CC BY
42
порядок из хаоса
Детерминированный хаос в теории сильных взаимодействий
Вячеслав Кувшинов,
завлабораторией «ОИЭЯИ - Сосны» НАН Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор
Андрей Кузьмин,
заместитель генерального директора «ОИЭЯИ -Сосны» НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук
Вадим Петров,
научный сотрудник «ОИЭЯИ- Сосны» НАН Беларуси
Долгое время считалось, что случайность-лишь модельное требование, необходимое для описания физических свойств систем с очень большим числом степеней свободы. Существовало мнение, что если представится возможным определить все начальные условия для огромного числа частиц, образующих макроскопическое тело, и решить систему соответствующих уравнений движения, то, в принципе, можно полностью предсказать движение каждой отдельной микроскопической частицы. Его случайность или стохастичность, как полагали, проистекает из того факта, что данную задачу чрезвычайно трудно, если вообще
возможно, решить по чисто техническим причинам. Таким образом, как казалось, стохастичность движения является исключительно удобным приближением, на основании которого можно получать количественные результаты касательно свойств макроскопического тела, не утруждая себя решением огромного числа уравнений.
Наряду с этим представлялось, что движение механических систем с небольшим числом степеней свободы можно всегда предсказать, решив соответствующие уравнения движения. Как показали исследования, оба эти мнения оказались по сути неправильными. Однако это ни в коей мере не означает, что, например, статистическая физика и ее выводы, основанные на этих представлениях, неверны. Наоборот, у физиков долгое время вызывало неудовлетворение объяснение возникновения стохастического движения в макроскопически больших системах. Ссылка на сложность системы совместно с признанием факта принципиальной возможности абсолютно точно рассчитать ее траекторию в фазовом пространстве вызывает неудовлетворенность при использовании процедур усреднения по фазовому пространству. То, что в данный момент представляется невозможным решить огромное число уравнений движения и измерить начальные условия для большого числа микроскопических частиц, не означает, что это не может быть сделано в будущем, особенно исходя из темпов развития современной вычислительной техники и экспериментальных приборов. В то же время законы природы не могут зависеть от степени нашего развития. Во многом именно эта неудовлетворенность послужила толчком к более пристальному изучению вопроса о причинах возникновения случайного, хаотического движения.
Глубокий анализ, проведенный ученым Николаем Крыловым, показал, что в основе по-
нимания природы появления статистических законов лежит не свойство эргодичности динамической системы, а свойство перемешивания и связанная с ним локальная неустойчивость (из которого эргодичность следует автоматически) [1].
На современном этапе развития, начало которого можно отнести к 60-70-м гг. прошлого века, все области физики стали приобретать свои собственные «нелинейные» проблемы. Появились нелинейные оптика, акустика, радиофизика. Однако наиболее богатой относительно различных нелинейных проблем оказалась плазма. Возможно, что именно особенности бесстолкновительной плазмы как нелинейной среды способствовали развитию новых, в определенном смысле неожиданных, методов ее исследования: с одной стороны, вводящие стохастический элемент в динамику среды за счет сложных нелинейных взаимодействий при отсутствии явных случайных сил и воздействий, с другой - позволяющие точно интегрировать сложные нелинейные уравнения.
Приблизительно в то же время произошли радикальные изменения в исследовании нелинейных систем строгими методами. Появилась универсальная техника приближенного усреднения нелинейных систем (метод Крылова - Боголюбова - Митрополь-ского), была доказана теорема о сохранении инвариантов в гамильтоновых системах (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера, КАМ) и, наконец, возникло определение нового свойства нелинейных систем - динамической энтропии Колмогорова - Синая, которая, будучи инвариантом системы, отражает в количественной форме возможность нелинейных систем совершать движение с перемешиванием - свойством, которое ранее исследовалось Хопфом и Крыловым. Наряду с этим выяснилось, что перемешивание, или хаос, может возникать
№12(106) Декабрь 2011 НАУКА И ИННОВАЦИИ 11
тема номера
даже в системах с двумя степенями свободы, а его появление или отсутствие зависит лишь от значений параметров и начальных условий. Таким образом, в физику вошло новое понятие - детерминированный хаос, представляющее собой явление возникновения случайного движения динамических систем в отсутствие каких-либо случайных воздействий.
Изначально внимание к явлению детерминированного хаоса было связано с проблемами классической механики и статистической физики. Попытки обоснования статистической механики инициировали его активное изучение [1]. Одним из основных результатов в этом направлении стало создание теории КАМ, касающейся общих вопросов структуры классического фазового пространства гамильтоновых систем. Было показано, что причиной возникновения детерминированного хаоса является локальная неустойчивость динамической системы, которая в случае финитного движения приводит к перемешиванию траекторий в фазовом пространстве и, как следствие, к ее нерегулярному поведению [2].
