оболочку с упругим заполнителем. Найдено решение задачи о действии подвижных нагрузок на бесконечно длинную цилиндрическую оболочку, подкрепленную по наружной поверхности продольными ребрами жесткости и содержащую внутри упругий инерционный заполнитель. Учитывается дискретность расположения ребер путем записи для них уравнений движения балок с последующим удовлетворением условий сопряжения. Показано влияние числа и жесткости ребер на характер распределения перемещений оболочки и контактного давления на границе заполнителя.

Ключевые слова: подвижной нагрузки, оболочка, упругий заполнитель, ребро, интегральный преобразования.

Для цитирования: Эсанов, Н. К., & Саипназаров, Ж. М. (2024). Действие подвижной нагрузки на ребристую цилиндрическую оболочку с упругим заполнителем. Современные инновации, системы и технологии - Modern Innovations, Systems and Technologies, 4(4), 0301-0309. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0301-0309

Effect of moving load on a cylindrical shell with an elastic

filler

N. Q. Esanov1, J. M. Saipnazarov2

'Al-Farghani University, Tashkent, Uzbekistan 2Karshi Branch of Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad

al-Khwarizmi, Karshi, Uzbekistan

Abstract. The paper discusses the effect of a moving load on a ribbed cylindrical shell with an elastic filler. A solution to the problem of the action of moving loads on an infinitely long cylindrical shell supported along the outer surface by longitudinal stiffeners and containing an elastic inertial filler inside is found. The discreteness of the location of the ribs is taken into account by writing down the equations of motion of the beams for them with the subsequent satisfaction of the interface conditions. The effect of the number and stiffness of ribs on the distribution of shell displacements and contact pressure at the core boundary is shown.

© Эсанов Н. К., Саипназаров Ж. М., 2024

0301

Keywords: moving load, shell, elastic filler, rib, integral transformation.

For citation: Esanov, N. Q., & Saipnazarov, J. M. (2024). Effect of moving load on a cylindrical shell with an elastic filler. Modern Innovations, Systems and Technologies, 4(4), 0301-0309. https://doi.org/10.47813/2782-2818-2024-4-4-0301-0309

ВВЕДЕНИЕ

Собственные колебания и распространение свободных волн в цилиндрических оболочках, взаимодействующих с жидкостью, исследовались многими авторами, в частности в работах [1, 2, 3]. При этом рассматривались осесимметричные и не осесимметричные задачи, применялись различные модели для жидкости и оболочки. Вопрос о действии подвижной волны давления на цилиндрическую оболочку, заполненную или окруженную жидкостью, менее изучен, причем было рассмотрено только осесимметричное нагружение [4, 5].

В данном работе с помощью интегрального преобразования по осевой координате и рядов Фурье по углу получено решение задачи о движении вдоль бесконечно длинной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с идеальной сжимаемой жидкостью нормального давления, произвольного по длине и окружности, но неизменного во времени профиля [6, 7]. Скорость движения нагрузки постоянна, и в статье она рассматривается для случая, когда она меньше скорости звука в жидкости [8,9].

Жидкость заполняет полость между оболочкой радиуса а и соосной с ней жесткой цилиндрической стенкой радиуса Ь. В статье с использованием полученных результатов в работе [10], найдено решение задачи о действии подвижных нагрузок на бесконечно длинную цилиндрическую оболочку, подкрепленную по наружной поверхности продольными ребрами жесткости и содержащую внутри упругий инерционный заполнитель.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Предполагается, что движущаяся нагрузка передается на оболочку только через ребра, вне ребер нагружение отсутствует. Учитывается дискретность расположения ребер путем записи для них уравнений движения балок с последующим удовлетворением условий сопряжения. Показано влияние числа и жесткости ребер на

Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies

@ ®

2024; 4(4) https://www.oajmist.com

характер распределения перемещений оболочки и контактного давления на границе заполнителя.

Движение оболочки описывается классическими уравнениями, основанными на гипотезе Кирхгофа-Лява, для заполнителя используются динамические уравнения теории упругости [11]. Движение ребер жесткости подчиняется уравнениям теории балок

ESkh + PSA = Psk(x, t) — qoki^ ¿X (1)

где q0k давление со стороны оболочки на погонную единицу длины k -го ребра; р$к -интенсивность нормальной нагрузки на k-ю балку; l - число ребер жесткости.

Граничные условия для заполнителя при скользящем контакте с оболочкой имеют

вид

т = = агв = 0; Grr = —qc;ur = ш. (2)

Внутренняя поверхности заполнителя принимается свободной от напряжений, тогда

г = аагх = агв = агг = 0 . (3)

Принимая, что контакт между ребрами и оболочкой происходит по прямым линиям

(осям балок), запишем следующие условия сопряжения.

а) Внешняя нагрузка на оболочку равна сумме давлений, передаваемых через каждое ребро:

р(х, в, t) = Ъпк=1 qok(x, t)8(6 — вк); (4)

б) В местах контакта (в — вк) перемещения оболочки равны прогибам балок, причем,

поскольку положительными считаются перемещения, направленные в сторону

выпуклости оболочки, то эти условия имеют вид

ш(х, вк, t) = —ук(х, t)(k = l.....I) . (5)

Для постоянной скорости движения нагрузок и установившегося процесса решение

задачи ищется в подвижной системе координат. Применяя преобразование Фурье по ^ и

раскладывая все заданные искомые величины в ряды Фурье по в вводим по формулам

потенциальные функции, удовлетворяющие уравнениям [12]. Тогда при скоростях

движения нагрузок, меньших скоростей распространения волн сдвига в заполнителе,

коэффициенты Фурье для перемещений запишутся в виде

u°n(r,ö = i^Kn(m1r)An + i^In(m1r)Bn + m2slKn(msir)Cn + m2slln(msir)Dn ивп(г,0 = i^Kn(m1r)An + i^In(m1r)Bn + m:s1Kn(mslr)Cn + m2s1ln(mslr)Dn

- \^Kn(msir) - msiKn+i(msir)] En - ln(msir) - msiln+i(msir)

S ■

= \^Кп(т1г) - т1Кп+1(т1г)]Ап + [^¡п^г) - т^+^т^Вп -

-1аВКп(т51г) - т*1Кп+1(тв1г)\ сп -1^1п(™51г) - т311п+1(т31Г)] Вп +

+ -Кп(т31г)Еп +-1п(™-51г)$п>

™1 = —™51 = (1-ц)2;тз = (1--^>.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Аналогичным образом с помощью формул (1)-(5) находится гармоника трансформант напряжений в заполнителе. Удовлетворяя преобразованным граничным условиям (2) и (3), выразим функции Ап(().. .Яп(() через коэффициенты Фурье радиального перемещения оболочки:

I I

{АП... 5П} = .. 5П} (6)

При этом функции Ап'(%). ..Бп'(%) вычисляются по формулам У и находятся

по формулам элементов а3у этих формул, положив 13 = 0. А элементы а6у вычисляются по формулам

а61 = пб3 - а62 = п + т%86; а63 = П89 -

аб4 = -п- т^з^; а65 = п; а66 = п. Подставляем найденные функции в формулу (6) для о0гп, а затем полученное

выражение рассматриваем при условии <70гп = -Ц0,п (г = а) . Тогда находим связь

между реакцией заполнителя и рациональными перемещениями оболочки в виде

а1 (п, с) = {[(1 + т2)^2 + 2п(п - 1)]53 + 2т%}А61 + +{[(1 + т*)$2 + 2п(п - 1)]36 + 2тОА6* +

^ + —ГМ63

+2т2*^2

п(п - 1)

1 +

2Ш25^2

1+

т2^2 п(п - 1)

512 +^}А64

т%%2

-2п[(п - 1)89 - т^]А65 + 2п[(п - 1)812 - ^^66 . (7)

Здесь А6у алгебраические дополнения элементов определителей йе*:п||а£у||. В случае

сплошного заполнителя функция ^(п, %, с) вычисляется по формуле (7). Подставляя (6)

в преобразованные уравнения движения оболочки, получаем систему алгебраических

уравнений относительно и0, V0, ш® , из которой искомые величины выражаются через

коэффициент Фурье трансформант внешнего давления на оболочку. В частности, для трансформанты радиального перемещения получаем

(8)

где функция Р(%,п,с) вычисляется по формулам (7). В (8) коэффициенты Фурье трансформант внешнего давления на оболочку являются неизвестными и должны быть определены с помощью условий сопряжения ребер с оболочкой. Для этого, применяя в подвижной системе координат преобразование Фурье к (4), (6), разложим правую часть (5) в ряды Фурье по в , тогда в пространстве изображений будем иметь

р0($,е)=1аЖ=0№=1Ч00к(Оапк)со5(пв). (9)

Здесь апк коэффициенты Фурье функции 5(в — вк). С учетом (8) формула (7) принимает вид

=а^ХП=о(Пп=аЯ0к(Оапк)^П7У (Ш)

Подставляя (10) в преобразованные условия (6), получаем для нахождения ц°к систему алгебраических уравнений