Одной из областей применения методов теории хаоса являются как классические, так и квантовые калибровочные теории физики элементарных частиц [3, 4]. В частности, изучение свойств детерминированного хаоса в квантовой хромодинамике представляет интерес в связи с нерешенными в настоящий момент проблемами адронизации и конфайнмента кварков [5, 6]. В рамках неабе-левых калибровочных теорий физики элементарных частиц активно исследовалась устойчивость топологических монопольных и сфалеронных решений по отношению к их малому возмущению. C точки зрения детерминированного хаоса рассматривалось поведение модельных пространственно-однородных систем как абелевых, так и неа-белевых классических калибровочных полей, взаимодействующих с полем Хиггса[7]. Большое внимание уделяется изучению хаотического поведения калибровочных полей на решетке как в классическом, так и в квантовом случае. Поднимался, в частности, вопрос о влиянии полей Хиггса на динамику классических калибровочных полей. Был сделан вывод о том, что взаимодействие с классическим полем Хиггса приводит к регуляризации хаотического поведения полей Янга - Миллса и возникновению пере-
хода от порядка к хаосу с ростом плотности энергии полевой системы [7]. В случае безмассовой скалярной электродинамики на примере пространственно-однородных полей было показано, что квантовые поправки увеличивают энергетический порог, который необходимо преодолеть для появления областей хаотического движения в фазовом пространстве системы, и таким образом приводят к регуляризации ее поведения при малых плотностях энергии [8].
Изучение хаотического поведения классических полей сталкивается с трудностями, связанными с непрерывностью таких систем в пространстве-времени и, следовательно, наличием у них бесконечного числа степеней свободы. Существующие численные и аналитические методы исследования детерминированного хаоса рассчитаны на анализ динамики в конечномерном фазовом пространстве [2]. Таким образом, изучение хаотического поведения классических полей возможно только в тех случаях, когда по каким-либо причинам число мод, определяющих динамику полевой системы, является конечным [3]. При изучении хаотической динамики неабелевых калибровочных полей существует несколько способов уменьшения числа представляющих интерес степеней свободы до конечного значения. Исторически первой была сформулирована неабе-лева калибровочная теория на пространственной решетке [9]. Позднее этот подход активно использовался для изучения хаотической динамики как в классическом, так и в квантовом случае, а также другой метод построения модельных полевых систем, основанный на пространственно-однородных решениях. В рамках этого подхода также возможно изучение хаотической динамики классических калибровочных полей на малых расстояниях. Было показано - как аналитически [10], так и численно [7],- что пространственно-однородные неабелевы поля Янга - Миллса образуют систему с полностью хаотической динамикой, в то время как взаимодействие с классическим вакуумным полем Хиггса регуляризует их поведение при малых плотностях энергии. Третий способ редукции числа степеней свободы калибровочных полей и поля Хиггса связан с численным моделированием поведения малых возмущений в окрестности топологических решений. Выводы, сделанные в рамках этого подхода, полностью согласуются с результатами, полученными при
рассмотрении пространственно-однородных полевых конфигураций.
Интересной представляется связь между петлей Вильсона, величиной, характеризующей конфайнмент цветных зарядов (кварков) в теории сильных взаимодействий, и фиделити, которая используется для описания квантового хаоса в системах, а также связь конфайнмента и явления декогерен-ции [4]. Интригующие и крайне важные связи требуют дальнейшего исследования.
До сегодняшнего дня одна из самых актуальных проблем в теории детерминированного хаоса - поиск наиболее общих физических причин его возникновения. В настоящее время принято считать, что источником хаотического (стохастического) движения является сильная неустойчивость последнего по отношению к вариации начальных условий. Однако данное мнение, безусловно, верное, не отвечает на ряд вопросов, особенно при переходе в квантовую область, где классические понятия траектории и начальных условий попросту не применимы. Тесно связан с предыдущим вопросом поиск количественных критериев хаотичности не только для классических, но в первую очередь для квантовых систем. Вопрос о возможности и целесообразности введения понятия хаоса в квантовом случае также активно обсуждается.
Литература
1. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. - М., 1950.
2. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. - М., 1988.
3. Biro T.S., Matinyan S.G., Muller B., Chaos and gauge field theory. - Word Scientific, Singapore, 1994.
4. Кувшинов В.И., Кузьмин А.В. Калибровочные поля и теория детерминированного хаоса. - Мн., 2006.
5. Симонов Ю.А. Конфайнмент // УФН. 1996. Т. 166, №4.
6. Кузьменко Д.С., Симонов Ю.А., Шевченко В.И. Вакуум, конфайнмент и струны КХД в методе вакуумных корреляторов // УФН. 2004. Т. 174, №1.
7. Берман Г.П., Маньков Ю.И., Садреев А.Ф. Стохастическая неустойчивость классических однородных SU(2)xU(1) полей со спонтанно нарушенной симметрией // ЖЭТФ. - 1985. Т. 88, вып. 3.
8. Matinyan S.G., Muller B. Quantum fluctuations and dynamical chaos// Phys. Rev. Lett. - 1997. Vol.78, №13.
9. Wilson K.G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D - 1974. Vol.10, №8.
10. Savvidy G.K. The Yang - Mills classical mechanics as a Kol m-ogorov K - system // Phys. Lett. B - 1983. Vol.130, №5.
12 НАУКА И ИННОВАЦИИ №12(106) Декабрь 2011