= —Ш^а ч$к(о (£п=0 апк;°^к))} (к = 1.....0 . (П)

Разрешая эту систему относительно ц°к, выражаем трансформанты. Для реакции стороны оболочки через прогибы ребер получаем зависимости вида

Ч0к=Гк(У0.....У0)(к = 1.....I). (12)

Конкретный вид этой зависимости определяется числом ребер и здесь не описывается. Подставляя (12) в преобразованные уравнения движения (5), получаем систему уравнений для определения трансформант прогибов балок Г2 Г«т2 _ °1к а2ркЛ * _ _а4

3(1-ус) 1к \Ук Е6к1кь

где ук = Ук/Ьш>с1к = 3с2р8к/2/С8к .

?2[^2 Шк(у*.....уП№ = 1.....а (13)

Из системы (13) находим трансформанты прогибов балок через нагрузки на каждую из них и жесткостные параметры ребер, оболочки и заполнителя. Формально указанные зависимости можно записать в виде

У*=<Рк(Р0а.....Рт)(к = 1.....0 (14)

Подставляя (14) в (12), находим трансформанты давления каждой из балок на оболочку, после чего из (8) определяются прогибы оболочки. Затем с использованием (7) определяются компонент напряженно-деформированного состояния заполнителя. Алгоритм получения окончательного решения существенно упрощается, если принять,

Современные инновации, системы и технологии // Modern Innovations, Systems and Technologies

@ ®

2024; 4(4) https://www.oajmist.com

что материал и геометрические характеристики ребер одинаковы (Е$к = Ед;р^к = Р8';1к = 1';Рк = Р), сами ребра расположены на одинакоюм расстоянии друг от друга, а нагрузки, движущиеся вдоль ребер, имеют одинаковую интенсивность и один и тот же закон распределения по длине. Аналогичные формулы можно записать для определения напряженно-деформированного состояния во внутренних точках заполнителя. Расчеты проведены для следующих значений безразмерных параметров:

Рисунок 1. Изменение прогибов оболочки по окружности для различного числа ребер

жесткости.

Figure 1. Change in shell deflection around the circumference for different numbers of

stiffening ribs.

На рисунке 1 показано распределение прогибов оболочки по окружности в сечении у = 0 для у = 250; а4/I = 106;a2F/I = 700 в случае двух, четырех и восьми ребер. Суммарная нагрузка и ребра при любом их числе остается постоянной, как и жесткость ребер. Число ребер I, их геометрические характеристики, а также относительная упругость заполнителя варьировались.

В работе разработана методика расчета и алгоритм для определения перемещения и напряжений оболочки с упругим заполнителем и ребром. Эти процессы позволяют изучить работу оболочки под воздействием различных нагрузок, что имеет важное значение для обеспечения её прочности и долговечности.

Всесторонний анализ условий влияния на жёсткость и устойчивость оболочки создаёт возможность значительно улучшить результаты расчётов. Эти результаты могут быть

к = 0.02; v = vs = vc = 0.3; y1 = 0.1; р* = 12.5; pi = p/ps = 0.5.

С---1--Р/

-800

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

использованы для дальнейших исследований и разработок в области строительной механики и материаловедения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Ильина А.М. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М.: Наука; 1969. 182.

[2] Hasheminejad S., Avazmohammadi R. Size-dependent effective dynamic properties of unidirectional Nano composites with interface energy effects. Composites Science and Technology. 2009; 69(15-16): 2538-2546. https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2009.07.007

[3] Srinivas R., Rajashekar M.N., Sambaiah K. Radial vibrations in a micro-isotropic, micro-elastic hollow sphere. Int. J. Pure Apll. Sci. Technol. 2013; 15(2): 54-61.

[4] Abd-Alla A.M. Free Vibrations in Spherical Non - Homogeneous Elastic Region. J. Comp. and Theor. Nano science. 2013; 10(9): 1914-1920. https://doi.org/10.1166/jctn.2013.3148

[5] Safarov I.I, Almuratov, Teshaev M.Kh, Homidov F.F, Rayimov D.G. On the dynamic stress-strain state of isotropic rectangular plates on an elastic base under vibration loads. Indian Journal of Engineering. 2020; 17(47): 34-39.

[6] Hu C., Fang X., Huang W. Dynamic effective properties of matrix composite materials with high volume concentrations of particles. Arch. Appl. Mech. 2008; 78: 177-190. https://doi.org/10.1007/s00419-007-0152-y

[7] Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М: Машиностроение; 1983. 239.

[8] Mirsaidov M.M., Sultanov T.Z., Abdikarimov R.A., Toshmatov E.S., Jurayev DP. Strength parameters of earth dams under various dynamic effects. Magazine of Civil Engineering. 2018; 77(1): 101-111.

[9] Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: Изд. СО РАН. 1996. 189.

[10] Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Analysis of Stress State of Hollow Layered Cylinders with the CrossSection of Complex-Shaped. International Journal of Applied Mechanics. 2011; 47(6): 48-57. https://doi.org/10.1007/s10778-011-0487-5

[11] Boltaev Z.I., Safarov I.I., Razokov T. Natural vibrations of spherical inhomogeneity in a

viscoelastic medium. International journal of scientific & technology research. 2020; 9(01): 3674-3680.

[12] Teshaev M.Kh., Safarov I.I., Mirsaidov M. Oscillations of multilayer viscoelastic composite toroidal pipes. Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2019; 13(2): 105-116. https://doi.org/10.24874/j sscm.2019.13.02.08

REFERENCES

[1] Il'ina A.M. Kolebaniya uprugih obolochek, soderzhashchih zhidkost' i gaz. M.: Nauka; 1969. 182. (in Russian)

[2] Hasheminejad S., Avazmohammadi R. Size-dependent effective dynamic properties of unidirectional Nano composites with interface energy effects. Composites Science and Technology. 2009; 69(15-16): 2538-2546. https://doi.org/10.1016/j.compscitech.2009.07.007

[3] Srinivas R., Rajashekar M.N., Sambaiah K. Radial vibrations in a micro-isotropic, micro-elastic hollow sphere. Int. J. Pure Apll. Sci. Technol. 2013; 15(2): 54-61.

[4] Abd-Alla A.M. Free Vibrations in Spherical Non - Homogeneous Elastic Region. J. Comp. and Theor. Nano science. 2013; 10(9): 1914-1920. https://doi.org/10.1166/jctn.2013.3148

[5] Safarov I.I, Almuratov, Teshaev M.Kh, Homidov F.F, Rayimov D.G. On the dynamic stress-strain state of isotropic rectangular plates on an elastic base under vibration loads. Indian Journal of Engineering. 2020; 17(47): 34-39.

[6] Hu C., Fang X., Huang W. Dynamic effective properties of matrix composite materials with high volume concentrations of particles. Arch. Appl. Mech. 2008; 78: 177-190. https://doi.org/10.1007/s00419-007-0152-y

[7] Koltunov M.A., Majboroda V.P., Zubchaninov V.G. Prochnostnye raschety izdelij iz polimernyh materialov. M: Mashinostroenie; 1983. 239. (in Russian)

[8] Mirsaidov M.M., Sultanov T.Z., Abdikarimov R.A., Toshmatov E.S., Jurayev DP. Strength parameters of earth dams under various dynamic effects. Magazine of Civil Engineering. 2018; 77(1): 101-111.

[9] Bozorov M.B., Safarov I.I., SHokin YU.I. CHislennoe modelirovanie kolebanij dissipativno odnorodnyh i neodnorodnyh mekhanicheskih sistem. Novosibirsk: Izd. SO RAN. 1996. 189. (in Russian)

[10] Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Analysis of Stress State of Hollow Layered Cylinders

with the CrossSection of Complex-Shaped. International Journal of Applied Mechanics. 2011; 47(6): 48-57. https://doi.org/10.1007/s10778-011-0487-5

[11] Boltaev Z.I., Safarov I.I., Razokov T. Natural vibrations of spherical inhomogeneity in a viscoelastic medium. International journal of scientific & technology research. 2020; 9(01): 3674-3680.

[12] Teshaev M.Kh., Safarov I.I., Mirsaidov M. Oscillations of multilayer viscoelastic composite toroidal pipes. Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2019; 13(2): 105-116. https://doi.org/10.24874/j sscm.2019.13.02.08

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ / INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Н.К. Эсанов, Университет Альфрагануса, N.Q. Esanov, Al-Farghani University,

Ташкент, Узбекистан Tashkent, Uzbekistan

Ж.М. Саипназаров, Каршинский филиал J.M. Saipnazarov, Karshi Branch of

Ташкентского университета Tashkent University of Information

информационных технологий имени Technologies named after Muhammad al-

Мухаммада аль-Хорезми, Карши, Узбекистан Khwarizmi, Karshi, Uzbekistan

Статья поступила в редакцию 12.09.2024; одобрена после рецензирования 15.10.2024;

принята к публикации 16.10.2024.

The article was submitted 12.09.2024; approved after reviewing 15.10.2024; acceptedfor

publication 16.10.2024.